滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與反比例函數(shù)易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練（5易錯(cuò)+7壓軸）

第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

目錄

易錯(cuò)題型一忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0.................................................................................................................................1

易錯(cuò)題型二求函數(shù)取值范圍時(shí)忽略拋物線頂點(diǎn)位置................................................2

易錯(cuò)題型三混淆“與x軸交點(diǎn)”和“與坐標(biāo)軸交點(diǎn)”.............................................2

易錯(cuò)題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0.....................................................................................................................2

易錯(cuò)題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置...................................2

壓軸題型一與線段有關(guān)的最值..................................................................5

壓軸題型二運(yùn)用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù)........................................................7

壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值..................................................................9

壓軸題型四與面積有關(guān)的最值.................................................................10

壓軸題型五存在性問題........................................................................10

壓軸題型六二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用...............................................................10

壓軸題型七反比例函數(shù)的綜合問題.............................................................10

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一忽略二次項(xiàng)系數(shù)為o

例1.（23-24九年級(jí)上.江蘇泰州?階段練習(xí)）若y=（小一1次力+皿是關(guān)于X的二次函數(shù)，則的值為（）

A.-2B.-2或1C.1D.0

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?安徽黃山?期中）若y=（＞n—2）“力高一久一3是二次函數(shù)，則相的值是（）

A.-2或2B.4C.2D.-2

2.（23-24九年級(jí)上.山東煙臺(tái).期中）已知函數(shù)y=（a—4）尤加-2］是關(guān)于％的二次函數(shù)，則6的值是（）

A.0或4B.0C.2D.4

3.（23-24九年級(jí)上?湖北十堰?階段練習(xí)）若、=+1）乂--4加+5是二次函數(shù)，則爪=（）

1

A.7B.-1C.一1或7D.以上都不對(duì)

易錯(cuò)題型二求函數(shù)取值范圍時(shí)忽略拋物線頂點(diǎn)位置

例2.（23-24九年級(jí)上?河北邢臺(tái)?期末）函數(shù)y=x2+2%-3（-2<x<2）的最大值和最小值分別為（）

A.4和一3B.5和一3C.5和一4D.-1和4

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=/-4久+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)P,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為當(dāng)時(shí),

總有則ni的值為（）

3

A.4+V13B.4-V13C.4±V13D.-

4

2.（24-25九年級(jí)上?全國?假期作業(yè)）當(dāng)a-2WxWa時(shí)，二次函數(shù)y=/-4尤+3的最小值為15,則a的

值為（）

A.—2或8B.8C.6D.-2或6

3.（2023?安徽?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/—2a比+a?+4a（。為常數(shù)）.

（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過（1,4）時(shí)，a=.

（2）當(dāng)a=l時(shí)，-IWxWzn時(shí)，4<y<8,則根的取值范圍是.

易錯(cuò)題型三混淆“與x軸交點(diǎn)”和“與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

例3.⑵-24九年級(jí)上?浙江杭州?開學(xué)考試）已知函數(shù)y^mx2-2x+m+2的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，

貝Um=.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上.江蘇無錫?期末）若二次函數(shù)y=/+2x-6的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則6滿足

的條件是.

2

2.（23-24九年級(jí)上.江蘇宿遷?期中）函數(shù)y=k/+3久一4+k與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，求左的值

2

3.（23-24九年級(jí)上.江西宜春.期末）已知拋物線%=/+?+3,y2=-x-x+a,若這兩條拋物線與x軸

共有3個(gè)交點(diǎn)，貝布的值為.

