
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文檔簡(jiǎn)介
江蘇省淮陰中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試
題
學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):
一、單選題
1.直線了二內(nèi)工的傾斜角為I)
571
A.-B.巴C.—D.
633~6
222片有相同的焦點(diǎn),m
2.若橢圓上+匕=1與雙曲線上一=1則的值為()
m222
A.4B-5。6D.7
3.已知點(diǎn)尸是拋物線u/=8x的焦點(diǎn),若拋物線C上的點(diǎn)A到尸的距離為4,則點(diǎn)A到
V軸的距離為()
A.2B.3C.4D.5
4.若在1和81之間插入3個(gè)數(shù),使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則該等比數(shù)列的公比為()
A.3B._3C.+3D.+9
5.己知雙曲線£_匕=1(a>0,6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸⑵°),且雙曲線的漸近線與圓
a2b2
(%_2)2+必=3相切廁雙曲線的方程為
x222
A.B.=1jC-X----V2=11D.x2y1
13933
6.若等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S〃,/+%+。7=6,57=-7?則S,取得最小值時(shí)〃的值
試卷第11頁(yè),共33頁(yè)
為()
A.3B.4C.5D.6
7.已知4(T,O),3(1,0),動(dòng)點(diǎn)。滿足EL麗=3?則VZ5c面積的最大值為()
A.2B.3C.4D.5
8.若橢圓E:二+亡=1缶>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、罵,上頂點(diǎn)為受過(guò)片作直線
2
4c3c2'7
典的垂線交橢圓“于MN兩點(diǎn),設(shè)必服的內(nèi)切圓的半徑為,則二的值為()
C
二、多選題
12y
9.設(shè)直線4:+1=0,/2:x+[a-2\y+a=0,圓°:x+y=9則下列說(shuō)法正
確的有()
A.若/]〃4,貝必=3或-1
B.若…,則a—
2
C.4恒過(guò)定點(diǎn)(一2,_1)
D.被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為4
10.下列說(shuō)法正確的有()
A.若數(shù)列{”"}為等差數(shù)列,其公差4>0,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列
試卷第21頁(yè),共33頁(yè)
B.若數(shù)列{%}為等比數(shù)列,其公比ge(0,1),則數(shù)列{%}是遞減數(shù)列
C.若數(shù)列{%}為等差數(shù)列,則數(shù)列{2%}為等比數(shù)列
D.若數(shù)列應(yīng)}的前〃項(xiàng)和為\且$=1C+_Q(〃eN*),則數(shù)列{$;}是等差數(shù)列
11.已知點(diǎn)尸(4,0),直線/:x=-4,曲線C上的點(diǎn)滿足到廠的距離與到/的距離之積為
16,則下列說(shuō)法正確的有()
A.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
B.曲線C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
C.設(shè)曲線C上動(dòng)點(diǎn)尸(xJ)(x>T)到直線戶6的距離為義則學(xué)的最小值為竺
d25
D.當(dāng)點(diǎn)尸(孤》在曲線C上時(shí),J(x+8『+y2的最小值為8-4亞
三、填空題
12.已知直線/過(guò)點(diǎn)(3,1),且與兩條坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個(gè)等腰直角三角形,則直線/的
方程為一.
13.設(shè)雙曲線及1一/=的左、右焦點(diǎn)分別為與、工,點(diǎn)尸是雙曲線E上
的一點(diǎn),若/耳尸匕「周=3|尸£|,則雙曲線£的離心率為
14.己知直線/:了=一1,圓G:(x+i『+y2=i,圓C/卜_1『+/=],若圓C,與圓
GV?和直線/都相切,則圓C3的半徑為一,若圓Cm與圓C“C”+1和直線/都相切(〃eN*),
試卷第31頁(yè),共33頁(yè)
且C(〃eN*)兩兩不同,則圓G的半徑為-
四、解答題
15.已知三點(diǎn)。(。⑼,/(2,0),在圓C上,點(diǎn)C為圓心.
⑴求圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)尸(4,2)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)為求四邊形尸MCN的面積.
16.已知數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為s“,且數(shù)列{邑+2}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{”“}的通項(xiàng)公式;
1117073
(2)若工+工+…+上〈巖,求滿足條件的最大正整數(shù)n的值.
%a2an2024
17.已知拋物線C:V=2"過(guò)點(diǎn)(1,2),直線/與拋物線C相交于43兩點(diǎn),若直線/過(guò)點(diǎn)
/(4,0)?
