高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平行問(wèn)題的證明（解析版）

第三篇立體幾何

專題01平行問(wèn)題的證明

常見考點(diǎn)

考點(diǎn)一線面平行的判定

典例1.如圖所示，在三棱柱ABC-ABG中，。為AC的中點(diǎn)，求證：A與〃平面

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連接交BG于。，連接OD,則由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得

OD//AB,,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論

【詳解】

證明：如圖，連接8。交BG于。，連接0￡),

四邊形BCCA是平行四邊形..?.點(diǎn)。為qC的中點(diǎn).

為AC的中點(diǎn)，,OD為VAB。的中位線，/.OD//AB,.

?；ODu平面BCQ,4月。平面BCQ,，4與〃平面BCQ.

變式1-1.如圖所示，平面五邊形可分割成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和一個(gè)

直角梯形ACDE,其中AE//CD,AE=^CD=^AC,NE4c=90。，現(xiàn)將直角梯形

ACDE沿邊AC折起，使得AE，A8,連接BE、BD,設(shè)線段8c的中點(diǎn)為足

求證：AF//平面BDE；

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取的中點(diǎn)G,連接EG、FG,利用平行四邊形證A尸〃EG,由線面平行的判定可

證A尸〃面BDE.

【詳解】

證明：取8。的中點(diǎn)G,連接EG、FG,由尸為BC的中點(diǎn)，

FGHDC且FG=|CD,又AE//CD且CD=2AE,

：.AE//FGRAE=FG,即四邊形AFGE為平行四邊形，

.'.AF//EG,又EGu面BDE,AF<z[f]BDE,

〃平面BDE.

變式1-2.如圖，四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足

PMPN

—,求證：〃平面ABCD

p

B乜

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

通過(guò)線線平行來(lái)證得MN//平面ABCD.

【詳解】

連接

..PMPN

PB一方,MN//BD,

平面ABCD,BDu平面ABCD,

AW〃平面ABCD

變式1-3.如圖所示，已知正方形ABCD.E、尸分別是A3、。的中點(diǎn)，將VAZ）后沿

DE折起.證明3P//平面ADE.

【答案】證明見解析.

【解析】

通過(guò)證明切7〃即，證得3尸〃平面ADE.

【詳解】

E、尸分別為正方形A3CO的邊AB、C。的中點(diǎn)，

/.EB//FD,且EB=FD,二四邊形￡B/Z）為平行四邊形，

ABF//ED,：EDu平面ADE,而8尸N平面ADE,3/〃平面ADE.

考點(diǎn)二面面平行的判定

典例2.如圖，在四棱錐P-ABCD^,E,F,G分別是PC,PD,的中點(diǎn)，DC//AB,

求證：平面B4B//平面EFG

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行證明.

【詳解】

由于分別是PC,尸。的中點(diǎn)，

所以的是三角形PCD的中位線，

所以EF//DC,

由于DC〃AB,所以EF7/AB,

由于EFU平面叢B,ABI平面E4B,

所以瓦7/平面E4B.

由于E,G分別是PC,8C的中點(diǎn)，

所以EG是三角形P3C的中位線，

所以EG//PB,

由于EG<Z平面PAB,PBu平面

所以EG//平面R4B.

由于所IEG=E,

所以平面力B//平面EFG.

變式2-1.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。一ALB/C/D中，E,F,M分別是A/Q,AiD

和BA上任意一點(diǎn).求證：平面AEF〃平面印WC.

3------------------=-G

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

通過(guò)證明平面\C.DH平面BtAC來(lái)證得平面\EFII平面BtMC.

【詳解】

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知\DIIB\C,

由于A。＜2平面瓦AC,4Cu平面耳AC,

所以4?！ㄆ矫娑鶤C.

同理可證得4G〃平面AAC,

由于AOcAG=A,

所以平面AG?！ㄆ矫鍮|AC,

所以平面A.EFH平面BMC.

