滬科版九年級數學常見題型專練：二次函數的圖像和性質（解析版）

第02講二次函數的圖像和性質

百)【知識梳理】

—.二次函數的圖象

(1)二次函數y=o?(aWO)的圖象的畫法：

①列表：先取原點(0,0),然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數值，列表.

②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂

點的兩側各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用

平滑的曲線連接起來.畫拋物線y=o?(aWO)的圖象時，還可以根據它的對稱性，先用描

點法描出拋物線的一側，再利用對稱性畫另一側.

(2)二次函數yuai？+bx+c(aWO)的圖象

二次函數(aWO)的圖象看作由二次函數》=內2的圖象向右或向左平移?區(qū)?個

2a

單位，再向上或向下平移|4ac-b2?個單位得到的.

4a

二.二次函數的性質

2

二次函數y^ax^+bx+c(〃W0)的頂點坐標是(——,4ac-b),對稱軸直線工=-—,

2a4a2a

二次函數y二蘇十版+c(。#0)的圖象具有如下性質：

①當a>0時，拋物線y=ax1+bx+c(〃W0)的開口向上，x<-上?時，y隨x的增大而減??；

2a

2

上時，y隨工的增大而增大；1=-且時，y取得最小值二Lb,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當a<0時，y=ax2+bx+c(a#0)的開口向下，x<-工時，y隨尤的增大而增大；

2a

2

X>-旦時，y隨X的增大而減??；x=-2時，y取得最大值4am一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線y=o?+6x+c(aWO)的圖象可由拋物線y=o?的圖象向右或向左平移|-也|個單

位，再向上或向下平移但生二直?個單位得到的.

4a

三.待定系數法求二次函數解析式

（1）二次函數的解析式有三種常見形式：

①一般式：y=ajT+bx+c（a,b,c是常數，aWO）；②頂點式：y=a（x-A）2+k.（a,h,k

是常數，aWO）,其中（h,k）為頂點坐標；③交點式：y=a（x-xi）（尤-尤2）（a,b,c是

常數，aWO）；

（2）用待定系數法求二次函數的解析式.

在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系

式，從而代入數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列

三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；

當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.

D【考點剖析】

二次函數的圖象（共9小題）

1.（2022秋?安徽期中）aSy=ax+ly=cu?+bx+\（aWO）的圖象可能是（）

【分析】分別討論”>0與兩種情況時一次函數與二次函數的圖象的草圖，進而求

解.

【解答】解：當。>0時，直線>=亦+1從左至右上升，拋物線開口向上,

選項A正確，選項2,￡>錯誤.

當a<0時，直線y=ax+l從左至右下降，拋物線》="2+版+1開口向下，

選項C錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查函數的圖象，解題關鍵是掌握一次函數與二次函數圖象與系數的關系.

2.（2022秋?懷遠縣期中）如圖所示的拋物線是二次函數＞=Cm-2）x2-,ix+nr+m-6的圖

4象，那么m的值是-3.

【分析】由圖可知，二次函數圖象經過坐標原點，然后代入函數解析式進行計算即可求

出根的值，再根據拋物線開口向下求出機的取值范圍，從而得解.

【解答】解：?二次函數y=（m-2）A2--6經過（0,0）,

??nr+m-6—0,

解得見=2,m2—-3,

??,拋物線開口向下，

；?m-2V0,

解得m＜2,

Am--3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查了二次函數圖象，觀察圖形得到拋物線經過坐標原點是解題的關鍵，

要注意根據拋物線的開口方向確定出m的取值范圍，這也是本題容易出錯的地方.

3.（2022秋?大觀區(qū)校級月考）已知函數＞=|7-4|的大致圖象如圖所示，那么：方程|?-4|

=m.（初為實數）

①若該方程恰有3個不相等的實數根，則根的值是m=4.

②若該方程恰有2個不相等的實數根，則根的取值范圍是八=0或m＞4.

【分析】方程|7-4|=加（根為實數）有3個，2個不相等的實數根，可以轉化為函數＞=

k2-4|的圖象與直線y=機的圖象有3個，2個交點，由此即可解決問題.

