
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文檔簡介
解三角形及其應(yīng)用
(思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯)
維構(gòu)建?M里蓿身永紿
^^理)~(急,熹■表一
「(正、余弦定理與變形)-
Yc,-J+b。-2zi>co3C)
■〔內(nèi)角和定理)-QD型01三角形
睡02余芟定第三角形
Y皿/一玲=sinC)避03判后匍維的形狀
港04三匐階辨的個數(shù)
|~<。知識點一正、余弦定理及應(yīng)用)型05三角形的面積及應(yīng)用
轆06三匍阱涉行問題
例07解三角形中的是鰥圉問題
-<解三角形中的常用結(jié)論)一
轆08三角形的中線"、角平分線
壁09多三角形或睢花的解三角形
a=bcmC-ccnB
&=ocosC-tecsJ
t=ftcosJ-oc<?3
隹角形<Hfe形人至---^J>3c?o>6c?sin.4>Mna)
■(三角形常用面積公式)
在目標視線與水平視線所成的角中,目標視線在水平視
線方的叫做仰角,目標視或在水平視線方的叫做俯角
凝01測鏤語問題
。知識點二解三角形的實際應(yīng)用云扇從某點的指方向線3g時針方向到目標方向線之間轆02測量角度問題
的夾角叫做方位角,方便角型范圍是0‘更至0,翅03測量角囪司題
AS西域定畝古蕨受蒜■向麗成的角,品辭出瀛)蕨后)
口識盤點?置幅訃觸
知識點1正、余弦定理及應(yīng)用
1、正、余弦定理與變形
定理正弦定理余弦定理
az=b2+c2-26ccosA;
內(nèi)容a=b=c=2Rb2=c2+a2-2cacosB;
sinAsinBsinC
c2=a2+b2-2abcosC
b2+c2~a2
cosA=------------;
⑴〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=27?sinC;2bc
(2)a:b:c=sinA:sin5:sinC;c2+a2~b2
變形cosB=------------;
a±lac
⑶一^—=q=2R
222
sin4+sin5+sinCsin4萬a+b~c
cosC=------------
lab
【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對角的正弦值確定
角的值時,要注意避免增根或漏解,常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對大角,大角對大邊”及三角形內(nèi)角
和定理去考慮問題.
2、解三角形中的常用結(jié)論
(1)三角形內(nèi)角和定理:在△/BC中,/+2+。=兀;變形:.
222
(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
①sin(/+3)=sinC;②cos(/+B)=—cosC;③sincos,④cossing.
(3)三角形中的射影定理:在△48C中,a=bcosC+ccosB;6=acosC+ccos/;c=6cosN+acos8.
(4)三角形中的大角對大邊:在△4BC中,/>3oa>6Qsin/>sinR
3、三角形常用面積公式
(1)S=$九(隊表示邊。上的高);
(2)S=1a6sinC=】acsin5=16csinN;
222
(3)S=$(a+6+c)&為內(nèi)切圓半徑).
知識點2解三角形的實際應(yīng)用
名稱意義圖形表示
/目標
在目標視線與水平視線所成的角中,目標/視線
鉛5角水平
仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角,目標視垂
線y角視線
\目標
線在水平視線下方的叫做俯角
視線
從某點的指北方向線起按順時針方向到北]
.35。卷
方位角目標方向線之間的夾角叫做方位角,方位
rr
角。的范圍是0°W0<360。
例:⑴北偏東a:(2)南偏西a:
正北或正南方向線與目標方向線所成的
方向角北t北f
銳角,通常表達為北(南)偏東(西)
【注意】(1)方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的,方向角是方位角的一種表達形式,是同一問題中對角的不
同描述.
(2)將三角形的解還原為實際問題時,要注意實際問題中的單位、近似值要求,同時還要注意所求的結(jié)果
是否符合實際情況.
■點突破?看分?必檢
重難點01解三角形中的最值范圍問題
1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略
(1)定基本量:根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系,利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角
或邊角關(guān)系,并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量,確定基本量的范圍.
(2)構(gòu)建函數(shù):根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示.
(3)求最值:利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.
2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點
(1)涉及求范圍的問題,一定要搞清已知變量的范圍,利用已知的范圍進行求解,已知邊的范圍求角的
范圍時可以利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化.
(2)注意題目中的隱含條件,如/+3+。=兀,0<A<TI,b-c<a<b+c,三角形中大邊對大角等.
類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍
【典例11(23-24高三下?山西?模擬預(yù)測)鈍角“3C中,角C的對邊分別為",b,c,若acosB=csin/,
則sinA+后sinB的最大值是.
