高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)知識(shí)清單-向量線性運(yùn)算及三大定理與四心歸類(lèi) （含解析）

向量線性運(yùn)算及三大定理與四心歸類(lèi)

望盤(pán)點(diǎn)?置擊看詈

目錄

題型一：線性運(yùn)算：等分點(diǎn)型......................................................................1

題型二：線性運(yùn)算：四邊形等分點(diǎn)型................................................................4

題型三：線性運(yùn)算：基底非同一起點(diǎn)................................................................7

題型四：三大定理：奔馳定理.....................................................................11

題型五：三大定理：極化恒等式...................................................................16

題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)...................................................................20

題型七：等和線三角換元型.......................................................................23

題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型.................................................................26

題型九：等和線均值型...........................................................................28

題型十：等和線二次型...........................................................................31

題型十一：等和線系數(shù)差型.......................................................................34

題型十二：四心向量：外心.......................................................................36

題型十三：四心向量：內(nèi)心.......................................................................39

題型十四：四心向量：垂心.......................................................................41

題型十五：四心向量：重心.......................................................................44

里突圍-榨渣根分

題型一：線性運(yùn)算：等分點(diǎn)型

指I點(diǎn)I迷I津____

線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線/上三點(diǎn)片、月、P,且滿(mǎn)足西=29（2H-1）,在直線/外

任取一點(diǎn)0,設(shè)西3OP^b,^^OP=^-^=—a+—b.

1+21+A1+2

重要結(jié)論：若直線/上三點(diǎn)月、與、P,O為直線/外任一點(diǎn)，

貝！|而=4詬+〃恒o4+必=1.

證明：歷=西+9=砒-2后=誣+9，貝！J麗一砒=無(wú)即+9=（1+彳）砂，

OP、—OP,OP、+AOP-ya+Ab

貝［1赤=漉+旦？=漉+=J+—.

1+A1+A1+41+A1+2

1.（23-24?河北唐山?階段練習(xí)）如圖，V/2C中，。為5c邊的中點(diǎn)，E為4D的中點(diǎn)，則而=（）

B.-AB--AC

44

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】利用向量的基本定理與混合運(yùn)算，結(jié)合圖形即可得解.

【詳解】在V4BC中，。為邊的中點(diǎn)，E為4D的中點(diǎn)，

*-----?-?1,■?----?II/2,一\------?3.1-?

貝?。?E=/E-48=—=—x—+=——48+—/C.故選：A.

222、'44

2.(23-24四川樂(lè)山?階段練習(xí))如圖，已知點(diǎn)G是V/2C的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與/B,/C兩邊交于

LULLULLUUUUlUULU

M,N兩點(diǎn)，設(shè)AN=yAC，則x+9y的最小值為()

23

【答案】C

umriuuiriumr__k

【分析】利用三角形重心性質(zhì)，^AG=-AB+-AC,再由平面向量基本定理設(shè)刀=?而+(IT)赤，即

AG=txAB+(\-f)yAC,對(duì)照系數(shù)，得:(g+)=l，最后運(yùn)用常值代換法，由基本不等式即可求得x+9y的

最小值.

A

【詳解】\\z如圖，延長(zhǎng)ZG交于點(diǎn)。

,因點(diǎn)G是V48C的重心，

BD1

uuir2uunr71uuruuur1uur1uuur

貝11/6=丁。=§義5(/5+4。)=1/3+丁。，①

因MG,N三點(diǎn)共線，貝歸，〉0,使就,疝7+(17)就，

UUULULULUUUUUUI___?____?

因如=、奶，AN=yAC，代入得，AG=txABk+(l-t)yAC,(D

1

tx=-111

由①，②聯(lián)立，可得，3/消去,即得，§(

(17)尸§

則x+9y=(x+9y)[d+」)=4(10+二+也2j~9=-^,

當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí)等號(hào)成立，

3xy3yx333

4416

即x==?時(shí)，x+9y取得最小值，為三.故選：C.

