北京市豐臺區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

豐臺區(qū)2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)2025.01本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用并集的定義直接求解.【詳解】集合，，所以.故選：B2.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算后可得正確的選項.【詳解】，故選：D.3.設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，則，模長相等，但它們的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，則，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.4.已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A.7 B.13 C.18 D.63【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意判斷得數(shù)列為等比數(shù)列，進而得到其基本量，從而利用等比數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】因為，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，又，解得，所以.故選：A5.下列函數(shù)中，滿足“，”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對于ABD，求證函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷，；對于C，求證函數(shù)為奇函數(shù)即可判斷.【詳解】對于A，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為偶函數(shù)，所以不存在，使得，故A不滿足；對于B，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為偶函數(shù)，所以不存在，使得，故B不滿足；對于C，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為奇函數(shù)，如，即所以，，故C滿足；對于D，函數(shù)定義域為R，且對任意有，函數(shù)為偶函數(shù)，所以不存在，使得，故D不滿足.故選：C.6.在平面直角坐標系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點P，且.點P在該單位圓上按逆時針方向做圓周運動到達點Q.若經(jīng)過的圓弧的長為，則點Q的縱坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點坐標為，由，利用三角函數(shù)定義可得點Q的縱坐標.【詳解】設(shè)點的坐標為，由，有，解得，所以點的縱坐標為.故選：C.7.如圖，在三棱錐中，與都是邊長為2的等邊三角形，且，則點P到平面ABC的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，取中點，連接，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得平面平面，則點P到平面ABC的距離為點P到直線的距離，即可得到結(jié)果.【詳解】取中點，連接，因為與都是邊長為2的等邊三角形，所以，，且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，所以點P到平面ABC的距離為點P到直線的距離，過點做，所以點P到直線的距離即為，又，且，所以為等邊三角形，所以，即點P到平面ABC的距離為.故選：C8.溶液酸堿度是通過pH計量的，pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度（單位：）.室溫下，溶液中氫離子和氫氧根離子的濃度之積為常數(shù)，即，其中表示溶液中氫氧根離子的濃度（單位：）.室溫下，某溶液的pH值為1，若加水稀釋后，該溶液的pH值變?yōu)?，則稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度的比值為（）A. B.2 C. D.10【答案】D【解析】【分析】利用pH的計算公式可求得溶液稀釋前后的氫離子的濃度，再利用即可求得稀釋前后的氫氧根離子的濃度，即可求得稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度的比值.【詳解】設(shè)稀釋前氫離子和氫氧根離子的濃度分別為，，稀釋后氫離子和氫氧根離子的濃度分別為，，因為稀釋前溶液的pH為1，所以，所以，又因為，所以；因為稀釋后溶液的pH為2，所以，所以，又因為，所以，所以稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度的比值為.故選：D.9.在平面直角坐標系xOy中，已知直線與直線交于點P，則對任意實數(shù)a，的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由直線的方程判斷兩直線垂直，確定P點的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意知直線與直線，滿足，故兩直線垂直，直線過定點，直線過定點，故兩直線的交點P在以AB為直徑的圓上（不含點），該圓方程為，設(shè)其圓心為，半徑為3，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，即位于B點時，等號成立，故的最小值為，故選：C10.各項均為正整數(shù)的數(shù)列2，3，4，a，b，20，30，40為遞增數(shù)列.從該數(shù)列中任取4項構(gòu)成的遞增數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，則有序數(shù)對的個數(shù)為（）A.73 B.75 C.76 D.78【答案】B【解析】【分析】先由題意確定a，b的可能取值，然后采用分類討論的方法計算可能的取法數(shù)，進而排除不符合題意的取法，即可求得答案.