易錯(cuò)題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0

例4.（23-24八年級(jí)下.江蘇淮安?階段練習(xí)）已知反比例函效y=?，則%不可以取下列的哪個(gè)值（）

A.-1B.0C.1D.2

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上?廣東佛山?期中）如果函數(shù)y=（小一1）久㈤T是反比例函數(shù)，那么機(jī)的值是（）

A.2B.-1C.1D.±1

2.（20-21九年級(jí)上?廣東深圳?階段練習(xí)）若函數(shù)y=（m+1）”斗3血+1是反比例函數(shù)，則m的值為（）

A.m=—2B.m=1C.m=1或m=—2D.m=—=—2

3.（22-23九年級(jí)上?全國?單元測試）已知函數(shù)y=（k2+2k）/z+k-i是反比例函數(shù)，貝心的值為（）

A.1B.-1C.。或一1D.±1

易錯(cuò)題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置

例5.（23-24八年級(jí)下.山東煙臺(tái)?期末）如圖，A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ZBly軸于點(diǎn)3,點(diǎn)

尸在x軸上，0P=4B,四邊形4BP。的面積為12,則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為.

3

鞏固訓(xùn)練

1.（2024.河南商丘.模擬預(yù)測）如圖，在△力。B中，4。=4B,點(diǎn)B在久軸上，C、。分別為。4、OB的中點(diǎn),

k

連接CD,E為CD上任意一點(diǎn)，連接4E、BE,反比例函數(shù)y=—（x<0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)4.若△4BE的面積為6,

x

則k的值為_.

2.（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?期末）如圖，點(diǎn)4B是反比例函數(shù)y=￡（k力0）圖象上的兩點(diǎn)，直線48交y軸

正半軸于點(diǎn)C,連接2。并延長交反比例函數(shù)圖象的另一支于點(diǎn)。，過點(diǎn)D作NC4。的角平分線的垂線，垂足

為點(diǎn)E,若點(diǎn)B是線段4c的中點(diǎn)且S“BE=6,則k=

3.（2024?江蘇南京?三模）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)為=?（七K0）的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)「作/5〃！*軸,

4

垂足為M,線段PM交反比例函數(shù)月=§也2豐0)的圖象于點(diǎn)C,PC=2CM,若小COM的面積等于1,則七的

值等于.

03壓軸題型

壓軸題型一與線段有關(guān)的最值

例1.(23-24九年級(jí)上?陜西西安?期末)如圖，已知拋物線y=a/+6x+c與x軸交于4(—3,0)、B(l,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),其頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸/與x軸交于點(diǎn)反.

(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P3+PC的最小值.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024.四川自貢.模擬預(yù)測)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+3久(a40)與無軸交于點(diǎn)A,與直線y=-%交于點(diǎn)8(-4,4),

點(diǎn)C在y軸上，且坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)。為直線。8下方拋物線上的一點(diǎn)，連接CD與0B交于點(diǎn)E.點(diǎn)尸是線段

0B上的一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)8出發(fā)向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以與尸大小相同的速度沿x軸負(fù)方

向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接BQ,PC.

5

(2)當(dāng)CD1。8時(shí)，則4COE的面積為二

DF

⑶當(dāng)=；=1時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

CE

(4)BQ+PC的最小值是

2.(23-24九年級(jí)上?廣西南寧.開學(xué)考試)如圖，已知拋物線與無軸交于4(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸相交

于點(diǎn)C,直線y=—2x+3經(jīng)過點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.

6

備用圖

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，使ANCQ的周長最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)尸是(1)中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為t(0<t<3),是否存在△PCD是以CD為底的等

腰三角形？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=jx2+bx+c與直線4B交于點(diǎn)4(0,-4),

B(4,0).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖①，若點(diǎn)”是拋物線的頂點(diǎn)，在x軸上存在一點(diǎn)G,使的周長最小，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).

(3)如圖②，點(diǎn)P為直線4B下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM14B交4B于點(diǎn)“，過點(diǎn)尸作y軸的平行

線交無軸于點(diǎn)N,求應(yīng)PM+PN的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

壓軸題型二運(yùn)用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù)

例2.(2024.浙江寧波.模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)y=a/+加；+3(a40)的圖象過點(diǎn)(1,0).

7

(1)若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線式=-1,求該函數(shù)的表達(dá)式.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)nWxWn+4時(shí)，函數(shù)y有最小值一5,求n的值.

(3)已知a>0,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(石,丫1),(x2,y2),xr+x2=4,且的<%2，試比較為與力的大小?