―?1—?—?—?4—?

3.(23-24?陜西渭南?階段練習(xí))如圖，在VABC中，已知BD=-DCP為而上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足CP=mCA+-CB,

則實(shí)數(shù)冽的值為()

Ax

RD

【答案】A

uur

UULumuuuuuruur2

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得CP=2C4+〃CD,且彳+〃=1,結(jié)合題意可得CP=XC/+]〃C8,根據(jù)平面向

量基本定理列式求解即可.

UULL1ULLILIUI

【詳解】因?yàn)?A尸三點(diǎn)共線，則。尸=4C4+〃CZ）,且4+〃=1,

_.1_.2-?uuruur?uur

又因?yàn)?。=—0C,即。。=—C3,貝IJC尸=4C4+—"C5,

233

A=m

A=m=—

—，—?4—.?4

^CP=mCA+-CB,貝”§〃二5，解得2?故選:A.

u=一

4+〃=1

JT______-----*1-----?-----?

4.（23-24天津?階段練習(xí)）如圖，在VN3C中，NBAC=-,AD=2DB）尸為CD上一點(diǎn)，且/P=—/C+24B,

34

若|就卜3,|洞=4,則萬(wàn).皮的值為（）

【答案】C

—1—?3—1—.1—.1—.

【分析】由題意，可得/尸=—/C+—2/。，又尸,C,。三點(diǎn)共線，可得2=—,則/尸=—NC+—利用

42242

__.2—?―?

向量的線性運(yùn)算可得§45+4。，進(jìn)而表示出方.皮，計(jì)算即可.

—?3—?—?2—?

【詳解】在V45c中，因?yàn)?Z）=2D5，所以43=5/。，AD=-AB,

所以CD=C/+/O=G4+§/B=CZ+§（CB—CZ）=§CB+§G4,BPDC=--CB--CA,

因?yàn)?P=：/C+九48,所以=因?yàn)槭?c,。三點(diǎn)共線，所以+；2=1,解得2=二，

442422

所以刀=；就+產(chǎn)§,ffij^C=-|c^-1c4=-|(^-^C)+|^C=-|^+^C,

1—?1—,兀I一.||UW]

所以/尸-AC+-AB就又/B/cg卜。|=3,陷=4,

42F2+

------------1------21-----------.1------21n1111913

貝1J/P-Z)C=——AB'+-ABAC+-AC=一一x42+-x4x3x-+-x32=——+2+—=——.故選：C.

33433243412

5.(23-24甘肅臨夏?階段練習(xí))如圖，在VN8C中，點(diǎn)。是3C的中點(diǎn)，AC^3MC=4NC＞分別連接V。、

NO并延長(zhǎng)，與邊N3的延長(zhǎng)線分別交于尸，0兩點(diǎn)，^AB=-2aPQ,貝1J。=()

A

【分析】利用向量共線的推論與線性號(hào)，田蜉數(shù)已結(jié)合向量減法即可求參.

【詳解】因?yàn)槭c(diǎn)共線，所以而=2而+〃N,2+/Z=1,

又因?yàn)?。是中點(diǎn)，所以/。=萬(wàn)/C+5/8,因?yàn)閆C=3MC，所以

—?——>―?1—?1―?2—?―?31

所以4O=；UM+〃/P=—/C+——4/C+〃/尸,貝=—,

22344

所以;方=沙，方=2萬(wàn),因?yàn)镹。,。三點(diǎn)共線，所以與=4力V+從而，4+4=1，

_.1_.1_,,_._—?3—?