【答案】f
4
【解析】因為〃cos5=csin/,由正弦定理得sin4cos3=sinCsinZ,
JTjr
又因為/£(0,兀),可得sin/wO,所以sinC=cosB,則。=不一5或C=—+3.
22
當C='-B時,可得/=(與是鈍角三角形矛盾,所以C4+B,
?.71
0<A<—
2
TTTTTT
由〈一,則4=——2B>0,可得0<B<一,
224
A+B+C=TI
所以sin/+V2sinB=sin(5+C)+>/2sinB=cos2B+>/2sinB
(萬J?
——2sin2B+sinB-\-1=-2sinB-+一,
I4J4
5
所以當sinB=——時,sin4+e~sin5的最大值為了.
44
【典例2】⑵-24高三下?福建廈門三模)記銳角AA8C的內(nèi)角/,8,C的對邊分別為a,b,c.若2cosc=3-,,
ab
則8的取值范圍是.
7171
【答案】
652
【解析】因為2cosc=迎-多,所以2a6cosc=362一下,
ab
由余弦定理可得:2abeosC=〃2+b2-c2,
可得〃=/-;c2,在銳角“Be中,由余弦定理可得:
a2+c2-b2c,
cosB=
2aca
22122
222a+a——c>c
a+b>c22
因為,即,BP2a>
b1+C1>a2所以:<5
a2--c2+c2>a2
2
-3c32_V3
所以cosB=—,所以Be
4a4732
類型2邊或周長的最值范圍
【典例1](23-24高三下?江蘇?月考)在“3C中,內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。,小。,已知/-/=四.
(1)若B=60。求C的大小;
(2)若“3C為銳角三角形,求2的取值范圍.
a
【答案】(1)90°;(2)(收詞
【解析】(1)由題意,在“8。中,b2-a2=ac.>
由余弦定理得,a2+c2-2ac-cosB=b2
??Q?+。之一2〃c?cosB-Q?=ac,??c—2QCOS5=a,
???/+5+C=180。,
sin(/+B)-2sirt4cos5=sin4=cos/sinS-siiL4cos3=sirU,
/.sin(5-^)=sin4:.B-A=A^LB-A+A=TI(舍),:.B=2A
V5=60°,.?.力=30。,:.C=1SO-A-B=9O°.
(2)由題意及(1)得,在“5C中,B=2A,
sinBsin2Z
由正弦定理得,-=2cos4,
asiMsirU
?.?A/8C為銳角三角形,
:.-0<2A<^解得:?</<£,
264
IT
0<兀一/—24<—
2
/.V2<2cos/<V3,
.b_
a
A
【典例2](23-24高三下?安徽淮北?二模)記AABC的內(nèi)角4瓦C的對邊分別為。也c,已知c-6=2csin2-
(1)試判斷“3C的形狀;
(2)若c=l,求"Be周長的最大值.
【答案】(1)“3C是直角三角形;(2)V2+1
__,,.,.—.2A一/口.2/c-bb,、,1-cos/c-b
【解析】(1)ic-Z>=2csm--,可得5111-^=1;—,所以---=--
222c22c
嗚-等K,所以cosN=g
又由余弦定理得匕/4'可得力+〃?
所以
所以力5C是直角三角形
(2)由(1)知,是直角三角形,且c=l,可得。=sin/,6=cos4,
所以“SC周長為l+sin4+cos4=1+V^sin[/+:),
._,、r.(c兀、__-i,兀I7T3兀
因為/^[。,萬卜可付Zl=/+1'匕'彳
所以,當/=?時,即“8c為等腰直角三角形,周長有最大值為夜+1.
類型3三角形面積的最值范圍
【典例1](23-24高三下?廣東茂名?一模)在AJBC中,內(nèi)角4民。的對邊分別是且
6sin(8+C)=asin~~~~
⑴求B的大小;
(2)若。是/C邊的中點,且班>=2,求23C面積的最大值.
【答案】(1)Y;⑵述
33
【解析】(1)?.?/+8+。=兀,.,.siiL4=sin(5+C),/.bsv^A=(2sin71=acos^-,
D
/.由正弦定理可得sin5siii4=siiL4cos—,
2
???sin^=2sin-cos-,2sin-cos-siiL4=siiL4cos-,
22222
???43e(0,兀),siM/O,cos-^O,.'.sin---,即巨=烏,即3=2;
222263
,/?
依題意,,
(2)S△AtKsLC=—2acsinB=——4ac
\BA+Bc\=^BD\,p+sc|=4,(BA+BC^=16,
即a2+c2+2acxcos—=16,
3
即02+/+*=1623",當且僅當a=c=逋時,等號成立,
3
即acV?,.?.A/BC面積的最大值為工=
32323
【典例2](23-24高三下?湖北武漢?二模)在“8C中,角4民C的對邊分別為a,6,c,已知
(2a-c)cosB-bcosC=0.