百世2-2.如圖，在斜三棱柱ABC-48/G中，點(diǎn)、D,。分別在AC,4G上，那么

當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時(shí)，平面BC/?！ㄆ矫?/p>

【答案】。為AC的中點(diǎn)

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可求解.

【詳解】

連接交于點(diǎn)0,連接0D,由平面BC/D〃平面ABD,

且平面A/BCm平面BDCi=BCi,平面A/BCn平面ABiDi=DiO,

同理AD〃。，,

所以^二能42DC

2G—AD

AODC

又因?yàn)殄?1，所以而=1，即。為AC的中點(diǎn).

UD

變式2-3.如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，棱尸。與EC均垂直于底面

ABCD,PD=2EC,求證：平面￡BC〃平面尸/M.

【答案】見解析

【解析】

由正方形的性質(zhì)得出3C//AD,可得出3c〃平面尸但，由線面垂直的性質(zhì)定理得出

CEIIPD,可得出CE〃平面PZM,再利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論.

【詳解】

由于四邊形ABC。是正方形，，3C//AD,

Q5C（Z平面HM,ADu平面PZM,BC7/平面PZM,

（3尸￡），平面430CEL平面A8CD,-.-CEIIPD,

QCE<Z平面PZM,PDu平面PO4,；.CE〃平面PDA,

QBCICE=C,??平面EBC〃平面尸/M.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)三線面平行的性質(zhì)

典例3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，24,平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,

AB=2PA=4,點(diǎn)E在棱以上，PC〃平面

求證：E為叢的中點(diǎn)；

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連接AC交于點(diǎn)。，連接。E,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得PC//OE,結(jié)合正方形的

性質(zhì)易知。是AC的中點(diǎn)，即0E是中位線，即可證結(jié)論.

【詳解】

證明：連接AC,交BD于點(diǎn)、0,連接。E.

：PC7/面3DE,面BDEc面叢C=OE,PC<Z^BDE,PCu面PAC,

二PC//OE.

:四邊形ABCD是正方形，BD^AC=O,即。是AC的中點(diǎn).

.?.△尸4。中?！晔侵形痪€，故E為上4的中點(diǎn).

變式3-1.四面體ABCD如圖所示，過(guò)棱48的中點(diǎn)E作平行于AO,BC的平面，分

別交四面體的棱8。，DC,C4于點(diǎn)尸，G,H.證明：四邊形EFG〃是平行四邊形.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得E"http://8CrG//3C,所以FG//EH,同理證得

￡F//"G.根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得結(jié)論.

【詳解】

由題設(shè)知，〃平面EFG”,

又平面EFG“八平面&)C=FG,平面EFG"R平面

/.BC//FG,BC//EH,：.FG//EH.

同理E尸〃AD,HG//AD,EF//HG.

故四邊形瓦‘GH是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查平行四邊形的判定，屬于基礎(chǔ)題.

變式3-2.如圖所示，已知三棱柱ABC-ABC中，D是BC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，

設(shè)平面ADBC平面ABC=a,平面ADCC平面A'B'C'=b,判斷直線a,b的位置關(guān)系，

并證明.

【答案】直線a,b的位置關(guān)系是平行，證明見試題解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得A'O'//a,AO/",再證得AD//AD,利用平行

公理，可證得。//4

【詳解】

?平面ABC//平面A'B'C,平面A'DBC平面ABC=a,平面ATTBC平面A'B'C'=A'D',

/.A'D7/a,同理可得AD//b.

又D是BC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，.&BB',而BB'幺,：.DD'2

AA',

，四邊形AADD為平行四邊形，AA'D'/ZAD,因此a//b.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面平行的性質(zhì)定理和平行公理的應(yīng)用.要證明線線平行，可以先證

兩條直線和第三條直線平行，利用公理4,即平行公理可證得兩直線平行.屬于基礎(chǔ)

題.