【解答】解：①方程廿-4|=機（機為實數）有3個不相等的實數根，可以轉化為函數y

=|?-4|的圖象與直線y=m的圖象有3個交點，

因為函數y=|f-4|與y軸交點（0,4）,

觀察圖象可知，兩個函數圖象有3個交點時，m=4.

故答案為：根=4.

②方程k2-4|=m（m為實數）有2個不相等的實數根，可以轉化為函數y=[x2-4|的圖

象與直線y=m的圖象有2個交點，

因為函數〉=4-4|與y軸交點（0,4）,

觀察圖象可知，兩個函數圖象有2個交點時，相>4或〃z=0.

故答案為：加>4或7〃=0.

【點評】本題考查二次函數的圖象、根的判別式等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思

想思考問題.

4.（2022秋?潁上縣期中）如圖是二次函數y=a?+6x+c的圖象，則函數y=a（x-6）2+c的

圖象可能是（）

【分析】先根據尸a/+6x+c的圖象得到八6、c的正負情況，然后即可得到函數尸a

（x-6）2+c的圖象的開口方向，頂點坐標解頂點坐標所在的位置，從而可以判斷哪個選

項中圖象符合題意.

【解答】解：由;y=ax2+fec+c的圖象可得，

①b>0,c>0,

?.?函數y=a（x-Z?）2+c,

???該函數的圖象開口向下，頂點坐標為。，。），且該函數圖象的頂點在第一象限，

故選：B.

【點評】本題考查二次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，求出小反C的正負情

況，利用二次函數的性質解答.

5.（2022秋?蚌山區(qū)月考）對于二次函數y=（x-1產+2的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下

B.對稱軸是直線尤=-1

C.頂點坐標是（-1,2）

D.當尤VI時，y隨x的增大而減小

【分析】根據題目中的函數解析式，利用二次函數的性質可以判斷各個選項中的說法是

否正確.

【解答】解：???二次函數y=（x-1）2+2,

該函數的圖象開口向上，故選項A的說法錯誤，

對稱軸是直線x=l,故選項3中的說法錯誤；

頂點坐標為（1,2）,故選項C中的說法錯誤；

當x<l時，y隨尤的增大而減小，故選項。中的說法正確；

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標，增減性，解答本題的關鍵是明

確題意，利用二次函數的性質解答.

6.（2022?包河區(qū)三模）已知二次函數y=a?+（6-1）無+c+l的圖象如圖所示，則在同一坐

標系中竺=/+a+1與y2=x-c的圖象可能是（）

【分析】由已知二次函數y=/+（b-l）x+c+l的圖象與x軸的交點的橫坐標在0-1和

1-2之間，就可以確定二次函數y=o?+bx+l與直線y=x-c的交點的橫坐標在0-1和

1-2之間.

【解答】解：；二次函數尸/+（b-1）x+c+1的圖象與x軸的交點的橫坐標在0-1和

1-2之間，

.,.二次函數y=ax2+bx+l與直線y=x-c的交點的橫坐標在0-1和1-2之間，

.,.在同一坐標系中y\=a）?+bx+l與y2=x-c的圖象可能是A,

故選：A.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，二次函數及一次函數的圖象和性

質，熟知以上知識是解答此題的關鍵.

7.（2022秋?利辛縣校級月考）如圖，點E、F、G、〃分別是正方形ABC。邊AB、BC、CD、

D4上的點，且AE=BF=CG=。，.設A、E兩點間的距離為尤，四邊形EFG”的面積為

y,則y與x的函數圖象可能為（）

【分析】本題需先設正方形的邊長為他，然后得出y與x、機是二次函數關系，從而得出

函數的圖象.

【解答】解：設正方形的邊長為相，則機＞0,

\9AE—x,

:?DH=x,

??A.H~~tri~Xj

t：Effi=AE1+AH1,

（m-x）2,

y=/+/-2mr+m2,

y—2j?-27nx+/,

22

=2[（x--Im）+-lm],

24

=2（X-—/M）2+—

22

與x的函數圖象是A.

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關

鍵.