【詳解】由題意可知a的取值可從中選取，b的取值可從中選取，且需滿足，當(dāng)時，b的取法有12種；當(dāng)時，b的取法有11種；當(dāng)時，b的取法有10種；當(dāng)時，b的取法有9種；當(dāng)時，b的取法有8種，依次類推，當(dāng)時，b的取法有1種；則的可能取法有（種），其中當(dāng)時，成等差數(shù)列，不合題意；當(dāng)時，成等比數(shù)列，不合題意；當(dāng)時，成等差數(shù)列，不合題意；故滿足題意的的取法有（種），故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答的關(guān)鍵要由題意確定a，b的可能取值，然后采用分類討論的方法計算可能取法數(shù)，進而排除不符合題意的取法.第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)拋物線的準線方程為__________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程.故答案為．【點睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準線的方法，屬于基礎(chǔ)題.12.在的展開式中，x的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】80【解析】【分析】由二項式展開式的通項公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】二項式展開式的通項公式為，令，則，所以，即x的系數(shù)為.故答案為：.13.在中，，.①若，則__________；②面積的最大值為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】①由正弦定理即可求得答案；②由余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.【詳解】①由正弦定理得，則；②由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最大值為，故答案為：；14.已知函數(shù)，，，，則__________；方程的所有實數(shù)解的和為__________.【答案】①.0②.16【解析】【分析】代入計算可得第一空，利用圖象的對稱性可求所有實數(shù)解的和.【詳解】，而，，故fx,gx的對稱中心為在平面直角坐標系中，畫出和在上的圖像，由圖象可得的圖象在上共有4個不同的交點，它們的橫坐標的和為，故答案為：0；16.15.已知曲線（、為常數(shù)），給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于坐標原點對稱；②當(dāng)時，曲線恒過兩個定點；③設(shè)、為曲線上的兩個動點，則存在，，使得有最大值；④記曲線在第一象限的部分與坐標軸圍成的圖形的面積為，則對任意，存在，使得.其中所有正確結(jié)論的序號為__________.【答案】①②④【解析】【分析】利用曲線的對稱性可判斷①；當(dāng)時，化簡曲線方程，求出定點坐標，可判斷②；將曲線的方程視為關(guān)于的二次方程，解原方程，取點、，考查時，的取值，可判斷③；取，分析可知，在第一象限內(nèi)，曲線在線段上方，數(shù)形結(jié)合可判斷④.【詳解】對于①，在曲線上任取一點，則，點Mx,y關(guān)于原點的對稱點為，則，即點在曲線上，所以，曲線關(guān)于坐標原點對稱，①對；對于②，當(dāng)時，則，曲線的方程為，由，解得或，所以，當(dāng)時，曲線恒過兩個定點、，②對；對于③，當(dāng)，時，將曲線的方程視為關(guān)于的二次方程，對于方程，，解方程可得，不妨取點、，則，當(dāng)時，，則，故無最大值，③錯；對于④，當(dāng)，時，在曲線的方程中，令可得，令可得，此時，曲線交軸的正半軸于點，交軸正半軸于點，當(dāng)，且時，，所以，在第一象限內(nèi)，曲線在線段上方，如下圖所示：則，④對.故答案為：①②④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是求出曲線方程，后運用性質(zhì)，如對稱性，面積借助放縮成三角形即可求解.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）構(gòu)造線線平行，從而證明線面平行.（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦.【小問1詳解】取的中點，連接，.因為為的中點，所以，.又因為，，所以，且.所以四邊形CEFG是平行四邊形.所以.又因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，所以，.又因為，所以如圖建立空間直角坐標系，則，，.所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則.于是.不妨取平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使唯一確定，求：（1）的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在區(qū)間上的最大值和最小值.條件①：函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心間的距離為；條件②：函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到；條件③：直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）2，（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先由三角變換公式得到，若選條件①，則可利用周期公式得到，從而求得解析式；若選條件②，則由圖像平移得到解析式；若條件③，則解析式不唯一.最后根據(jù)整體法可求單調(diào)區(qū)間；（2）利用整體法可求函數(shù)的最值.