2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、填空題（本大題共12題，滿分54分）只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，第1～6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7～12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分．1．（4分）方程2x＝3的解為．2．（4分）設(shè)z＝，則|z|＝．3．（4分）若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（4，﹣3），則＝．4．（4分）為了解300名學(xué)生的視力情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則分段的間隔為．5．（4分）若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則m+n＝．6．（4分）一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是cm3．7．（5分）已知x，y為實(shí)數(shù)，行列式中元素y的代數(shù)余子式的值大于等于0，則x的范圍是．8．（5分）甲、乙、丙三位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率是．9．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣8x+15＝0，若直線y＝kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是．10．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若滿足對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0和g（x）＜0至少有一個(gè)成立．則m的取值范圍是．11．（5分）已知直線f（x）＝k0x+b與曲線g（x）＝交于點(diǎn)M（m，﹣1），N（n，2），則不等式f﹣1（x）≥g﹣1（x）的解集為．12．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+an+1＝，若數(shù)列{Sn}收斂于常數(shù)A，則首項(xiàng)a1的取值的集合為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）13．（5分）已知α、β是兩個(gè)不同平面，m為α內(nèi)的一條直線，則“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（5分）在等差數(shù)列{an}中a10＜0．a(chǎn)11＞0，且a11＞|a10|，則在Sn中最大的負(fù)數(shù)為（）A．S17 B．S18 C．S19 D．S2015．（5分）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P是拋物線y＝4x2上的點(diǎn)，則使得△OPA是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．4 C．6 D．816．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P是棱CC1的中點(diǎn)，設(shè)直線AB為a，直線A1D1為b，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都成45°角，以下判斷正確的是（）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）17．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A2C⊥CD，如圖2．（1）求證：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小．18．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且8sin2．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a＝，b+c＝3，求b和c的值．19．如圖，A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米，AC＝3千米，BC＝4千米．現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過(guò)t小時(shí)，他們之間的距離為f（t）（單位：千米）．甲的路線是AB，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是ACB，速度為8千米/小時(shí)．乙到達(dá)B地后原地等待．設(shè)t＝t1時(shí)乙到達(dá)C地．（1）求t1與f（t1）的值；（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3千米．當(dāng)t1≤t≤1時(shí)，求f（t）的表達(dá)式，并判斷f（t）在[t1，1]上的最大值是否超過(guò)3？說(shuō)明理由．20．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）設(shè)雙曲線Γ的兩條漸近線的夾角為θ，求cosθ．（2）設(shè)點(diǎn)D是雙曲線Γ上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)N滿足、，求點(diǎn)N的軌跡方程．（3）過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線l交雙曲線Γ于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，求直線AM斜率的取值范圍．