又因?yàn)椤Ｊ荁C中點(diǎn)，所以/。=,/C+5/8,因?yàn)閆C=4NCk，所以ZN=1/C,

—>―?—?1—.1—?3—?—?21

所以/O=4/N+4/0二萬(wàn)力^+^^=p/c+H/o,則4=§,〃]=1,

1—?1—?—,3—?—?—?—?3—?—?1—?—?—,

所以5/5=1/0,/°=喳/5,所以尸0=/0—/尸=5/5—245=；AB,AB=2PQ,

所以。=1.故選：B.

題型二：線性運(yùn)算：四邊形等分點(diǎn)型

指I點(diǎn)I迷I津

四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過(guò)特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)計(jì)算

1.(23-24?江蘇蘇州?階段練習(xí))在平行四邊形/3CD中，E,尸分別在邊CD上，AE=3ED,DF=FC,

4尸與AE?相交于點(diǎn)G,記及防=人則彳4=()

【答案】C

【分析】法L設(shè)恁=/簫，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理可得2=：,進(jìn)而可得結(jié)果；

LILIIIUUUlUUL

法2：建系，設(shè)/G=x2C+yA4,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解；法3：做輔助線，根據(jù)幾何知識(shí)分析可

知*二—進(jìn)而可得結(jié)果?

AH11

142—?1—?

【詳解】法i：因?yàn)樽?而+!友;而+^■方，設(shè)恁=4赤，則就=4五5+!力礪=——AE+-AAB,

22232

4216uutr￡uuur

因?yàn)?,G,E三點(diǎn)共線，則條+?=1,解得丸=：,即=所以

--6—?3—?6—?3—?

AG=—AD+—AB=—BC——BA=-a--b；

111111111111

法2：坐標(biāo)法（特殊化平行四邊形建系）不妨設(shè)平行四邊形為矩形，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,

71

設(shè)C（4,0）,力（0,2）,則￡（3,2）,尸（4,1）所以直線=y,直線4歹:>=—w、+2,

241624

，解得G，可得4G強(qiáng)=（0,2）,SC=（4,0）,

1T1111

6

x=一

__?__?__?,41111

設(shè)就=xBC+yBA=（4%,0）+（0,2y）=（4x,2y）=\—H?則'，解得

6_-3，

y=一

H11

—?6—?3—?63-

所以4G=—二氏4二--」；

11111111

法3：如圖，延長(zhǎng)4尸，BC,交于點(diǎn)

因?yàn)閺S為中點(diǎn)，所以/b=少〃，

4GAF44G

又"GEs^HGB,則把=空=2,可得—二33

GHBH8AH3+811

uuir6101r—?6—?3—?6—?3—63一

可知4G=廠，所以4G=—/。+—/5=—5。一一BA=—a——b；故選：C.

11111111111111

3.（23-24山西?階段練習(xí)）如圖，在正方形Z5C。中，。￡=2。￡,￡3和4。相交于點(diǎn)6,且尸為/G上一點(diǎn)

_,_、_31

（不包括端點(diǎn)），若麗=4礪+4同，則萬(wàn)+公的最小值為（）

A.5+36B.6+275C.8+V5D.15

【答案】B

【分析】先確定G的位置，接著由旃=4而+〃曲進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用共線定理得g九+日=1,再利用基本不等

式“1〃的妙用即可求解.

【詳解】由題可設(shè)BG=x3E,xe（O,l）,

則由題意得耳4=無(wú)礪=尤（就+醞）=X前+§無(wú)比=x瑟+§尤詼，

23——?3―?——?—?—?5——?-?

因?yàn)锳、G、。三點(diǎn)共線，故x+§x=lnx=m，所以BG=《5￡,所以BF=hBE+pBA=,BG+曲,

又A、G、尸三點(diǎn)共線，所以g九+四=1,

所以1+M『]序+小=6+當(dāng)+36+2再x*6+2收

4"[4〃八3743〃\A3/z

當(dāng)且僅當(dāng)羋=",即日=@九=地一1時(shí)等號(hào)成立，故,的最小值為6+2后.故選：B.