8.（2021秋?金安區(qū)期末）已知等腰直角△ABC的斜邊AB=4&,正方形DEPG的邊長為

品,把△ABC和正方形。EPG如圖放置，點8與點E重合，邊與EP在同一條直線

上，將△ABC沿4B方向以每秒、歷個單位的速度勻速平行移動，當點A與點E重合時停

止移動.在移動過程中，△ABC與正方形。E/G重疊部分的面積S與移動時間f（s）的

函數圖象大致是（）

【解答】解：①當0<//1時，S=JxV2t-V2七=凡函數為開口方向向上的拋物線;

c

DG

AEBF

②當1</W2時，如圖2,

圖2

設BC交FG于H,貝ij尸

則GH=[2-BF=2>/2-V2t)

s=s正方形DEFG-SAHMG=(點)2-(2V2W2t)2=-P+4r-2,函數為開口方向

向下的拋物線；

③當2C/W3時，5=2；

④當3</W4時，同理可得5=2總又(后)2=-金+6，-7,函數為開口方向向

下的拋物線；

故只有選項C符合題意.

故選：C.

【點評】此題主要考查了動點問題的函數圖象，根據題意得出相應的函數關系式是解答

本題的關鍵.

9.(2022秋?杜集區(qū)校級月考)已知二次函數y=(x-2)2-4.

(1)在給定的直角坐標系中，畫出這個函數的圖象；

(2)根據圖象，直接寫出當y<0時x的取值范圍.

【分析】(1)利用列表，描點，連線作出圖形即可；

(2)寫出函數圖象在x軸下方的部分的x的取值范圍即可.

【解答】解：(1)列表：

X.??01234???

y.??0-3-4-30???

描點、連線如圖;

(2)由圖象可知：當y<0時x的取值范圍是0<x<4.

【點評】本題考查了二次函數圖象，注意：二次函數的解析式的三種形式：

(1)一般式：y=a>?+bx+c(aWO,a、b、c為常數)；

(2)頂點式：y=a(尤-/i)2+k；

(3)交點式(與x軸)：y=a(x-尤1)(x-%2).

—.二次函數的性質(共17小題)

10.(2022秋?田家庵區(qū)校級月考)拋物線y=2(x+9)2-3的頂點坐標是()

A.(9,3)B.(9,-3)C.(-9,3)D.(-9,-3)

【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標.

【解答】解：；y=2(x+9)2-3,

拋物線頂點坐標為(-9,-3),

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數的頂點式.

11.(2022秋?淮南月考)拋物線y=/-6x+9的頂點坐標是()

A.(3,0)B.(-3,0)C.(-3,9)D.(3,9)

【分析】先將拋物線解析式化為頂點式，即可得到該拋物線的頂點坐標.

【解答】解：?.?拋物線y=7-6x+9=(x-3)2,

...該拋物線的頂點坐標為(3,0),

故選：A.

【點評】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是可以將拋物線解析式化為頂點式.

12.（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）拋物線y=（x+1）2-1的對稱軸是（）

A.直線x=0B.直線尤=1C.直線x=-lD.直線y=l

【分析】根據拋物線的頂點式，可以寫出該拋物線的對稱軸，本題得以解決.

【解答】解：.??拋物線的解析式為y=（x+l）2-1,

該拋物線的對稱軸是直線x=-1,

故選：C.

【點評】本題考查將二次函數的性質，解析式化為頂點式y(tǒng)=a（x-A）~+k,頂點坐標是

（〃，￡）,對稱軸是直線x=/i.

13.（2022秋?蕪湖期中）在同一平面直角坐標系中作出y=2/,y=-2?,丫弓*2的圖象，

它們的共同點是（）

A.關于y軸對稱，拋物線的開口向上

B.關于y軸對稱，拋物線的開口向下

C.關于y軸對稱，拋物線的頂點都是原點

D.當x>0時，y隨x的增大而減小

【分析】根據解析式中的a值判斷拋物線的開口方向，再由解析式求出頂點坐標和對稱

軸.

【解答】解：；在函數y=2/,y=-27,yn/x2中，。取值范圍分別為：a>0,a<Q,

a>0f

???拋物線的開口方向分別為：向上，向下，向上，

由函數y=2f,y=-,y蔣的解析式可知，

頂點坐標都為（0,0）,

.??它們的共同點是關于>軸對稱，拋物線的頂點都是原點.

故選：C.

【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握y=/的圖象關于y軸對稱，頂點為原點

是解題關鍵.