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級(jí)上?浙江紹興?期中)如圖，拋物線y=/+bx+c與無軸相交于A,8兩點(diǎn)，與y軸相交于

點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)為。，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

(1)填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)。的坐標(biāo)為,拋物線的解析式為

(2)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使APAC是以4C為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

(3)當(dāng)二次函數(shù)y=/+bx+c的自變量x滿足mWxW機(jī)+2時(shí)，函數(shù)y的最小值為：，求機(jī)的值.

2.(2024.山東臨沂.模擬預(yù)測)如圖，拋物線y=ax2-4ax+3a交x軸于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)),

交y軸正半軸于點(diǎn)C,OB=OC,點(diǎn)尸在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接4P,將線段4P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)尸恰好落在y軸上，求P點(diǎn)坐標(biāo).

(3)當(dāng)tWxWt+4時(shí)，函數(shù)的最大值是a,最小值是a-(3=6,求f的值.

8

3.（2024?浙江溫州?三模）二次函數(shù)y=尢2+人乂+c的圖象與無軸交于點(diǎn)2（的,0）,B（久2,0）且久i4久2?

（1）當(dāng)/=2,且b+c=—6時(shí)，

①求6,c的值

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y=/+6%+c的最大值與最小值的差為4,求f的值；

（2）若無］=3X2，求證：-c<3.

壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值

例3.（22-23九年級(jí)上?廣東廣州?期中）某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元.據(jù)市場調(diào)查，銷

售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單

價(jià)不得低于成本.現(xiàn)公司決定降價(jià)出售.

（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價(jià)無（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？（每天的總

成本=每件的成本x每天的銷售量）

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級(jí)下.新疆.專題練習(xí)）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之

間時(shí)，銷售額月（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為％=5x；成本丫2（萬元）與銷售量了（噸）的函

數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中c，是其頂點(diǎn).

（1）求出成本關(guān)于銷售量x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)成本最低時(shí)，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？

9

（3）當(dāng)銷售量是多少噸時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤=銷售額-成本）

2.（23-24九年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中）某水果超市經(jīng)銷一種水果，售價(jià)每千克50元.每千克盈利10元，每天

可售出500千克，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克.規(guī)定每千克

漲價(jià)不能超過8元.

（1）該超市希望每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

（2）超市決定每賣出1千克捐贈(zèng)a元（a<2）給貧困山區(qū)學(xué)生，若每天盈利隨著售價(jià)的增加而增大，求a的取

值范圍.

3.（2024.四川南充?中考真題）2024年“五一”假期期間，闿中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售48兩類特產(chǎn).A類

特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，B類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件A

類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.

（1）求A類特產(chǎn)和8類特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元？

（2）4類特產(chǎn)供貨充足，按原價(jià)銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映，若每降價(jià)1元，每天可多售出10件

（每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）.設(shè)每件A類特產(chǎn)降價(jià)x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量尤的取值范圍.

（3）在（2）的條件下，由于8類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進(jìn)100件且能按原價(jià)售完.設(shè)該店每天銷售這兩

類特產(chǎn)的總利潤為w元，求卬與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤w最大，最大

利潤是多少元？（利潤=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）

壓軸題型四與面積有關(guān)的最值

例4.（23-24九年級(jí)上?吉林?階段練習(xí)）如圖，用長為34米的籬笆，圍成一面利用墻（墻的最大可用長度

為16米）的一個(gè)矩形場地花圃力BCD,4B邊上留有2米寬的小門EF（用其他材料做，不用籬笆圍），設(shè)花

圃的一邊4D長為無（米），面積為y（平方米）.

（1）若矩形場地面積為144平方米，求矩形場地的長和寬;

10

(2)矩形場地的長和寬為多少時(shí)，矩形場地的面積最大，并求出最大面積.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)某校九年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)社團(tuán)課上進(jìn)行紙盒設(shè)計(jì)，利用一個(gè)邊長為30cm的正方

形硬紙板，在正方形紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋紙盒.