(1)求3;
(2)已知6=追,求;”+2c的最大值.
【答案】(1)5=p(2)
【解析】(1)V(2a-c^cosB-bcosC=0,
由正弦定理得(2sinZ—sinC)cos8—sinBcosC=0,
2cos5sin/-cos5sinC-sin5cosc=0,即2cos5sin4=sin5cosC+cos5sinC,
所以2cosBsin4=sin(8+C)=sin4,
V^e(0,7i),「.sin力wO,???cos5=;,
7T
VO<5<71,???5=§;
a_c_b_y/i_
(2)由正弦定理,得sinZsinCsinB由,
~T
1..A?\271.I
—〃+2c=sin/+4sme=sin4+4sm------A
2I3J
=sin/+2^3cos/+2sin/=3sin/+26cosA=V2Tsin(/+0),
又<與,。為銳角,JHsin(/+o)的最大值為"',
A+2c的最大值為V21.
重難點02解三角形角平分線的應(yīng)用
如圖,在△48C中,4D平分NB4C,角4、B,C所對的邊分別問a,b,c
(1)利用角度的倍數(shù)關(guān)系:^BAC=2NB4D=7./.CAD
(2)內(nèi)角平分線定理:AD為ZL4BC的內(nèi)角NBAC的平分線,則繁=含
說明:三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比,再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu),就
可以轉(zhuǎn)化為向量了,一般的,涉及到三角形中“定比”類問題,運用向量知識解決起來都較為簡捷。
(3)等面積法:因為SAABD+SAACD=SAABC,所以.力Ds譏5+.力Ds譏S=16csiTVl,
所以(b+c)AD=2bccosg,整理的:AD=(角平分線長公式)
2b+c
【典例1](23-24高三下?江西?模擬預(yù)測)在“3C中,內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為。,6,c,其外接圓的半
徑為26,且6cosc=a+——csiitS.
3
(1)求角B;
(2)若的角平分線交/C于點。,3。=若,點£在線段/C上,EC=2EA,求△BDE的面積.
【答案】⑴人爭⑵東
【解析】(1)因為6cosc=〃+——csinS,
3
由正弦定理可得sin5cosc=sinJ!+sinCsirtS,
3
又Z=7i—(g+C),所以sin5cosc=sm(5+C)+-^-sinCsin5
所以sin5cosc=sinBcosC+cosBsinC-----sinCsinfi,
3
A
即sinCcos5+——sinCsin5=0,
3
VCG(O,TI),故sinCwO,
c-DE
cosB+——sinB=0,即tanB=-VJ,
3
又5£(0,兀),則8=彳.
27r
(2)由(1)可知,B=—,又外接圓的半徑為2百;
由正弦定理可知芻=46,所以b=4百sin§=6,
sinB3
1兀
因為8。是NABC的平分線,故ZCBD=NABD=-ZABC=-
23
又BD=,由S"BC=S^BCD+S&ABD,
—acsin-=—a-V3sin—+—c-V3sin—,即4。=百(4+。).①
232323v7
2兀
由余弦定理可知,b2=a1+c2-26zccos—,即(q+cp-=36.②
由①②可知a=c=2jj.所以3OJ./C,
又;EC=2AE,則DE=1,
所以^^BDE=—X1X
ADUIL22
【典例2】(23?24高三下?河北滄州?模擬預(yù)測)在中,角4,5,。的對邊分別為a,b,c,已知〃之=c[c+b).
(1)求證:3+3。=兀;
(2)若的角平分線交4C于點。,且。=12,6=7,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)4指.
【解析】(1)在。中,由余弦定理/=c?+6?-2c6cos4及=。(。+,),
得b?一2cbcosA=bc,即6-2ccosA=c,
由正弦定理,Wsin5-2sinCcosA=sinC,
BPsinC=sin(C+力)-2sinCcos4=sin/cosC-cos4sinC=sin(Z-C),
由0<C<兀,得sin(Z—C)=sinC〉O,則0</—。</<兀,
因此。=4—C,即N=2C,則2。+3+。=兀,
所以B+3C=兀.
(2)由/=c(c+b),得122=C(C+7),由C〉0,得C=9.
,口ABsinZADBsinZBDC_BC
在N4BD,△BCD中,由正弦定理,得——二--------
ADsin/ABDsinZCBD~~CD
QI?
貝匕萬=廠而’解得3=3,從而OC=4'
A
D
8
又cosZADB+cosZCDB=0,
由余弦定理,得先*ZL。,
解得AD=4幾,
2x38。2x45。
所以3。的長為4而.
