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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題20立體幾何與空間向量(解答題壓軸題)
目錄
1、直線與平面所成角問(wèn)題.............................................1
①求直線與平面所成角定值問(wèn)題.....................................1
②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題..............................4
③直線與平面所成角中探索性問(wèn)題..................................6
2、平面與平面所成角問(wèn)題............................................9
①求平面與平面所成角定值問(wèn)題....................................9
②求平面與平面所成角最值或范圍問(wèn)題.............................12
③平面與平面所成角中探索性問(wèn)題.................................14
3、體積(距離)問(wèn)題................................................17
4、折疊問(wèn)題........................................................19
1、直線與平面所成角問(wèn)題
①求直線與平面所成角定值問(wèn)題
1.(2023?云南?云南師大附中??寄M預(yù)測(cè))如圖,尸為圓錐的頂點(diǎn),48為底面圓。上兩點(diǎn),ZAOB=—,
E為尸B中點(diǎn),點(diǎn)廠在線段上,S.AF=2.FB.
⑴證明:平面平面OE/;
(2)若=求直線AP與平面OE/所成角的正弦值.
2.(2023?寧夏銀川???寄M預(yù)測(cè))如圖,在四棱錐尸-ABCD中,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形,A。BD=O,
且「01平面ABCD,尸0=2,F,G分別是尸B,P£)的中點(diǎn),E是上4上一點(diǎn),且AP=3AE.
A
(1)求證:HD//平面EFG;
⑵若ND鉆=M,求直線與平面跖G所成角的余弦值.
3.(2023?江蘇揚(yáng)州,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,平行六面體ABCO-ABCR的體積為6,截面ACC0的面積為
B
⑴求點(diǎn)8到平面ACC0的距離;
(2)^AB=AD=2,ZBAD=60°,AAl=^6,求直線與平面CCQD所成角的正弦值.
4.(2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖,己知多面體E4BCL平的底面ABC。是邊長(zhǎng)為2
的正方形,E4,底面ABCD,FD//EA,且陽(yáng)=;£A=1.
⑴記線段2C的中點(diǎn)為K,在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面Eb平行,要求保留作圖痕跡,但不
要求證明;
⑵求直線£B與平面ECF所成角的正弦值.
5.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,在底面為正方形的四棱臺(tái)A3。-AAGA
中,已知32,即4叱夜,A到平面物的距離為與I.
⑴求2到平面ABCD的距離;
(2)若懼邛,求直線CG與平面ABD}所成角的正弦值.
②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題
1.(2023春?黑龍江?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)如圖,在梯形中,點(diǎn)M在邊上,
AM=-AD=-BC=—,CM=CD=2,以CM為折痕將△CMD翻折到△CMS的位置,使得點(diǎn)S在平面
542
ABCD內(nèi)的射影恰為線段CD的中點(diǎn).
(1)求四棱錐S-ABCM體積:
(2)若點(diǎn)尸為線段加上的動(dòng)點(diǎn),求直線CP與平面所成角的正弦值的最大值.
2.(2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期末)如圖,三棱臺(tái)ABC-A與G中,AB=BC=2BlCl=^,。是AC的
中點(diǎn),E是棱BC上的動(dòng)點(diǎn).
⑴若A耳〃平面。EG,確定E的位置.
⑵己知CCJ平面ABC,且設(shè)直線BG與平面OEG所成的角為出試在(1)的條件下,求sin?
的最大值.
3.(2023?海南???統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,四棱錐尸-ABCD中,AB//CD,AB,AD,平面平面PCD
⑴證明:平面平面A3CD;
(2)若相>=2AB=2,PB=6,PD=亞,8c與平面PCD所成的角為。,求sin。的最大值.
4.(2023春?江蘇常州?高二江蘇省漂陽(yáng)中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,四棱錐尸-ABCD的底面為正方形,PA±
底面ABCD,B4=AB=3,點(diǎn)E在棱PD上,且2PE=ED,點(diǎn)F是棱PC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).
(1)若歹是棱PC的中點(diǎn),求NEA尸的余弦值;
⑵求PA與平面AEF所成角的正弦值的最大值.
5.(2023?全國(guó)?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))己知體積為1的四面體ABCD,其四個(gè)面均為全等的等腰三角
形.
⑴求四面體ABCD的外接球表面積的最小值;
(2)若鉆=即=2,ASC的面積為姮,設(shè)點(diǎn)尸為線段(含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn),求直線CP與面鈣D所成
2
角的正弦值的取值范圍.
