廣東省廣州奧林匹克中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁廣州奧林匹克中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試題高二數(shù)學(xué)命題人：程璐審題人：胡迪（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】向量，，由，得，所以.故選：D.2.已知橢圓的焦距為2，則（）A. B.3或5 C.或 D.5【答案】B【解析】【分析】分類討論焦點(diǎn)位置，結(jié)合焦距公式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí),此時(shí)，，已知焦距，則.根據(jù)，可得，解得.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí),此時(shí)，，由，根據(jù)，可得，解得.綜上所得，的值為或，故選：B.3.已知圓與圓有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：。【詳解】根據(jù)題意可知，圓外離，，又．故選：D4.“圓”是中國(guó)文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動(dòng)高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3m C.1.4m D.1.5m【答案】B【解析】【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡(jiǎn)得.故選：B.5.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的傾斜角為（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知圓心到直線距離為1，利用點(diǎn)到直線距離公式可解得直線斜率，可求得傾斜角.【詳解】易知圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心到直線距離為，又弦長(zhǎng)為，可得；又圓心到直線距離為，解得或；所以直線的傾斜角為或.故選：D6.已知實(shí)數(shù)滿足方程，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的最大值為B.的最小值為0C.的最大值為D.的最大值為【答案】C【解析】【分析】對(duì)于ABD，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解，對(duì)于C，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解．【詳解】實(shí)數(shù)，滿足方程，，對(duì)于ABD，令，，則兩條直線都與圓有公共點(diǎn)，，，解得，，故的最大值為，的最大值為，故ABD正確，對(duì)于C，原點(diǎn)到圓心的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，，，故的最大值為，故C錯(cuò)誤．故選：C7.已知三棱錐，，且，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.C. D.3【答案】B【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利已知條件結(jié)合向量法求解即可.【詳解】由題意，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)可知，所以，，，設(shè)點(diǎn)在上的投影為,則在直角三角形中，點(diǎn)到直線的距離為:故選：B.8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP＝MC．則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，結(jié)合，化簡(jiǎn)的得到，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，正方形邊長(zhǎng)為，則，則，由，即，整理得到，所以點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為一條直線的一部分故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列給出的命題正確的是（）A.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則B.兩個(gè)不重合的平面，的法向量分別是，，則C.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底D.對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)，若（其中），則四點(diǎn)共面【答案】BC【解析】【分析】利用空間向量研究線面、面面關(guān)系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空間中四點(diǎn)共面的推論可判定D.【詳解】易知，則直線l與平面平行或在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；易知，則，故B正確；若不能作為基底，則存在，使得，整理得，又是空間的一組基底，則，顯然方程無解，假設(shè)不成立，故C正確；由空間四點(diǎn)共面的推論可知：若，且時(shí)，四點(diǎn)共面，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則下列說法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點(diǎn)使D.直線過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)公式即可求解A，B，C，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以PC為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，因?yàn)閳A的半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)公式可得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為，所以A正確；因?yàn)椋运倪呅蚊娣e等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因?yàn)?，所以，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因?yàn)?，整理得，方程無解，所以不存在點(diǎn)使，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，以PC為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以PC為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，所以為圓與以PC為直徑的圓的公共弦，聯(lián)立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過定點(diǎn)，故D正確；故選：ABD11.在長(zhǎng)方體中，，，M為線段BD上動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)M為BD的中點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最小B.三棱錐的體積為定值C.在線段BD上存在點(diǎn)M，使得D.在線段BD上有且僅有一個(gè)點(diǎn)M，使得【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合三棱錐的體積公式、空間向量夾角公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】如圖建系，則，，，，，∴，，時(shí)，最小，此時(shí)周長(zhǎng)最小，此時(shí)M為BD中點(diǎn)，A對(duì)．，則平面，M到平面的距離h為定值，為定值，則為定值，B對(duì)．，∴不存在點(diǎn)M使得，C錯(cuò)．，，∴，∴，∴，無解，D錯(cuò)，故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過點(diǎn)直線在軸上的截距是它在軸上的截距的2倍，則直線方程為________．【答案】或．【解析】【分析】當(dāng)直線不過原點(diǎn)和過原點(diǎn)兩種情況討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得所求直線的方程．【詳解】當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為，即，將代入，可得，解得，所以，所以直線方程為；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入，可得，解得，所以直線方程為，即，綜上可得，所求直線方程為或．故答案為：或．13.求函數(shù)的最大值______.【答案】##【解析】【分析】分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，，把函數(shù)看作A，B兩點(diǎn)連線的斜率，其中點(diǎn)A在單位圓的上半圓，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，，，看作A，B兩點(diǎn)連線的斜率，其中點(diǎn)A在單位圓的上半圓，函數(shù)的最大值為直線斜率的最大值，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，斜率最大，此時(shí)，，，所以.