A31134Ajn

3.（23-24寧夏銀川?）如圖所示的矩形45CQ中，E,F滿(mǎn)足綠=衣,CF=2FD,G為防的中點(diǎn)，若

AG=AAB+^ADf則得的值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量基本定理將就用方，力表示出出來(lái)，從而可求得功的值

【詳解】因?yàn)镚為昉的中點(diǎn)，BE=EC,CF=2FD^

―?1—?1―?1（—?1—A1（1―?—A2―?3—?

所以/G=—4E+—4/=—AB+-AD+--AB+AD\=-AB+-AD,

222（2J2（3J34

___k_23

因?yàn)?G=2/3+〃/。，所以4=§,〃=a，

所以2〃=±2X3=_L1.

342

故選：A

4.（23-24陜西咸陽(yáng)）如圖所示，在正方形/BCD中，E為48的中點(diǎn)，下為CE的中點(diǎn)，若下=力百-〃詬,

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合題意將善用刀，質(zhì)表示，從而可求出4M，進(jìn)而可求得答案.

【詳解】因?yàn)樵谡叫蜰BCO中，￡為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，

所以方二運(yùn)+而=;反=|■通+［（而+麗=1—?11—?1—?3—?1—?

-AB+-X-AB+-AD=-AB+-AD,

222242

—.—._.313

^^AF=XAB-uAD,所以4=一,//二一一，所以4+〃=:+.故選：C

424

,AE=^AD,BF=；BC,CE與DF交于點(diǎn)、

5.（23-24新疆烏魯木齊?模擬）如圖，在平行四邊形/BCD中

。.設(shè)方=1,AD=B，若+則〃—()

113

A.——B.—C.—D.——

17171717

【答案】D

【分析】根據(jù)尸、E,O,C三點(diǎn)共線，^AO=xAD+yAF.Ad=mAE+nAC＞利用平面向量線性運(yùn)

算的應(yīng)用將￡3表示而，由此可得方程組求得xj,進(jìn)而得到的值.

【詳解】連接NG/C,因?yàn)镈,。,廠三點(diǎn)共線，設(shè)元=Q5+y方，則

x+y=l,所以就=%25+穴方+函=工亞+穴罰+AD)=(x4y)b+yc；

因?yàn)橥摺?。二點(diǎn)共線，AO=mAE+nAC>則冽+〃=1,^VXAO=—AD-\-n(AD+AB)=(^+ny)+na,

%+》=1

9

m+n=\x=—

17,所以坂，

則1m，解得<m=92+11

x+—y=——\-n81717

43y=-

17

y-n

貝1」4=得，"二告，所以〃一丸=^"一亮=亮.故選：D

題型三：線性運(yùn)算：基底非同一起點(diǎn)

指I點(diǎn)I迷I津

向量共線定理和向量基本定理

①向量共線定理（兩個(gè)向量之間的關(guān)系）：向量B與非零向量.共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)彳，使得

b—Xa-

變形形式：已號(hào)直線廿三點(diǎn)A、B、P,。為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)%,使得：

OP=（l-A）OA+AOB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意5/0”,否則4可能不存在，也可能

有無(wú)數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不

重合.

②于面向量基本定理（平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系）：

若I、￡是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量〃，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4,使

a=4G+4*

特別提醒：不共線的向量I、I叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

基底的不唯一性：只要兩個(gè)向要不荽線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量

Z都可被這個(gè)平面的一組基底I、尾線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.

1.（23-24?四川成都?）在正六邊形48CDE尸中，~AD=xAC+yBD,則￡+丁=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律求解即可.

【詳解】AD=AB+m）=AC+CB+BD=AC--JD+BD,所以=就+而nZD=工工+工而，

2233

所以x=u，所以/+"5+電、9

故選：C.