③直線與平面所成角中探索性問(wèn)題
1.(2023春?福建漳州?高二校考期中)已知直角三角形ABC中ZBAC=90°,C4=2A3=4,。、E分別是AC,
8C邊中點(diǎn),將△(?£>£和ABAE分另!]沿著。E,AE翻折,形成三棱錐P—ADE,/是中點(diǎn).
(1)證明:PM_L平面ADE;
(2)若直線上存在一點(diǎn)。,使得QE與平面PAE所成角的正弦值為:,求0M的值.
2.(2023春?云南楚雄?高二??计谀?如圖,已知以垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形&4DE的對(duì)角線
TT
交于點(diǎn)尸,G為S3的中點(diǎn),NABC=NBAD=—,SA=AB=BC=-AD=1.
22
BC
(1)求證:BD//平面AEG.
(2)求平面SCD與平面ESD所成銳二面角的余弦值;
⑶在線段EG上是否存在一點(diǎn)H,使得8"與平面SCO所成角的大小為多?若存在,求出G"的長(zhǎng):若不
存在,說(shuō)明理由.
3.(2023春?江西新余?高二統(tǒng)考期末)如圖,在四棱錐尸-ABC。中,底面ABCD為正方形,底面ABCD,
PA=DC=l,E為線段尸8的中點(diǎn),尸為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).
P
⑴證明:4£_1平面尸3。;
⑵若直線AF與平面上4B所成角的正弦值為日,求點(diǎn)尸到平面AEF的距離.
4.(2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模)如圖(1),在正三角形ABC中,分別為AB,AC中點(diǎn),將VADE沿OE
折起,使二面角A-DE-3為直二面角,如圖(2),連接AB,4C,過(guò)點(diǎn)E作平面所G與平面4如平行,
分別交2cAe于RG.
(1)證明:EG,平面ABC;
(2)點(diǎn)H在線段AD上運(yùn)動(dòng),當(dāng)EH與平面所G所成角的正弦值為姮時(shí),求”的值.
5AD
5.(2023?吉林?統(tǒng)考三模)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABEE和四邊形CD跖均是等腰梯形,底
面ABC。為矩形,AC與3。的交點(diǎn)為0,即〃平面ABCD,且E尸與底面ABCD的距離為0,
AE=ED,AB=2EF=4,4。=272.
(1)求證:R9〃平面ADE;
⑵在線段所上是否存在一點(diǎn)加,使得CM與平面ADE所成角的正弦值為其耳.若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)M的
位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
__TT
6.(2023?陜西西安???寄M預(yù)測(cè))如圖,四棱錐P-ABCD的底面為菱形,ZABC=-,AB^AP=2,PA±
底面ABC。,E,E分別是線段RB,PO的中點(diǎn),G是線段PC上的一點(diǎn).
BC
i
(1)若洋=:,證明直線AG在平面AEF內(nèi);
(2)若直線AG與平面AE尸所成角的正弦值為巫,試確定巖的值.
10PC
2、平面與平面所成角問(wèn)題
①求平面與平面所成角定值問(wèn)題
1.(2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校??级?如圖,在三棱柱ABC-A4G中,側(cè)面跳?|GC為菱形,
NCBB]=60。,AB=BC=2,AC=AB、=0.
AA}
(1)證明:平面ACB|_L平面8耳GC;
(2)求平面ACQA與平面4片。夾角的余弦值.
2.(2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模)如圖,在四棱錐A-3CDE中,側(cè)面?底面3CDE,底面8cDE為菱
形,ZBCD=120°,AE±AD,ZADE=30°.
B2------------------
(1)若四棱錐A-3CDE的體積為1,求DE的長(zhǎng);
(2)求平面ABE與平面ACD所成二面角的正弦值.
3.(2023?貴州黔東南?凱里一中??寄M預(yù)測(cè))如圖,在三棱柱ABC-中,AB=BC,ABt=BtC.
⑴證明:AClBtB;
(2)若AB=BB1=2,AB,=>/6,ZABC=120,求二面角人-盟-C的余弦值.
4.(2023?福建三明?統(tǒng)考三模)如圖,平面五邊形ABCDE由等邊三角形ADE與直角梯形ABCD組成,其中
AD//BC,ADLDC,AD=2BC=2,CD=有,將VADE沿AD折起,使點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)M的位置,且=a.