變式3-3.如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH,求證：CD//

平面EFGH.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證

【詳解】

因?yàn)樗倪呅渭癎”為平行四邊形，

所以砂//GH,

因?yàn)镚Hu平面BCD,EFo平面BCD,

所以跳7/平面BCD,

又因?yàn)椤闒u平面AC。，且平面ACDpI平面BCD=CZ),

所以EF//CD,

又因?yàn)镃D(X平面EFGH,所u平面EFGH,

所以CD〃平面EFGH

考點(diǎn)四面面平行的性質(zhì)

典例4.如圖，在三棱錐P—ABC中，D,E,F分別是PA,PB,PC的中點(diǎn).M是

AB上一點(diǎn)，連接MC,N是PM與DE的交點(diǎn)，連接FN,求證：FN/7CM.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

先通過(guò)中位線，通過(guò)線線平行，證得平面DEF〃平面A8C,在根據(jù)面面平行的性質(zhì)

定理證得尸N//QW.

【詳解】

因?yàn)镈,E分別是PA,PB的中點(diǎn)，所以DE〃AB.

又DEN平面ABC,ABu平面ABC,所以DE〃平面ABC,

同理DF〃平面ABC,且DECDF=D,

所以平面DEF〃平面ABC.

又平面PCMC1平面DEF=FN,

平面PCMC平面ABC=CM,

所以FN〃CM.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線線平行的證明、線面平行的證明和面面平行的證明，其中涉及到

了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，還有面面平行的性質(zhì)定理.在平行轉(zhuǎn)

化的過(guò)程中，已知和求之間，用判定定理還是性質(zhì)定理，要看清楚題目所給的條件

來(lái)判斷.

變式4-1.如圖，在棱錐中，AE:AB=1.3,截面EFG〃底面8DC.已知V6DC的周

長(zhǎng)是18,求VEVG的周長(zhǎng).

【答案】6

【解析】

【分析】

由面面平行可得線線平行，然后由相似三角形可解.

【詳解】

因?yàn)榻孛鍱FG〃底面BDC,且面ABCI面EFG=EG,面ABCI?BCD=BC

所以EG〃BC,

所以7BCD7EGF

又AE:AB=1:3

所以胎=1

nC3

GFEF]

同理可得,

CD~BD~3

EG+GF+FE1EG+GF+FE1

所以-，即Rn------------

BC+CD+DB3183

所以，EG+GF+FE=6,即VEFG的周長(zhǎng)等于6.

變式4-2.如圖，已知平面a〃平面夕，點(diǎn)尸是平面a,夕外一點(diǎn)，且直線PB,PD

分別與a,夕相交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D.如果B4=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求PD

的長(zhǎng).

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

【詳解】

由題意可知：平面「5￡>C|a=AC,平面PaOCl尸=8。,

因?yàn)槠矫?//平面夕，所以BD//AC,

印“士PAPC4327

因此有一=——=>----=一nPD=——

PBPD4+5PD4

變式4-3.如圖所示，兩條異面直線出，OC與兩平行平面。，夕分別交于點(diǎn)5,A

和。，。，點(diǎn)N分別是A5,8的中點(diǎn)，求證：MM/平面。

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

過(guò)點(diǎn)A作AE//CD交a于點(diǎn)E,取AE的中點(diǎn)P,連接MP,PN,BE,ED,BD,AC,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到PN//a,MP//a,即可得到平面MPN//1，再利用面面平行

的性質(zhì)即可得到MNH平面a。

【詳解】

過(guò)點(diǎn)A作AE//CD交a于點(diǎn)E,取AE的中點(diǎn)P,

連接MP,PN,BE,ED,BD,AC,如圖所示：

因?yàn)锳E//CD,所以AE,CD確定平面A￡E?C.

則平面AEE>Cna=DE,平面AEDCn/=AC,因?yàn)?所以AC//DE.

又尸,N分別為AE,C。的中點(diǎn)，

所以PN〃DE,PNaa,DEua,所以PN//a.

又M,P分別為A3,AE的中點(diǎn)，

所以且MPaa,BEua

所以因?yàn)镸PcPN=P,

所以平面AffW//tz.

