高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：立體幾何中的空間距離（解析版）

立體幾何中空間距離問題

1.點(diǎn)到直線的距離

設(shè)/萬=2,則向量N在直線/上的投影向量而=(a-u)u.在R3APQ中，由勾股定理,

得尸Q=[l方F—I近F=yj^-au2.

U

AQ.

2.點(diǎn)到平面的距離

已知平面a的法向量為n,A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，尸是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面a的垂

線/,

交平面a于點(diǎn)。則n是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是左在直線/上的

投影向量加的長度.因此尸。=岑創(chuàng).

母題呈現(xiàn)

【典例】如圖，已知AABC為等邊三角形，D,E分別為AC,AB邊的中點(diǎn)，把AADE沿。E

折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,平面PDEL平面BCDE,若8c=4.求直線DE到平面PBC的距離.

【解析】如圖，設(shè)。E的中點(diǎn)為O,8C的中點(diǎn)為F，連接OP,OF,OB,

因?yàn)槠矫鍼DEJ_平面BCDE,

平面POECI平面BCDE=DE,

所以O(shè)P_L平面BCDE.

因?yàn)樵贏ABC中，點(diǎn)。，E分別為AC,AB邊的中點(diǎn)，

所以DE//BC.

因?yàn)镈EC平面PBC,3Cu平面PBC,

所以DE〃平面PBC.

又OFIDE,

所以以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE,OF,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

則0（0,0,0）,p（o,0,小）,8（2,小,0）,

c（—2,小，0）,F（0,小，0）,

所以協(xié)=（2,小，一?。?，次=（4,0,0）.

設(shè)平面的一個法向量為〃=（x,y,z）,

由川瑋=2x+小y-小z=0,/口］x=0,

U-C^=4x=0,b=z'

令y=z=l,所以“=（0,1,1）.因?yàn)楦?（0,小，0）,

設(shè)點(diǎn)。到平面PBC的距離為d,則d=l同

因?yàn)辄c(diǎn)。在直線。E上，所以直線。E到平面P2C的距離等于坐.

【解題技法】求點(diǎn)面距常見的三種方法

⑴作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；

⑵等體積法；

⑶向量法.

其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便.

【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在三棱柱ABC-ABC中，AABC為等邊三角形，四邊形BCG片是邊

長為2的正方形，。為A3中點(diǎn)，且

⑴求證：CD_L平面A8與A;

⑵若點(diǎn)尸在線段8c上，且直線AP與平面4。所成角的正弦值為卓，求點(diǎn)尸到平面

\CD的距離.

【解析】(1)證明：由題知/%=2,AD=L4。=石，

因?yàn)锳rP+AA：=5=a。?，所以AA_LAD,

又所以AA_LBC,

又ADn3C=3,所以AA，平面ABC,

又CDu平面ABC,所以COLAA，

在正三角形A3C中，。為A3中點(diǎn)，于是CDLAB,

又4BcAA=A,所以CD,平面

(2)取8c中點(diǎn)為。,4G中點(diǎn)為。，則。4，BC,OQ，BC,

由(1)知AA，平面ABC,且OAu平面ABC,所以。4_L44(,

又48〃AA,所以。4LB耳,B4cBC=B,所以平面8CC出，

于是。4,05,0。兩兩垂直

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，而，西的方向?yàn)閤軸，了軸，z軸的正方向，建立空間直角坐

標(biāo)系

則0(0,0,0)川0,0,@，4(0,2,@((-1,0,0),咕,0，￥]耳(1,2,0)

所以說=1|,0,咚)，區(qū)=(1,2,退)，西=(2,2,0),正=卜1,0「百)

設(shè)平面A,CD的法向量為n=(x,y,z),

\n-CD=G—xH——z=0

則-rTn-即22

[x+2y+J3z=0

令X=l,貝！|z=-"y=l

于是萬

設(shè)亦=2西=(22,240),/le[0,l],貝！|而=衣+麗=2西=僅2-1,24一指)

由于直線釬與平面AC。所成角的正弦值為半

于是H亞訃荷姓篙/岑,即卬

整理得4萬一82+3=0,由于4e[0,l],所以4=!

于是萬=4西=(1,1,0)

設(shè)點(diǎn)P到平面\CD的距離為d

\CP-n\|1+1|275

則d=

同71+1+3-5

所以點(diǎn)尸到平面\CD的距離為亭

(1)向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟

①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量V.

②在直線上任取一點(diǎn)M可選擇特殊便于計算的點(diǎn)).計算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的

方向向量加.

③垂線段長度d=q而2一(訊⑺2.

