2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課下能力提升十一分層抽樣新人教A版必修3

PAGE1-課下實(shí)力提升(十一)一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)練一分層抽樣的概念1．某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)愛(ài)好與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采納的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法解析：選D由于是調(diào)查男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)愛(ài)好與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在差異，因此用分層抽樣方法．2．下列問(wèn)題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是()A．某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號(hào)是1～40.有一次報(bào)告會(huì)坐滿(mǎn)了聽(tīng)眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽(tīng)取看法，要留下32名聽(tīng)眾進(jìn)行座談B．從10臺(tái)冰箱中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查C．某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，凹地4000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量D．從50個(gè)零件中抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)解析：選CA的總體容量較大，宜采納系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法比較便利；C總體容量較大，且各類(lèi)田地的產(chǎn)量差別很大，宜采納分層抽樣方法；D與B類(lèi)似．3．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)某公司有大量客戶(hù)，且不同年齡段客戶(hù)對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶(hù)的評(píng)價(jià)，該公司打算進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．解析：因?yàn)榭蛻?hù)數(shù)量大，且不同年齡段客戶(hù)對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異，所以最合適的抽樣方法是分層抽樣．答案：分層抽樣4．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明顯不同，現(xiàn)欲調(diào)查平均身高，打算抽取eq\f(1,30)，采納分層抽樣方法，抽取男生1名，女生1名，你認(rèn)為這種做法是否妥當(dāng)？假如讓你來(lái)調(diào)查，你打算怎樣做？解：這種做法不妥當(dāng)．緣由：取樣比例數(shù)eq\f(1,30)過(guò)小，很難精確反映總體狀況，況且男、女身高差異較大，抽取人數(shù)相同，也不合理．考慮到本題的狀況，可以采納分層抽樣，可抽取eq\f(1,5).男生抽取40×eq\f(1,5)＝8(名)，女生抽取20×eq\f(1,5)＝4(名)，各自用抽簽法或隨機(jī)數(shù)法抽取組成樣本．對(duì)點(diǎn)練二分層抽樣設(shè)計(jì)5．某企業(yè)共有職工150人，其中高級(jí)職稱(chēng)15人，中級(jí)職稱(chēng)45人，初級(jí)職稱(chēng)90人．現(xiàn)采納分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的各職稱(chēng)的人數(shù)分別為()A．5,10,15 B．3,9,18C．3,10,17 D．5,9,16解析：選B高級(jí)、中級(jí)、初級(jí)職稱(chēng)的人數(shù)所占的比例分別為eq\f(15,150)＝10%，eq\f(45,150)＝30%，eq\f(90,150)＝60%，則所抽取的高級(jí)、中級(jí)、初級(jí)職稱(chēng)的人數(shù)分別為10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.6．某單位有27位老年人，54位中年人，81位青年人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中間抽取一個(gè)容量為42的樣本，則從老年人、中年人、青年人中分別應(yīng)抽取的人數(shù)是()A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21解析：選D法一：因?yàn)樵搯挝坏目側(cè)藬?shù)為27＋54＋81＝162，樣本容量為42，所以抽樣比為eq\f(42,162)＝eq\f(7,27).所以從老年人中抽取的人數(shù)為27×eq\f(7,27)＝7；從中年人中抽取的人數(shù)為54×eq\f(7,27)＝14；從青年人中抽取的人數(shù)為81×eq\f(7,27)＝21.法二：因?yàn)樵搯挝恢欣夏耆恕⒅心耆?、青年人的人?shù)比為27∶54∶81＝1∶2∶3，樣本容量為42，所以老年人應(yīng)抽取的人數(shù)為42×eq\f(1,6)＝7；中年人應(yīng)抽取的人數(shù)為42×eq\f(1,3)＝14；青年人應(yīng)抽取的人數(shù)為42×eq\f(1,2)＝21.7．某市化工廠三個(gè)車(chē)間共有工人1000名，各車(chē)間男、女工人數(shù)如下表：第一車(chē)間其次車(chē)間第三車(chē)間女工173100y男工177xz已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名，抽到其次車(chē)間男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人，問(wèn)應(yīng)在第三車(chē)間抽取多少名？解：(1)由eq\f(x,1000)＝0.15，得x＝150.(2)∵第一車(chē)間的工人數(shù)是173＋177＝350，其次車(chē)間的工人數(shù)是100＋150＝250，∴第三車(chē)間的工人數(shù)是1000－350－250＝400.設(shè)應(yīng)從第三車(chē)間抽取m名工人，則由eq\f(m,400)＝eq\f(50,1000)，得m＝20.∴應(yīng)在第三車(chē)間抽取20名工人．8．某單位有技師18人，技術(shù)員12人，工程師6人，須要從這些人中抽取一個(gè)容量為n的樣本，假如采納系統(tǒng)抽樣和分層抽樣方法抽取，都不用剔除個(gè)體；假如樣本容量增加1，則在采納系統(tǒng)抽樣時(shí)，須要在總體中剔除1個(gè)個(gè)體，求樣本容量n.解：因?yàn)椴杉{系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時(shí)不用剔除個(gè)體，所以n是36的約數(shù)，且eq\f(36,n)是6的約數(shù)，即n又是6的倍數(shù)，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的約數(shù)，故n只能是4,6,34，綜合得n＝6，即樣本容量為6.對(duì)點(diǎn)練三抽樣方法的綜合應(yīng)用9．為了考察某校的教學(xué)水平，抽查了該學(xué)校高三年級(jí)部分學(xué)生的本年度考試成果．為了全面地反映實(shí)際狀況，實(shí)行以下三種考察方式(已知該校高三年級(jí)共有14個(gè)教學(xué)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生都已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了學(xué)號(hào)，假定該校每班人數(shù)都相同)．①?gòu)娜昙?jí)14個(gè)班中隨意抽取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀须S意抽取14人，考察他們的學(xué)習(xí)成果；②每個(gè)班都抽取1人，共計(jì)14人，考察這14個(gè)學(xué)生的成果；③把該校高三年級(jí)的學(xué)生按成果分成優(yōu)秀，良好，一般三個(gè)級(jí)別，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行考查(已知若按成果分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生有105名，良好學(xué)生有420名，一般學(xué)生有175名)．