(1)若無蓋紙盒的底面積為484cm2,則剪掉的小正方形的邊長為多少？

(2)折成的無蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的小正方形的邊長；如果

沒有，說明理由.

2.(2023?四川綿陽?模擬預(yù)測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在x軸和y軸的正半軸上,04=6,

OC=4,以。4OC為鄰邊作矩形0A8C,動(dòng)點(diǎn)M,N以每秒1個(gè)單位長度的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),

其中點(diǎn)M沿2。向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了/秒時(shí)，過點(diǎn)N作NPLBC,

交。8于點(diǎn)P,連接MP.

(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)為一，直線。B的函數(shù)表達(dá)式為二

(2)記AOMP的面積為S,求S與f的函數(shù)關(guān)系式(0<t<6)；并求f為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值.

3.(23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí))如圖，在Rt、4BC中，AC=24cm,3c=7cm,尸點(diǎn)在8C上，從8

點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(不包括C點(diǎn))，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)(不包括A點(diǎn))，

速度為5cm/s.若點(diǎn)尸、。分別從夙C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為f秒，請(qǐng)解答下面的問題，并寫出探索

的主要過程.

11

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為5企cm?

(2)當(dāng)，為何值時(shí)，APCQ的面積為15cm2?

(3)請(qǐng)用配方法說明，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，四邊形BPQ4的面積最?。孔钚∶娣e是多少？

壓軸題型五存在性問題

例5.(23-24九年級(jí)上?吉林.階段練習(xí))如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(—1,0)、B(0,3)在拋物線y=-/+

bx+c±,該拋物線的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為九

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)BPly軸時(shí)，求ABCP的面積；

(3)當(dāng)該拋物線在點(diǎn)A與點(diǎn)P之間(包含點(diǎn)A和點(diǎn)P)的部分的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為1時(shí)，求出

m的值；

(4)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E,使AABE是以4B為斜邊的直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024.四川瀘州.中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線;y=4+法+3經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),

與y軸交于點(diǎn)8,且關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

12

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)一1WxWt時(shí)，y的取值范圍是0<y<2t-l,求f的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線4B于點(diǎn)。，在y軸上是否存在點(diǎn)

E,使得以3,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

2.(2024?四川達(dá)州?中考真題)如圖1,拋物線y=a/+kx-3與x軸交于點(diǎn)4(一3,0)和點(diǎn)與y軸交

(2)如圖2,連接AC,DC,直線4C交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,若點(diǎn)P是直線4c上方拋物線上一點(diǎn)，且S“MC=

2SADMC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)。上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,

若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(2024?四川眉山?中考真題)如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

點(diǎn)。在拋物線上.

13

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使AOPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

壓軸題型六二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例6.(2024?陜西榆林?二模)某校為舉辦畢業(yè)典禮，搭建了一個(gè)近似于拋物線形的畢業(yè)拱門，如圖1所示.圖

2為該拱門的示意圖，。4是垂直于水平地面的柱子，拱門的另一端在水平地面上的點(diǎn)B處，拱門到水平地

面的高度y(m)與到柱子。4的水平距離x(m)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=ax2+x+c(a、c為常數(shù),aK0),己知。4=

3m,OB=6m.

圖1圖2

(1)請(qǐng)求出圖2中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)從柱子。4上的點(diǎn)C處拉一條橫幅到拱門的點(diǎn)。處，CD||0B,若CD=44C,小華的身高是1.65小，請(qǐng)問

拉上橫幅后小華不彎腰是否能通過該拱門？

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?江西?中考真題)如圖，一小球從斜坡。點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)y=

a/+bx(a<0)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=刻畫，小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y

(米)的變化規(guī)律如下表：

14

⑴①m=，n=；

②小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間f（秒）滿足關(guān)系丫=-5/+區(qū).

①小球飛行的最大高度為米；

②求v的值.