(2)求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

①直接法：過P點(diǎn)作平面a的垂線，垂足為Q,把PQ放在某個三角形中，解三

角形求出PQ的長度就是點(diǎn)P到平面a的距離.

②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線I平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個點(diǎn)到平

面a的距離來求.

③等體積法.

④向量法：設(shè)平面a的一個法向量為〃，A是a內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到a的距離為

模擬訓(xùn)練

1.（2023?吉林長春?長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，矩形ABCD和梯形

AF±AB,EF//AB,平面ABEF_1_平面ABCD,且AB=AF=2，AD=EF=1,過。C的

平面交平面ABEF于MN.

DC

⑴求證：DCHMN-,

⑵當(dāng)M為BE中點(diǎn)時，求點(diǎn)E到平面。CMV的距離；

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)關(guān)系求解點(diǎn)E到平面。CMV的距離即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)榫匦蜛BCD,所以O(shè)C//AB,

ABu平面ABEF,0ctz平面ABEF,

所以DC〃平面ABEF.

因?yàn)檫^DC的平面交平面ABEF于MN,

由線面平行性質(zhì)定理，得DC//MN；

（2）解：由平面平面A3CD其交線為AB,Ab_L4B,u平面他跖，

所以AF_L平面ABCD,

又四邊形ABCD1/“切為矩形，所以以A為原點(diǎn)，以為％y，z軸建立如圖空間直

角坐標(biāo)系.

3

由AB=AF=2，AD=EF=1,得8(0,2,0),召(0,1,2),河(0,5,1),￡>(1,0,0),C(l,2,0),

—.___.3

則。C=(0,2,0),DM=(-151),

設(shè)平面OCMV法向量力=(羽y,z),

n-DC=02y_0fy=0

則—.n3,取z=l得訪=(1,0,1).

n?DM=0~x+~y+z=0[x=z

°I2

因?yàn)椤?(-1,-1,2),所以點(diǎn)E到平面DCMN的距離d=邑烏=也.

\n\V22

2.(2023?河南焦作.統(tǒng)考一模)在如圖所示的六面體ABC-AQ瓦G中，平面ABC//平面

A28C，AA]//CQ,BC=2B￡,AB=2A,D..

⑴求證：AC〃平面陰。；

(2)若AC,BC,CC,兩兩互相垂直，AC=2,CC1=3,求點(diǎn)A到平面BCR的距離.

【分析】(1)取A3的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)F,連RE,BtF,EF,利用面面平行的性質(zhì)

定理推出4C//耳2,再利用線面平行的判定定理可證結(jié)論成立；

(2)以C為原點(diǎn)，C4CB,CG所在直線分別為x，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到面

的距離的向量公式可求出結(jié)果.

【詳解】(1)取的中點(diǎn)E,8C的中點(diǎn)/，連RE,Bp,EF,

在六面體ABC—AtDiBlCl中，因?yàn)槠矫鍭BC//平面A281G，平面ABCQ平面ABDlAl=AB,

平面AR4Gc平面ABRA=A2，所以AB〃A2,

同理可得8C//BG，

因?yàn)镋,尸分別是AB,3C的中點(diǎn)，且AB=2AQI,BC=2B￡,

所以A2〃AE,A2=AE,BXCJ/CF,B￡=CF,

所以四邊形AE2A是平行四邊形，四邊形CFBG是平行四邊形，

所以AV/E2，CCJ/FB,,又已知4V/CC，所以EQ//P與，則E,￡2］，a共面，

因?yàn)槠矫鍭BC〃平面ARBG，平面ABcn平面平面ARAGC平面

EFBQi=BR,所以EFUBRi，

又耳尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，EF//AC,

所以AC//40,

因?yàn)锳C<Z平面BBR,BRu平面BBR,

所以AC//平面8耳A；

(2)因?yàn)锳C,BC,C￡兩兩互相垂直，所以以C為原點(diǎn)，CA,C8,CG所在直線分別為x,y,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系：

則C(0,0,0),A(2,0,0),設(shè)3C=f,則3(0/0),q(lg,3),

AB=(-2,?,0),CB=(Q,t,0),西=嗚,3),

設(shè)平面BC2的一個法向量為為=(x,y,z),

nCB=ty=0

則＜——?t，則y=。，取z=l,貝!1%=—3,n=(-3,0,1),

hCDi=x+—y+3z=0

所以點(diǎn)A到平面BC2的距離為型見

\n\V9+15

3.(2023?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測)在三棱錐尸-ABC中，PA=PB,ABAC=90°,

M為棱2C的中點(diǎn).

