高中數(shù)學專項復習：非線性回歸方程（原卷版）

專題2非線性回歸方程

例1.某景區(qū)的各景點從2009年取消門票實行免費開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶動了該市淡季

的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅(qū)動的理想結(jié)構(gòu)快速轉(zhuǎn)變.下

表是從2009年至2018年，該景點的旅游人數(shù)y（萬人）與年份尤的數(shù)據(jù)：

第X年12345678910

旅游人數(shù)..（萬300283321345372435486527622800

人）

該景點為了預測2021年的旅游人數(shù)，建立了y與x的兩個回歸模型：

模型①：由最小二乘法公式求得y與尤的線性回歸方程夕=50.8r+169.7；

模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線的附近.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程》=ae*.（a精確到個位，8精確到0.01）.

（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測2021

年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬人，精確到個位）.

回歸方程①y=50.&t+169.7

②f=aehx

103040714607

?=1

參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明:

（V],Wj）,（V,W"）,

①對于一組數(shù)據(jù)2Wj）,（yn,其回歸直線舟=&+歷的斜率和截距的最小二乘法

n

Z（嗎一訪）（'-V）

估計分別為B=---蟲-----…--------------,&=訪—價.

Z=1

￡『用

②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=1-^1-------------.

Z=1

③參考數(shù)據(jù)：e5-46?235,eL43?4.2.

Xyu101010

之(X’F

-x)(y.-y)-W)

j=li=li=l

5.54496.058341959.00

1

表中

%-如-

10

旅9

x8x8)l

游78

8

人

x5x8)l

數(shù)4?

??

K3)ol?

y2??

行oo8l

1

A)金

(xo)l

-o246

12

例2.近年來，隨著國家綜合國力的提升和科技的進步，截至2018年底，中國鐵路運營里程達13.2萬千

米，這個數(shù)字比1949年增長了5倍；高鐵運營里程突破2.9萬千米，占世界高鐵運營里程的60%以上，居

世界第一位.如表截取了2012-2016年中國高鐵密度的發(fā)展情況（單位：千米/萬平方千米）.

年份20122013201420152016

年份代碼12345

高鐵密度9.7511.4917.1420.6622.92

已知高鐵密度y與年份代碼x之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=a/（a為大于。的常數(shù)）.若對y=axb兩邊取自然對數(shù),

得到姐=blnx+lna,可以發(fā)現(xiàn)/與加x線性相關(guān).

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程（/〃&,/保留到小數(shù)點后一位）；

（2）利用（1）的結(jié)論，預測到哪一年，高鐵密度會超過30千米/萬平方千米.

參考公式：設(shè)具有線性相關(guān)系的兩個變量x,y的一組數(shù)據(jù)為（七,%）（i=l,2,……〃），

WX--元-刃

則回歸方程5=+&的系數(shù)：5=上、-----------，a=y-bx.

f（”行

i=l

5_______5___55

參考數(shù)據(jù)：^Inx.^ny.-Slnx^ny?0.92,><lnxJ?-5(lnx)2?1.6,^Inx.?5,Iny.?14,2P7.4,

i=li=li=li=l

ln30?3.4.

例3.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如

1210

10

100

90

80

780

50

40

30

20

10

°1020304050607080

年營銅費用八萬元）

圖2

產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在［50,70）的為三等品，在［70,90）的為二等品，在［90,110］的為一等品，該產(chǎn)品的三、二、

一等品的銷售利潤分別為每件1.5,3.5,5.5（單位：元），以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替

產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；

（2）該公司為了解年營銷費用X（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對近5年的年營銷

費用芭和年銷售量X?=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

5555

i=li=li=li=l

16.3024.870.411.64

一[5_]5

表中％=lnx,,匕=lny,u=--^Jui,v=-^Jvi

3i=l3i=l

根據(jù)散點圖判斷，y=?？梢宰鳛槟赇N售量y（萬件）關(guān)于年營銷費用X（萬元）的回歸方程.

（回）建立y關(guān)于x的回歸方程；

（0）用所求的回歸方程估計該公司應投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？（收益=銷

售利潤-營銷費用，取e4/59=64）

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)：（%匕）,（%,%），…，（％,匕,），其回歸直線v=a+的的斜率和截距的最小

AM）（V,—V）

乘估計分別為——=一，&4一甌

i=l

例4.近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，共享經(jīng)濟覆蓋的范圍迅速擴張，繼共享單車、共享汽車之后，

共享房屋以"民宿"、"農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特

色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天彳導到的統(tǒng)計數(shù)

據(jù)如下表，X為收費標準（單位：元/日），f為入住天數(shù)（單位：），以頻率作為各自的“入住率"，收費標準X

（1）若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機抽取兩家深入調(diào)查，記4為“入住率"超過0.6的農(nóng)家樂的個數(shù)，求4的概

率分布列；

（2）令z=Inx,由散點圖判斷y=bx+a^y=bz+a哪個更合適于此模型（給出判斷即可,不必說明理

由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程.（B結(jié)果保留一位小數(shù)）

（3）若一年按365天計算，試估計收費標準為多少時，年銷售額L最大？（年銷售額L=365?入住率?收

費標準x）

-V"x,y；-nx-y人66

參考數(shù)據(jù)：a=y-bx,x=200,y=0.45,>1九；-325000,z?5.1,^yizi?12.7,

-nxi=li=\

6

Zz；°158.1,/°148.4

i=l

例5.已知某種細菌的適宜生長溫度為1（FC?250C,為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量y（單位：個）隨溫

度X（單位：。C）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度X/℃12141618202224

繁殖數(shù)量y/個2025332751112194

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如下表所示：

77?77_

￡（為-可2

XykEd）元）（x-刃z（&-可化-7）

i=\Z=1Z=1Z=1

18663.81124.3142820.5

_]7

其中左=lny,F=

/i=\

4"個

（1）請繪出y關(guān)于x的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷y=bx+a^y=c聲叫那一個更適合作為該種細菌的繁

殖數(shù)量y關(guān)于％的回歸方程類型（結(jié)果精確到o.i）；

（2）當溫度為25。（2時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（4,匕）（i=1,2,3,....）,其回歸線￡=血/+6的斜率和截距的最小二乘估計分別

_n

為：/=------------,&="—公屋參考數(shù)據(jù)：e55x245.