依據(jù)上面的敘述，試回答下列問(wèn)題：(1)上面三種抽取方式中，其總體、個(gè)體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式各自采納何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫(xiě)出上面三種抽取方法各自抽取樣本的步驟．解：(1)這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成果，個(gè)體都是指高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生本年度的考試成果．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為14；其次種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為14；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為100.(2)上面三種抽取方式中，第一種方式采納的方法是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；其次種方式采納的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；第三種方式采納的方法是分層抽樣法和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這14個(gè)班中用抽簽法隨意抽取一個(gè)班；其次步：從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取14名學(xué)生，考察其考試成果．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步：在第一個(gè)班中，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法隨意抽取某一學(xué)生，記其學(xué)號(hào)為x；其次步：在其余的13個(gè)班中，選取學(xué)號(hào)為x＋50k(1≤k≤12，k∈Z)的學(xué)生，共計(jì)14人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層，因?yàn)槿舭闯晒?，其中?yōu)秀生共105人，良好生共420人，一般生共175人，所以在抽取樣本中，應(yīng)當(dāng)把全體學(xué)生分成三個(gè)層次；其次步：確定各個(gè)層次抽取的人數(shù)，因?yàn)闃颖救萘颗c總體數(shù)的比為100∶700＝1∶7，所以在每個(gè)層抽取的個(gè)體數(shù)依次為eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取15人，在良好生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取60人，在一般生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取25人．第四步：將所抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成樣本．二、綜合過(guò)關(guān)訓(xùn)練1．對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1、p2、p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析：選D依據(jù)抽樣方法的概念可知，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣方法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是eq\f(n,N)，故p1＝p2＝p3，故選D.2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百七十八人，欲以算數(shù)多少出之，問(wèn)各幾何？”意思是：北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少?gòu)娜l(xiāng)共征集378人，問(wèn)從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問(wèn)題中，需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是()A．102 B．112C．130 D．136解析：選B因?yàn)楸编l(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少?gòu)娜l(xiāng)共征集378人，故需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是378×eq\f(7236,8758＋7236＋8356)≈112.3．某中學(xué)有中學(xué)生3500人，初中生1500人．為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從中學(xué)生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．250解析：選A樣本抽取比例為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，該?？?cè)藬?shù)為1500＋3500＝5000，則eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50)，故n＝100，選A.4．《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢(qián)五百六十，乙持錢(qián)三百五十，丙持錢(qián)一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢(qián)，欲以錢(qián)數(shù)多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢(qián)，乙?guī)Я?50錢(qián)，丙帶了180錢(qián)，三人一起出關(guān)，共須要交關(guān)稅100錢(qián)，依照錢(qián)的多少按比例出錢(qián)”，則丙應(yīng)出________錢(qián)(結(jié)果保留整數(shù))．解析：因?yàn)橐勒斟X(qián)的多少按比例出錢(qián)，所以丙應(yīng)當(dāng)出的錢(qián)為eq\f(180,560＋350＋180)×100＝eq\f(180,1090)×100≈17.答案：175．山東某中學(xué)針對(duì)學(xué)生發(fā)展要求，開(kāi)設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán)，已知報(bào)名參與這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，依據(jù)要求每人只能參與一個(gè)社團(tuán)，各年級(jí)參與社團(tuán)的人數(shù)狀況如下表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學(xué)生對(duì)兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿(mǎn)足程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取________人．解析：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團(tuán)中的人數(shù)為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為20×eq\f(3,10)＝6.答案：66．為了對(duì)某課題進(jìn)行探討探討，用分層抽樣的方法從三所高校A，B，C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成探討小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位：人)高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)Ax1B36yC543(1)求x，y；(2)若從高校B相關(guān)的人中選2人進(jìn)行專(zhuān)題發(fā)言，應(yīng)采納什么抽樣方法，請(qǐng)寫(xiě)出合理的抽樣過(guò)程．