(1)當(dāng)“=布時(shí),證明并求四棱錐H-ABC。的體積;
⑵己知點(diǎn)P為棱CM上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),當(dāng)a=3時(shí),求平面刊見(jiàn)與平面ABCD夾角的余弦值.
5.(2023?全國(guó).模擬預(yù)測(cè))如圖,在多面體ABCDMP中,四邊形ABCD是菱形,且有ZDAB=60°,AB=DM=1,
PB=2,尸3_L平面A5C£),PB//DM.
⑴求證:AM//平面「3C;
⑵求平面㈤WP與平面P3C所成的銳二面角的余弦值.
②求平面與平面所成角最值或范圍問(wèn)題
1.(2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))如圖,在四棱錐中,底面ABCD為正方形,底面ABCD,
PA=AB=2,E,尸分別在棱P8,BC上.
(1)當(dāng)E為棱PB中點(diǎn)時(shí),求證:AE±EF;
⑵當(dāng)尸為棱8C中點(diǎn)時(shí),求平面AEP與平面PDC所成的二面角余弦值的最大值.
2.(2023春?江蘇徐州?高二徐州高級(jí)中學(xué)??计谥?如圖1,在等邊.ABC中,點(diǎn)。,E分別為邊AB,AC
DF
上的動(dòng)點(diǎn),且滿足£>E〃BC,記了片=2.將VADE沿DE翻折到JWDE位置,使得平面平面DEC3,
BC
連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).
圖2
(1)當(dāng)或〃/平面時(shí),求2的值;
⑵試探究:隨著力值的變化,二面角B-MD-E的大小是否為定值?如果是,請(qǐng)求出二面角3-MD-E的
正弦值;如果不是,請(qǐng)求出二面角B-MD-E的余弦值的取值范圍.
3.(2023秋?云南昆明?高二統(tǒng)考期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面A8C£>是平行四邊形,ZADC=—
PZ)=DC=23C=4,點(diǎn)E是線段的中點(diǎn),點(diǎn)廠在線段AP上且滿足A尸=4AP,尸。上面A3CD
(1)當(dāng)2時(shí),證明:PC〃平面跳E;
⑵當(dāng)4為何值時(shí),平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最???
4.(2023春?江蘇淮安?高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖①所示,長(zhǎng)方形ABCD中,AD=1,AB=2,
點(diǎn)M是邊CO的中點(diǎn),將"DM沿AM翻折到連接PB,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.
(1)求四棱錐尸-的體積的最大值;
⑵設(shè)尸的大小為6,若,求平面上4M和平面P3C夾角余弦值的最小值.
5.(2023春?江蘇常州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))某人設(shè)計(jì)了一個(gè)工作臺(tái),如圖所示,工作臺(tái)的下半部分是個(gè)
正四棱柱A88-A內(nèi)GR,其底面邊長(zhǎng)為4,高為1,工作臺(tái)的上半部分是一個(gè)底面半徑為血的圓柱體的
四分之一,點(diǎn)尸為圓弧E2K(包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn).
⑴若。與,平面2E尸時(shí),求點(diǎn)尸與用的最短距離.
(2)若。2=3,當(dāng)點(diǎn)P在圓弧當(dāng)工(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí),求平面PAG與平面AAG所成的銳二面角的正
切值的取值范圍.
③平面與平面所成角中探索性問(wèn)題
1.(2023?西藏日喀則?統(tǒng)考一模)如圖,已知直角梯形ABC。與4)砂,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,
AD±AF,ED//AF,ADrAB,BC//AD,G是線段防上一點(diǎn).
⑴平面ABCDJ_平面ABF
⑵若平面A3CDJ?平面AZ比F,設(shè)平面CEG與平面A3尸所成角為6,是否存在點(diǎn)G,使得cos6=少,
若存在確定G點(diǎn)位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2.(2023?上海長(zhǎng)寧?上海市延安中學(xué)??既?己知,么BC和VADE所在的平面互相垂直,AD±AE,AB=2,
AC=4,ABAC=120°,O是線段8C的中點(diǎn),AD=6
(1)求證:AD±BE;
(2)設(shè)AE=2,在線段AE上是否存在點(diǎn)尸(異于點(diǎn)A),使得二面角A-M-C的大小為45。.
3.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中??寄M預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體A8CO-A4CA中,AB=BC=2CCX,點(diǎn)尸
為棱G2上任意一點(diǎn).