21．記無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中最大值為Mn，最小值為mn，令．求：（1）若，寫(xiě)出b1，b2，b3，b4的值；（2）設(shè)，若b3＝﹣3，求λ的值及n≥4時(shí)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）求證：“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分）只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，第1～6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7～12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分．1．【解答】解：∵2x＝3，∴指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式得：x＝log23，故答案為：x＝log23．2．【解答】解：∵z＝＝＝，∴．故答案為：．3．【解答】解：＝﹣sin（+α）＝﹣cosα，∵角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（4，﹣3），∴cosα＝＝，則＝﹣cosα＝﹣，故答案為：﹣4．【解答】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征，得；從300名學(xué)生中抽取20個(gè)學(xué)生，分段間隔為＝15．故答案為：15．5．【解答】解：由線性方程組的增廣矩陣為，可知該線性方程組為，∵該線性方程組的解為，即，∴m＝2，n＝1，則m+n＝3．故答案為：3．6．【解答】解：球的半徑為＝5（cm），球的體積為×53＝（cm3）故答案為．7．【解答】解：∵行列式中元素y的代數(shù)余子式的值大于等于0，∴﹣＝﹣（1）＝﹣1﹣≥0，即，解得0≤x＜1．∴x的范圍是[0，1）．故答案為：[0，1）．8．【解答】解：3位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，共有23＝8種情況，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)，共有23﹣2＝8﹣2＝6種情況，∴所求概率為＝．故答案為：9．【解答】解：∵圓C的方程為x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y＝kx﹣2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，∴只需圓C′：（x﹣4）2+y2＝4與直線y＝kx﹣2有公共點(diǎn)即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y＝kx﹣2的距離為d，則d＝≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案為：．10．【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥0，又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，則二次函數(shù)y＝m（x﹣2m）（x+m+3）圖象開(kāi)口只能向下，且與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左側(cè)，∴，即，解得﹣4＜m＜0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（﹣4，0）．故答案為：（﹣4，0）．11．【解答】解：∵直線f（x）＝k0x+b與曲線g（x）＝交于點(diǎn)M（m，﹣1），N（n，2），故m＝﹣k2，n＝，故函數(shù)f（x）＝k0x+b為增函數(shù)，k0＞0，由y＝k0x+b得：x＝y(tǒng)﹣，故f﹣1（x）＝x﹣，由y＝得：x＝，故g﹣1（x）＝，兩個(gè)反函數(shù)交于（﹣1，m），（2，n）點(diǎn)；兩個(gè)函數(shù)的草圖如下圖所示：當(dāng)x∈[﹣1，0）∪[2，+∞）時(shí)，f﹣1（x）≥g﹣1（x），故答案為：[﹣1，0）∪[2，+∞）12．【解答】解：n＝2k（k∈N*）為偶數(shù)時(shí)，a1+a2＝，a3+a4＝，……，a2k﹣1+a2k＝，Sn＝＝→．（k→+∞）．n＝2k﹣1（k∈N*）為奇數(shù)時(shí)，a2+a3＝，a4+a5＝，……，a2k﹣2+a2k﹣1＝，Sn＝a1+＝a1+→a1+．∵數(shù)列{Sn}收斂于常數(shù)A，∴a1+＝．解得a1＝．故答案為：{}．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）13．【解答】解：α、β表示兩個(gè)不同的平面，直線m?α，m∥β，不一定得到直線與平面平行，還有一種情況可能是直線和平面相交，需要有另一條和它相交的直線也平行于平面，當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，一個(gè)平面上的直線一定平行于另一個(gè)平面，一定存在m∥β∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件故選：B．14．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中a10＜0．a(chǎn)11＞0，且a11＞|a10|，∴a10+a11＞0，∴s20＞0，∵s19＝19a10＜0，故選：C．15．