R

⑴證明：ABLPM-,

⑵若平面平面ABC,PA=PB=y[2,AB=AC=2,E為線段PC上一點(diǎn)，2PE=EC,

求點(diǎn)E到平面PAM的距離.

【分析】(1)取A3的中點(diǎn)為。，先證明平面尸OM,進(jìn)而證得

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法即可求得點(diǎn)E到平面的距離.

【詳解】(1)取A3的中點(diǎn)為。，連。尸，OM,因?yàn)樯?=P3,則OP/AB；

又M為棱BC的中點(diǎn)，則3/為△ABC的中位線，所以O(shè)M〃AC,

因?yàn)镹fl4C=90。，則AB1AC,則AB人ON；

由于OPcOAf=O,OPu平面POM,OMu平面POAf,

則AB人平面POM,因?yàn)槭琈u平面POM,所以AS_LPM.

(2)由(1)得OPJ.AB,且平面PAB_L平面ABC,平面R4B。平面ABC=AB,OPu平

面上4B,

則OP_L平面ABC,又AB_LOM,

則以。為原點(diǎn)，OB,OM,。尸所在直線分別為尤，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻A=M=后，AB=2,則m2+夫82=.2,則op=1,

則尸(0,0,1),A(-l,0,0),M(0,1,0),C(-l,2,0),

因?yàn)?PE=EC,貝ij而=耳元

貝lj麗=(-1,0,-1),W=(1,1,0),

設(shè)品=(x,y,z)為平面R4M的一個法向量，

PA-n=-x-z=Q1

貝叫___.，令x=l,貝！!>=—1,z=—1,得〃=(1,—1,一1)，

AM-n=x+y=Q

又設(shè)點(diǎn)E到平面PAM的距離為d,

則庭T「3-3+3_2月,

|n|6一9

則點(diǎn)E到平面PAM的距離為竽.

Z八

E

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐尸-ABC中，上4,平面A3C,

ABLAC,PA=AB=3,AC=4,/為3C中點(diǎn)，過點(diǎn)/分別作平行于平面的的直線交

AC、PC于點(diǎn)E,F.

（1）求直線PM與平面ABC所成角的大小；

（2）證明：ME〃平面PAB,并求直線ME到平面的距離.

【分析】（1）因?yàn)槠矫鍭BC,AB1AC,建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的

方向向量與平面ABC的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案；

（2）由面面平行的性質(zhì)定理可證得ME〃平面再證明AC_L平面即可求出答案.

【詳解】（1）因?yàn)槌觯矫鍭3C,ABJ.AC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,B（3,0,0）,C（0,4,0）,P（0,0,3）,M,2,0j,￡（0,2,0）,

所以同7=（I，2,-3）設(shè)為=（0,0,1）,平面ABC,

設(shè)直線PM與平面ABC所成角為6,

直線PM與平面ABC所成角的大小為arcsinS

61

平面￡7皿口平面R4C=FE,所以以〃跖，

同理EM//AB,M為BC中點(diǎn)，

所以E,歹分別為AC,PC的中點(diǎn)，

因?yàn)镋M//AB,EMz平面上4B,ABu平面上4B,

所以ME〃平面B4B,

因?yàn)镽4_L平面ABC,ACu平面ABC,所以PAJ_AC,

ABJ.AC,ABCPA=A,AB,PAU平面R4B,

所以4C_L平面RIB,又因?yàn)镸E〃平面R4B,

直線ME到平面PAB的距離為|他|=2.

5.（2022?浙江.模擬預(yù)測）已知長方體,AD^l,AB=6,,AAl=y/3,P,

Q,R分別為ASCC、,AR的中點(diǎn).

⑴證明：PQLBD.

⑵求。到平面PQR的距離.

【分析】（1）以。為原點(diǎn)，D4,DC,r>n所在直線為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后證

明迎?礪=0即可；

（2）算出平面尸。R的法向量即可求解.

以。為原點(diǎn)，DADCDD1所在直線為x，V，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳D=1,AB=^2，A4j=百，

所以Pl，￥，0,Q0,0,亭1,R&,0,e],0(0,0,。)，B(1,72,0),

所以園=-1與與,05=(1,72,0),

所以9?麗=-1+1+。=0,即尸。

⑵迎-鼻6,

lZ272）

設(shè)平面PQH的法向量為3=(%,y,z),

n?PQ=—%+y+z=0x=?z

則22,可得v

心PR=一；x——y+yfiz=0x=6y

所以可取3=(灰卜

一（垃、

因?yàn)镈P=1,——,0,

\2）

\DP.^-A/6a

所以求。到平面尸QR的距離為^^='=2瘋.

|n|而22

6.(2023?天津津南?天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖，邊長為2的等邊APCD所

在的平面垂直于矩形ABC。所在的平面，BC=2A/2,/為BC的中點(diǎn).

p

⑵求平面E4M與平面ABCD的夾角的大小;

⑶求點(diǎn)D到平面AMP的距離.