2.（22-23九年級(jí)下?江西南昌?階段練習(xí)）高樓火災(zāi)越來越受到重視，某區(qū)消防中隊(duì)開展消防技能比賽，如

圖，在一廢棄高樓距地面106的點(diǎn)A和其正上方點(diǎn)8處各設(shè)置了一個(gè)火源.消防員來到火源正前方，水槍

噴出的水流看作拋物線的一部分（水流出口與地面的距離忽略不計(jì)），第一次滅火時(shí)，站在水平地面上的點(diǎn)

C處，水流恰好到達(dá)點(diǎn)A處，且水流的最大高度為12M.待A處火熄滅后，消防員退到點(diǎn)。處，調(diào)整水槍

進(jìn)行第二次滅火，使水流恰好到達(dá)點(diǎn)8處，已知點(diǎn)。到高樓的水平距離為12m，假設(shè)兩次滅火時(shí)水流的最

高點(diǎn)到高樓的水平距離均為3機(jī).建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.水流的高度y（m）與到高樓的水平距離

x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c.

15

(1)求消防員第一次滅火時(shí)，水流所在拋物線的解析式；

(2)若兩次滅火時(shí)，水流所在拋物線的形狀相同，求A、8之間的距離；

(3)若消防員站在到高樓水平距離為9nl的地方，想要撲滅距地面高度12?18根范圍內(nèi)的火苗，當(dāng)水流最高點(diǎn)

到高樓的水平距離始終為37n時(shí)，直接寫出a的取值范圍.

3.(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測)懸掛過山車是武漢歡樂谷經(jīng)典項(xiàng)目之一.如圖4tBtCtEtF為該過山

車的一部分軌道，軌道a-B-C和C-E-F可以各自看成一段拋物線，其形狀相同，B,E分別為兩段

軌道的最低點(diǎn).建立平面直角坐標(biāo)系如圖，點(diǎn)A在y軸上，B,E兩點(diǎn)在x軸上，其中。4=16.9米，08=13

米(軌道厚度忽略不計(jì)).

(1)求拋物線AtC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知在2tBt。軌道上有兩個(gè)位置D和C,且它們到地面的距離相等，軌道拋物線C-EtF最低點(diǎn)E

的坐標(biāo)為(33,0),求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)現(xiàn)需要對(duì)軌道下坡段4-B進(jìn)行安全加固，利用某種材料建造水平和豎直支架GP、GM,HQ、HN,且

要求MN=20M.已知這種材料的價(jià)格是5000元/米，請(qǐng)通過計(jì)算說明：當(dāng)GP多長時(shí)，造價(jià)最低？并求最

低造價(jià)為多少元？

壓軸題型七反比例函數(shù)的綜合問題

例7.(2023?山東?中考真題)如圖，正比例函數(shù)為=六和反比例函數(shù)%=2>0)的圖像交于點(diǎn)4(6,2).

16

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵將直線04向上平移3個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)8,與無=其%>0)的圖像交于點(diǎn)C,連接力B,AC,求A/IBC

的面積.

鞏固訓(xùn)練

1.(2023?江蘇?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)、=履+6的圖像與反比例函數(shù)y=:的圖像相交于

點(diǎn)4(2,4)、B(4,n).C是y軸上的一點(diǎn)，連接C4CB.

(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若△28C的面積是6,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

2.(2022?四川眉山?中考真題)已知直線y=%與反比例函數(shù)y=:的圖象在第一象限交于點(diǎn)M(2,a).

17

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖，將直線y=久向上平移b個(gè)單位后與y=（的圖象交于點(diǎn)4（1,爪）和點(diǎn)8（",-1）,求6的值；

⑶在（2）的條件下，設(shè)直線2B與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C,D,求證：△40D三ABOC.

