高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第06講專題9-2解三角形解答題中的最值與取值范圍問題

專題92解三角形解答題中的最值與取值范圍問題TOC\o"13"\h\u題型1余弦定理與基本不等式法 ④外接圓動點范圍問題，可轉(zhuǎn)化為動點到某個定點的距離問題，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)分析得出范圍.題型1余弦定理與基本不等式法【例題1】（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A,B,C(1)求C的最大值；(2)若c=2，a+b【答案】(1)π(2)289【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理和基本不等式求得cosC（2）由a+b≤74c，求得【詳解】（1）解：在△ABC中，滿足a由余弦定理得cosC當且僅當a=b時取等，所以又因為C∈(0,π)，且函數(shù)y=cosx所以C的最大值為π3（2）解：因為a+b≤74又因為a2+b2≥2所以S≤1【變式11】1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2(1)求角A；(2)若△ABC的面積為1，求△【答案】(1)A(2)6?2+4【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角函數(shù)恒等變形，化簡求cosA（2）首先由面積公式得bc=4【詳解】（1）因為2a所以2a即2a由正弦定理得2sinA2cosA2cosAsinA+B所以cosA=3則A=（2）由題知，S=12a2當b=a+8?43=6所以當a=6?2（或?qū)懗芍荛L的最小值是6?2+4【變式11】2．（2023春·福建福州·高一福建省福州外國語學(xué)校?？计谥校┰冖賐a=cosB+1已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若____________.(1)求角B；(2)若a+【答案】(1)π(2)△ABC周長的最小值為6，此時△ABC【分析】（1）分別選三個條件，結(jié)合三角恒等變換，以及邊角互化，化簡后即可求解；（2）由余弦定理可得3ac=16?b【詳解】（1）選①，由正弦定理得sinB∵sinA≠0，∴3sin∵0<B<π，∴∴B?π6選②，∵2bsinA由正弦定理可得2sinB∵sinA≠0，∴∵B∈0,π，∴選③，∵sinA由已知結(jié)合正弦定理可得a?∴a2+c∵B∈0,π，∴（2）∵b2=a∴16?b2≤3a+∴bmin=2，△ABC周長的最小值為6，此時△【變式11】3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2B+cos2(1)求A；(2)若a=4，求△【答案】(1)π(2)4【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦邊角關(guān)系得a2?b（2）由已知和余弦定理得16=b2+【詳解】（1）由已知1?2sin即sin2A?所以cosA=b2+（2）由余弦定理，得a2=b所以16=b2+所以S△ABC=12【變式11】4．（2023春·湖北孝感·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，且a(1)求A；(2)若中線AD=2，求△【答案】(1)A(2)4【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得a；（2）利用向量運算、三角形的面積公式以及基本不等式求得△ABC【詳解】（1）依題意，acos由正弦定理得sinAsinAsinA3sinAsin所以3sinA?cos由于?π6<（2）依題意AD=兩邊平方得AD2=116=c當且僅當b=c，即三角形所以△ABC面積12bc【變式11】5．（2023春·江蘇蘇州·高一蘇州中學(xué)?？计谥校┯洝鰽BC的內(nèi)角A,B,C(1)若A=π4(2)求ca（可能運用的公式有sin【答案】(1)B(2)2【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到2sinC?A（2）根據(jù)余弦定理得到c2=a【詳解】（1）a+則sinA即sinA+sinCA∈0,π，sinA≠0，故cosCB=π?（2）C=2π3ca當且僅當a=b時等號成立，故【變式11】6.（2023春·湖南邵陽·湖南省邵東市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，_________，DC=2，在下面給出的三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并加以解答.(選出一種可行的方案解答，若選出多個方案分別解答，則按第一個解答記分)①3AB=4BC(1)求∠DAC(2)求△DAC【答案】(1)π(2)3【分析】（1）若選①，利用正弦定理得出∠BAC=π6，再結(jié)合若選②，由tan∠BAC+π6=3若選③，利用正弦定理的邊化角公式化簡得出得出∠BAC=π6，再結(jié)合（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出AC?AD≤4【詳解】（1）若選①，若選①在△ABC，由正弦定理可得：AB又3AB=4BC又AB⊥AD，∴∠BAD若選擇②由tan∠BAC+又AB⊥AD，若選③2BC2sin∠BAC∴2sin∠BAC∴2sin∠BAC即2sin∠ACB∵sin∠ACB∴cos∠BAC∵∠BAC∴∠BAC又AB⊥AD，所以（2）在△ACD中，DCDC即AC?∴S當且僅當AC=【變式11】7．