14.（2022秋?淮南月考）定義符合加”{a,6}的含義為:當a>6時，加w{a,b]=b；當

b,min{a,b}—a,如：min{\,-3}=-3,min{-4,-2}=-4.則冽沅-x]

的最大值是（）

A.0B.1C.娓+]D.疾

22

【分析】先求出兩個函數的交點坐標，再根據初的定義解答即可.

2

【解答】解：聯(lián)立，y=-x+i,

y=-x

_1小1-V5

Xi『一、2=2

解得

min[-7+1,-x｝的最大值是1二1

所以,

2

故選:D.

【點評】本題考查了二次函數的最值問題，讀懂題目信息，理解定義符號的意義并考慮

求兩個函數的交點是解題的關鍵.

15.（2022秋?蚌埠期中）下列拋物線中，與拋物線y=7-2x+4具有相同對稱軸的是（）

A.y=4/+2尤+1B.y=W-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2^+4x

【分析】根據題目中的拋物線，可以求得它的對稱軸，然后再求出各個選項中的二次函

數的對稱軸，即可解答本題.

【解答】解：：拋物線y=7-2x+4=（x-1）2+3,

該拋物線的對稱軸是直線x=1,

A、y=4?+2x+l的對稱軸是直線尤=--2—=-工，故該選項不符合題意；

2X44

B、v=？-4x的對稱軸是直線x=-二^=2,故該選項不符合題意；

1X2

C、j=2?-x+4的對稱軸是直線x=--^=1,故該選項不符合題意；

2X24

D、y=-2r+4x的對稱軸是直線》=--^=1,故該選項符合題意.

■2X-2

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質

解答.

16.（2022秋?安徽期中）若拋物線尸-2Cx+m-1）2-3m+6的頂點在第一象限,則根的

取值范圍是（）

A.m<1B.m<2C.l<m<2D.-2<m<-1

【分析】直接利用頂點形式得出頂點坐標，結合第一象限點的特點列出不等式解答即可.

【解答】解：：拋物線y=-2（x+m-1）2-3m+6,

頂點坐標為（-/"+1,-3/〃+6）,

?.?頂點在第一象限，

-m+1>0,-3m+6>0,

...根的取值范圍為m<1.

故選：A.

【點評】本題考查二次函數的性質，二次函數y=。（尤-/力2+左的頂點坐標為（九%）,

以及各個象限點的坐標特征.

17.（2022秋?利辛縣月考）如圖選項中，能描述函數y=a/+b與y=ax+6,（浦<0）的圖

象可能是（）

【分析】根據二次函數的性質和一次函數的性質，可以判斷出各個選項中函數y=ax1+b

與y=ax+b中a、b的正負情況，然后即可判斷哪個選項符合題意.

【解答】解：選項A中y=or+b的a<0,6>0,y=o?+6的a>0,b>0,故選項A不符

合題意；

選項B中y=ox+b的a>0,b<Q,y=a/+6的a>0,b<0,故選項B符合題意；

選項C中y=ox+6的a<0,b>0,y=/+b的a<0,b<0,故選項C不符合題意；

選項。中y=ax+6的a>0,b<0,y=a/+6的a<0,b<0,故選項D不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查二次函數的性質、一次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用

數形結合的思想解答.

18.（2022秋?包河區(qū)校級月考）已知二次函數>=辦2+a+。的圖象如圖所示，則一次函數y

=6x+c的圖象和反比例函數尸巨也婦的圖象在同一坐標系中大致是（）

y

-io\i力

【分析】先根據二次函數的圖象開口向下和對稱軸可知b〈0,由拋物線交y的正半軸，

可知。>0,由當％=1時，yVO,可知o+b+cVO,然后利用排除法即可得出正確答案.

【解答】解：???二次函數的圖象開口向下，

?\a<0,

：一2<0,

2a

：.b<0,

???拋物線與y軸相交于正半軸，

；.c>0,

二?直線y=/zx+c經過一、二、四象限，

由圖象可知，當％=1時，yVO,

a+A+cVO,

反比例函數y苴X的圖象必在二、四象限，

X

故A、B、D錯誤,C正確；

故選：C.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，反比例函數及一次函數的性質，

熟知以上知識是解答此題的關鍵.