3.（23-24九年級(jí)上?湖南長沙?階段練習(xí)）我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不同的兩點(diǎn)

P（%i，yi）、Q（x2,y2）,如果滿足--%%那么稱P、Q兩點(diǎn)互為“等差點(diǎn)

⑴請(qǐng)判斷在點(diǎn)4（2,-1）、3（1,4）、C（-2,-1）中，有哪些點(diǎn)與點(diǎn)。（一1,2）互為“等差點(diǎn)”？

（2）已知點(diǎn)E在直線y=X—2上，點(diǎn)尸在雙曲線y=―（k為常數(shù),且左?！?）上，且E、尸兩點(diǎn)互為“等差

x

點(diǎn)”.請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含土的代數(shù)式表示）；

（3）已知拋物線%=。產(chǎn)++2（a,b為常數(shù)且awO、bwO）的頂點(diǎn)為G點(diǎn)，與無軸交于M、N兩點(diǎn)，

GM1GN,P、。兩點(diǎn)分別在拋物線丫1=。％2+坂+2和直線%=;|工-3上，如果尸、Q兩點(diǎn)互為“等差點(diǎn)”，

且P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程依2+次甘x+：=。的兩根，求3a-6的值.

18

第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

目錄

易錯(cuò)題型一忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0.................................................................................................................................1

易錯(cuò)題型二求函數(shù)取值范圍時(shí)忽略拋物線頂點(diǎn)位置................................................2

易錯(cuò)題型三混淆“與x軸交點(diǎn)”和“與坐標(biāo)軸交點(diǎn)”.............................................2

易錯(cuò)題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0.....................................................................................................................2

易錯(cuò)題型五已知圖形面積求反比例函數(shù)中k的值，忽視圖象位置...................................2

壓軸題型一與線段有關(guān)的最值..................................................................5

壓軸題型二運(yùn)用二次函數(shù)區(qū)間最值求參數(shù)........................................................7

壓軸題型三與利潤有關(guān)的最值..................................................................9

壓軸題型四與面積有關(guān)的最值.................................................................10

壓軸題型五存在性問題........................................................................10

壓軸題型六二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用...............................................................10

壓軸題型七反比例函數(shù)的綜合問題.............................................................10

02易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一忽略二次項(xiàng)系數(shù)為o

例1.（23-24九年級(jí)上.江蘇泰州?階段練習(xí)）若y=（小一1次力+皿是關(guān)于X的二次函數(shù)，則的值為（）

A.-2B.-2或1C.1D.0

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義.根據(jù)“形如丫=。/+/?+。9彳0）的函數(shù)關(guān)系，稱為y關(guān)于尤

的二次函數(shù)”，即可求解.

【詳解】解：”=（m-1次后+血是關(guān)于x的二次函數(shù)，

■?■m2+m-2且zn—1力0,

解得：m=-2.

故選：A

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上.安徽黃山?期中）若y=（m—2）**-2—%—3是二次函數(shù)，則小的值是（）

19

A.-2或2B.4C.2D.-2

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如丫=a/+bx+c（a、6、c是常數(shù)，aKO）的函

數(shù)，叫做二次函數(shù)，據(jù)此作答即可.

【詳解】解：:y—（m-2'）xm2~2—x—3是二次函數(shù)，

??.m2—2=2,且m—2彳0,

■?■m--2.

故選：D.

2.（23-24九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期中）已知函數(shù)y=（6-4）%豚-2|是關(guān)于久的二次函數(shù)，則小的值是（）

A.?；?B.0C.2D.4

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義得到關(guān)于皿的方程，解方程即可.

【詳解】解：?.?函數(shù)y=（m—4）尤加-2|是關(guān)于x的二次函數(shù)，

.■.\m-2|=2且m—4于0,

解得m-0.

故選:B.

3.（23-24九年級(jí)上?湖北十堰?階段練習(xí)）若丫=（租+1）乂/-46+5是二次函數(shù)，則根=（）

A.7B.-1C.-1或7D.以上都不對(duì)

【答案】D

【分析】令》的指數(shù)為2,系數(shù)不為0,列出方程與不等式解答即可.