2.（23-24浙江?階段練習(xí)）已知六邊形45C。跖為正六邊形，且就=心BD=b^以下不正確的是（）

—?21----.II—

A.DE=——a+-bB.BC=-a+-b

3333

—?22--"247*

C.AF=——a+-bD.BE=——a+—b

3333

【答案】C

----?1--------2--------1--------2—

【分析】根據(jù)正六邊形的特征求出m。=鏟,/川=鏟,9=產(chǎn)品。=,，再由向量加法的三角形法則以

及向量的減法即可求解.

【詳解】如圖，^AC^BD=M

C因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形，所以NABC=/BCD=120°,且&ABC泮DCB.

又V45。是等腰三角形，所以/A4C=/BC4=30°,從而可有乙4。。=/。比1=90°,

則CA/=8M=/Msin30°=—/M,所以流=一￡,而=一鼠同理有瓦？=一瓦施=一辦.

23333

所以說(shuō)=防=疝-礪=-與+與，所以選項(xiàng)A不符合題意；

33

BC=BM+MC=-b+-a,所以選項(xiàng)B不符合題意；

33

簫=①=兩+礪=-匕+勺，所以選項(xiàng)C符合題意；

33

BE=2AF=-^a+^b,所以選項(xiàng)D不符合題意.故選：C

33

3.(23-24重慶巴南?階段練習(xí))如圖，矩形/3CD中，點(diǎn)E是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段3C

的中點(diǎn)，則反=()

B.^-DF-^-AC

A.IDF-IAC

9999

D.-^-DF^AC

C.±DF+LAC+

9999

【答案】A

【分析】解法一：由平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算，以及平面向量基本定理，可表示詼,

解法二：以。為原點(diǎn)，DC、分別為》軸的正方向建系，由。￡=4。尸+4/。，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算，求得

4，%,可表示瓦.

【詳解】解法一：依題意瓦=方+^比①，麗=皮+；刀②，就=束一次③，

由②③式解得刀=§而一§就，5C=-DF+-^C,代入①式得。￡=］而一］就.

解法二：以。為原點(diǎn)，DC.D4分別為X、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

a

設(shè)DC=a,DA=b,則尸,4(0,6),C(a,O),

3

..1

b4+“2=3o5

由詼=4市+4工，有|■|,6)=4ci.——+A(a,-b),有<

22—99

—?8——5—~■

DE=-DF--AC.故選：A.

4.(23-24高三河南?階段練習(xí))已知VABC為等邊三角形，分別以C4,C5為邊作正六邊形，如圖所示，則

()

22

___—.9—?—?

C.EF^5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

2

【答案】A

【分析】選取五§,就為基底，表示出方,15,曲，結(jié)合平行向量基本定理設(shè)方=x15+y而，即可求解.

【詳解】選取方，就為基底，

EF=EH+HF^3AB+1C<

AD=BG=2BC=-2AB+2AC，

GH=GB+BH2CB+AB2AB-2AC+AB=3瓜2就，

設(shè)防=xAD+yGH=-2xAB+2xAC+3yAB-lyAC

=(-2x+3v)2B+(2X-2y)AC>

,(9

|-2x+3y=3%=一—>9—>—?

.I，2,即川=—/O+4G”.故選：A

［2x-2y=l1=42

5.(22-23甘肅天水?階段練習(xí))如圖，四邊形N8C。是平行四邊形，點(diǎn)瓦尸分別為CD,4。的中點(diǎn)，若以向

量荏,而為基底表示向量，則下列結(jié)論正確的是()

D,EC

—?4—?2—,—-4--2--

A.AD=-AE——BFB.AD=——AE——BF

5555

—,i2—'■4—，—2--4--

C.AB=-AE--BFD.AB=—AE+—BF

5555

【答案】c

【分析】先行,7萬(wàn)表示出近，赤，聯(lián)立旅，萬(wàn)，反解出漏,7萬(wàn)即可

【詳解】點(diǎn)瓦尸分別為的中點(diǎn)，?.?就=方+石，AE=AD+DE=AD+^AB,

—?—*-*1一—?1—?—?5—?”，》2,4，，’》

BF=BA+AF=-AD-AB,-BF+AE=-AD,:.AD=-BF+-AE,

22455

1—>.,5—?.2—?4—>-

-AE-BF=-AB,:.AB=-AE--BF,故選：C

2455

題型四：三大定理：奔馳定理

指I點(diǎn)I迷[電_

:

I為內(nèi)~~"點(diǎn)，axPA+/>xPB+ex.PC=0>貝!1sAp/：^^PAC^\PAB=。：b：c.