(1)求拋物線C的方程;
(2)證明:以AR為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);
AD
(3)若加=2而,求直線/的方程.
18.已知數(shù)列{g}的前〃項(xiàng)和為s“,q用=2a“+2"(〃eN*),%=>
(1)證明:數(shù)列|會(huì)}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{”“}的前〃項(xiàng)和為s“;
⑶若Sn-<2an-4〃-;I對(duì),/任意〃eN*恒成立.求實(shí)數(shù)2的取值范圍.
試卷第41頁(yè),共33頁(yè)
19.已知4陋00,4(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足直線4尸與直線4尸的斜率之積一_1,動(dòng)點(diǎn)尸的
4
軌跡形成曲線C
⑴求曲線C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)7(04a為常數(shù)且經(jīng)0),求線段PT長(zhǎng)度的最大值;
⑶經(jīng)過(guò)點(diǎn)0(_4,0)的兩條直線仆仆直線4與曲線C相交于4M兩點(diǎn),直線4與曲線C
相交于8,N兩點(diǎn),若直線過(guò)定點(diǎn)G(一3,2),證明:直線小恒過(guò)定點(diǎn).
試卷第51頁(yè),共33頁(yè)
參考答案:
題號(hào)12345678910
答案BCACDBACBCDACD
題號(hào)11
答案BCD
1.B
【分析】直接根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可.
【詳解】直線y=氐的斜率為g,
設(shè)其傾斜角為貝Utan戊=6,
又ae[。,%故其傾斜角為色.
3
故選:B
2.C
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線焦點(diǎn)相同得到方程,得到答案.
【詳解】雙曲線工一己=1的焦點(diǎn)在X軸上,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,°),(2,0)
22
2222
因?yàn)闄E圓工+匕=1與雙曲線土一2=1有相同的焦點(diǎn),
m222
所以用-2=4,
解得加=6.
故選:C
3.A
【分析】根據(jù)條件,利用拋物線的定義,即可求解.
【詳解】設(shè)4(%,%),因?yàn)辄c(diǎn)A到尸的距離為4,
則|/川=毛+5=/+:=/+2=4,得到*。=2,
答案第11頁(yè),共22頁(yè)
故選:A.
4.C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義知81=lx/,求解即得答案.
【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為{%},公比為9,則4=1,牝=81.
,,%=q?/'即81=lx/
解得q=±3
故選:C.
5.D
2
-=V3a=l,b=6x-^=\
【詳解】試題分析:依題意有1,,解得,所以方程為3.
{c-2
c1=a2+b2
考點(diǎn):雙曲線的概念與性質(zhì).
6.B
【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式可得{4}的通項(xiàng)公式,由%20可得等
差數(shù)列{%}的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù),從第五項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù),即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?}為等差數(shù)列,
%+%+為=6,所以3a§=6,?5=2?
7(q+%)=_7,所以〃4=T,
72
所以汗=&一。4=3,
答案第21頁(yè),共22頁(yè)
所以為=%+("-4)X3=-1+3〃-12=3”-13“解得心上
'-3'
所以等差數(shù)列{4}的前4項(xiàng)為負(fù)數(shù),從第五項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù),
所以S”取得最小值時(shí)"為4
故選:R.
7.A
【分析】令C(x,y),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及已知求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡,結(jié)合圓的性質(zhì)求
面積最大值.
【詳解】令C(x,y),則B=不=(1-十/
所以百?赤=工2-1+72=3,即一+必=4,
由4瓦。構(gòu)成三角形,所以。點(diǎn)軌跡為f+/=4且yW0,
要使V45c面積最大,只需c與邊4g最遠(yuǎn),即C為(0,±2),
所以最大面積為工x2x2=2.
2
故選:A
8.C
【分析】由對(duì)稱(chēng)性確定ABMN的周長(zhǎng),再由弦長(zhǎng)公式,點(diǎn)到線的距離公式求得AS兒亞面積,
即可求出內(nèi)切圓半徑即可求解.
