廣東省深圳市東北師范大學深圳附屬學校2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題

第1頁/共1頁2024—2025學年上學期（數(shù)學）高（二）年級期中考試考試時間：120分鐘滿分：150分注意：將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．1.已知直線過，兩點，且，則直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用斜率公式求得直線的斜率，結合，求得，得到，即可求解.【詳解】因為直線過，兩點，可得，又因為，所以，可得，設直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：A.2.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別當時，判斷兩直線的位置關系和當兩直線平行且不重合時，求的范圍．【詳解】當時，兩直線分別為：，，兩直線斜率相等，則平行且不重合．若兩直線平行且不重合，則或，綜上所述，是兩直線平行的充分不必要條件．故選：A3.已知橢圓C上任意一點都滿足關系式，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義及兩點距離公式計算即可.【詳解】由題設可知，橢圓C的焦點為，橢圓C上任意一點Px0,故，所以橢圓C的標準方程為.故選：C4.已知橢圓：的離心率為，則（）A. B.或 C.8或2 D.8【答案】C【解析】【分析】分焦點在軸和軸上兩種情況，由離心率得到方程，求出或.【詳解】橢圓：的離心率為，當橢圓焦點在軸上時，，解得，當橢圓焦點在軸上時，，解得.故選：C.5.經(jīng)過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是（）A.8 B.9 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】為焦點三角形，周長等于兩個長軸長，再根據(jù)橢圓方程，即可求出的周長．【詳解】為橢圓的兩個焦點，，的周長為．故選：D．6.已知圓，圓，則這兩圓的公共弦長為（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由兩圓方程求出兩圓公共弦所在直線方程，再與圓聯(lián)立求出相交弦的弦長即可.【詳解】由圓，圓，兩式相減得相交弦所在直線方程：.由圓可得圓，所以圓心、半徑.所以圓心到直線距離，所以相交弦長為.故選：C7.已知是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在為直徑的圓上，即，根據(jù)得到離心率范圍.【詳解】，故在為直徑的圓上，即，圓在橢圓內部，故，，故.故選：B.8.已知動點在橢圓上，若點，點滿足，且，則的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，，問題轉化為求，結合圖象可知當點為橢圓的右頂點時，有最小值，計算，得到.【詳解】橢圓中，.如圖，由得，∴，∴當取最小值時，最小.由題意得，點A為橢圓右焦點，當點為橢圓的右頂點時，，∴.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，若選對部分得部分分，選錯不得分，共計18分．9.以下四個命題中正確是（）A.若空間向量、滿足，則與夾角為銳角B.若空間向量，，則在上的投影向量為C.點為平面上一點，為平面外一點，且，則D.任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底【答案】BC【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷A選項；利用投影向量的定義可判斷B選項；利用共面向量的基本定理以及空間向量基本定理可判斷C選項；利用空間向量基底的概念可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若空間向量、滿足，則與夾角為銳角或，A錯；對于B選項，若空間向量，，則在上的投影向量為，B對；對于C選項，因為點為平面上一點，為平面外一點，則、、共面，設，其中、，則，所以，，又因為，則，即，解得，C對；對于D選項，任何三個不共面的向量都可構成空間向量的一個基底，但不共線的三個向量可能共面，D錯.故選：BC.10.已知空間向量，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的坐標運算，求得，再利用模長的計算公式，可判斷選項A的正誤；利用空間向量平行的坐標表示，可求得，可判斷選項B的正誤；利用空間向量數(shù)量積的坐標運算，可求得，即可判斷選項C的正誤；利用空間向量夾角的坐標表示，即可求得，從而判斷出選項D正確.【詳解】對于選項A，設，因為，則，所以，解得，所以，則，所以選項A正確，對于選項B，，，所以，得到，所以選項B正確，對于選項C，因為，，所以，又，則，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，，則，所以選項D正確，故選：ABD.11.已知橢圓分別為它的左右焦點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）A.橢圓離心率為B.C.若，則的面積為D.最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由對勾函數(shù)可判斷D.【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因為，即，設，由對勾函數(shù)的性質可得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是______.【答案】和；【解析】【分析】根據(jù)直線過原點和不經(jīng)過原點兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線經(jīng)過原點，則設直線方程為，將代入可得，若直線不經(jīng)過原點，設直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故答案為：和；13.求圓上的動點到直線距離的最大值_________．【答案】【解析】【分析】先求得圓心和半徑，再求得圓心到直線的距離，由此距離加半徑為最大值求解.【詳解】圓可化為，其圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線距離的最大值為.故答案為：.14.已知直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍為_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由可得，整理可得，所以，曲線表示圓在軸的上半部分，當直線與圓相切時，，結合圖形可知，，則，當直線過原點時，，結合圖形可知，當時，直線與曲線有兩個不同的交點.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點和直線.（1）求過點且與直線垂直的直線的一般方程；（2）求與直線平行且與之間的距離為的直線的一般方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用兩直線垂直的直線斜率，代入點斜式后化為一般式方程即可；（2）利用平行設出直線方程，利用兩平行線間的距離求解即可.【小問1詳解】直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的斜率為，故所求方程為，即；【小問2詳解】設與直線平行的直線方程為，則，即，解得或，所以所求直線的方程為或.16.已知圓C：，點，點．（1）過點P作圓C的切線l，求出l的方程；（2）設A為圓C上的動點，G為三角形APQ的重心，求動點G的軌跡方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；（2）設，，結合重心的性質可得，進而結合A為圓C上的動點求解即可.【小問1詳解】由C：，則圓心，半徑，當切線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合題意；當切線l的斜率存在時,則設切線l的方程為，即，所以，解得，此時切線l的方程為，即.綜上所述，切線l的方程為或.小問2詳解】設，，因為，，G為三角形APQ的重心，所以，即，由A為圓C上的動點，得，則，整理得，即動點G的軌跡方程為．17.如圖，在三棱柱中，平面，已知，點是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理確定，根據(jù)線面垂直得到，得到平面；（2）建立空間直角坐標系，確定各點坐標，計算兩個平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【小問1詳解】中，，即，滿足，故，平面，平面，故，又，平面，故平面；【小問2詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，，，，，，，平面，故平面的一個法向量為，設平面的法向量為，，，則，取得到，平面與平面夾角的平面角為銳角，故余弦值為.18.如圖，在四棱錐中，，，，點為棱上一點．（1）證明：；（2）當二面角的余弦值為時，求．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直先證平面，再利用線面垂直的性質定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的一個法向量，利用向量法求解即可．【小問1詳解】因為，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．小問2詳解】因為，所以，則．由（1）可知兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．可知，設，則，設平面的一個法向量n1=則即令，解得，，故，設平面的一個法向量為，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．19已知圓過，，三點．（1）求圓的方程；（2）求圓與圓：的公共弦長；（3）已知，P為圓上任意一點，在y軸上是否存在定點N（異于點M），使得為定值？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在定點【解析】【分析】（1）設圓方程為，代入已知三點組成方程組，解出即可得到圓的方程；（2）聯(lián)立圓與圓的兩方程相減得到公共弦的方程，求出圓心到公共弦的距離，再利用勾股定理，即可求得公共弦長；（3）假設在y軸上存在定點，設Px,y，，利用兩點距離公式可得，由P滿足圓方程，可得，即存在定點使得為定值.【小問1詳解】設圓方程為，因為圓過，，三點，則，解得：,所以圓方程為.【小問2詳解】圓方程化為一般方程為：，聯(lián)立圓與圓兩圓方程得：，兩式相減得公共弦的方程：，