重要結(jié)論：SRPBC_aSAPXC_bS"AB_c

S\ABCa+b+cS/UBCa+b+cS^UBCci+b+C

結(jié)論1：對(duì)于A43c內(nèi)的任意一點(diǎn)/,若APBC、APCA、AP4B的面積分別為S八SB,Sc,貝!J：

SA-PA+SB-PB+SC-PC=O.

即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.

結(jié)論2：對(duì)于A4BC平面內(nèi)的任意一點(diǎn)/,若點(diǎn)/在AA8C的外部，并且在N&1C的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所

在區(qū)域時(shí)，則有-%比-PA+S^-PB+S^-PC^.

結(jié)論3：對(duì)于A43c內(nèi)的任意一點(diǎn)/,若4強(qiáng)+%旃+4冗=0，則AP3C、APCA、AP/B的面積之比為

4：為4.

即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三色形喳之比簟于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論4：對(duì)于AA8C所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)/,4刀+4詡+4定=0,則APBC、NPCA、APAB

的面積分別為圖:田：|閔.

即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.

各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.

mtfA+stfB+tOC=0

(1)SAABO=——!——；

Q?Q

（2）SAAB。：QAACO*°ACBOm

SAABCm+s+t

L（23-24甘肅）"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具

體內(nèi)容是：已知“是V/3C內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,A/MS的面積分別為邑，SB,Sc,且

Sj疝+S&?礪+%,標(biāo)=。.若初為V/2C的垂心，3MA+4MB+5MC=0,貝i]cos//Affi=（)

【答案】B

【分析】根據(jù)5/跖1+其?荻+Sc-MC=0和3疝+4礪+5近=0得邑：S?：SC=3：4:5,從而可以得出

ADAr

——=4,—匕=3,設(shè)"D=x,MF=yf得/M=3x,BM=2yf再結(jié)合垂心和直角三角形余弦值即可求

MDBF

解.

如圖，延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)。，延長(zhǎng)交/C于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)CM交N5于點(diǎn)瓦

由M為VA8C的垂心，3MA+4MB+5MC^0.^.SA-MA+SB-MB+SC-MC=O,

45

得邑：SB:品=3:4:5,所以，=§S/,Sc=：S/,

又S/BC=S/+SB+SC，則『=4,同理可得事=3,所以黑=4,骼=3，

SASBMDMF

設(shè)A?=x,MF=y,則4M=3x,BM=2y,

所以cos/BME>=W=cosN/〃F=匕，即3f=2/,土=顯,所以cos/BMD=工="，

2y3xy32y6

所以CGSNAMB=cos（7t-ZBMD）=-cosNBMD=-^.故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用"奔馳定理''得到邑：邑：Sc=3:4:5,從而利用對(duì)頂角相等得

到土=逅，由此得解.

y3

2.（23-24河北）平面向量中有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論：已知。為V/8C內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,/\AOC,NAOB

的面積分別為,，SB，SC,則邑?石+其?礪+與?云=6.因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱(chēng)為“奔

馳定理已知。為VN8C的內(nèi)心，三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為a,"c,已知a=3,b=，c=5,則痛.就=