19.（2022?定遠縣校級一模）如圖，函數y=1-x,+2x（x；0）的圖象，若直線丫二%+m與

-x（x<0）

該圖象只有一個交點，則m的取值范圍為或mWO

【分析】利用排除法，先求得直線y=x+〃z與該圖象有兩個或三個交點時的取值，則

可求得結論.

【解答】解：由題意，直線尸x+m與函數尸〕-x”+2x(x>0)的圖象恒相交，

-x(x<0)

①當m>0時，直線y—x+m與直線尸-x(x<0)恒相交，與拋物線y=-f+2x(x>

0)至少有一個交點時，即方程x+加=-/+2x(x>0)有兩個實數根，

??X-x+TTl0,

.??△=(-1)2-4XlXm^0,

解得：

.?.當0<1r時，直線y=x+m與函數y=1-X2+2X(X>0)的圖象有兩個或三個交

4(-x(x<0)

點，

.?.當時，直線>=尤+/與函數y=-x"+2x(x->0)的圖象只有一個交點；

4-x(x<0)

②當mWO時，由圖象可知，直線產X+m與函數尸!-x~2x(x>0)的圖象只有一

「X(x<0)

個交點，

綜上，若直線y=x+m與該圖象只有一個交點，則m的取值范圍為m》人或mWO.

4

故答案為：m〉」或mWO.

4

【點評】本題主要考查了一次函數的圖象的性質，二次函數圖象的性質，一次函數圖象

上點的坐標的特征，二次函數圖象上點的坐標的特征，圖象的交點與一元二次方程根的

判別式的關系，利用數形結合法解答是解題的關鍵.

20.(2022秋?蜀山區(qū)校級月考)求下列二次函數圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸:

(1)y=3f-6x+4；

(2)y=-：+2%+2

22

【分析】（1）將題目中的函數解析式化為頂點式，即可寫出該函數圖象的開口方向、頂點

坐標和對稱軸；

（2）將題目中的函數解析式化為頂點式，即可寫出該函數圖象的開口方向、頂點坐標和

對稱軸.

【解答】解：（1）Vy=3?-6x+4=3（尤-1）2+1,

，該函數圖象的開口向上，頂點坐標為（1,1）,對稱軸為直線x=l；

2

（2）,.>=-AX+2X+A=-A（x-2）2+_i,

2222

該函數圖象的開口向下，頂點坐標為（2,1）,對稱軸為直線x=2.

2

【點評】本題考查二次函數的圖象、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用

二次函數的性質解答.

21.（2022秋?利辛縣月考）已知關于x的二次函數丫=以2-2依+1（a<0）：

（1）該函數圖象的對稱軸是直線x=^.

（2）當天>加時，y隨x的增大而減小，則一的取值范圍是.

【分析】（1）利用對稱軸公式即可求得；

（2）利用二次函數的性質即可得出結論.

【解答】解：（1）函數圖象的對稱軸是直線x=-二紅=1,

2a

故答案為：1；

（2）'：a<0,

拋物線開口向下，

:對稱軸為直線尤=1,

...當x>l時，>隨x的增大而減小，

...當x>〃z時，y隨x的增大而減小，

'-m的取值范圍是機》1,

故答案為：m^l.

【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，熟練掌握二次函數的性質是解題的

關鍵.

22.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）已知拋物線y=d-2x-2.

（1）在平面直角坐標系中畫出這條拋物線.

（2）直接寫出這條拋物線的對稱軸，頂點坐標.

(3)直接寫出當x取什么值時，y隨x的增大而減小?

(4)直接寫出當x取什么值時，y>l?

【分析】(1)列表、描點，連線，在坐標系內畫出函數圖象即可;

(2)由(1)可得出結論；

(3)根據拋物線的對稱軸可直接得出結論；

(4)直接根據函數圖象可得出結論.

【解答】解：(1)列表：

X…-10123???

y…1-2-3-21…

描點、連線畫出函數圖象如圖

yn

■4什-

公

rl-

■

I1

0

0?

1

■-■

7-:

I-

I-

T■T■

T

:

—

I一r

T■-■

I-:T

I-

-

T■-，■

I-：E

-

—-

.■-?■

-

-

-

-

-

(2)拋物線的對稱軸為直線x=l,頂點坐標為(1,-3)；

（3）由函數圖象可知，當尤<1時，y隨x的增大而減??；

（4）由函數圖象可知，當尤<-1或x>3時，y>l.