(1)求證:平面A41cle_L平面P3D;
(2)若點(diǎn)E為棱CG上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),求點(diǎn)P在棱GA上什么位置時(shí),平面3DE與平面以冷夾角的余
弦值為述.
19
4.(2023?福建寧德???寄M預(yù)測(cè))如圖,已知多面體EACB。中,防,底面AC3。,EB=1,AB=2,其中
底面由以AB為直徑的半圓ACB及正三角形A3。組成
⑴若BC=1,求證:BCU平面ADE.
⑵半圓A8上是否存在點(diǎn)M,使得二面角M-AE-O是直二面角?若存在,求出第的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)
BM
明理由.
5.(2023?江蘇南京?南京師大附中??寄M預(yù)測(cè))如圖(1),平面四邊形由正三角形和等腰直
角三角形3CD組成,其中BD=2,ZBDC=9QP.現(xiàn)將三角形ABD繞著8。所在直線翻折到三角形PBD位置
(如圖(2)),且滿足平面尸3D_L平面PCD.
圖⑴
⑴證明:CD_L平面PBD;
,當(dāng)平面5C。與平面尸CQ夾角的余弦值為畫(huà)時(shí),求丸的值.
(2)若點(diǎn)。滿足=彳
31
3、體積(距離)問(wèn)題
1.(2023?江蘇徐州???寄M預(yù)測(cè))在三棱臺(tái)ABC-AEF中,G為AC中點(diǎn),AC=2DF,AB1BC,BC1.CF.
(1)求證:3cl平面DEG;
jr
(2)若AB=BC=2,CF1AB,平面EFG與平面ACFD所成二面角大小為求三棱錐E-DFG的體積.
2.(2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))在如圖所示的圓錐中,已知尸為圓錐的頂點(diǎn),。為底面的圓心,其母線長(zhǎng)
為6,邊長(zhǎng)為3g的等邊ASC內(nèi)接于圓錐底面,OZ)=/IO尸且九€.
⑴證明:平面平面D4O;
⑵若E為AB中點(diǎn),射線OE與底面圓周交于點(diǎn)當(dāng)二面角A-03-C的余弦值為以時(shí),求點(diǎn)M到平面
BCD的距離.
3.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在多面體ABCGA4中,四邊形臺(tái)用GC是邊長(zhǎng)為4的正方形,AB1B.B,
△A8C是正三角形.
⑴若4為AB的中點(diǎn),求證:直線AC//平面A2G;
⑵若點(diǎn)A在棱A片上且A4t=24用,求點(diǎn)C到平面4BG的距離.
4.(2023?北京通州?統(tǒng)考三模)如圖,在三棱錐A-3CD中,平面平面3C£),ABLAD,AB=AD,
。為8。的中點(diǎn).
(1)證明:OALCD.
(2)若△BCD是等腰直角三角形,ZBDC=90,8=2,點(diǎn)E在棱AD上(與A,D不重合),若二面角E-8C-D
的大小為45,求點(diǎn)。到面8CE的距離.
5.(2023?廣東廣州廣州六中校考三模)四棱錐尸-ABCD中,AD//BC,AB=AD=2BC=2,NABC=60。,
PA工CD,PD±AC,點(diǎn)E是棱上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn).
(2)若平面PAC與平面E4C的夾角的余弦值為應(yīng),求四棱錐尸-ABC。的體積.
10
4、折疊問(wèn)題
1.(2023?全國(guó)?高二課堂例題)如圖(1),在等腰梯形ABC。中,M,N分別是AD,AE的中點(diǎn),
AE=BE=BC=CD=4,EF=2EB(0</I<1),將VADE沿著。E折起,使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置,平面
P£?E_L平面BODE,如圖(2).
(1)若PC〃平面求X的值;
2
(2)若CQ=§C?,平面平面MNR求2的值;
⑶若平面MNF與平面BCDE所成角的余弦值為回,求力的值;
10
⑷若點(diǎn)C到平面的距離為孚,求彳的值.
2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))圖①是直角梯形ABCD,AB!/CD,ZD=90,四邊形ABCS是邊長(zhǎng)為2的
菱形,并且/BCE=60,以BE為折痕將3CE折起,使點(diǎn)C到達(dá)G的位置,且
①
⑴求證:平面,平面ABED;
⑵在棱0a上是否存在點(diǎn)尸,使得點(diǎn)尸到平面ABG的距離為孚?若存在,求出直線£?與平面ABG所成
角的正弦值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,在ABC中,ABC=90,BC=2,AACB=60,E為4B中點(diǎn),
過(guò)點(diǎn)E作曲垂直AC于。,將VADE沿翻折,使得面4汨,面3CDE,點(diǎn)/是棱AC上一點(diǎn),且9〃
面ADE.