（）

A.273-8B.-2C.V6-7D.3a-9

【答案】A

【分析】根據(jù)三邊，先求出角3的余弦值,再由內(nèi)心可得到邑：Sg：Sc=a?：c,進(jìn)而由“奔馳定理”得到

aOA+bOB+cOC=0^在對(duì)向量進(jìn)行線性運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)閍=3,b=2c=5,所以cosgJ+c*魯,因?yàn)?。為V/8C的內(nèi)心，設(shè)

2ac15

/l=NOBC,N2=NOBA,由題意Nl=/2,貝I」與：“=；忸。|忸C|sinN1:g忸。|忸邪皿N2=a:6,

同理可得,:SC=a:b:c所以根據(jù)"奔馳定理，有aE+b赤+c歷=6，所以

--*'c--?a.

a^BA-BO\+bOB+c[BC-BO\=0,即BO=-------BC+-------B4

a+b+ca+b+c

所以=BC+―-—BAUBC-BA

a+b+ca+b+cJ、

2

BC-BA=2A/3-8.故選：A.

8+26

3.（2024上海?專(zhuān)題練習(xí)）"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是V4BC

內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為邑,S",Sc，且邑.疝+5^?南+S,?流=0.以下命題錯(cuò)誤

的是（）

A

B.若“為V/2C的內(nèi)心，貝U3C?南+4C?礪+48?標(biāo)=0

C.若N8/C=45o,N/8C=60。，“為V/3C的外心，則邑：品：7=6：2：1

D.若M為VA8C的垂心，3MA+4MB+5MC^0>則cos//Affi=-"

6

【答案】C

【分析】取BC的中點(diǎn)。，連接結(jié)合奔馳定理可得到2碗=-疝，進(jìn)而即可判斷A；設(shè)內(nèi)切圓半

徑為「，從而可用『表示出邑,S",7,再結(jié)合奔馳定理即可判斷B;設(shè)V/BC的外接圓半徑為R,由圓心角

和圓周角的關(guān)系可得/3MC=90。,44兒幻=120°,ZAMB=150°,從而可用R表示出SA,SB,SC,進(jìn)而即可判斷

C；延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)。，延長(zhǎng)80交/C于點(diǎn)凡延長(zhǎng)CO交48于點(diǎn)￡,根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到

ss

苫^=4,得^=3,從而可設(shè)MD=x,MF=y,貝==所以

YV

cosZBMD=—=cosZAMF=,進(jìn)而即可求cos/BMD,從而即可判斷D.

2y3x

A

【詳解】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)D連接MQ/M,

由用：品：%=1：1:1,貝1］疝+礪+標(biāo)=0，所以2施=施+就=-疝，

----?2―?

所以4,M,。三點(diǎn)共線，且4"=—4D,

——?2—?——?2—?

設(shè)。/分別為/C的中點(diǎn)，同理可得CW=—C￡,BM=-BF,所以M為△/MC的重心，故A正確；

33

對(duì)于B：由M為V/BC的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為「，

對(duì)于C：由"為V/BC的外心，則可設(shè)VZBC的外接圓半徑為K,

又ABAC=45。,乙45。=60°,

則有/BMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,NAMB=2ZACB=150。，

22

所以邑=1R2.sin/gMC=[E2.sin90°=：氏2,51^2,sin=17?.sin120°=—A,

222B224

222

Sc=^R-sinZAMB=^R-sml50°=^-R,所以邑:%=2:6:1,故C錯(cuò)誤；

[/T\]對(duì)于D：如圖，延長(zhǎng)/初交8C于點(diǎn)。，延長(zhǎng)80交ZC于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)CO交于點(diǎn)E,

A

由M為V/5c的垂心,3A￡4+4Affi+5A/C=（j.則邑：S?：S0=3:4:5,

ss

又S“BC=S?+SB+S°，則廿=4，廿=3,設(shè)地=尤,MF=y，貝=3尤,敏=2了，

所以cos/8MD=^=cos//A/F=二，BP3x2=2/,-=—

2y3xy3

所以cosN8MD=