【分析】（1）以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為，軸，過。作平面A3CD的垂線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明；

（2）求出平面A3CD的法向量和平面"M的法向量，利用向量法能求出平面上4M與平面

ABC。夾角的大小;

（3）求出平面APM的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)O到平面4WP的距離.

【詳解】（1）證明：等邊APCD所在的平面垂直于矩形ABC。所在的平面,

以。點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線ZM,DC為無軸、y軸，過D作平面A2CD的垂線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（其他建系方法按步驟給分）

依題意，可得。（0,0,0）,P（0,l，V3）,C（0,2,0）,A（2A/2,0,0）,M[72,2,0）

PM=(72,1,-73),AM=(-72,2,0),

:.PMAM=(￡1,-@.(-A/2,2,0)=0,

（2）解：設(shè)法=（x,y，Z）為平面B4M的法向量,

n-PM=0?Jlx+y--/iz=0

則一.,即

h-AM=0—y[^x+2y=0

取y=l,得力=（國詢,

取。=（0。1）,顯然月為平面A8CO的一個法向量,

一_n-pA/3V2

8sm。盧而飛F

故平面B4M與平面ABCD的夾角的大小為45。；

（3）解：設(shè)點(diǎn)。到平面AMP的距離為d,

由⑵可知為=（后,1,不）與平面PAM垂直，

則乙方一岫2;+（國—

即點(diǎn)D到平面AMP的距離為域.

3

7.（2022?上海虹口?統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是以AC為斜邊

的等腰直角三角形，側(cè)面相CC為菱形，點(diǎn)A1在底面上的投影為AC的中點(diǎn)D,且AB=2.

⑴求證：BD±CCX；

（2）求點(diǎn)C到側(cè)面AA^B的距離；

（3）在線段A用上是否存在點(diǎn)E，使得直線DE與側(cè)面44為8所成角的正弦值為如？若存在,

7

請求出4E的長；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）由已知條件可證應(yīng)＞1平面ACGA，即可得到BDLCG；

（2）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線08,DC,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

求出平面441AB的一個法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E,并乖=〃4瓦=彳?麗=九（0,忘,0）（2e[0,l]）,利用向

量的加減運(yùn)算，求出崖=（02,04"）,利用線面夾角公式得出自l,求

7A/422+6-V7

得2=；,即可求出4E的長.

【詳解】（1）證明：由點(diǎn)A1在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)。，知平面ABC,

又BDu平面4BC,故

因41BC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故AC13D,

而A。，ACu平面ACC|A，A}DC\AC=D,故平面ACGA，

由cqU平面ACGA,得2。，CQ.

（2）由點(diǎn)A。LAC,。為AC的中點(diǎn)，側(cè)面441Gc為菱形，知AC=AA=AC,

由AABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2,可得O8=ZM=OC=VLD%=屈,

由（1）知直線功3,DC,兩兩垂直，故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

直線03,DC,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

x/B

則￡)(0,0,0),A(0,-立,0),B(&,0,0),C(0,0,0),A(°，°，6)，

麗=(五,夜,0),M=(0,72,76),

設(shè)平面A4萬B的一個法向量為而=(x,y,z),

n-AB=+A/2V=0__

則―.廠，取z=l,得為=(后一"1),

n-AA^=j2y+，6z=0

又起=(0,20,0),故點(diǎn)C到平面AA^B的距離為：

\AC-n\|O-2A/6+O|2A/62A/42

d=!--------L

同|A/3+3+1|5/77

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E,并4g=小曬=4?通=九（0,夜,0）（2e[0,l]）,

則詼=方1+乖=（0,0,遍）+X?（0,血,0）=（V22,叵Q屈,

于是‘由直線口￡與側(cè)面相片B所成角的正弦值為乎'

可得,__.一I|A/62—^62+A/6,網(wǎng)

cos<DE,n)\1-I|H|J2-+2分+6-g"分+6??

即必莪=近，解得儲=[.

又州。,1],故人；.

因此存在滿足條件的點(diǎn)E,且|卒卜3通卜1.

8.（2022?遼寧沈陽?沈陽二十中?？既＃┤鐖D多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形,

ZABC=6O°,E4JL平面ABC。，EA//BF,AB=AE=2BF=2.