(2)求二面角V-班-C的余弦值.
4.(2023春?廣西南寧?高二賓陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末)圖1是由矩形ADE?、RtaABC和菱形3FGC組成的一
個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60。.將其沿AB,8C折起使得BE與所重合,連接。G,
如圖2.
(1)證明:圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面,且平面ABC1平面3CGE;
⑵求圖2中BG與平面ACGZ)所成角的正弦值.
5.(2023春?重慶北倍?高一西南大學(xué)附中??计谀?如圖1,在四邊形A3CD中,BCYCD,E為BC上一
點(diǎn),AELBC,AE=8E=2CD=2,位=白,將四邊形AEC。沿AE折起,使得二面角3-AE-C的大小為30。,
連接BO,BC,得到如圖2.
圖1
(1)證明:平面/WE_L平面8CE;
(2)點(diǎn)尸是線段BE上一點(diǎn),設(shè)EF=2EB,且二面角E-AD-尸為30。,求2的值.
專(zhuān)題20立體幾何與空間向量(解答題壓軸題)
目錄
1、直線與平面所成角問(wèn)題.............................................1
①求直線與平面所成角定值問(wèn)題.....................................1
②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題..............................4
③直線與平面所成角中探索性問(wèn)題..................................6
2、平面與平面所成角問(wèn)題............................................9
①求平面與平面所成角定值問(wèn)題....................................9
②求平面與平面所成角最值或范圍問(wèn)題.............................12
③平面與平面所成角中探索性問(wèn)題.................................14
3、體積(距離)問(wèn)題................................................17
4、折疊問(wèn)題........................................................19
1、直線與平面所成角問(wèn)題
①求直線與平面所成角定值問(wèn)題
」.2兀
1.(2023?云南?云南師大附中??寄M預(yù)測(cè))如圖,尸為圓錐的頂點(diǎn),A,8為底面圓。上兩點(diǎn),=
E為PB中點(diǎn),點(diǎn)/在線段AB上,且AF=2FB.
p
(1)證明:平面AQP_L平面OEb;
⑵若OP=AB,求直線AP與平面OE/所成角的正弦值.
【答案】⑴證明見(jiàn)解析
(2)叵
26
【詳解】(1)設(shè)圓。的半徑為r,
27r7T
在一AQB中,OA=OB=r,ZAOB=—,ZOAB=-
369
故42=技,又AF=2FB,故AF=冥立,
3
222
在tAOF中,由余弦定理得OF。=OA+AF-2OA?AF?cosZOAF=|t>A=1
所以。42+。尸2=人尸2,即必,。;?;
圓錐中,P01底面O,OBu底面O,故尸。,0尸,
又。4cop=O,所以O(shè)P,平面AOP,
又OPu平面0£F,所以平面AOP_L平面OEP.
(2)以。為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-沖2,
不妨設(shè)。4=豆,則OP=AB=gOA=3,OF=—OA=l,
3
則OP(o,o,3),B
A(6,O),I442)尸(0,1,0),
AP=(—A/3,0,3),OE=——,OF=(0,1,0),
設(shè)平面OEF的一個(gè)法向量為〃=(%,y,2),
〃■OE=0--------y-I--2=0r~
有,即44-2,解得〃=(26,0,1),
n-OF=0八
設(shè)直線AP與平面OEF所成角為夕,
|AP“_卜6+3|—屈
則sin0=cos〈AP,n)\
|AP|.|H|-712^13-26
2.(2023,寧夏銀川???寄M預(yù)測(cè))如圖,在四棱錐P-ABC。中,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形,ACBD=O,
且尸01平面ABC。,PO=2,F,G分別是P8,PD的中點(diǎn),E是抬上一點(diǎn),且AP=3AE.
P
(1)求證:3。//平面£7七;
2元..
(2)若ZDAB=可,求直線上4與平面跖G所成角的余弦值.
【答案】⑴證明見(jiàn)解析
(2)?