【詳解】由題意得：m2—4m4-5=2；且m+1大0；

解得m=3或1；m豐-1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)題型二求函數(shù)取值范圍時(shí)忽略拋物線頂點(diǎn)位置

例2.（23-24九年級(jí)上?河北邢臺(tái)?期末）函數(shù)y=/+2x-3（-2WxW2）的最大值和最小值分別為（）

A.4和一3B.5和一3C.5和一4D.一1和4

【答案】C

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)求出對(duì)

20

稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：y=/+2%-3中，

對(duì)稱軸％=——=——-=-1,

2a1x2

故在對(duì)稱軸處求出最小值，當(dāng)x=—l時(shí)，y=(-1)2+2x(-1)-3=-4,

當(dāng)％=-2時(shí)，y=(-2)2+2X(—2)—3=-3,

%=2時(shí)，y=2?+2x2—3=5,

故選C.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知二次函數(shù)y=/一4%+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)P,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為根，當(dāng)加時(shí)，

總有T〈y<4m,則m的值為()

3

A.4+V13B.4-V13C.4±V13D.-

4

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì).

將二次函數(shù)的解析式配方成頂點(diǎn)式，可得出拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),對(duì)稱軸是直線x=2,

當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值-1,由已知“當(dāng)時(shí)，總有根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和增減性分類

討論:若0<小32時(shí)，若-;WmWO時(shí)，分別求出機(jī)的值，即可求出答案.

【詳解】解：*=一一4%+3=(%—2產(chǎn)一1,

a=1>0,

???拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),對(duì)稱軸是直線x=2,

???當(dāng)%=2時(shí),y取得最小值-1,

??,當(dāng)機(jī)時(shí)，總有一1Vy<^m,

-<m<2,

4

若0VTHW2,貝!j當(dāng)汽=4時(shí)，y—4m,

BP有4m=4?—4義4+3,

解得：m=-；

若一；工血工0,則當(dāng)％=機(jī)時(shí)，y=4m,

即有4zn=m2—4m+3

21

解得：m=4±V13>不合題意,

??.這種情況不存在，

3

綜上所述，當(dāng)機(jī)時(shí)，總有一l<y?4根，貝|］加=^.

故選：D

2.(24-25九年級(jí)上?全國?假期作業(yè))當(dāng)。一2<%<。時(shí)，二次函數(shù)y=%2—4%+3的最小值為15,貝！Ja的

值為()

A.-2或8B.8C.6D.-2或6

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征找出當(dāng)y=15時(shí)％的值是解題的關(guān)鍵.利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出當(dāng)y=15時(shí)％的值，結(jié)合當(dāng)

時(shí)函數(shù)有最小值15,即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)y=15時(shí)，有/一4%+3=15,

解得：/=-2,x2=6.

??,當(dāng)a-2<x<a時(shí)，函數(shù)有最小值15,

二.a—2=6或a=-2,

???a=8或。=—2,

故選：A.

3.(2023?安徽?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/一2a%+彥+4。(〃為常數(shù)).

(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過(1,4)時(shí)，a=.

(2)當(dāng)a=l時(shí)，一1工支工6時(shí)，4<y<8,則根的取值范圍是.

【答案】一3或114血43/32%之1

【分析】(1)將點(diǎn)(L4)代入即可得；

(2)將a=1代入可得二次函數(shù)的解析式為y=(第一1)2+4,再求出y=8時(shí)，％=-1或％=3；y=4時(shí),

%=1,然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可得.

【詳解】解：(1)將點(diǎn)(1,4)代入y=x2-2ax+a2+4a得：?一2。+/+4。=4,

解得a=1或。=-3,

故答案為：-3或1；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，y=x2—2%+5=(x—I)2+4,

當(dāng)y=8時(shí)，(%—1)2+4=8,解得汽=-1或久=3,

22

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)％=1時(shí)，y=4,

,??如圖，當(dāng)一14%工血時(shí)，4<y<8,

1<m<3,

故答案為：l<m<3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

易錯(cuò)題型三混淆“與x軸交點(diǎn)”和“與坐標(biāo)軸交點(diǎn)”

例3.(23-24九年級(jí)上?浙江杭州?開學(xué)考試)已知函數(shù)y=mx2-2x+m+2的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),

貝Um=.

【答案】0或-2或-1±近

【分析】本題考查了函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，分類討論加=0和mH0兩種情況即可求解.

