江蘇省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

江蘇省淮陰中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.直線了二內(nèi)工的傾斜角為I)

571

A.-B.巴C.—D.

633~6

222片有相同的焦點(diǎn),m

2.若橢圓上+匕=1與雙曲線上一=1則的值為()

m222

A.4B-5。6D.7

3.已知點(diǎn)尸是拋物線u/=8x的焦點(diǎn),若拋物線C上的點(diǎn)A到尸的距離為4,則點(diǎn)A到

V軸的距離為()

A.2B.3C.4D.5

4.若在1和81之間插入3個(gè)數(shù),使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則該等比數(shù)列的公比為()

A.3B._3C.+3D.+9

5.己知雙曲線£_匕=1(a>0,6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸⑵°),且雙曲線的漸近線與圓

a2b2

(%_2)2+必=3相切廁雙曲線的方程為

x222

A.B.=1jC-X----V2=11D.x2y1

13933

6.若等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S〃,/+%+。7=6,57=-7?則S,取得最小值時(shí)〃的值

試卷第11頁(yè),共33頁(yè)

為()

A.3B.4C.5D.6

7.已知4(T,O),3(1,0),動(dòng)點(diǎn)。滿足EL麗=3?則VZ5c面積的最大值為()

A.2B.3C.4D.5

8.若橢圓E:二+亡=1缶>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、罵,上頂點(diǎn)為受過(guò)片作直線

2

4c3c2'7

典的垂線交橢圓“于MN兩點(diǎn),設(shè)必服的內(nèi)切圓的半徑為,則二的值為()

C

二、多選題

12y

9.設(shè)直線4:+1=0,/2:x+[a-2\y+a=0,圓°:x+y=9則下列說(shuō)法正

確的有()

A.若/]〃4,貝必=3或-1

B.若…,則a—

2

C.4恒過(guò)定點(diǎn)(一2,_1)

D.被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為4

10.下列說(shuō)法正確的有()

A.若數(shù)列{”"}為等差數(shù)列,其公差4>0,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列

試卷第21頁(yè),共33頁(yè)

B.若數(shù)列{%}為等比數(shù)列,其公比ge(0,1),則數(shù)列{%}是遞減數(shù)列

C.若數(shù)列{%}為等差數(shù)列,則數(shù)列{2%}為等比數(shù)列

D.若數(shù)列應(yīng)}的前〃項(xiàng)和為\且$=1C+_Q(〃eN*),則數(shù)列{$;}是等差數(shù)列

11.已知點(diǎn)尸(4,0),直線/:x=-4,曲線C上的點(diǎn)滿足到廠的距離與到/的距離之積為

16,則下列說(shuō)法正確的有()

A.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.曲線C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

C.設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)尸(xJ)(x>T)到直線戶6的距離為義則學(xué)的最小值為竺

d25

D.當(dāng)點(diǎn)尸(孤》在曲線C上時(shí),J(x+8『+y2的最小值為8-4亞

三、填空題

12.已知直線/過(guò)點(diǎn)(3,1),且與兩條坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個(gè)等腰直角三角形,則直線/的

方程為一.

13.設(shè)雙曲線及1一/=的左、右焦點(diǎn)分別為與、工,點(diǎn)尸是雙曲線E上

的一點(diǎn),若/耳尸匕「周=3|尸£|,則雙曲線£的離心率為

14.己知直線/:了=一1,圓G:(x+i『+y2=i,圓C/卜_1『+/=],若圓C,與圓

GV?和直線/都相切,則圓C3的半徑為一,若圓Cm與圓C“C”+1和直線/都相切(〃eN*),

試卷第31頁(yè),共33頁(yè)

且C(〃eN*)兩兩不同,則圓G的半徑為-

四、解答題

15.已知三點(diǎn)。(。⑼,/(2,0),在圓C上,點(diǎn)C為圓心.

⑴求圓C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)尸(4,2)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)為求四邊形尸MCN的面積.

16.已知數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為s“,且數(shù)列{邑+2}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{”“}的通項(xiàng)公式;

1117073

(2)若工+工+…+上〈巖,求滿足條件的最大正整數(shù)n的值.

%a2an2024

17.已知拋物線C:V=2"過(guò)點(diǎn)(1,2),直線/與拋物線C相交于43兩點(diǎn),若直線/過(guò)點(diǎn)

/(4,0)?