又跖Vu平面"PN,所以MN〃平面a.

鞏固練習(xí)

練習(xí)一線面平行的判定

1.如圖，四棱錐A-D3CE中，。為底面平行四邊形O3CE對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為AE

的中點(diǎn).求證：AB〃平面OC?

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

以線面平行判定定理去證明即可.

【詳解】

。為底面平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則3O=OE

△ABE中，BO=OE,AF=FE,則AB〃O尸

又ABu平面。0/<=平面。。/，則AB〃平面DCE

2.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-A//。。/中，E,尸分別為。的

中點(diǎn).求證：EFU^-^ABCiDi.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

由E為。。/的中點(diǎn)，尸為3。的中點(diǎn)，得EF為△3。。/的中位線，所以EF7/BD,

從而可證明線面平行.

【詳解】

如圖，連接在△8DD中，

因?yàn)镋為。。的中點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，

所以所為△8OD的中位線，所以EF//BD,

又BD/u平面ABCiDi,ERt平面ABCiDi,

所以ER//平面A8C/D.

3.如圖所示，在四棱錐尸-ASCD中，R4=AD=CD=2AS=2,AB±AD,CD±AD,

PA_L底面ABCD,m為PC的中點(diǎn)。求證：3M//平面尸AD

【答案】證明見解析.

【解析】

取尸。的中點(diǎn)E,連接AE,ME,由三角形的中位線定理可得ME〃8,ME=gc￡>,

而已知AB〃。，AB=^CD,從而得AB〃ME,AB=ME,所以四邊形為平

行四邊形，從而得BM//￡A,再利用線面平行的判定定理可證明

【詳解】

證明：取尸。的中點(diǎn)E,連接

因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，

所以ME〃⑺,=

因?yàn)?8〃CO,AB=^CD,

所以AB=ME,

所以四邊形ABME為平行四邊形，所以R0〃E4,

又因?yàn)锽Ma平面PAD,E4u平面尸AD,

所以3M//平面上M>.

4.如圖，四棱錐尸―ABCD中，PA_L平面ABC。，AD//BC,AB±AD,AD=2BC,M

點(diǎn)在線段尸。上，且滿足"0=29.求證:尸3//平面M4c.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連結(jié)B￡)cAC=O,連結(jié)MO,可證00=230,結(jié)合已知可證尸3//MO,即可證明結(jié)

論.

【詳解】

連結(jié)BZ)cAC=O,VAD//BC,

AD=2BC,.?.00=280,在">瓦)中，連結(jié)MO,

,/DM=2MP,/.PB!IMO,

又PBu面MAC,MOu面舷4C,/.PBH^MAC.

p

【點(diǎn)睛】

本題考查線線垂直的證明，注意空間垂直之間互相轉(zhuǎn)化，考查線面線平行，屬于基

礎(chǔ)題.

練習(xí)二面面平行的判定

5.如圖，在三棱柱ABC-A旦G中，。、P分別是棱AB、的中點(diǎn)，求證：平面APQ//

平面gC，

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

設(shè)BG與gC的交點(diǎn)為。，連結(jié)0。，證明OZ)〃AG,再由線面平行的判定可得AG〃

平面耳C。；由尸為線段A耳的中點(diǎn)，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，證得四邊形為平行四

邊形，得到”//即，進(jìn)一步得到AP〃平面800.再由ACJ/平面瓦CO,結(jié)合面面平

行的判定可得平面APCJI平面B.CD,

【詳解】

證明：設(shè)BG與瓦C的交點(diǎn)為。，連結(jié)0D,

?.?四邊形BCC’Bi為平行四邊形，O為B.C中點(diǎn),

又。是43的中點(diǎn)，「.OD是三角形ABG的中位線，則"http://AC,,

又門仔仁平面BCD,。。匚平面用⑦，

,-,AG〃平面qc。；

?.?尸為線段4瓦的中點(diǎn)，點(diǎn)。是43的中點(diǎn)，

.?■4。〃耳P且AD=與P,則四邊形ADB}P為平行四邊形，

AP//DBt,

又「APC平面片C。，。旦u平面4CQ,

.?.AP〃平面80.