【詳解】解:①當(dāng)m=0時(shí)，y=-2x+2,該一次函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

②當(dāng)m豐0時(shí)，y=mx2—2x+m+2為二次函數(shù)，

若圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m+2=0,解得：m=-2,

此時(shí)y=-2/—2x,4=4〉0,圖象與x軸還有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

或函數(shù)y=mx2-2x+m+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

.?-4=(-2)2—4mx(m+2)=0,

解得：m——1±^2，

綜上所述：m=0或一2或一1±/；

故答案為：0或一2或—1土近

鞏固訓(xùn)練

23

1.（23-24九年級(jí)上?江蘇無錫?期末）若二次函數(shù)y=x2+2x-b的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則6滿足

的條件是.

【答案】-1或0

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式等知識(shí).熟

練掌握二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

由題意知，分①二次函數(shù)y=x2+2x-b的圖象與x軸有1個(gè)公共點(diǎn)；②二次函數(shù)y=x2+2x-b的圖象與

x軸有2個(gè)公共點(diǎn)，但其中一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，兩種情況求解作答即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=%2+2%-b的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，

分①二次函數(shù)y=x2+2x-b的圖象與x軸有1個(gè)公共點(diǎn)；②二次函數(shù)y=x2+2x-b的圖象與x軸有2

個(gè)公共點(diǎn)，但其中一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，兩種情況求解；

①當(dāng)二次函數(shù)y=x2+2%—6的圖象與x軸有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A=22-4（一匕）=0,

解得b=-1；

②當(dāng)二次函數(shù)y=/+2x-6的圖象與％軸有2個(gè)公共點(diǎn)，但其中一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，b-0,

=刀2+2久=+2）,與%軸有2個(gè)公共點(diǎn),為（—2,0）或（0,0）,

綜上所述，b的值為-1或0,

故答案為：-1或0.

2.（23-24九年級(jí)上.江蘇宿遷?期中）函數(shù)y=k/+3x—4+k與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，求左的值_______.

【答案】0或1或—1或4

【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)k=0,kH0分兩種情況分別求解，當(dāng)k時(shí)再根據(jù)

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況，分兩種情況進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)k=0時(shí)，y=3x-4,為一次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)k豐0時(shí)，

???函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

4=32-4fc（-4+k）=0,解得：k=［或k=一右

當(dāng)函數(shù)與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，其中一個(gè)為原點(diǎn)，此時(shí)k=4,

綜上所述，滿足條件的左有0,~l，p4,

故答案為：?；?T或|或4.

24

2

3.(23-24九年級(jí)上.江西宜春?期末)已知拋物線％=/+4x+3,y2=-x-%+a,若這兩條拋物線與“軸

共有3個(gè)交點(diǎn)，貝必的值為.

【答案】0或6或一］

【詳解】解：*i=x2+4x+3=(x+1)(%+3)

???拋物線％=Y+4x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0),(—3,0),

???拋物線X=x?+4x+3,y2=———x+a與x軸共有3個(gè)交點(diǎn),

二分三種情況：

①拋物線先=---x+a與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則有

(-1)2-4x(-1)xa=0

解得：a=—：

4

②當(dāng)拋物線丫2=-x+a經(jīng)過點(diǎn)(一1,0)時(shí)，則有：

-(-l)2-(-l)+a=0

解得，a=0

③當(dāng)拋物線力=-x2-x+。經(jīng)過點(diǎn)(一3,0)時(shí)，則有：

一(一3)2-(-3)+。=0

解得，a=6

綜上，兩個(gè)拋物線與X軸共有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)。的值有-：，0,6,

4

故答案為：一：,0,6.

4

易錯(cuò)題型四忽視反比例函數(shù)中k不為0

例4.(23-24八年級(jí)下.江蘇淮安?階段練習(xí))已知反比例函效y="，則%不可以取下列的哪個(gè)值()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)定義即可求解.

【詳解】解：y=—,

'X

工k—1手0,即/cW1,

故選：C.

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鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級(jí)上.廣東佛山?期中）如果函數(shù)y=