(1)求拋物線C的方程;

(2)證明:以AR為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);

AD

(3)若加=2而,求直線/的方程.

18.已知數(shù)列{g}的前〃項(xiàng)和為s“,q用=2a“+2"(〃eN*),%=>

(1)證明:數(shù)列|會(huì)}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{”“}的前〃項(xiàng)和為s“;

⑶若Sn-<2an-4〃-;I對(duì),/任意〃eN*恒成立.求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

試卷第41頁(yè),共33頁(yè)

19.已知4陋00,4(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足直線4尸與直線4尸的斜率之積一_1,動(dòng)點(diǎn)尸的

4

軌跡形成曲線C

⑴求曲線C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)7(04a為常數(shù)且經(jīng)0),求線段PT長(zhǎng)度的最大值;

⑶經(jīng)過(guò)點(diǎn)0(_4,0)的兩條直線仆仆直線4與曲線C相交于4M兩點(diǎn),直線4與曲線C

相交于8,N兩點(diǎn),若直線過(guò)定點(diǎn)G(一3,2),證明:直線小恒過(guò)定點(diǎn).

試卷第51頁(yè),共33頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BCACDBACBCDACD

題號(hào)11

答案BCD

1.B

【分析】直接根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可.

【詳解】直線y=氐的斜率為g,

設(shè)其傾斜角為貝Utan戊=6,

又ae[。,%故其傾斜角為色.

3

故選:B

2.C

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線焦點(diǎn)相同得到方程,得到答案.

【詳解】雙曲線工一己=1的焦點(diǎn)在X軸上,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,°),(2,0)

22

2222

因?yàn)闄E圓工+匕=1與雙曲線土一2=1有相同的焦點(diǎn),

m222

所以用-2=4,

解得加=6.

故選:C

3.A

【分析】根據(jù)條件,利用拋物線的定義,即可求解.

【詳解】設(shè)4(%,%),因?yàn)辄c(diǎn)A到尸的距離為4,

則|/川=毛+5=/+:=/+2=4,得到*。=2,

答案第11頁(yè),共22頁(yè)

故選:A.

4.C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義知81=lx/,求解即得答案.

【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為{%},公比為9,則4=1,牝=81.

,,%=q?/'即81=lx/

解得q=±3

故選:C.

5.D

2

-=V3a=l,b=6x-^=\

【詳解】試題分析:依題意有1,,解得,所以方程為3.

{c-2

c1=a2+b2

考點(diǎn):雙曲線的概念與性質(zhì).

6.B

【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式可得{4}的通項(xiàng)公式,由%20可得等

差數(shù)列{%}的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù),從第五項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù),即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?}為等差數(shù)列,

%+%+為=6,所以3a§=6,?5=2?

7(q+%)=_7,所以〃4=T,

72

所以汗=&一。4=3,

答案第21頁(yè),共22頁(yè)

所以為=%+("-4)X3=-1+3〃-12=3”-13“解得心上

'-3'

所以等差數(shù)列{4}的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù),從第五項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù),

所以S”取得最小值時(shí)"為4

故選:R.

7.A

【分析】令C(x,y),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及已知求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡,結(jié)合圓的性質(zhì)求

面積最大值.

【詳解】令C(x,y),則B=不=(1-十/

所以百?赤=工2-1+72=3,即一+必=4,

由4瓦。構(gòu)成三角形,所以。點(diǎn)軌跡為f+/=4且yW0,

要使V45c面積最大,只需c與邊4g最遠(yuǎn),即C為(0,±2),

所以最大面積為工x2x2=2.

2

故選:A

8.C

【分析】由對(duì)稱(chēng)性確定ABMN的周長(zhǎng),再由弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到線的距離公式求得AS兒亞面積,

即可求出內(nèi)切圓半徑即可求解.