（浙江省寧波三鋒教研聯(lián)盟20222023學(xué)年下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)若A為銳角△ABC的內(nèi)角且fA=【答案】(1)最小正周期π；單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π(2)3【分析】（1）化簡函數(shù)解析式可得fx（2）由fA=3求A，再由余弦定理可得b【詳解】（1）f=2sin故函數(shù)fx的最小正周期T由?得?π∴函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為k當2x?π即當x=kπ+5π12，k當2x?π即當x=kπ-π12，k∴（2）由fA=3所以sin2又0<A<π解得A=由余弦定理cosA=b可得b2而b2+c2≥2所以S=12bcsinA≤3【變式11】8．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a(1)若mbc=b2(2)若a=3，求(3)若AB=2，點F為AB的中點，且CF2【答案】(1)1(2)3(3)2【分析】（1）根據(jù)條件和余弦函數(shù)的函數(shù)值得到A=π3（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到bc≤（3）根據(jù)余弦定理：在△ACF中得到CF2=b【詳解】（1）∵A為銳角，且cos2∴2A=2π∵由余弦定理可知cosA=b又mbc=b2+c故實數(shù)m的值為1.（2）由（1）得：sinA又bc=b2+c∴S△ABC∴△ABC面積的最大值為3（3）在△ACF中，AF∴C∵C∴ab=b在△ABC中，AB∴a2=解得b=2?1∴AC的長為2【變式11】9．（天域全國名校聯(lián)盟2023屆第一次適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sin(1)求a+(2)求證：在線段AB上恒存在點D，使得ADCD【答案】(1)a+bc(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)a=xc，b=yc，則a+bc=x（2）設(shè)∠ACD=α,∠ACB=β【詳解】（1）設(shè)a=xc，b=yc，則又∵a∴x由sin2C22=1?cosC由余弦定理，得1?3cos=1?=1?整理得x4因式分解x4+=x又x+所以x?y2即1<x故a+bc（2）如圖，設(shè)∠ACD=α則sin∠ACD又β?2所以cosβ12由題意sinAsinB即sinA而對給定的△ABC來說，sin因此恒存在∠ACD=α在△ACD中，由正弦定理可得ADsin∠ACD在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB由存在sin∠ACD可得存在sin∠ACDsinA因此，在線段AB上恒存在點D，使得ADCD題型2正弦定理與三角函數(shù)法【例題2】（2023春·安徽六安·高一六安一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C(1)求證：B=2(2)求ba(3)若c=1，求△【答案】(1)證明見解析(2)2(3)3【分析】（1）由正弦定理和兩角差的正弦公式，化簡得到sinA=sinB?A（2）由（1）求得π6<A（3）由正弦定理和面積公式，化簡得到S=【詳解】（1）解：因為a=由正弦定理得sinA=sinB又因為△ABC為銳角三角形，可得A所以B?A∈?π（2）解：因為B=2A，且△ABC可得B>π又因為B=2A，即π3<2A則ba=sinBsin（3）解：由正弦定理得a=所以S=12?又由π6<A設(shè)fx=3x?所以S∈38,1【變式21】1．（江蘇省蘇州市20222023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，角A,B,C(1)求角A的余弦值；(2)若D是邊AB的中點且CD=2，求b【答案】(1)?(2)（2，42）【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到sinA=?cosA（2）設(shè)∠ACD=α，利用正弦定理表示出AD，AC【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理有a∵b∴sin2B在△ABC中，由余弦定理，有a∴2bcsinA=?2bc∵A∈(0,π)，∴（2）如圖，設(shè)∠ACD=α，則∠在△ACD中,根據(jù)正弦定理，有CD∴AD=c設(shè)f=210（其中sinθ=110又（α+θ）∈（θ，π4+θ）∈（0，π2所以f(α)∈(2所以b+2c的取值范圍為（2，【變式21】2．（湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體20222023學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2b(1)求B；(2)若銳角△ABC中b=2【答案】(1)B=(2)(23【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再由內(nèi)角和等于π消去角C，然后通過和差公式展開化簡即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等變換化簡可得a+【詳解】（1）2bsinA即2sinB整理得3sin又A∈(0,π)，所以sinA≠0即sinB?π6所以B?π6（2）由（1）知B=π3，又b所以a=所以a=4在銳角△ABC中，0<C=所以32<sin(A故△ABC的周長的取值范圍為(2【變式21】3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知△ABC為銳角三角形，且cos(1)若C=π3(2)已知點D在邊AC上，且AD=BD=2【答案】(1)A=(2)1,2.