【詳解】(1)證明:G,尸分別為尸。,PB中點(diǎn)、,:.GF//DB,
又比)仁平面G£F,G/u平面G£F,
.?./孫//平面斯6:
(2)底面A5CD是邊長(zhǎng)為2的菱形,所以AC43。,又尸02平面ABCD,0Au平面ABCD,
所以PO_LO4Po_LO8,
如圖所示,以。為原點(diǎn),以0Ao民。尸所在直線為x,、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
z
ZDAB=—,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形,OA=1,OD=OB=也,
則41,0,0),B(0,"0),D(0,-y/3,0),尸(0,0,2),G(0,-^,l),F(0,—,1).
22
PA=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(1,0,0),
又AP=3AE,AE=—AP,OE=OA+—AP=(—,0,—
3333
.n22^12731
-E(3,0,y'一^
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
2V31
n-EF=-n
3230y=0
則,令I(lǐng)=1,所以加=(1,0,2),
2A/31z=2x
nEG=——x------y+—z=0
323
設(shè)直線可與平面所G所成角為6>.
\PA-n\|-3|3i-----------4
貝iJsinOu1r-=-7=-cos6>=Vl-sin26>=-,
網(wǎng)同V5-V555
4
所以直線出與平面EFG所成角的余弦值y.
3.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,平行六面體ABC。-A4GA的體積為6,截面ACQA的面積為
6.
(1)求點(diǎn)8到平面AC£4的距離;
(2)^AB=AD=2,ZBAD=60°,A4,=#,求直線8,與平面CGRD所成角的正弦值.
【答案】(1)1
⑵當(dāng)
【詳解】(1)在平行六面體ABCD-AB£R中,ABC-44G是三棱柱,
丹一ACG4=§匕=§匕58一451Gq=2,
設(shè)點(diǎn)8到平面ACC0的距離為d,則LACCM=gsAcc"d=:x6d=2,所以d=l,
即點(diǎn)B到平面ACCd的距離為1.
(2)在YABC。中,AB=AD=2,ZBAD=60°,所以ABCD是菱形,連接50交AC于。,則30=1,
由(1)知點(diǎn)B到平面ACC小的距離為1,所以3。1平面ACCH.
設(shè)點(diǎn)4在直線AC上射影為點(diǎn)”,5AcqA=AC-A"=2百4〃=6,
則=百,且20_L4旦_4標(biāo)="(府—詆2=石,
所以。和//重合,即AO1AO.
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),04,05,04分別為X軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則8(0,1,0),4(6,0,0),。(0,-1,0),4(0,0,我,
根據(jù)"=匹=(Y,0,6),AB=DC=(-73,1,0),則A(-A-1,A/3),
BDX=(-百,-2,6),設(shè)平面CCRD的一法向量為n=(x,y,z),
DD.,〃——y/3x+\/3z—0,—
則,?。?1,貝lj〃=(l,國(guó)),
DC-n=-+y=0
BDj-nY-2反力一諉
設(shè)直線BQ與平面CCQD所成角為a,貝I]sine=cos(2。,〃
\BD\\n\Mx正一5'
所以直線82與平面CCQD所成角正弦值為遠(yuǎn).
5
4.(2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,已知多面體E4BCAP的底面48C。是邊長(zhǎng)為2
的正方形,E4,底面ABCD,FD//EA,S.FD=-EA=1.
2
(1)記線段2C的中點(diǎn)為K,在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面ECT平行,要求保留作圖痕跡,但不
要求證明;
⑵求直線£8與平面ECF所成角的正弦值.
【答案】①答案見(jiàn)解析
【詳解】(1)延長(zhǎng)AD,防,設(shè)其交點(diǎn)為N,連接CN,
則CN為平面A3CD與平面ECF的交線,
取線段CO的中點(diǎn)M,連接KM,直線KM即為所求.
證明如下:延長(zhǎng)A£>,9"設(shè)其交點(diǎn)為N,連接CN,
則CN為平面ABCD與平面ECF的交線,
因?yàn)镕D//EA,所以FDQEAN,又/D=
所以收=工N4,
2
所以A?=ZM=3C,又NDHBC,
所以四邊形3CNO為平行四邊形,所以CN〃皿,
取CO的中點(diǎn)連接KM,
???分別為8C,C£)的中點(diǎn),
KM//BD,KM//CN.
,「CNu平面EFC,KMa平面EFC,
KM〃平面EFC.
