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4.5.2形形色色的函數(shù)模型
三種函數(shù)模型的性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)在(0,+∞)上的單調(diào)性圖象的變化增長(zhǎng)速度增長(zhǎng)結(jié)果隨x增大逐漸近似與y軸平行隨x的增大勻速增大隨x增大逐漸近似與x軸平行單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增y=ax(a>1):隨著x的增大,y增長(zhǎng)速度越來越快,會(huì)大于y=kx(k>0)的增長(zhǎng)速度,大于y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度.存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)有ax>kx>logaxy=kx(k>0)常見的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是:直線上升,其增長(zhǎng)速度不變。(2)指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y=ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是:隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,即增長(zhǎng)速度急劇,形象地稱為“指數(shù)爆炸”。(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是:隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢,即增長(zhǎng)速度平緩。(4)冪函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y=xa(a>0)的增長(zhǎng)介于指數(shù)增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之間。數(shù)學(xué)建模把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉,抽象為數(shù)學(xué)模型,求出模型的解,驗(yàn)證模型的合理性,并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解來解釋現(xiàn)實(shí)問題,數(shù)學(xué)知識(shí)的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的步驟:(1)正確理解并簡(jiǎn)化實(shí)際問題。(2)建立數(shù)學(xué)模型(3)求得數(shù)學(xué)問題的解(4)將求解時(shí)分析計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性,合理性和適用性。例3課本P143月份1234產(chǎn)量(萬臺(tái))11.21.31.37數(shù)據(jù)點(diǎn)A(1,1)B(2,1.2)C(3,1.3)D(4,1.37)月份1234產(chǎn)量(萬臺(tái))11.21.31.37數(shù)據(jù)點(diǎn)A(1,1)B(2,1.2)C(3,1.3)D(4,1.37)將B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入得y=0.1x+1評(píng)價(jià):在不增加設(shè)備和工人得條件下,產(chǎn)量會(huì)每月提升10.1萬臺(tái),即1000臺(tái),這是不太可能得。月份1234產(chǎn)量(萬臺(tái))11.21.31.37數(shù)據(jù)點(diǎn)A(1,1)B(2,1.2)C(3,1.3)D(4,1.37)將A,B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入得y=-0.05x2+0.35x+0.7評(píng)價(jià):計(jì)算出4月份產(chǎn)量為1.3萬臺(tái),比實(shí)際少700臺(tái),且由二次函數(shù)得性質(zhì)可知,自4月份開始產(chǎn)量開始下降,不符合實(shí)際情況。月份1234產(chǎn)量(萬臺(tái))11.21.31.37數(shù)據(jù)點(diǎn)A(1,1)B(2,1.2)C(3,1.3)D(4,1.37)將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入得評(píng)價(jià):x=3,x=4時(shí),y1.35,y=1.48,與實(shí)際產(chǎn)量差距較大。月份1234產(chǎn)量(萬臺(tái))11.21.31.37數(shù)據(jù)點(diǎn)A(1,1)B(2,1.2)C(3,1.3)D(4,1.37)將A,B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入得評(píng)價(jià):計(jì)算出4月份產(chǎn)量為1.35萬臺(tái),與第4個(gè)月的產(chǎn)量比較接近。月份1234產(chǎn)量(萬臺(tái))11.21.31.37數(shù)據(jù)點(diǎn)A(1,1)B(2,1.2)C(3,1.3)D(4,1.37)將A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入得評(píng)價(jià):將x=2,3代入,y約為1.185,1.293,與實(shí)際產(chǎn)量非常接近。練習(xí)P1461.練習(xí)P1462.假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下:方案一:每天回報(bào)40元;方案二:第一天回報(bào)10元,以后每天比前一天多
回報(bào)10元;方案三:第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。試建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型,你會(huì)選擇哪種投資方案?設(shè)第x天所得回報(bào)時(shí)y元123456789101112一4080120160200240280320360400440480二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察我們得到的表格,思考下列問題:第天,方案一最多:第天,方案二最多:第天以后,方案三最多;1~45~891~4天選擇方案一;5~8天選擇
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