【分析】（1）利用三角恒等變換可得cosA（2）利用正弦定理結(jié)合條件可得CD=【詳解】（1）因為cosA所以cosA?3又A∈0,π所以π3所以A+π3=B+π所以A+A+（2）因為AD=BD=2，所以∠可得∠DBC在△DBC中，CD所以CD=在△ABC中，sin因為△ABC所以0<A<π所以π2<2所以1sinC∈1,2，即CD【變式21】4．（2023春·福建福州·高一?？计谥校鰽BC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且cos2(1)若A:C=1:3(2)若△ABC為銳角三角形，其外接圓半徑為3，求△【答案】(1)△ABC(2)3+3【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得cosB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及已知條件可求得角A、C的值，即可判斷出△（2）利用正弦定理可得出asinA=csinC=2【詳解】（1）因為cos2B?cos2C即sin2A+由余弦定理可得cosB=a2+由已知C=3AA+C=2π（2）解：由正弦定理可得asin則a=23因為△ABC為銳角三角形，則0<A<所以π3<A+π因此a+【變式21】5．（2023春·安徽六安·高一六安一中?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形內(nèi)部，AB=1,BC=2,(1)若α=45°，求β(2)當α變化時，求BD的最大值.【答案】(1)β=45(2)3【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理可得AC=1，進一步推出△ABC為等腰直角三角形得到β（2）在△ABC中，由余弦定理可用θ表示AC，由正弦定理計算sin∠ACB，在△BCD【詳解】（1）在△ABC中，由余弦定理可得A∴AC=1，則∴β=45°，在∴BD（2）在△ABC中，ABsinβ∴AC在△BCD中，由余弦定理可得B=5?22∴當α=34π時，【變式21】6．（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰阡J角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，3csin(1)求C的大??；(2)若c=3，求【答案】(1)π(2)3+【分析】（1）由兩角和的正弦公式，正弦定理邊化角和兩角和的余弦公式化簡已知表達式，可得3sinC?cosC=1（2）由正弦定理、輔助角公式以及三角函數(shù)求范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）3c?3?3?3sin又有sin2C+cos2C=1（2）由正弦定理得asinA=bsin所以a=3sin在銳角三角形中有0<A即π3<A+πa+【變式21】7．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2S(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，求a+【答案】(1)B(2)(【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式和三角形的面積公式求解；（2）利用正弦定理邊化角將a+【詳解】（1）因為2S則acsin所以tanB=3，又B（2）由△ABC為銳角三角形及B=得C=2π3?A由正弦定理asin得a==2因為A∈(所以3<2sin(A+π6【變式21】8．（2023春·四川達州·高一?？计谥校┮阎凇鰽BC①2b?ca=請在以上三個條件中任選一個補充在橫線處，并解答：(1)求A的大??；(2)在△ABC中，若a=3(3)若△ABC為銳角三角形，求2【答案】(1)答案見解析，A(2)3(3)1,4【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理、三角恒等變換等知識求得A.（2）利用余弦定理、三角形的面積公式、基本不等式求得△ABC（3）將2bc表示為角的形式，利用三角函數(shù)的知識求得【詳解】（1）選①，2b∵2b∴由正弦定理可得：2sinB即2sinB又sin(A∴2sinB∵B∈(0,π)，sin∴cosA=1選②，cosC∵cosC∴?cosA?cosAsinA∵B∈(0,π)，sin∴tanA=3選③，2b∵2b∴由正弦定理得2sinB∵B∈(0,π)，sin∴2sinA2sinA2sinAsinB∵B∈(0,π)，sin∴cosA=1（2）在△ABC中a=3由余弦定理可得：cosA∴b2∵b2+c∴3+bc∴S△即△ABC面積的最大值為3（3）由正弦定理可得：bsin∴bc又∵B+∴2b已知△ABC為銳角三角形，故π∴0<1?1<2bc<4，即【變式21】9．（河北省邯鄲市2023屆數(shù)學(xué)試題）已知條件：①2a=b+2c從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c(1)求角C的大??；(2)若c=23，∠ABC與∠BAC的平分線交于點注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分【答案】(1)條件選擇見解析，C=(2)4+23【分析】（1）選①，利用余弦定理求解作答；選②，利用二倍角正弦、正弦定理邊化角求解作答；選③，利用二倍角的余弦公式計算作答.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1）的結(jié)論求出∠AIB【詳解】（1）選擇條件①，2a在△ABC中，由余弦定理得2整理得a2+b2?