立體幾何四類題型-2025年高考數(shù)學(xué)沖刺大題專項(xiàng)練習(xí)（新高考專用）

專題03四類立體幾何題型

2025年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)

立體幾何問(wèn)題一般分為四類：

類型1：線面平行問(wèn)題；

類型2：線面垂直問(wèn)題；

類型3：點(diǎn)面距離問(wèn)題；

類型4：線面及面面夾角問(wèn)題；

下面給大家對(duì)每一個(gè)類型進(jìn)行秒殺處理.

技巧：法向量的求算

待定系數(shù)法：步驟如下：

①設(shè)出平面的法向量為“=（x,y,z）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量力=（q,"9）,也,。2）.

③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于羽y,z的方程組4一-

n-b=O

④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.

[na=O

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組-有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給

n-b=0

x,y,z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法

向量就不同，但它們是共線向量.

秒殺：口訣：求誰(shuí)不看誰(shuí)，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量a=（Xi，X，zJ,5=（%2，%，Z2）是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量

n=（y1z2-y2zl,x2z}一為z?,X】％一七X）是平面&的一個(gè)法向量.

特別注意：空間點(diǎn)不容易表示出來(lái)時(shí)直接設(shè)空間點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用距離列三個(gè)方程求解.

類型1：線面平行問(wèn)題

1.如圖,在正三棱柱ABC-AiBiCi中,44口平面ABC,D、E分別為AC.AA,的中點(diǎn),AC=AAi=2.

⑴求證：OE〃平面A/BC；

1

⑵求DE與平面BCCiBi夾角的余弦值.

2.如圖，在多面體ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF,GF//BC,FG_L平面

ADGC,M,N分別是AC,3歹的中點(diǎn)，S.BC=EF=^CG=^FG.

⑴求證：MN〃平面A/G；

(2)求直線與平面BEF所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱錐S-ABCD中，ABCD為直角梯形，AD//BC,BCLCD,平面平

面ABCDiSa)是以8為斜邊的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=2,E為BS上一點(diǎn)、,

且BE=2ES.

⑴證明：直線S￡>//平面ACE；

(2)求二面角S-AE-C的余弦值.

2

4.如圖，四邊形A844是圓柱。。?的軸截面，點(diǎn)M是母線CG的中點(diǎn)，圓柱底面半徑

R=yf2,yL4j=2.

⑴求證：。6//平面48知；

(2)當(dāng)三棱錐A-ABC的體積最大時(shí)，求平面與平面CBM夾角的余弦值.

5.在直三棱柱AB|G-ABC中，AA=AB=BC=C4=2,M、N分別為棱BC和CG的中點(diǎn),

點(diǎn)P是側(cè)面AAB耳上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若G尸〃平面AMN,試求點(diǎn)P的軌跡，并證明;

3

(2)若尸是線段A耳的中點(diǎn)，求二面角尸-MN-A的余弦值.

類型2：線面垂直問(wèn)題

6.如圖，在三棱柱ABC-44G中，/見(jiàn)，平面ABC,D,E分別為AC,AG的中點(diǎn),

AB=BC=5AC=AA,=2.

⑴求證：ACl^BDE；

⑵求點(diǎn)D到平面ABE的距離.

7.如圖，四邊形ABCD為菱形，ED_L平面ABCD,FB\\ED,BD=4iED=2&^FB.

4

(1)證明：平面E4C_L平面E4c；

⑵若/54。=60。，求二面角尸-AE—C的大小.

8.如圖，△4DM是等腰直角三角形，AD±DM,四邊形ABCM是直角梯形，AB1BC,

MCLBC,且AS=23C=2CM=2,平面4)暇_L平面.

』￡-----M

⑴求證：ADYBM-,

⑵若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐M-ADE的體積為正？

1.1.

9.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ZS4C=90°,AB=AC=-AA=2,AE=-AA,

2l4l

。為棱CG的中點(diǎn)，尸為棱3C的中點(diǎn).

5

(1)求證：BE，平面ABC；

(2)求三棱錐B-DEF的體積.

10.如圖，在直三棱柱ABC-ASG中，AG=21G，AG^AG，44=；4旦，M為棱4旦

的中點(diǎn).

⑴求證：AM2平面BC|M；

(2)若4G=2,求三棱錐A-BG"的體積.

類型3：點(diǎn)面距離問(wèn)題

11.如圖，在底面是矩形的四棱雉尸-ABCD中，上4,平面ABC。，PA=AB=2,BC=4,

E是尸。的中點(diǎn).

6

p

⑴求證：平面PCD_L平面B4D；

⑵求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值;

(3)求8點(diǎn)到平面EAC的距離.

71

12.如圖，直四棱柱的底面ABCD為平行四邊形，NDAB

3

3AO=2CD=2Z)2=6,點(diǎn)尸，M分別為A2,上靠近的三等分點(diǎn)

⑴求點(diǎn)M到直線P"的距離；

(2)求直線PD與平面PCDt所成角的正弦值.

13.如圖，在四棱錐S-TIBCD中，四邊形ABCD是菱形，AB=1,SC=*,三棱錐S-BCD

3

是正三棱錐，E,歹分別為胡，SC的中點(diǎn).

7

s

⑴求二面角E-斯一。的余弦值；

(2)判斷直線SA與平面8OE的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面8。尸的距離；如果

不平行，說(shuō)明理由.

14.四棱錐P-A5CD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZDAB=60°,對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)

O,P?！沟酌鍭BC。，PB與底面ABC。所成的角為60。，E是PB的中點(diǎn).

B

⑴求異面直線與研所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

⑵證明：OE〃平面出￡),并求點(diǎn)E到平面B4O的距離.

15.斜三棱柱ABC-的各棱長(zhǎng)都為2,/AA2=60。，點(diǎn)4在下底面ABC的投影為A2

的中點(diǎn)O.

8

(1)在棱8耳(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)。使AD，AG?若存在，求出8。的長(zhǎng)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵求點(diǎn)4到平面BCQB］的距離.

類型4：線面及面面夾角問(wèn)題

16.如圖，在四邊形A3CD中，AB=BC^2CD,AB±BC,AC^CD,以AC為折痕將AACD

折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB=AD.

B

⑴證明：45/平面尸3。；

⑵若M為PA的中點(diǎn)，求直線PB與平面MBC所成角的正弦值.

17.在四棱錐P—ABCD中，面已"，面43cD,PA=PC,ADLAB,AD//BC,AD=2BC=2,

AB=6,E是線段AB上的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).

9

1/

BC

⑴求證：CD，面尸EC；

(2)若面和面PEC的夾角為45。，求線段3P的長(zhǎng).

18.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。是矩形，底面ABC。，AB=PA^2,

JT

且直線尸。與底面ABC。所成的角為;.

⑴求證：平面PBD_L平面出C；

(2)若3而