【詳解】

答案第31頁(yè),共22頁(yè)

a=2c,b=

即8工=2C,所以△瓦";為等邊三角形,

NBF\F?=60°,

由題意可知:NBF、N=3?,即直線/為48/鳥(niǎo)的角平分線,傾斜角為30。,

則點(diǎn)8,工關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng),而AEMN的周長(zhǎng)為4a=8c,所以AAW的周長(zhǎng)為8c,

因?yàn)橹本€/的方程為x-島+'=°,橢圓£方程為工+£=i,

2

4c3c2

x-43y+c=Q13廿-6&y-9c2=0

聯(lián)立方程22,消去X得

L+2=1

,4c23c2

2

Hx9x(-d^6=02>,可得%+%=6#1c9c

1r,2F

8(c,0)

點(diǎn)直線/的距離為"=

答案第41頁(yè),共22頁(yè)

所以ABW的面積為SSL%xc=*

VBMNVMNF2213]3

所以工8c/=生,解得:r=%,

21313

所以,」,

c13

故選:C

9.BCD

【分析】根據(jù)直線平行與垂直的充要條件求解q的值即可判斷A,B;根據(jù)含參直線一般方

程確定定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷C;根據(jù)直線與圓相的位置關(guān)系,求解相交弦長(zhǎng)的最小值即可判

斷D.

【詳解】對(duì)于A,若則卜(。-2)-3x1=0,所以"=3,故人不正確;

13Q_(Q-2)W0

對(duì)于B,若4",則"+3(”2)=。,解得4=3,故B正確;

2

對(duì)于C,直線0x+(a-2)y=0,整理得(y+l)a=2y-x,

令卜+1=。得卜=T,故直線12恒過(guò)定點(diǎn)(-2,-1),故C正確;

[2y-x=0[x=-2

對(duì)于D,圓C:/+丁=9的圓心c(o,o),半徑尸=3,設(shè)點(diǎn)(―2,—1)為0,則。在圓內(nèi),

則當(dāng)CQ,/時(shí),直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)最小,

因?yàn)閨CQ|=7(-2)2+(-1)2=V5,所以直線/被圓°截得的弦長(zhǎng)的最小值為253?-(豆)2=4,

又紜=1=2,所以勺=_;=一上,此時(shí)解得“=匕故存在"=4使得"被圓c截得的

答案第51頁(yè),共22頁(yè)

弦長(zhǎng)最小值為4,故D正確.

故選:BCD.

10.ACD

【分析】由等差、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,由d>0,可得q「a“T>0,故單調(diào)遞增,正確;

對(duì)于B,取用=一1,此時(shí)由于ge(O,l),此時(shí)數(shù)列{叫是遞增數(shù)列,錯(cuò)誤;

對(duì)于C:等差數(shù)列{端公差為",由二=2/一=2",為常數(shù),故數(shù)歹L}為等比數(shù)歹U,

2a-'

正確;

對(duì)于D:由s.=U%+_L](〃eN*),令"T,可得:”=

〃2〃?\/

即:鼠-S3=1,(心2),

所以數(shù)列{s;}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,正確,

故選:ACD

11.BCD

【分析】先寫(xiě)出曲線c的方程,根據(jù)特殊點(diǎn)可判斷A的真假,令y=o求曲線C與X軸的交

點(diǎn),可判斷AD的真假,

【詳解】設(shè)曲線C上的點(diǎn)尸GM,則曲線C的方程為:7(^-4)2+/-|X+4|=16.

對(duì)A:令x=4可得>=±2,所以(4,2)點(diǎn)在曲線C上,但(-4,2)點(diǎn)不在曲線C上,故曲線C

不關(guān)于、軸對(duì)稱(chēng),所以A錯(cuò)誤;

答案第61頁(yè),共22頁(yè)

對(duì)B:令y=0得,一4Hx+4|=16=x=±4也或x=。,故曲線C過(guò)原點(diǎn),所以B正確;

對(duì)C:若x>4C,則"獷+產(chǎn)|x+4]"(4夜—4『+/M+4|

>^(4V2-4)2.|4V2+4|=16,所以曲線。上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不大于4夜,

所以1=6-1又戶刊=1\=—9,

11|x+4|x+4

所以因=____3____>1^(當(dāng)且僅當(dāng)X"時(shí)取“一”),所以C正確;

d(x+4)(6-x)-25

對(duì)D:若x<-40,則

y/(x-4)2+y2-\x+4\>,卜40-4)2+/?|-472+4|>卜夜+4|?卜后一4116,

所以曲線0上最左邊的點(diǎn)為卜4亞,0),所以J(X+8)2+/24-40+8『+0=8-40,故

D正確.

故選:BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在列出曲線0的方程后,確定x的取值范圍是判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵.判

斷出xN-4正后,結(jié)合J(x+8『+y2的幾何意義:表示曲線0上的點(diǎn)到(一80)的距離,可

求該式的最小值.

12.》+>-4=0

【分析】設(shè)出截距式方程,代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解.