【詳解】
答案第31頁(yè),共22頁(yè)
a=2c,b=
即8工=2C,所以△瓦";為等邊三角形,
NBF\F?=60°,
由題意可知:NBF、N=3?,即直線/為48/鳥(niǎo)的角平分線,傾斜角為30。,
則點(diǎn)8,工關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng),而AEMN的周長(zhǎng)為4a=8c,所以AAW的周長(zhǎng)為8c,
因?yàn)橹本€/的方程為x-島+'=°,橢圓£方程為工+£=i,
2
4c3c2
x-43y+c=Q13廿-6&y-9c2=0
聯(lián)立方程22,消去X得
L+2=1
,4c23c2
2
Hx9x(-d^6=02>,可得%+%=6#1c9c
1r,2F
8(c,0)
點(diǎn)直線/的距離為"=
答案第41頁(yè),共22頁(yè)
所以ABW的面積為SSL%xc=*
VBMNVMNF2213]3
所以工8c/=生,解得:r=%,
21313
所以,」,
c13
故選:C
9.BCD
【分析】根據(jù)直線平行與垂直的充要條件求解q的值即可判斷A,B;根據(jù)含參直線一般方
程確定定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷C;根據(jù)直線與圓相的位置關(guān)系,求解相交弦長(zhǎng)的最小值即可判
斷D.
【詳解】對(duì)于A,若則卜(。-2)-3x1=0,所以"=3,故人不正確;
13Q_(Q-2)W0
對(duì)于B,若4",則"+3(”2)=。,解得4=3,故B正確;
2
對(duì)于C,直線0x+(a-2)y=0,整理得(y+l)a=2y-x,
令卜+1=。得卜=T,故直線12恒過(guò)定點(diǎn)(-2,-1),故C正確;
[2y-x=0[x=-2
對(duì)于D,圓C:/+丁=9的圓心c(o,o),半徑尸=3,設(shè)點(diǎn)(―2,—1)為0,則。在圓內(nèi),
則當(dāng)CQ,/時(shí),直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)最小,
因?yàn)閨CQ|=7(-2)2+(-1)2=V5,所以直線/被圓°截得的弦長(zhǎng)的最小值為253?-(豆)2=4,
又紜=1=2,所以勺=_;=一上,此時(shí)解得“=匕故存在"=4使得"被圓c截得的
答案第51頁(yè),共22頁(yè)
弦長(zhǎng)最小值為4,故D正確.
故選:BCD.
10.ACD
【分析】由等差、等比數(shù)列的概念及性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A,由d>0,可得q「a“T>0,故單調(diào)遞增,正確;
對(duì)于B,取用=一1,此時(shí)由于ge(O,l),此時(shí)數(shù)列{叫是遞增數(shù)列,錯(cuò)誤;
對(duì)于C:等差數(shù)列{端公差為",由二=2/一=2",為常數(shù),故數(shù)歹L}為等比數(shù)歹U,
2a-'
正確;
對(duì)于D:由s.=U%+_L](〃eN*),令"T,可得:”=
〃2〃?\/
即:鼠-S3=1,(心2),
所以數(shù)列{s;}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,正確,
故選:ACD
11.BCD
【分析】先寫(xiě)出曲線c的方程,根據(jù)特殊點(diǎn)可判斷A的真假,令y=o求曲線C與X軸的交
點(diǎn),可判斷AD的真假,
【詳解】設(shè)曲線C上的點(diǎn)尸GM,則曲線C的方程為:7(^-4)2+/-|X+4|=16.
對(duì)A:令x=4可得>=±2,所以(4,2)點(diǎn)在曲線C上,但(-4,2)點(diǎn)不在曲線C上,故曲線C
不關(guān)于、軸對(duì)稱(chēng),所以A錯(cuò)誤;
答案第61頁(yè),共22頁(yè)
對(duì)B:令y=0得,一4Hx+4|=16=x=±4也或x=。,故曲線C過(guò)原點(diǎn),所以B正確;
對(duì)C:若x>4C,則"獷+產(chǎn)|x+4]"(4夜—4『+/M+4|
>^(4V2-4)2.|4V2+4|=16,所以曲線。上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不大于4夜,
所以1=6-1又戶刊=1\=—9,
11|x+4|x+4
所以因=____3____>1^(當(dāng)且僅當(dāng)X"時(shí)取“一”),所以C正確;
d(x+4)(6-x)-25
對(duì)D:若x<-40,則
y/(x-4)2+y2-\x+4\>,卜40-4)2+/?|-472+4|>卜夜+4|?卜后一4116,
所以曲線0上最左邊的點(diǎn)為卜4亞,0),所以J(X+8)2+/24-40+8『+0=8-40,故
D正確.
故選:BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在列出曲線0的方程后,確定x的取值范圍是判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵.判
斷出xN-4正后,結(jié)合J(x+8『+y2的幾何意義:表示曲線0上的點(diǎn)到(一80)的距離,可
求該式的最小值.