【小問1詳解】.選擇條件①：因為函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心間的距離為，所以，故.因為，所以.因為，令，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.選擇條件②：因為函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到，所以函數(shù)與函數(shù)的周期相同，故.因為，所以.所以.以下解答過程同選擇條件①.選擇條件③：因為為圖象的對稱軸，所以，即，故，其中，此時不唯一，故不選③.【小問2詳解】選擇條件①或②時，因為，所以，當(dāng)，即時，取最大值，最大值為1；當(dāng)，即時，取最小值，最小值為.18.為弘揚社會主義核心價值觀，加強校園誠信文化建設(shè)，提升中小學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)，某市開展了“中小學(xué)誠信主題短視頻征集展示活動”，入圍短視頻在某公共平臺展播.其中A，B，C，D，E，F(xiàn)，G這7個入圍短視頻展播前7天的累計播放量如下表：短視頻ABCDEFG前7天累計播放量（萬次）2.93.54.52.54.11.45.6（1）從這7個入圍短視頻中隨機選取1個，求該短視頻前7天的累計播放量超過4萬次的概率；（2）某學(xué)生從這7個入圍短視頻中隨機選取3個觀看，記X為選取的3個短視頻中前7天的累計播放量超過4萬次的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若這7個入圍短視頻第8天的單日播放量如下表：短視頻ABCDEFG第8天單日播放量（萬次）0.40.40.60.30.50.10.8記這7個入圍短視頻展播前7天的累計播放量的方差為，前8天的累計播放量的方差為，試比較與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用“古典概型”的計算公式求解.（2）明確的可能取值，求出相應(yīng)事件的概率，可得分布列，在利用期望的概念求.（3）分別計算與，比較它們的大小.【小問1詳解】這7個入圍短視頻中，前7天的累計播放量超過4萬次的有3個.設(shè)事件“從這7個入圍短視頻中隨機選取1個，該短視頻前7天的累計播放量超過4萬次”，則.【小問2詳解】X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為：X0123P【小問3詳解】前7天累計播放量的平均數(shù)為：，所以.前8天累計播放量的平均數(shù)為：前8天累計播放量的平均數(shù)為：所以所以.19.已知橢圓的上頂點為，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)B為橢圓C的下頂點，動點M到坐標原點O的距離等于1（M與A，B不重合），直線AM與棈圓C的另一個交點為N.記直線BM，BN的斜率分別為，，問：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，表示出直線BN的斜率與直線AM的斜率，從而得到，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意得解得，.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】因為B為橢圓C的下頂點，所以.設(shè)（且），則直線BN的斜率.由點M到坐標原點O的距離等于1，可知點M在以AB為直徑的圓上，所以直線AM與直線BM垂直.由題意得直線AM的斜率，所以直線BM的斜率.所以.因為點N在橢圓C上，所以，故，所以，所以存在，使得恒成立.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值；（3）設(shè)函數(shù)，求證：的最小值大于.【答案】（1）（2）極小值為；無極大值.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點斜式直線方程求解即可；（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，利用極值的定義求解即可；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解最值函數(shù)，利用單調(diào)性求解最值函數(shù)值域即可求解.【小問1詳解】因為，所以，.因為，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為R.令，解得.當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：x0-0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增當(dāng)時，取得極小值，極小值為；無極大值.【小問3詳解】因為，所以.因為函數(shù)和在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增.又，，所以存在，使得①.當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：x-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增當(dāng)時，取到最小值，最小值為.由①得，所以.設(shè).因為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.所以函數(shù)的最小值大于.21.給定數(shù)列A：，，，和序列：，，…，，其中滿足：①；②.對數(shù)列A進行如下s次變換：將A的第1項，第2項，第3項，第4項分別加，，，后得到的數(shù)列記作；將的第1項，第2項，第3項，第4項分別加，，，后得到的數(shù)列記作；……；以此類推，得到數(shù)列，簡記為.（1）已知數(shù)列A：7，8，4，4，寫出一個序列：，，使得為5，6，6，6；（2）對數(shù)列A：4，6，7，8，是否存在序列：，，…，，使得中恰有三項相等？若存在，寫出一個序列，若不存在，說明理由；（3）對數(shù)列A：3，7，14，m，若存在序列：，，…，，使得中恰有三項相等，求m的所有取值.【