重難點03解三角形中線的應(yīng)用
1、中線長定理:在AABC中,4D是邊BC上的中線,則力B2+4。2=2(B£)2+人。2)
【點睛】靈活運用同角的余弦定理,適用在解三角形的題型中
2、向量法:AD2—(b2+c2+2bccosA)
【點睛】適用于已知中線求面積(已知各的值也適用).
【典例1](23-24高三下?山西?三模)在中,內(nèi)角4民。所對的邊分別為“ec.已知
27r
/==24,A/3C的外接圓半徑尺=2百,。是邊/C的中點,則8。長為()
A.V2+1B.2A/3C.672D.國
【答案】D
【解析】由/==A48C的外接圓半徑尺=26,得a=2Rsin/=2x28X3=6,
32
由/=〃+/-2〃bcosZ和/+,=24得。6=12,
又[:+:=24,解得—c=2百,所以八C=/_?]=,
[be=122<3J6
因為“8C中,。是邊NC的中點,所以前=,函+前),
1I-------------2-1I----2---------------------2B
于是函=5J(強+珂2=-曬2+2網(wǎng)l^cosNABC+BC
—5J。2+yf^ca+a2=1712+73x273x6+36=A/21.故選:D.
【典例2]⑵-24高三下?黑龍江哈爾濱?三模)已知“3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。也。,且。=6,BC
邊上中線長為1,則6c最大值為()
77I-
A.—B.-C.百D.2G
【答案】A
【解析】由題意得乙4。8+//。。=兀,所以cosN4DB+cosN4DC=0,
/?
又〃=百,且。是5C的中點,所以DB=DC=*
2
7_2
在中,"DB="、B》一;
2AD-BDV3
乙2
在八包C中,cos/?"士Ci='
2AD-CD下)
—7b入2—7c2
所以cosNNDC+cos/4D8==0'
V3V3
227,當且僅當6=c=直取等號,故選:A
gpb+c=-,得2方。</+。2=
2242
法技巧?)$裹學(xué)露
一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題,實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化,解題的思路是:
1、選定理.
(1)已知兩角及一邊,求其余的邊或角,利用正弦定理;
(2)已知兩邊及其一邊的對角,求另一邊所對的角,利用正弦定理;
(3)已知兩邊及其夾角,求第三邊,利用余弦定理;
(4)已知三邊求角或角的余弦值,利用余弦定理的推論;
(5)已知兩邊及其一邊的對角,求另一邊,利用余弦定理;
2、巧轉(zhuǎn)化:化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化;若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間
的關(guān)系,則式子一般比較復(fù)雜,要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.
3、得結(jié)論:利用三角函數(shù)公式,結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)(如大邊對大角,三角形的內(nèi)角取值范圍等),并
注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。
【典例1](23-24高三下?浙江金華三模)在。中,角4瓦。的對邊分別為。,b,c若a=5,6=2,
4=60。,則c為()
A.1B.2C.3D.1或3
【答案】C
【解析】由余弦定理得cos/=少上C二且,
2bc
即2?+c2T⑺_1,即02一2°一3=0,解得C=3或C=-1(舍).故選:C.
2x2c2
【典例2](23-24高三下?江蘇?二模)設(shè)鈍角”3C三個內(nèi)角/,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若a=2,
6sin/=石,c=3,則b=.
【答案】M
【解析】由余弦定理得,十=鴛
而由6sin4=G,得sin5=
b
因為AASC是鈍角三角形,且c>a,故4為銳角,所以cos/=
所以印二展
解得/=7或6?=19,
當/=7時,即6=近,c>b>a,由大邊對大角得:最大角為C,
〃+227+4—9
cosC=°°=上3>(),故c為銳角,不符合題意;
當〃=19時,即。=曬,b>c>a,由大邊對大角得:最大角為8,
cos8,+/―J9+479<0,故g是鈍角,符合題意.
lea6x2
【典例3](23-24高三下?廣東江門?二模)P是AABC內(nèi)一點,ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,
則tan/34P=()
【答案】D
【解析】因為N/8P=45°,ZP5C=ZPCB=ZACP=30°,
所以ABAC=180°-(45°+30°+30°+30°)=45°,
設(shè)/創(chuàng)尸=a,因為NPBC=NPCB,所以5P=CP.
APsin45°AP_sin30°
在AZBPQZCP中,
由正弦定理可得而=5CP-sin(45o-?)
sin45°_sin30°
即sin45°sin(45°-cr)=sin300sina,
sinasin(45°-a)
V2x/21-口sina1_
a即n73(cosaTina)=
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