2(%田2

Z=1

例6.噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴重問題，為了了解聲音強度。（單位：分貝）

與聲音能量（單位：W/C?。┲g的關(guān)系，將測量得到的聲音強度A和聲音能量4（i=l,2…，10）數(shù)

據(jù)作了初步處理，得到如圖散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

D

聲

音60

強50

度40

630

20

10

貝

01020304050

聲音能量僅10"加

1010

7DZ（“7）2Z（叱-W）2

i=l1=1

1.04xlO1145.7-11.51.56xl（y2i0.51

1010

X（叱-W）（0-方）

4=1i=l

6.88xlO115.1

——110

表中叱=lg，，W=~^Wio

iu3

（1）根據(jù)散點圖判斷，。=%+偽/與。=。2+仇1g/哪一個適宜作為聲音強度D關(guān)于聲音能量的回歸方

程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強度。關(guān)于聲音能量的回歸方程；

（3）當聲音強度大于60分貝時屬于噪音，會產(chǎn)生噪音污染，城市中某點P共受到兩個聲源的影響，這兩

個聲源的聲音能量分別是，和“，且;+；=1°"?己知點P的聲音能量等于聲音能量A與12之和。請根

據(jù)（1）中的回歸方程，判斷P點是否受到噪音污染的干擾，并說明理由。

附:對于一組數(shù)據(jù)（4，匕）,（4，％），…，（乙，）?其回歸直線y=a+/3u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:

可（匕-"）

B=-^—^----------------,a=v-/3ii.

￡（%-方『

Z=1

例7.某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量雙單位：億元）對年銷售額y（單

位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①y=a+0比2,②丫=Jx+t,

其中a,。,尢t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).

p,年銷售薇/億元

80

75?

70

65*

60?

:.....................................................................X

on1015202530年研發(fā)資金/億元

現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量看和年銷售額%的數(shù)據(jù)，:1,2，…,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步

處理，得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令%=蛭，%=ln%（i=12…,12）,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

1212

｛（Xi_君2W（%-歹）2

XyUV

i=l1=1

20667702004604.20

12121212

—亞）2W（%—五）（%一?）W（攻_可2一元）（%一方）

1=11=11=11=1

3125000215000.30814

（1）設(shè)｛%｝和｛%｝的相關(guān)系數(shù)為勺，｛々｝和｛%｝的相關(guān)系數(shù)為上，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更

好的模型；

（2）（，）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于久的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）;

（a）若下一年銷售額y需達到90億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量%是多少億元？

附：①相關(guān)系數(shù)r=I'鼠?一二5一力，回歸直線y=a+法中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

2

]2鼠（須一盼2X?=1Cyt-y）

徐竺達包

2鼠（％-可‘y’

②參考數(shù)據(jù)：308=4X77,V90?9.4868,e4-4998~90.

例8.習近平總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，

這將進一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展。以下是近幾年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)及其散點圖：

年份20132014201520162017

年份代碼X12345

新能源乘用車年銷量y（萬輛）1.55.917.732.955.6

60tM（不附

*

X■,

（1）請根據(jù)散點圖判斷，丁=奴+萬與丁=1+〃中哪一個更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代碼了的回歸

方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立V關(guān)于x的回歸方程，并預測2018年我國新能源乘用車的銷

售量（精確到。1）.

附:1.最小二乘法估計公式:

b--.--------,a-y-bt

i=l

5_25__5__

x)(y—y)Zw)(%—y)

yz(叱-叩)(叱一

Z=1Z=1i=l

22.72374135.2851.2

其中叱=Xj

例9.某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費用，需了解年研發(fā)費用了（單位：千萬元）對年銷售量y

（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計了近io年投入的年研發(fā)費用看與年銷售量％（，=12…,io）的數(shù)據(jù)，得到

散點圖如圖所示：

年銷售員千萬件

10-

6?

4-?*

2/

°24681012141618202224262830

年研發(fā)費用工/千萬元

（團）利用散點圖判斷，y=a+區(qū)和y=c?X”（其中c,d為大于。的常數(shù)）哪一個更適合作為年研發(fā)費

用X和年銷售量y的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；

（0）對數(shù)據(jù)作出如下處理：令％=InX,g=Iny,得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：

10101010

4IYuI

i-1i-1i-1

30.5151546.5

根據(jù)（0）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于％的回歸方程；

27

（0）已知企業(yè)年利潤z（單位：千萬元）與1,y的關(guān)系為2=y-尤（其中e=2.71828…），根據(jù)（回）

的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發(fā)費用？

附：對于一組數(shù)據(jù)?,⑴，（％”），…，（""，4）,其回歸直線…+取的斜率和截距的最小二乘估計分別為

2(4—M)色-。)》R-nwu

o_z=l—z=l