【點評】本題考查的是二次函數的性質，能根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解

答此題的關鍵.

23.（2022?包河區(qū)二模）在函數學習中，我們經歷了列表，描點、連線畫函數圖象，并結合

圖形研究函數性質及其應用的過程，以下是研究三次函數^二一+旦%21^。）的性質時.列

（2）結合圖象，直接寫出工工+3忘0?+旦一的解集為：-6WxW-2或x22

24

【分析】（1）把x=7,y=S代入y=/+2x2（aWO）求得a.然后利用函數解析式分

84

別求出機、n,利用描點法畫出圖象即可；

（2）利用圖象即可解決問題.

【解答】解：（1）把x=-1,y=$代入丁=0?+±，（a#0）得，-a+±=$,

8448

解得a=l,

8

當x=-4時，x3+—X2=4；

84

當x=-2時，x3+—X2=2；

84

??77t—4,〃=2,

（2）由圖象可知，不等式2x+3W/+旦x2的解集為-6WxW-2或x22.

24

故答案為：-6?忘-2或了，2.

【點評】本題考查函數圖象和性質，能夠從表格中獲取信息，利用描點法畫出函數圖象，

并結合函數圖象解題是關鍵.

24.（2022?淮北一模）設二次函數”、”的圖象的頂點坐標分別為Q，6）、（c、d）,若a=

2c、b=2d,且兩圖象開口方向相同，則稱yi是"的“同倍項二次函數”.

（1）寫出二次函數y=f+x+l的一個“同倍項二次函數”；

（2）已知關于x的二次函數yi=/+nx和二次函數＞2=/+3加+1,若yi+y2是yi的“同

倍項二次函數”，求〃的值.

【分析】（1）先求出y=/+x+l的頂點坐標，然后根據同倍項二次函數的定義求出答案；

（2）先求出yi和yi+”的解析式并求出頂點坐標，然后根據條件a=2c,b=2d,且開口

方向相同求出”的值.

【解答】解：⑴Vy=?+x+l,

.*.y=(x+—)2+—,

24

二二次函數y=W+x+l的頂點坐標為(-/，總)，

...二次函數y=/+x+l的一個“同倍項二次函數”的頂點坐標為(-1,"I),

.??同倍項二次函數的解析式為尸(x+l)2+-|；

(2)yi=x1+nx=(x+—)2-,

24

2

頂點坐標為(-2，-二一)，

24

丁1+〉2=/+依+/+3〃1+1=2/+4依+1=2(x+〃)？+1-2〃2,

頂點坐標為(-〃，1-2n2),

??,"+”是yi的“同倍項二次函數”，

2

???1-2層=2><(-二一)，

4

解得：〃=±返.

3

【點評】本題主要考查了二次函數的性質，解答本題的關鍵是掌握“同倍項二次函數”的

定義，理解題意，按條件的要求求得答案即可.

—Y+2(1)

25.(2021秋?安慶期末)已知函數>=

-x+4x(x>1)

(1)用描點法畫出此函數的圖象；

(2)根據圖象，直接寫出當x為何值時，y隨著x的增大而減?。?/p>

(3)當>=左時，對應的自變量x的值有2個，直接寫出發(fā)的取值范圍.

【分析】(1)描點法畫出函數的圖象即可;

(2)觀察圖象即可得到結論；

(3)根據圖象即可求解.

【解答】解：(1)如圖所示；

(2)由圖象可知，當x<l或x>2時，y隨著x的增大而減??；

(3)由圖象可知，左的取值范圍是lWk<3或左=4.

【點評】本題考查了二次函數的圖象和性質，一次函數的圖象和性質，正確畫出函數的

圖象是解題的關鍵.

26.(2022秋?迎江區(qū)期中)定義符號加"{a,b}含義為：當時初%{a,b}=b；當a<

6時加”{a,b]=a.如：min{1,-3}=-3,min[-4,2)=-4.則相位{-/+1,-x]

的最大值是()

A.遍B.遙+1C.1D.0

22

【分析】，〃玩{a,b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數圖象草圖，利用函數圖象的

性質可得結論.