答案第71頁(yè),共22頁(yè)

【詳解】由題意設(shè)直線方程為土+}=1,且

aa

又直線過(guò)點(diǎn)⑶D,則3+工=1,"=4

aa

所以直線方程為工+2=1,即"+'-4=0.

44

故答案為:x+y-4=0-

13."Ag

22

【分析】由雙曲線定義和盧浦=3|尸閭,求出閥|=3見(jiàn)熙|=〃,由余弦定理得到J7a=2c,

求出離心率.

【詳解】由雙曲線定義知|尸」用_|尸7寸=2〃,

又|尸周=3|尸聞,所以附|=3〃,|尸閶=〃,

又/耳pa=/,由余弦定理得

+|巡2T片用2§/+3_公2

1,

_2\PF\-PF2\―_2x3ea-2

解得,a=2c,故離心率為£=立

a2

故答案為:立

2

14,"25_L

4169

答案第81頁(yè),共22頁(yè)

【分析】利用題目條件證明方匚=乙,

3+7再根據(jù)這一遞推關(guān)系確定答案即可.

【詳解】由題可知cn+2,位于由圓cn,Cn+\,和/構(gòu)成的曲邊三角形內(nèi),這些圓之間的相切均為

外切,且都位于直線/上方.

設(shè)C“的圓心為(乙,%),半徑為R“,則根據(jù)Cn+2和/相切,有力=凡_1,

再由圓C"』的位置關(guān)系,有(X)(k-%)<0?

由c向和Q相切有出+4J+f

故(凡+凡+J?=(%一X.+J'+(%-%+1曠=(X"一X“+J'+(凡一R“+1)2'

則(x“-x“+)=444+J

根據(jù)*和C?,C?+1相切,同理有(.j=4及禺+2,=幽,兒2-

而(x“+2-x,+i)(x,+2-x“)<0,

所以+2灰K=2

這就得到」==入+7^,而3=4=1,

答案第91頁(yè),共22頁(yè)

故&=」,數(shù)列{入}是斐波那契數(shù)列.

(£)

而瑪同所以招=:,

=2,=13,RJ=-L

4loy

故答案為:—;--

4169

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵在于對(duì)相切性質(zhì)的運(yùn)用.

15-(1)(X-1)2+(^+2)2=5

(2)10

【分析】(1)根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可確定圓心c為線段0402垂直平分線的交點(diǎn),由此可求

得圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而得到圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)根據(jù)垂直關(guān)系可求得切線長(zhǎng)阿尸|,根據(jù)四邊形面積s=2Sq"可求得結(jié)果?

【詳解】(1)由圓的對(duì)稱(chēng)性可知:圓心c為線段04。8垂直平分線的交點(diǎn),

Q%=1,線段。中點(diǎn)為卜?線段。"垂直平分線方程為:

即y=-x—1,

又線段04的垂直平分線為x=l,.?.C(1,_2),,圓。的半徑〃=|oq=逐,

???圓C的方程為:(1)2+(竹2)2=5-

(2)

答案第101頁(yè),共22頁(yè)

■■\CP\=J(l-4)2+(-2-2),=5\CM\=V5CMIMP

22

\MP\=^|CP|-|CA/|=2收.'.\CMP=1|W|-|CM|=|X2A/5XV5=5,

四邊形尸MCN的面積S=2S,CMP=2x5=10-

16.⑴%=2”

⑵10

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得s“=2向-2,再利用退一相減法可得知=2";

(2)由%=2”,可得。_=_L,即可得L+_L+...+_L=i__L,解不等式,結(jié)合2”的單調(diào)

an2"a{a2an2"

性可得解.

【詳解】(1)由已知數(shù)歹|]瓶“+2}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,

+1

則5“+2=4x2"T=,即Sn=2"-2,

當(dāng)〃=1時(shí),4=工=22—2=2,

當(dāng)“22時(shí),%=S,_S,i=2向一2-(2"_2)=2",

綜上所述%=2";

(2)由(1)得%=2",則_1=上,

凡2"

答案第111頁(yè),共22頁(yè)

所以1,1,,1

----1------1-----1----

%。2%

所以1.L些,即2〃<2024,

2〃2024

又函數(shù)y=2",〃eN+,單調(diào)遞增,

且21。=1024<2024,2n=2048>2024>

即滿足2"<2024的最大正整數(shù)為10,

綜上所述滿足‘+'+…空的最大正整數(shù)為10.

axa2an2024

17.⑴/=4x

(2)證明見(jiàn)解析

⑶2工_岳_8=0或2x+⑶-8=0.