故答案為：14.在等腰直角三角形中，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為、建立平面直角坐標(biāo)系，，點(diǎn)是邊上異于、的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)、發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）．若光線經(jīng)過的重心，則的坐標(biāo)等于______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性求出直線與直線的方程，再將這兩條直線的方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示：則B4,0、，直線方程為，即，三角形重心為，即，設(shè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，由題意可得，解得，即點(diǎn)，由光的反射性可知、、、四點(diǎn)共線，且，直線斜率為，直線方程為，因?yàn)橹本€過重心，即，整理得，解得（舍去）或，即點(diǎn)，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)Px1,y1與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由方程組可得到點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)x2,y2（其中，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，求：（1）邊上中線所在直線方程；（2）求三角形的面積．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)坐標(biāo)即可得出中線所在直線的方程；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及點(diǎn)到直線距離求得的面積，再由等面積法可得三角形的面積.【小問1詳解】根據(jù)題意可知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得；所以中線所在直線的方程為，即；【小問2詳解】易知，點(diǎn)到直線的距離為；所以的面積為；即三角形的面積為.16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)向量垂直求證，（2）根據(jù)兩平面法向量的夾角，即可求解，（3）利用點(diǎn)面距離的向量法公式，即可代入求解.【小問1詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,則,設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，取，則，由于，故，又平面，故平面【小問2詳解】由（1）知平面的法向量，平面的一個(gè)法向量n=0,1,0，設(shè)平面與平面所成角為，則，由于，故；【小問3詳解】由于，平面的法向量，點(diǎn)到平面的距離.17.已知圓．（1）若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l（斜率存在）的距離為1，且l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；（2）點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為圓C上的動(dòng)點(diǎn)．①若直線PM與圓C相切，求的最小值；②若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）或或（2）①；②【解析】【分析】（1）首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線l的距離為l，再分直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距為零且斜率存在時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零兩種情況討論，分別求出直線方程即可．（2）①依題意，所以當(dāng)最小時(shí)最小，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的最小值，從而得解；②首先求出原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，可得當(dāng)點(diǎn)C，P，共線時(shí)，最小，從而求出最小值．【小問1詳解】解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則C的圓心為，半徑為2．因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，所以圓心到直線l的距離為l．①當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距為零且斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，所以圓心到直線l的距離為，即，所以．②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為，所以圓心到直線l的距離為，即，解得或．所以或．綜上所述，直線l的方程為或或．【小問2詳解】解：①因?yàn)橹本€PM與圓C相切，所以，所以當(dāng)最小時(shí)最小，而當(dāng)PC與直線垂直時(shí)，最小，即，故．②記O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由得即．因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)C，P，共線時(shí)，最?。剩?8.如圖，四邊形是一塊長(zhǎng)方形綠地，是一條直路，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且.現(xiàn)在該綠地上建一個(gè)標(biāo)志性建筑物，使建筑物的中心到三個(gè)點(diǎn)的距離相等.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為，軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.（1）求出建筑物的中心的坐標(biāo)；（2）由建筑物的中心到直路要開通一條路，已知路的造價(jià)為150萬元，求開通的這條路的最低造價(jià).（附：參考數(shù)據(jù).）【答案】（1）（2）168萬元【解析】【分析】（1）一種方法是，設(shè)出過點(diǎn)的圓的一般方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心，即建筑物的中心的坐標(biāo)；另一種方法是，求兩個(gè)邊中垂線的交點(diǎn)，即圓心.(2)求出的長(zhǎng)，由垂徑定理得到點(diǎn)到的最小距離，從而求出開通的這條路的最低造價(jià).【小問1詳解】解法一：由題可知，由題可知經(jīng)過點(diǎn)的圓的圓心即為所建建筑物的中心，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程為，即，建筑物的中心的坐標(biāo)為.解法二：由題可知，由題可知經(jīng)過點(diǎn)的圓的圓心即為所建建筑物的中心，線段中點(diǎn)為，且線段的垂直平分線為，線段中點(diǎn)為12,1，且，線段的垂直平分線為，聯(lián)立，得，所以建筑物的中心的坐標(biāo)為.【小問2詳解】因?yàn)闉榻ㄖ锏闹行淖鴺?biāo)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由垂徑定理得的長(zhǎng)度為點(diǎn)到的最小距離，，圓的半徑為，點(diǎn)到的距離為，開通的這條路的最低造價(jià)為（萬元）.19.已知圓及點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求經(jīng)過點(diǎn)與圓相切的直線方程．（2）求經(jīng)過點(diǎn)直線交圓于、兩不同點(diǎn)，直線不過圓心，過點(diǎn)、分別作圓的切線，兩切線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上；（3）設(shè)為滿足方程的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為．在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，說明理由．【答案】（1）或；（2）證明見解析；（3）存在，對(duì)應(yīng)定值為；對(duì)應(yīng)定值為.【解析】【分析】（1）按切線斜率存在與否分類，借助點(diǎn)到直線距離公式求解.（2）設(shè)，，由、可得、，即可知的方程，再由點(diǎn)在直線上即可證結(jié)論，并確定所在的直線.（3）若，由題設(shè)可知，為了驗(yàn)證平面內(nèi)是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得為定值，可以假設(shè)存在使為定值，利用兩點(diǎn)距離公式、圓的切線性質(zhì)整理可得，要使多項(xiàng)式方程不受點(diǎn)位置影響，需使該多項(xiàng)式方程各項(xiàng)的系數(shù)為0，列方程求參數(shù)即可判斷的存在性.【小問1詳解】圓的圓心，半徑