【解答】解：在同一坐標系xOy中，畫出二次函數y=-f+1與正比例函數y=-x的圖

象，如圖所示.設它們交于點A、B.

令-f+l=-x,-x-1=0,解得：兀=_1~，或J■一遍,

22

...A（bV§,,炳T）,B（1/后,一C）.

2222

觀察圖象可知：

①當xW1一遍時,min{-x2+l,-x}=-x2+l,函數值隨x的增大而增大，其最大值為

2

V5-1.

2，

②當上正＜x〈止區(qū)時，min{-j?+\,-X}=-X,函數值隨x的增大而減小，其最大

22

值為小于吏-1；

2

③當X》止區(qū)時，min[-^+1,-x}=-x2+l,函數值隨x的增大而減小，最大值為

2

綜上所述，-x}的最大值是亞二1.

【點評】本題考查了二次函數與正比例函數的圖象與性質，充分理解定義相位{。，6}和掌

握函數的性質是解題的關鍵.

三.待定系數法求二次函數解析式（共11小題）

27.（2022秋?蚌山區(qū)校級月考）已知拋物線的頂點坐標是（2,-1）,且與y軸交于點（0,

3）,這個拋物線的表達式是（）

A.~4x+3B.y—x2+4x+3C.y=x2+4x-1D.-4x-1

【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則設拋物線的頂點式為y=a（x-2）2-1QW0）,

再把（0,3）代入可計算出a的值即可.

【解答】解：???拋物線的頂點坐標為（2,-1）

設拋物線的解析式為y=a（x-2）2-1（“wo）,

把（0,3）代入得：4a-1=3,

解得，a=\.

所以，這條拋物線的解析式為：y=（x-2）2-l=f-4x+3.

故選：A.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，

二次函數的性質，解題的關鍵是根據所給點的特征選擇適當的方法.

28.（2022秋?杜集區(qū)校級月考）若某二次函數圖象的形狀與拋物線>=3/相同，且頂點坐

標為（0,-2）,則它的表達式為v=3?-2或v=-3、-2.

【分析】利用頂點式求解即可.

【解答】解：圖象頂點坐標為（0,-2）,

可以設函數解析式是y=o?-2,

又???形狀與拋物線y=-3,相同，即二次項系數絕對值相同，

間=3,

這個函數解析式是：y=3/-2或y=-37-2,

故答案為：y=3x2-2或y=-3X2-2.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，如果已知三點坐標可以利用一般式

求解；若已知對稱軸或頂點坐標利用頂點式求解比較簡單.

29.（2022?蜀山區(qū)校級三模）如圖，直線y=-x+1與x軸交于點A,直線根是過點A、B

（-3,0）的拋物線的對稱軸，直線y=-x+1與直線”2交于點C,已知點

D（?,5）在直線y=-x+1上，作線段CD關于直線m對稱的線段CE,若拋物線與折線

DCE有兩個交點，則a的取值范圍為（）

y

m

A.B.OCaWl

-」<或

C.a<00<a<lD.a》1或~--

22

【分析】根據題意求得C、。、E的坐標，由對稱軸為尤=-1,得出b=2a,由拋物線y

=a/+bx+c過點A（1,0）得出c=3a,即可得出拋物線為了="2+2辦-3a,然后分兩種

情況：（力若a>0,拋物線開口向上且經過。（-4,5）,求得。=1,由對稱性可知：當

時，拋物線與折線DCE有兩個交點；花)若。＜0,拋物線開口向下且經過C(-1,

2),求得。=-工；由對稱性可知：當。＜-工時，拋物線與折線DCE有兩個交點；據此

22

即可得出結論.

【解答】解：?.?直線y=-尤+1與x軸交于點A,點。("，5)在直線y=-x+1上，

AA(1,0),0(-4,5),

拋物線的對稱軸為尤=-1,

，y=l+l=2,

：.C(-1,2),

VC＞后關于直線％=-1對稱，

：.E(2,5),

.---.----b---_-11,

2a

??b=2a,

把A(1,0)代入拋物線＞=〃/+析+。得c=-3Q,

二?拋物線的解析式為：尸〃/+2〃％-3〃

(z)若〃＞0,拋物線開口向上且經過。(-4,5),把(-4,5)代入＞=以2+2以-3〃

求出：a—1；

由對稱性可知：當。三1時，拋物線與折線OCE有兩個交點；

(法)若〃V0,拋物線開口向下且經過C(-1,2),把。(-1,2)代入＞=。/+2以-

3〃求出：a=--；

2

由對稱性可知：當〃＜-工時，拋物線與折線DCE有兩個交點；

2

綜上所述：當或工時，拋物線與折線。CE有兩個交點；

2

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數的解析式，

二次函數的圖象和性質，分類討論思想的運用是解題的關鍵.