12.》+>-4=0
【分析】設(shè)出截距式方程,代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求解.
答案第71頁(yè),共22頁(yè)
【詳解】由題意設(shè)直線方程為土+}=1,且
aa
又直線過(guò)點(diǎn)⑶D,則3+工=1,"=4
aa
所以直線方程為工+2=1,即"+'-4=0.
44
故答案為:x+y-4=0-
13."Ag
22
【分析】由雙曲線定義和盧浦=3|尸閭,求出閥|=3見(jiàn)熙|=〃,由余弦定理得到J7a=2c,
求出離心率.
【詳解】由雙曲線定義知|尸」用_|尸7寸=2〃,
又|尸周=3|尸聞,所以附|=3〃,|尸閶=〃,
又/耳pa=/,由余弦定理得
+|巡2T片用2§/+3_公2
1,
_2\PF\-PF2\―_2x3ea-2
解得,a=2c,故離心率為£=立
a2
故答案為:立
2
14,"25_L
4169
答案第81頁(yè),共22頁(yè)
【分析】利用題目條件證明方匚=乙,
3+7再根據(jù)這一遞推關(guān)系確定答案即可.
【詳解】由題可知cn+2,位于由圓cn,Cn+\,和/構(gòu)成的曲邊三角形內(nèi),這些圓之間的相切均為
外切,且都位于直線/上方.
設(shè)C“的圓心為(乙,%),半徑為R“,則根據(jù)Cn+2和/相切,有力=凡_1,
再由圓C"』的位置關(guān)系,有(X)(k-%)<0?
由c向和Q相切有出+4J+f
故(凡+凡+J?=(%一X.+J'+(%-%+1曠=(X"一X“+J'+(凡一R“+1)2'
則(x“-x“+)=444+J
根據(jù)*和C?,C?+1相切,同理有(.j=4及禺+2,=幽,兒2-
而(x“+2-x,+i)(x,+2-x“)<0,
所以+2灰K=2
這就得到」==入+7^,而3=4=1,
答案第91頁(yè),共22頁(yè)
故&=」,數(shù)列{入}是斐波那契數(shù)列.
(£)
而瑪同所以招=:,
=2,=13,RJ=-L
4loy
故答案為:—;--
4169
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵在于對(duì)相切性質(zhì)的運(yùn)用.
15-(1)(X-1)2+(^+2)2=5
(2)10
【分析】(1)根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可確定圓心c為線段0402垂直平分線的交點(diǎn),由此可求
得圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而得到圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)根據(jù)垂直關(guān)系可求得切線長(zhǎng)阿尸|,根據(jù)四邊形面積s=2Sq"可求得結(jié)果?
【詳解】(1)由圓的對(duì)稱(chēng)性可知:圓心c為線段04。8垂直平分線的交點(diǎn),
Q%=1,線段。中點(diǎn)為卜?線段。"垂直平分線方程為:
即y=-x—1,
又線段04的垂直平分線為x=l,.?.C(1,_2),,圓。的半徑〃=|oq=逐,
???圓C的方程為:(1)2+(竹2)2=5-
(2)
答案第101頁(yè),共22頁(yè)
■■\CP\=J(l-4)2+(-2-2),=5\CM\=V5CMIMP
22
\MP\=^|CP|-|CA/|=2收.'.\CMP=1|W|-|CM|=|X2A/5XV5=5,
四邊形尸MCN的面積S=2S,CMP=2x5=10-
16.⑴%=2”
⑵10
【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得s“=2向-2,再利用退一相減法可得知=2";
(2)由%=2”,可得。_=_L,即可得L+_L+...+_L=i__L,解不等式,結(jié)合2”的單調(diào)
an2"a{a2an2"
性可得解.
【詳解】(1)由已知數(shù)歹|]瓶“+2}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,
+1
則5“+2=4x2"T=,即Sn=2"-2,
當(dāng)〃=1時(shí),4=工=22—2=2,
當(dāng)“22時(shí),%=S,_S,i=2向一2-(2"_2)=2",
綜上所述%=2";
(2)由(1)得%=2",則_1=上,
凡2"
答案第111頁(yè),共22頁(yè)
所以1,1,,1
----1------1-----1----
%。2%
所以1.L些,即2〃<2024,
2〃2024
又函數(shù)y=2",〃eN+,單調(diào)遞增,
且21。=1024<2024,2n=2048>2024>
即滿足2"<2024的最大正整數(shù)為10,
綜上所述滿足‘+'+…空的最大正整數(shù)為10.
axa2an2024
17.⑴/=4x
(2)證明見(jiàn)解析
⑶2工_岳_8=0或2x+⑶-8=0.