(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,AD所在的直線為了軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.由已知
可得A(0,0,0),磯0,0,2),3(2,0,0),C(2,2,0),尸(0,2,1),
所以EC=(2,2,—2),£B=(2,0,_2),EP=(0,2,T),
設(shè)平面ECF的法向量為〃=(x,y,z),
n-EC=0,f尤+y-z=0
則得。'_n,
n-EF=0.[2y—z=0
取y=i得,%=i,z=2,
平面ECF的一個(gè)法向量元=(1,1,2).
設(shè)直線EB與平面Eb所成的角為。,
I/\i\EB-A2也
則sin。=cos(EB,n)\=J――=-=葉.
?\/I\EB\-\n\20x?6
所以直線£3與平面Eb所成角的正弦值為魚(yú).
6
5.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,在底面為正方形的四棱臺(tái)A3CO-A4G2
中,已知AD=2,DD{=\,BD、=*i,A到平面的距離為2^.
(1)求2到平面ABC。的距離;
⑵若M=白,求直線CC、與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)[
(2)辿
5
【詳解】(1)在正方形ABCD中,AB=AD^2,則8。=20,
在中,由條件可知8£>2=B,2+£)£);,即
BDDD
所以sBOB,=5『X=g,
因?yàn)锳到平面BDDt的距離為其H,所以%BM--X—SBDn=2,
7A-DL)D^37DDD^3
因?yàn)镾z^^=gAHAO=2,記。1到平面ABCQ的距離為Zz,
所以由%=—h-S=V=,得h=,
L)\—ADBLDJ3ADBUDA—DBUDUD^32
即Dt到平面ABCD的距離為且;
2
(2)在四棱臺(tái)ABCD-AgGA中,曬II平面ABCD,
則D,到平面ABC。的距離即為4到平面45co的距離,
假設(shè)AA不垂直于平面ABCD,則AA>《,與⑨=半矛盾,
所以A4,,平面ABC。,
又因?yàn)槠矫?,平面ABC。,所以平面A4G2,
由ARu平面AAGA'M±AXDX,
所以在直角梯形明馬。中,如圖所示,過(guò)Q作DML4D于M點(diǎn),
小Di
i3
則。M=4。-4。1,相=2M,。〃2+第=。葉n£)M=/,A2=-,
以A為原點(diǎn),45,相),抬方向?yàn)閤,%z軸的正方向,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),GA3=(2,0,0),
IJ
3、
AD.=foSCCJ11
22
[%萬(wàn)7
2行
"I"
②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題
1.(2023春?黑龍江?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)如圖,在梯形A8C。中,AD//BC,點(diǎn)M在邊上,
AM=-AD=-BC=—,CM=CD=2,以CM為折痕將△CMD翻折到△CMS的位置,使得點(diǎn)S在平面
542
ABCD內(nèi)的射影恰為線段CD的中點(diǎn).
⑴求四棱錐S-ASCM體積:
(2)若點(diǎn)尸為線段加上的動(dòng)點(diǎn),求直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值.
【答案】⑴亞
6
(邛
【詳解】(1)取C。的中點(diǎn)。,連接s。、SO,取MD的中點(diǎn)憶連接CH
AM=-AD^-BC=—,BC=MD=2①,
542
:CD=CM=2,CD2+CM2=MD2
:.CMLCD,CFLMD,CF=-DM=y/2.
2
由題意知SO_L平面ABC。,CDu平面ABC£>,,SO_LCD
???0為CD中點(diǎn),且CD=CS=2,OC=1CS=1,SO=g
xSO=-x-x(—+2yfl}x^2xy/3=—
%棱錐S-A5cM=§S四邊形ABC”
3212J6
(2)延長(zhǎng)。C到點(diǎn)E,以C為原點(diǎn),CM、CE的方程分別為x軸、y軸的正方向,建立如圖所示的空間直
角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),M(2,0,0),S(0,-l,6),
MS=(-2,-l,V3),屈=(0,-l同,
BC=MD,且AD〃3C,.?.四邊形為平行四邊形,
NBMC=NMCD=90。,:.B(2,2,0),
,MB=(0,2,0),SB=(2,3,-A/3).
X
設(shè)SP=/ISB,Xe[O,l]
貝I]CP=CS+SP=CS+ASB=(0,-1,^)+2(2,3,-A/3)
設(shè)平面MBS的一個(gè)法向量”=(x,y,z),直線CP與平面MBS所成的解得為6.
ri'MB二
,令x=5則y=0,z=2,
n-MS=Q
故可取〃=(也,0,2).
sin3=Icos=*--------
1'71H-CPA/7.A/16/12-122+4
.??當(dāng)2時(shí),sin。取得最大值述.