所以C=選擇條件②，2a于是asin在△ABC中，由正弦定理得，sin因為sinA≠0，則sinA因為A+B+C=π，因此sin所以C=選擇條件③，3sin在△ABC中，因為3sinC則sinC+π6=1，又C所以C=（2）由（1）知，C=π3而∠BAC與∠ABC的平分線交于點I，即有∠ABI設(shè)∠ABI=θ，則∠在△ABI中，由正弦定理得，BI所以BI=4sin(π3所以△ABI的周長為23=23+23cosθ則當θ+π3=π2，即所以△ABI周長的最大值為4+2題型3二次函數(shù)法【例題3】（2023·全國·專題練習(xí)）已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin((1)若角A=π3(2)若asinC=1【答案】(1)B(2)最大值為25【分析】（1）運用兩角和差的正余弦公式進行化簡即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運用正弦定理得到asinC=bsin【詳解】（1）由題意知sin(A所以sin(A所以sinA所以cosA因為A=π3所以tanB=tanC，因為B由角A=π3（2）由（1）知B=C，所以sinB因為asinC=1由正弦定理得：asinC=因為A=π?B?所以1a因為△ABC為銳角三角形，且B=C，則有π4<由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當cos2C=?14時，所以1a2+【變式31】1.（2023春·河南鄭州·高一?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C=π(1)若a=4，求tan(2)求AB?【答案】(1)3(2)27【分析】（1）根據(jù)余弦定理求得c=13，根據(jù)正弦定理推得sinB=39（2）首先根據(jù)向量的運算得出AB?AC?【詳解】（1）由已知可得，b=1由余弦定理可得，c2所以c=由正弦定理bsinB=因為b<a，所以所以，cosB=1?所以，tanB（2）因為AB?AC?由余弦定理可得，c2又a+2b=6所以，c2=a當b=157時，c所以，AB?所以，最小值為277【變式31】2．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足a(1)求角A；(2)若a=3，求(3)求bc?【答案】(1)π(2)3(3)?【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進行求解即可（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進行求解即可.（3）根據(jù)C=2π3?B和正弦定理邊角互化將原式轉(zhuǎn)化為bc?ab【詳解】（1）由acossinA又B=π?(3sin又sinC所以3sin又A?π6（2）由余弦定理得：cosA=b2根據(jù)基本不等式b2+c2≥2△ABC的面積為：故△ABC面積的最大值為3（3）根據(jù)正弦定理得：bc?令C=2π3?B=3=2令x=B+π6B∈當sinx=當sinx=1故bc?ab?【變式31】3．（2023春·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，設(shè)角A,B,C的對邊分別為a(1)求5b(2)求AB+【答案】(1)20(2)?4,2【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合誘導(dǎo)公式與正弦兩角和公式化簡即可得5b（2）根據(jù)數(shù)量積的定義、用數(shù)量積求模長，將AB+AC?AB?【詳解】（1）在銳角△ABC中，cosA=由正弦定理得asinA又sinB則5b（2）由余弦定理得cosA=b2+則AB+AC?由正弦定理得bsin所以b+c=5sinB+5sinC=5sinB+5sin(由銳角三角形可知B∈π2因為0<A<π2，又sinπsinπ所以sin(B+φ由b2+c2=令t=125bc+16所以AB+AC?因為函數(shù)y=?14所以y=?14t?2【變式31】4．（2023春·山西運城·高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面四邊形ABCD中，AB=BC=(1)求3cos(2)△ABD和△BCD面積分別為S1和S【答案】(1)1(2)14【分析】（1）在兩個三角形△ABD和△BCD中，利用公共邊（2）利用三角形的面積公式表示出S1【詳解】（1）在△ABD中，由余弦定理：B在△BCD中，由余弦定理：B所以16?83cosA（2）依題意S12=所以S=16?4?當cosC=?12時取等號（此時BD=2【變式31】5．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）請從①asinB?3b在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________，(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，c=1，求a【答案】(1)B(2)1,7【分析】（1）選①，利用正弦定理結(jié)合sinB+C選②，由正弦定理得到a2+c選③，由正弦定理得到3sinB=1+cos（2）利用正弦定理和余弦定理得到a2+b【詳解】（1）若選①因為asin由正弦定理得sinA即sinAsinB所以sinA由A∈(0,π)，得sinA≠0，所以sin因為B∈(0,π)，所以B若選②由(sinA?sinC由正弦定理得：a2+c2?因為B∈(0,π)，所以B若選③由正弦定理得3sinBsin因為0<A<π，所以所以3sinB=1+cos又因為?π6<（2）在△ABC中，由正弦定理asinA=由（1）知：B=π=1+因為△ABC為銳角三角形，所以0<C<所以tanC>3所以a2【變式31】6．（2023春·福建·高一福建師大附中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A,B,C(1)求角B的大??；(2)若a=2，且△ABC為銳角三角形，求(3)若b2=ac，且外接圓半