（1）證明：平面E4CL平面EFC；

（2）在棱EC上有一點(diǎn)"，使得平面AffiD與平面2CF的夾角余弦值為理，求點(diǎn)M到平面

4

BCF的距離.

【分析】（1）取EC的中點(diǎn)G,連接3。交AC于M,連接GM,GF,證明GB/ABM,利

用"8_1面￡4。，證明GF_L面E4C,從而面EFC_1_面￡AC；

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)@7=4無，利用二面角確定M點(diǎn)位置，結(jié)合點(diǎn)到平面距離

向量公式得到結(jié)果..

證明：取EC的中點(diǎn)G,連接交AC于N,連接GN,GF,

因?yàn)锳3CD是菱形，所以ACL8D,且N是AC的中點(diǎn)，

所以GN〃AE1且GN=；AE,又AEIIBF,AE=2BF=2,

所以GNHBF且GN=BF,所以四邊形BNGF是平行四邊形，

所以GF//BN,

又E4J_平面A8CD,3Nu平面ABC。，所以"_L8N,

又因?yàn)锳C?V,ACpEA=A,

所以NB_L平面￡4C,所以GF_L平面E4C,又GFu平面￡FC,

所以平面EFC_L平面E4C；

（2）,/GN//AE,E4_L平面ABCD,；.GN_L平面ABCD,且CNLBN,

，以N為原點(diǎn)，NC,NB,NG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)在棱EC上存在點(diǎn)M使得平面與平面BCF的夾角余弦值為逅，

4

E（-l,0,2）,8（0,6，0）,C（l,0,0）,F（0,陋，1），A（T，。，°），。（°，-布,

0）

則設(shè)==2,0,2）,.?.”（1—2/1,0,22）,

所以加=(1-24,日24),DB=(0,2VL。)，BC=(l,-^,0),FB=(0,0,-l)

設(shè)平面05M的一個法向量為為=(尤，y,z),

n-DM=0(l-22)x+^y+22z=0

貝!J4.，即1廠，令)=。，x=—2A,z=1—2A

而DB=0[2V3y=0

得行=(—2%,0,1—24),

設(shè)平面F3C的一個法向量為沆=(〃，b,c),

fh,BC=0\ci-J5z?=0r-

則｛.，即<，取b=l,得玩=(6,1,。)，

m-FB=0[-c=0

\m-n\|-2岳|_瓜

/.|cos<H,m>|=解得通,

\m\-\n\2^(-22)2+(1-22)24

此時

.?.點(diǎn)M到平面BCF的距離晨感產(chǎn)=三=也.

|m|24

9.（2022.青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面8CDE為矩形，M為CD

中點(diǎn)，連接CE交于點(diǎn)F,G為aABE的重心.

(1)證明：GfV/平面ABC

(2)已知平面ABCLLBCDE,平面AC7)_L平面BCDE,BC=3,CD=6,當(dāng)平面GCE與平面ADE

所成銳二面角為60。時，求G到平面A0E的距離.

【詳解】(1)延長EG交A3于N,連接NC,

FG

因?yàn)镚為aABE的重心，所以點(diǎn)N為A3的中點(diǎn)，且不；二2,

GN

EFBE

因?yàn)镃M//BE，故ACMFS^EBF，所以——=―――2,

CFCM

FFFG

取不FSNC,

而NCu平面ABC,GF<x平面ABC,

故GfV/平面ABC；

(2)由題意知，平面ABC_L平面BC0E,平面ABCfl平面3Cr>E=8C,DCLBC,

DCu平面BCDE,故。C_L平面ABC,ACu平面ABC,

則DCA.AC，同理3c±AC,

又3CnOC=C,BC,OCu平面BCDE,

所以AC_L平面BCDE,

以C為原點(diǎn)，以CB,C"C4所在直線分別為乂yz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A

E

X

設(shè)點(diǎn)G到平面BCDE的距離為t(t>0),

則A(0,0,30,5(3,0,0),E(3,6,0),G(2,2J),0(0,6,0),

故行=(2,2,f),國=(3,6,0),AD=(0,6,-3f),DE=(3,0,0),

m-W=02玉+2yl+tz1=0

設(shè)平面GCE的法向量為根=(%,另,Z]),則

m-CE=Q3玉+6yl=0

2—2

取％=1,則，Z]=：,玉=—2,即加=(—2,1,―),

n-AD=0即16%-3fz2=0

設(shè)平面ADE的法向量為3=(%,%,Z2),

n-DE=013X2=0

取冬=2,則%=r，則[=(0/,2),

\m'n\

所以cos60°=