87
所以直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值孚.
2.(2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期末)如圖,三棱臺(tái)ABC-A瓦G中,AB=BC=23^=4,。是AC的
中點(diǎn),E是棱BC上的動(dòng)點(diǎn).
⑴若平面。EC-確定E的位置.
⑵已知CCJ平面A8C,且設(shè)直線2G與平面OEG所成的角為風(fēng)試在(1)的條件下,求sind
的最大值.
【答案】⑴見(jiàn)解析
【詳解】(1)連接。G,DE,
B
由三棱臺(tái)ABC-中,AB=BC=28G=4,。是AC的中點(diǎn)可得AG"AD,Ag=AD,所以四邊形
ADCW為平行四邊形,故A4,〃£>G,
441cz平面DEG,OGu平面。EG,故相〃平面DEG,
又A耳〃平面。EC1,且A耳,A41U平面A844,ABit的=A,
所以平面ABB,A〃平面DEC],又平面A-平面ABC=AB,
平面ABCc平面DEG=OE,故DEV/AB,
由于。是AC的中點(diǎn),故E是BC的中點(diǎn),
故點(diǎn)E在邊BC的中點(diǎn)處,4耳//平面DEC1;
(2)因?yàn)镃£_L平面ABC,ABu平面ABC,
所以CG_LAB,又A3_LBG,CC,nBQ=C^CCpBC】u平面BCC4,
故ABI平面Bee4,由于BCu平面BCQB],所以AB_LQ3,
由(工)知:E在邊8c的中點(diǎn),。是AC的中點(diǎn),
所以即//AB,進(jìn)而。EJ_3C,
連接用E,由BG//EC,B£=EC,
所以四邊形BIGCE為平行四邊形,
故CC\UB、E,由于CG,平面ABC,因此4平面ABC,
故£Z),EC,EB]兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;設(shè)與E=a,
則E(0,0,0),B(-2,0,0),C(2,0,0),D(Q,2,0),Q(2,0,a),Bx(0,0,a),
故£D=(0,2,0),EQ=(2,0,a),
設(shè)平面DEG的法向量為m=(x,y,z),
EDm=y=0...
則<,?。?〃,貝iJm=(a,0,—2),
EC\-m=2x+az=Q
又g=(4,0,a),
2a]_
+4,〃2+163,
當(dāng)且僅當(dāng)/=胃,即〃=2日時(shí)取等號(hào),
a
所以sin。的最大值為g.
3.(2023?海南???統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,四棱錐P-ABCD中,AB//CD,,平面平面PCD
P
(1)證明:平面PAD_L平面ABCD;
(2)若AD=2AB=2,PB=g,PD=y/5,8c與平面PCD所成的角為。,求sin。的最大值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
⑵絡(luò)
因?yàn)槠矫嫔?。_L平面尸CD,平面上4Dc平面PCD=PD,所以AH_L平面PCD,
又CDu平面尸CD,所以CD_LAW,
由AB〃CD,AB±AD,可知CZ)_LAZ),
而?lHcAr>=A,4",4。<=平面巳4£>
所以平面PAD,
因?yàn)镃£)u平面A3C£),所以平面PAD_L平面ABC。.
(2)法1:由(1)知CD_L平面PAD,PAu平面PAD,所以CDJ_R4,
又ABIICD,所以AB_LX4,
所以PA=<PBZ_4序=1,PA2+A£>2=PD2=5,所以R4_LAD,
由A3cAO=A,A3,AOu平面ABC。,所以PA_L平面ABCD.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(L0,0),P(0,0,l),£>(0,2,0),設(shè)C(俏,2,0)(租>0),
平面PCD的一個(gè)法向量為〃=(%,%,Z。),PD=(0,2,-1),
[n-PD=0
DC=(zn,0,0),所以〃_LPD,"J_DC,即〈,
n.DC=0
得12%—z°:0,令%=i,得“=(0,1,2),
Imx0=0,
BC=(m-1,2,0),所以sin6=U:!="匕,
'7\BC\-\n\-1)2+4-V5
顯然,當(dāng)機(jī)=1時(shí),Jo-1)?+4取最小值,
綜上,當(dāng)CD=1時(shí),sind的最大值為q.
法2:設(shè)點(diǎn)8到平面PCD的距離為“,因?yàn)锳B〃C
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