又AG〃平面平中，AC^AP=A,且AQu平面APQ,APu平面APQ,

平面APG〃平面瓦CD.

本題考查直線與平面，平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬

于中檔題.

6.如圖甲，在直角梯形A5E。中，AB//DE,AB1,BE,ABLCD,F、H、G分別

為AC、AD,OE的中點(diǎn)，現(xiàn)將AACD沿CD折起，如圖乙.求證：平面打/G〃平面ME.

【解析】

分別證明出切〃平面ME,G"http://平面加汨，然后利用面面平行的判定定理可得出平

面"/G//平面ABE.

【詳解】

翻折前，在圖甲中，?.?AB_LCD,AB±BE,：.CD//BE,

翻折后，在圖乙中，仍有CD//3E,

?;F、H、G分別為AC、AD,OE的中點(diǎn)，:.FH//CD,HG//AE,:.FH//BE,

?.?5Eu平面ABE,平面ABE,:.FH〃平面ABE.

?.?AEu平面ABE,平面ABE,；."G〃平面ABE.

又FHcHG=H,.,?平面KF7G〃平面ABE.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的證明，證明時(shí)要注意線線位置關(guān)系在翻折前后的變化，考查推

理能力，屬于中等題.

7.如圖，在三棱錐S-ABC中，AS=AB,過(guò)A作AF_LS3,垂足為R點(diǎn)E,G分

別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證：平面EFG//平面ABC.

A

B

【答案】證明見解析

【解析】

由已知可得/為S3中點(diǎn)，點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)，可得跖/MB,證得

￡F〃平面A8C,同理EG//平面48C,即可證明結(jié)論.

【詳解】

證明：因?yàn)镾A=AB,AF1SB,垂足為R所以尸是S3的中點(diǎn).

又E是&1的中點(diǎn)，所以EQMB.

因?yàn)镋F<Z平面ABC,AB1平面ABC,所以所//平面ABC.

同理EG//平面ABC.又EFC\EG=E,EF,EGu平面EFG,

所以平面EFG//平面ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖所示，在多面體A8CDE/中，四邊形ABC。是菱形，EF//AC,G是DE的

中點(diǎn).求證：面ACG〃面

【答案】證明見解析

【解析】

根據(jù)已知條件可證OG〃面3所，AC//面BEF,即可證明結(jié)論.

【詳解】

如圖所示，

連接交AC于點(diǎn)0,連接0G,

易知。是8。的中點(diǎn)，WOGIIBE.

又BEu面BEF,OGaffiBEF,所以O(shè)G〃面BEE

因?yàn)镋F〃AC,ACe面BEE所以AC//面3EF

又AC與0G相交于點(diǎn)O,AC,OG^ACG,

所以面ACG//面BEF.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)三線面平行的性質(zhì)

9.如圖，A3是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于的點(diǎn)，尸為平面ABC外一點(diǎn)，E,F

分別是「APC的中點(diǎn).記平面5EF與平面ABC的交線為I,試判斷直線I與平面PAC

的位置關(guān)系，并加以證明.

【答案】〃/平面PAC,證明見解析.

【解析】

【分析】

利用線面平行的判定定理可得EFH平面ABC,再由線面平行的性質(zhì)定理可得EFHI,

最后再次根據(jù)線面平行的判定定理可得///平面PAC.

【詳解】

直線〃/平面尸AC,證明如下：

因?yàn)橥逨分別是PAPC的中點(diǎn)，所以EF//AC.

又EFO平面A3C,且ACu平面A3C,

所以所〃平面A3C.

而EFu平面BEF,且平面平面ABC=/,

所以EF/〃.