【解答】解：等腰三角形的腰長(zhǎng)不明確，①當(dāng)PA＝PO時(shí)，則P為OA垂直平分線y＝1與拋物線的交點(diǎn)，如圖中的P1，P2；②當(dāng)PO＝AO時(shí)，則P為以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的交點(diǎn)，如圖中的P3，P4；③當(dāng)PA＝AO時(shí)，則P為以點(diǎn)A為圓心，AO為半徑的圓與拋物線的交點(diǎn)，如圖中的P5，P6．綜上所述，使得△OPA是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是6個(gè)．故選：C．16．【解答】解：直線AB與A1D1是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)P不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：取BB1的中點(diǎn)Q，則PQ∥A1D1，且PQ＝A1D1，設(shè)A1Q與AB交于E，則點(diǎn)A1、D1、Q、E、P共面，直線EP必與A1D1相交于某點(diǎn)F，則過(guò)P點(diǎn)有且只有一條直線EF與a、b都相交，故①為真命題；分別平移a，b，使a與b均經(jīng)過(guò)P，則有兩條互相垂直的直線與a，b都成45°角，故②為假命題．∴①為真命題，②為假命題．故選：B．三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）17．【解答】（1）證明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C?平面A1CD，∴A1C⊥DE，∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．（2）解：以C為原點(diǎn)，CB為y軸，CA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0），＝（0，3，﹣2），＝（﹣2，﹣1，0），設(shè)平面A1BE的法向量＝（x，y，z），則，取x＝﹣1，得＝（﹣1，2，），M（﹣1，0，），，cosθ＝＝＝，∴CM與平面A1BE所成角為45°．18．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C＝π﹣A，由條件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2＝7，（1分）又∵cos（B+C）＝﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1＝0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）19．【解答】解：（1）由題意可得t1＝＝h，設(shè)此時(shí)甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，則AP＝v甲t1＝5×＝千米，∴f（t1）＝PC＝＝＝千米；（2）當(dāng)t1≤t≤時(shí)，乙在CB上的Q點(diǎn)，設(shè)甲在P點(diǎn)，∴QB＝AC+CB﹣8t＝7﹣8t，PB＝AB﹣AP＝5﹣5t，∴f（t）＝PQ＝＝＝，當(dāng)＜t≤1時(shí)，乙在B點(diǎn)不動(dòng)，設(shè)此時(shí)甲在點(diǎn)P，∴f（t）＝PB＝AB﹣AP＝5﹣5t∴f（t）＝∴當(dāng)＜t≤1時(shí)，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值沒(méi)有超過(guò)3千米．20．【解答】解：（1）雙曲線的漸近線方程為y＝﹣x和y＝x，即有tanθ＝||＝2，且0＜θ＜，由＝2，sin2θ+cos2θ＝1，解得cosθ＝；（2）設(shè)D（x0，y0），可得2x02﹣y02＝4，點(diǎn)N（x，y）滿足，可得N為BD的中點(diǎn)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)為，可得2x＝1+x0，2y＝+y0，即x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣，則2（2x﹣1）2﹣（2y﹣）2＝4，可得N的軌跡方程為2（x﹣）2﹣（y﹣）2＝1；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線l的方程為y﹣＝k（x﹣1），代入雙曲線方程2x2﹣y2＝4，可得（2﹣k2）x2﹣2k（﹣k）x﹣4﹣（﹣k）2＝0，k≠±，由Δ＝4k2（﹣k）2+4（2﹣k2）（4+（﹣k）2）＞0，解得﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，即有PQ的中點(diǎn)M（，），可得直線AM的斜率為kAM＝＝，由﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，可得kAM∈（﹣4﹣3，﹣）∪（﹣，﹣）．21．【解答】（1）b1＝﹣1，，，b4＝1；（2）λ＝4，；（3）證明略．解：（1）∵an＝2n﹣3n，∴a1＝﹣1，a2＝﹣2，a3＝﹣1，a4＝4，∴b1＝﹣1，b2＝﹣，b3＝﹣，b4＝1；（2）設(shè)，可得a1＝2﹣λ，a2＝4﹣2λ，a3＝8﹣3λ，若b3＝﹣3，可得λ＞0，由6﹣3λ＝﹣6，可得λ＝4；由10﹣4λ＝﹣6，可得λ＝4；由12﹣5λ＝﹣6，可得λ＝，若λ＝4，可得a1＝﹣2，a2＝﹣4，a3＝﹣4，滿足題意；λ＝時(shí)，a1＝﹣，a2＝﹣，a3＝﹣，可得b3＝﹣，不符題意，舍去，綜上可得λ＝4，即有數(shù)列中的項(xiàng)為﹣2，﹣4，﹣4，0，12，40，…，可得b1＝﹣2，b2＝﹣3，b3＝﹣3，b4＝﹣2，bn＝，n≥5，則前n項(xiàng)和Sn＝﹣10+（24+25+…+2n﹣1）﹣2（6+7+…+n+1）＝﹣10+﹣2?（（n﹣4）（6+n+1）＝2n﹣n2﹣3n+2；（3）證明：充分性：若“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”，設(shè)其公差為d，則bn＝，bn+1＝＝bn+，故“數(shù)列{b