【分析】(1)將點(diǎn)0,2)代入方程求出°=2,即可求得拋物線C的方程;

(2)直線/過(guò)點(diǎn)“(4,0),所以設(shè)直線的方程為:x=my+4,聯(lián)立方程組,要證以N3為

直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)只需證明次,赤=0即可;

(3)由(;2)可知乂+%=4加,yty2=-16,由4而=2MB'所以必=-2%,然后求解即

可.

【詳解】(1)拋物線C:/=2px過(guò)點(diǎn)(1,2),所以2P=4,p=2,

故拋物線C的方程為:y2=4x.

(2)

答案第121頁(yè),共22頁(yè)

直線/過(guò)點(diǎn)M(4,0),所以設(shè)直線的方程為:x=my+4?

聯(lián)立方程組得:尸=町+4,所以r-4刃-16=0,

[y2=4x

2rJ

A=16m+64>0設(shè)4(再,%),5(x2,y2)

所以必+%=4加,y[y2=-16>

CM=(X],必),08=(%,%)'

_22

所以O(shè)AOB=再超+%%+%先=16-16=0,

所以04,05,故以43為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

(3)由(2)可知乂+%=4加,=-16,

因?yàn)槎?2遠(yuǎn),所以乂=一2%,

所以52%+%=4m,所以解得加=±正,

1-2只=-16-2

所以直線/的方程為2x-0y一8=0或2x+V^y-8=0,

18.(1)證明見(jiàn)解析,4=“.2"T;

(2)邑=("一1)2"+1;

答案第131頁(yè),共22頁(yè)

(3)A<-5.

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系有4葉-%=工,結(jié)合等差數(shù)列定義判斷證明,進(jìn)而寫(xiě)出

2"包2"2

通項(xiàng)公式;

(2)應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式求s;

n

(3)將問(wèn)題化為442"-4〃-1恒成立,作差法判斷右側(cè)的最小值,即可得參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由.用=2?!?2",貝=+三一%=J_,又幺=_L,

2"+12"22"+12"222

所以數(shù)列[2]是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列,則&=工+工(〃-1)=4,

[2nJ22rt222

所以?!?N,2〃T?

(2)由S〃=lx2°+2x2i+3x22+...+〃.2"T,貝U

123H1

2Sn=1X2+2X2+3X2+--?+(H-1)-2-+W2^

所以一s“=l+21+---+2"-1-77-2"=--一?-2,,=(l-?)2,--l>

1—2

所以s“=(H-1)2"+1-

(3)由(1)(2),則(“一1)2"+1?".2"-4”一;1,整理得;LW2"-4”-l恒成立,

B+1

令c'=2"-4〃一1,則c?+1-c?=[2-4(〃+1)-1]一(2"-4〃-1)=2“一4,

當(dāng))=1時(shí)C"+]<cj當(dāng)〃=2時(shí)C“M=C“,當(dāng)〃23時(shí)%>c.,

所以C]>。2=。3<<。5<…,即C"的最小值為c3=c2=-5,

答案第141頁(yè),共22頁(yè)

綜上,

A<-5,

2

19.⑴^+丁=l(xw±2)

2^1f+l,0<f<l

(2)

E+1,£>1

⑶過(guò)定點(diǎn)(-7,-6),證明見(jiàn)詳解.

【分析】(1)寫(xiě)出斜率化簡(jiǎn)可以得到方程,注意點(diǎn)尸不能與4,4點(diǎn)重合;

(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸到點(diǎn)?距離,消元后配方即可;

(3)先用特殊位置求出點(diǎn),然后證明直線過(guò)定點(diǎn)即可.

【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)尸(”),由題意上.上=」,化簡(jiǎn)得到片2=「0點(diǎn)不能與

x+2尤-2447

4或4重合,

「2

故曲線的方程為:+「=i(x/±2).

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xj),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式寫(xiě)出?尸乃+(了7)2,

又點(diǎn)尸(幾y)在橢圓上,x2=4-4y29消去工得:

IPT\=/(j)="-3/-2"+/+4=『3(y+1)2+1/2+4,

在橢圓中T*"i,可以得到當(dāng)°<々時(shí),]尸?二

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