因?yàn)槠矫鍼AC,￡Fu平面PAC,

所以〃/平面PAC.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，解題時(shí)注意兩類平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，本題屬于基礎(chǔ)

題.

10.如圖，五面體ABCDEF中，四邊形為矩形，跖〃平面ABCD,

EA=ED=AD=EF=2,AB=4,/為BC中點(diǎn).求證：EM〃平面3DE；

【答案】詳見解析.

【解析】

取8。中點(diǎn)0,連。M,OE,由所〃平面ABC。，可證EF//CD,進(jìn)而證明四邊形EfMO

為平行四邊形，得到OE//RW,即可證明結(jié)論.

【詳解】

取8。中點(diǎn)。，連。

QEFH平面ABCD,所u平面EFCD,

平面EFCD「平面ABCD=CD,:.EF//CD

???加為BC中點(diǎn)，:.OM/ICD,:.OMUEF,

=-CD,EF=-CD,:.OM=EF,

22

四邊形EHWO為平行四邊形，

OEu平面BDE,FM<2平面BDE,

【點(diǎn)睛】

本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明直線與平面平行，要注意直線與平面平行

性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，加是尸C的中點(diǎn)，在

上取一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G和AP作平面，交平面于GH,點(diǎn)H在線段上.求證：

AP//GH.

【答案】證明見解析

【解析】

連接AC交80于點(diǎn)0,連接MO,推導(dǎo)出MO//PA.從而AP〃平面比如.由線面平行

的性質(zhì)定理可證明AP//GH.

【詳解】

證明：如圖，連接AC,設(shè)AC交雙）于點(diǎn)。，連接MO.

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

，。是AC的中點(diǎn)

又M是PC的中點(diǎn)，MO//PA.

又MOu平面BDM,PA(Z平面BDM,

，N/平面JRDM

又平面R田G,平面B4HGC平面=

/.AP//GH.

【點(diǎn)睛】

本題考查線線平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖所示，在多面體442-。C8A中，四邊形A41AB,ADD^,ABC。均為正

方形，E為8Q的中點(diǎn)，過(guò)A，。"的平面交Cj于F.

證明：EFHBXC.

【答案】見解析

【解析】

通過(guò)四邊形4印第為平行四邊形，可得4C//AD,利用線面平行的判定定理即得結(jié)

論；

【詳解】

=CD

證明：?.-B1C=4<DJ=L>

，四邊形A4C。為平行四邊形，

又?.?4CC平面WAOu平面AEFD

.-?BQH平面片EFD,

又因?yàn)槠矫?應(yīng)叫1平面用CR=EF,4CU平面片CR,

:.EF//B\C-

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)四面面平行的性質(zhì)

13.如圖，已知尸，點(diǎn)P是平面外的一點(diǎn)，直線叢和PC分別與夕相交于3

和D.

（1）求證：AC//BD；

（2）已知PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求P￡）的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）一27

4

【解析】

【分析】

（1）由面面平行的性質(zhì)定理得證線線平行；

（2）由平行線的性質(zhì)可求得線段長(zhǎng).

【詳解】

（1）PB^}PD=P,所以確定一個(gè)平面PB￡）,

由題意平面尸=平面28?？凇?8。，a11/3

所以AC//即；

(2)由(1)AC//BD,所以黑=備，所以。=與*=歲=9，

jtvJLJJLxYi"i"

1527

所以尸O=PC+CD=3+—=—.

44

14.如圖①，在直角梯形A8CP中，AP//BC,AP±AB,AB=BC=^AP,。為AP的

中點(diǎn)，E,F,G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐

P-ABCD,如圖②.求證:在四棱錐PABCO中，AP〃平面MG

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

通過(guò)證明平面EFGH平面P4S來(lái)證得AP//平面EFG.

【詳解】

在四棱錐P43CO中，E,尸分別為PC,PD的中點(diǎn)，：.EF//CD.

■:ABHCD,：.EF//AB.VEFdTffiPAB,A3u平面物8,

.,.ER〃平面PAB.

同理E