【分析】(1)將點(diǎn)0,2)代入方程求出°=2,即可求得拋物線C的方程;
(2)直線/過(guò)點(diǎn)“(4,0),所以設(shè)直線的方程為:x=my+4,聯(lián)立方程組,要證以N3為
直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)只需證明次,赤=0即可;
(3)由(;2)可知乂+%=4加,yty2=-16,由4而=2MB'所以必=-2%,然后求解即
可.
【詳解】(1)拋物線C:/=2px過(guò)點(diǎn)(1,2),所以2P=4,p=2,
故拋物線C的方程為:y2=4x.
(2)
答案第121頁(yè),共22頁(yè)
直線/過(guò)點(diǎn)M(4,0),所以設(shè)直線的方程為:x=my+4?
聯(lián)立方程組得:尸=町+4,所以r-4刃-16=0,
[y2=4x
2rJ
A=16m+64>0設(shè)4(再,%),5(x2,y2)
所以必+%=4加,y[y2=-16>
CM=(X],必),08=(%,%)'
_22
所以O(shè)AOB=再超+%%+%先=16-16=0,
所以04,05,故以43為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).
(3)由(2)可知乂+%=4加,=-16,
因?yàn)槎?2遠(yuǎn),所以乂=一2%,
所以52%+%=4m,所以解得加=±正,
1-2只=-16-2
所以直線/的方程為2x-0y一8=0或2x+V^y-8=0,
18.(1)證明見(jiàn)解析,4=“.2"T;
(2)邑=("一1)2"+1;
答案第131頁(yè),共22頁(yè)
(3)A<-5.
【分析】(1)根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系有4葉-%=工,結(jié)合等差數(shù)列定義判斷證明,進(jìn)而寫(xiě)出
2"包2"2
通項(xiàng)公式;
(2)應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式求s;
n
(3)將問(wèn)題化為442"-4〃-1恒成立,作差法判斷右側(cè)的最小值,即可得參數(shù)范圍.
【詳解】(1)由.用=2?!?2",貝=+三一%=J_,又幺=_L,
2"+12"22"+12"222
所以數(shù)列[2]是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列,則&=工+工(〃-1)=4,
[2nJ22rt222
所以?!?N,2〃T?
(2)由S〃=lx2°+2x2i+3x22+...+〃.2"T,貝U
123H1
2Sn=1X2+2X2+3X2+--?+(H-1)-2-+W2^
所以一s“=l+21+---+2"-1-77-2"=--一?-2,,=(l-?)2,--l>
1—2
所以s“=(H-1)2"+1-
(3)由(1)(2),則(“一1)2"+1?".2"-4”一;1,整理得;LW2"-4”-l恒成立,
B+1
令c'=2"-4〃一1,則c?+1-c?=[2-4(〃+1)-1]一(2"-4〃-1)=2“一4,
當(dāng))=1時(shí)C"+]<cj當(dāng)〃=2時(shí)C“M=C“,當(dāng)〃23時(shí)%>c.,
所以C]>。2=。3<<。5<…,即C"的最小值為c3=c2=-5,
答案第141頁(yè),共22頁(yè)
綜上,
A<-5,
2
19.⑴^+丁=l(xw±2)
2^1f+l,0<f<l
(2)
E+1,£>1
⑶過(guò)定點(diǎn)(-7,-6),證明見(jiàn)詳解.
【分析】(1)寫(xiě)出斜率化簡(jiǎn)可以得到方程,注意點(diǎn)尸不能與4,4點(diǎn)重合;
(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸到點(diǎn)?距離,消元后配方即可;
(3)先用特殊位置求出點(diǎn),然后證明直線過(guò)定點(diǎn)即可.
【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)尸(”),由題意上.上=」,化簡(jiǎn)得到片2=「0點(diǎn)不能與
x+2尤-2447
4或4重合,
「2
故曲線的方程為:+「=i(x/±2).
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xj),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式寫(xiě)出?尸乃+(了7)2,
又點(diǎn)尸(幾y)在橢圓上,x2=4-4y29消去工得:
IPT\=/(j)="-3/-2"+/+4=『3(y+1)2+1/2+4,
在橢圓中T*"i,可以得到當(dāng)°<々時(shí),]尸?二
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