30.(2022秋?包河區(qū)期中)請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點(0,3)的拋物線的表

達式：y=-/+3(答案不唯一).

【分析】根據二次函數的性質，拋物線開口向下。＜0,然后寫出即可.

【解答】解：拋物線解析式為y=-7+3（答案不唯一）.

故答案為：y=-7+3（答案不唯一）.

【點評】本題考查了二次函數的性質，開放型題目，主要利用了拋物線的開口方向與二

次項系數。的關系.

31.（2022秋?無為市期中）形狀與開口方向都與拋物線y=-2/相同，頂點坐標是（0,-

5）的拋物線對應的函數解析式為v=--5

【分析】設拋物線的解析式為y=a（x+Zz）2+k,由條件可以得出。=-2,再將頂點坐標

代入解析式就可以求出結論.

【解答】解：設拋物線的解析式為5,且該拋物線的形狀與開口方向都與拋物線

y=-2,相同，

??Q,———2,

.*.j=-2*-5,

故答案為：y=-27-5.

【點評】本題考查了根據頂點式運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，在解答時

運用拋物線的性質求出。值是關鍵.

32.（2022秋?蜀山區(qū)校級月考）二次函數的圖象如圖所示，求該圖象的解析式.

【分析】由于已知拋物線頂點坐標，則可設頂點式y(tǒng)=a（尤-1）2+4,然后把（-1,0）

代入后計算出a的值即可

【解答】解：由圖象可知，拋物線的頂點為（1,4）,與x軸的交點為（-1,0）,（3,0）,

設拋物線解析式為y=a（x-1）2+4,

把點（-1,0）代入得4?（-1-1）2+4=0,

解得a=-1.

所以二次函數解析式為？=-（%-1）2+4.

【點評】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數

關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一

般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；

當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與X軸

有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.

33.(2022秋?包河區(qū)期中)已知二次函數(aWO)中的尤和y滿足下表:

X???-4-3-2-1012???

y???-50343m-5???

(1)7%的值為0；

(2)求這個二次函數的表達式.

【分析】(1)根據二次函數的對稱性結合表中數據可看出對稱軸是直線x=l,頂點坐標

是(1,-4),所以x=3和x=-1是關于直線尤=1成軸對稱的關系，故可得%=0；

(2)設拋物線的解析式為y=a(尤+1)2+4,同樣也是找一組點的坐標代入即可求出a的

值.

【解答】解：(1)?由表中x、y的對應值可知，當x=0與x=-2時y的值相等，

對稱軸是直線x=26=-b

2

:點(-3,0)關于直線苫=-1的對稱點為(1,0),

??Z7t=0,

故答案為：0；

(2)由表可知，二次函數的頂點坐標為(-1,4),

...設二次函數的表達式為y=a(x+1)2+4.

將(0,3)代入上式得a+4=3,解得a=-l,

故二次函數的表達式為>=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.

【點評】考查了用待定系數法求二次函數解析式的方法.本題中要求熟練掌握二次函數

的基本性質.會從所給出的數據中發(fā)現(xiàn)其對稱關系，求出頂點坐標，拋物線與x軸的交

點坐標是解題的關鍵.

34.(2022秋?瑤海區(qū)校級月考)如圖，拋物線y=/+bx+c經過點A(-1,0),點8(2,-

3),與y軸交于點C,拋物線的頂點為￡>.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點P,使△P8C的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫

出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)待定系數法求解析式即可；

(2)設拋物線上的點P坐標為租2-2m-3),結合方程思想和三角形面積公式列方

程求解.

【解答】解：(1):拋物線y=/+bx+c經過點A(-1,0),點8(2,-3),

.(l_b+c=0

14+2b+c=_3

解得b=