第1課時(shí)+數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式+學(xué)案 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）+選擇性必修第一冊(cè)

第1課時(shí)數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的項(xiàng)．一、數(shù)列的概念與分類問題1觀察以下幾列數(shù)：①古埃及“阿默斯”畫了一個(gè)階梯，上面的數(shù)字依次為：7,49,343,2401,16807；②戰(zhàn)國時(shí)期莊周引用過一句話：一尺之捶，日取其半，萬世不竭．這句話中隱藏著一列數(shù)：1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③從學(xué)號(hào)1開始，記下本班的每一個(gè)同學(xué)參加高考的年份：2025,2025，…，2025；④小明為了記住剛設(shè)置的手機(jī)密碼，只聽他不停地說：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤－eq\f(1,2)的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；你能找到上述例子中的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？知識(shí)梳理1．按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的______．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用______表示．其中第1項(xiàng)也叫作______．2.數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為______．3．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列周期數(shù)列項(xiàng)呈現(xiàn)周期性變化擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)例1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是擺動(dòng)數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，eq\f(1,27)，eq\f(1,81)，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴(yán)格按照定義進(jìn)行判斷．(2)判斷數(shù)列是遞增(或遞減)數(shù)列時(shí)，一定要滿足數(shù)列單調(diào)性的定義，即從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于(或小于)它的前一項(xiàng)，不能有例外．跟蹤訓(xùn)練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是周期數(shù)列？(1)2020,2021,2022,2023,2024；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(5)1,0，－1，…，sin

eq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.二、數(shù)列的通項(xiàng)公式問題2我們發(fā)現(xiàn)問題1中的①②③⑤，項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？知識(shí)梳理一般地，如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與______之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的______．例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前6項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(1,6)；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，18；(3)0,1,0,1,0,1；(4)9,99,999,9999,99999,999999；(5)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64).延伸探究1．試寫出前4項(xiàng)為1,11,111,1111的一個(gè)通項(xiàng)公式．2．試寫出前4項(xiàng)為7,77,777,7777的一個(gè)通項(xiàng)公式．反思感悟根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題思路(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等．(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解析式，有時(shí)也可以通過探求各部分間的關(guān)系來歸納通項(xiàng)公式．(3)對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號(hào)．(4)對(duì)于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．跟蹤訓(xùn)練2寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，它們的前幾項(xiàng)分別是：(1)1,3,7,15,31；(2)eq\f(1,2)，eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，eq\f(25,26)；(3)－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)；(4)2×3,3×4,4×5,5×6.三、數(shù)列的通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，3是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)．反思感悟(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是數(shù)列的一項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求實(shí)數(shù)q的值；(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項(xiàng)．1．知識(shí)清單：(1)數(shù)列的概念與分類．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用．2．方法歸納：觀察法、歸納法、猜想法．3．常見誤區(qū)：歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)歸納不全面；不注意用(－1)n進(jìn)行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系．1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)B．1,2,3,4與4,3,2,1是同一數(shù)列C．1,1,1,1不是數(shù)列D．若兩個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)均相同，則這兩個(gè)數(shù)列相同2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()A．1,0,1,0 B．0,1,0,1C.eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，0 D．2,0,2,03．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是這個(gè)數(shù)列的()A．第16項(xiàng) B．第24項(xiàng)C．第26項(xiàng) D．第28項(xiàng)4．已知數(shù)列1，－3,5，－7,9，…，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為________．第1課時(shí)數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式問題1共同點(diǎn)：都是按照確定的順序進(jìn)行排列的．不同點(diǎn)：從項(xiàng)數(shù)上來看：①③項(xiàng)數(shù)有限，②④⑤項(xiàng)數(shù)無限；從項(xiàng)的變化上來看：①每一項(xiàng)在依次變大，②每一項(xiàng)在依次變小，③項(xiàng)沒有發(fā)生變化，④項(xiàng)呈現(xiàn)周期性的變化，⑤項(xiàng)的大小交替變化．知識(shí)梳理1．項(xiàng)12an首項(xiàng)2．{an}3．有限無限例1解(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列；(6)是擺動(dòng)數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練1解(1)(6)是有窮數(shù)列；(2)(3)(4)(5)是無窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是常數(shù)列；(5)是周期數(shù)列．問題2對(duì)于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))；對(duì)于②，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，n∈N*；對(duì)于③，an＝2025，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是本班學(xué)生的學(xué)號(hào)))))；對(duì)于⑤，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，n∈N*.知識(shí)梳理序號(hào)n通項(xiàng)公式例2解(1)這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(－1n,n)，n∈N*.(2)數(shù)列中的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，eq\f(36,2)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2)，n∈N*.(3)這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項(xiàng)都是0，偶數(shù)項(xiàng)都是1，所以通項(xiàng)公式可以寫成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n為奇數(shù)，,1，n為偶數(shù)，))也可以寫成an＝eq\f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq\f(1＋cosnπ,2)(n∈N*)．(4)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000,100000,1000000，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N*.(5)分母為2n，易看出第2,3,4,5,6項(xiàng)的分子均比分母少3，因此第1項(xiàng)為－eq\f(2－3,2)，因此原數(shù)列的前6項(xiàng)可以化為－eq\f(2－3,2)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，－eq\f(25－3,25)，eq\f(26－3,26)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*.延伸探究1．解由本例的第(4)題每一項(xiàng)除以9即可得到該數(shù)列，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,9)(10n－1)，n∈N*.2．解由本例的第(4)題的每一項(xiàng)乘以eq\f(7,9)即可得到該數(shù)列，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(7,9)(10n－1)，n∈N*.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，可得an＝2n－1，n∈N*.(2)由eq\f(1,2)＝eq\f(1,12＋1)，eq\f(4,5)＝eq\f(22,22＋1)，eq\f(9,10)＝eq\f(32,32＋1)，eq\f(16,17)＝eq\f(42,42＋1)，eq\f(25,26)＝eq\f(52,52＋1)，可得an＝eq\f(n2,n2＋1)，n∈N*.(3)由－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，可知奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，可得an＝(－1)n×eq\f(1,2)，n∈N*.(4)由2×3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2))，3×4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2))，4×5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2))，5×6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2))，可得an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.例3解(1)在通項(xiàng)公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項(xiàng)分別為1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是數(shù)列{an}中的第5項(xiàng)．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，故3不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．跟蹤訓(xùn)練3解(1)由題意知，q4－q2＝72，則q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)當(dāng)q＝3時(shí)，an＝3n.顯然－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)q＝－3時(shí)，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，無解，∴－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)．隨堂演練1．D[由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)數(shù)，如1,1,1,1，故A，C不正確；B中兩數(shù)列首項(xiàng)不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；由數(shù)列的定義可知，D正確．]2．A[把n＝1,2,3,4依次代入通項(xiàng)公式，得a1＝eq\f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq\f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq\f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq\