高考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：立體幾何與空間向量（解答題壓軸題）含答案及解析

專(zhuān)題20立體幾何與空間向量（解答題壓軸題）

目錄

1、直線與平面所成角問(wèn)題.............................................1

①求直線與平面所成角定值問(wèn)題.....................................1

②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題..............................4

③直線與平面所成角中探索性問(wèn)題..................................6

2、平面與平面所成角問(wèn)題............................................9

①求平面與平面所成角定值問(wèn)題....................................9

②求平面與平面所成角最值或范圍問(wèn)題.............................12

③平面與平面所成角中探索性問(wèn)題.................................14

3、體積（距離）問(wèn)題................................................17

4、折疊問(wèn)題........................................................19

1、直線與平面所成角問(wèn)題

①求直線與平面所成角定值問(wèn)題

1.（2023?云南?云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，48為底面圓。上兩點(diǎn)，ZAOB=—,

E為尸B中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段上，S.AF=2.FB.

⑴證明：平面平面OE/；

（2）若=求直線AP與平面OE/所成角的正弦值.

2.（2023?寧夏銀川??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，A。BD=O,

且「01平面ABCD,尸0=2,F,G分別是尸B,P￡）的中點(diǎn)，E是上4上一點(diǎn)，且AP=3AE.

A

（1）求證：HD//平面EFG；

⑵若ND鉆=M，求直線與平面跖G所成角的余弦值.

3.（2023?江蘇揚(yáng)州,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體ABCO-ABCR的體積為6,截面ACC0的面積為

B

⑴求點(diǎn)8到平面ACC0的距離；

（2）^AB=AD=2,ZBAD=60°,AAl=^6,求直線與平面CCQD所成角的正弦值.

4.（2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知多面體E4BCL平的底面ABC。是邊長(zhǎng)為2

的正方形，E4,底面ABCD,FD//EA,且陽(yáng)=；￡A=1.

⑴記線段2C的中點(diǎn)為K,在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面Eb平行，要求保留作圖痕跡，但不

要求證明；

⑵求直線￡B與平面ECF所成角的正弦值.

5.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在底面為正方形的四棱臺(tái)A3。-AAGA

中，已知32,即4叱夜，A到平面物的距離為與I.

⑴求2到平面ABCD的距離;

（2）若懼邛，求直線CG與平面ABD｝所成角的正弦值.

②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題

1.（2023春?黑龍江?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在梯形中，點(diǎn)M在邊上，

AM=-AD=-BC=—,CM=CD=2,以CM為折痕將△CMD翻折到△CMS的位置，使得點(diǎn)S在平面

542

ABCD內(nèi)的射影恰為線段CD的中點(diǎn).

（1）求四棱錐S-ABCM體積：

（2）若點(diǎn)尸為線段加上的動(dòng)點(diǎn)，求直線CP與平面所成角的正弦值的最大值.

2.（2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期末）如圖，三棱臺(tái)ABC-A與G中，AB=BC=2BlCl=^,。是AC的

中點(diǎn)，E是棱BC上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若A耳〃平面。EG，確定E的位置.

⑵己知CCJ平面ABC,且設(shè)直線BG與平面OEG所成的角為出試在（1）的條件下，求sin?

的最大值.

3.（2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐尸-ABCD中，AB//CD,AB，AD,平面平面PCD

⑴證明：平面平面A3CD；

（2）若相＞=2AB=2,PB=6,PD=亞,8c與平面PCD所成的角為。，求sin。的最大值.

4.（2023春?江蘇常州?高二江蘇省漂陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面為正方形，PA±

底面ABCD,B4=AB=3,點(diǎn)E在棱PD上，且2PE=ED,點(diǎn)F是棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

（1）若歹是棱PC的中點(diǎn)，求NEA尸的余弦值；

⑵求PA與平面AEF所成角的正弦值的最大值.

5.(2023?全國(guó)?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))己知體積為1的四面體ABCD,其四個(gè)面均為全等的等腰三角

形.

⑴求四面體ABCD的外接球表面積的最小值；

(2)若鉆=即=2,ASC的面積為姮，設(shè)點(diǎn)尸為線段(含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CP與面鈣D所成

2

角的正弦值的取值范圍.

③直線與平面所成角中探索性問(wèn)題

1.(2023春?福建漳州?高二校考期中)已知直角三角形ABC中ZBAC=90°,C4=2A3=4,。、E分別是AC,

8C邊中點(diǎn)，將△(?￡>￡和ABAE分另!］沿著。E,AE翻折，形成三棱錐P—ADE,/是中點(diǎn).

(1)證明：PM_L平面ADE；

(2)若直線上存在一點(diǎn)。，使得QE與平面PAE所成角的正弦值為:，求0M的值.

2.(2023春?云南楚雄?高二?？计谀?如圖，已知以垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形&4DE的對(duì)角線

TT

交于點(diǎn)尸，G為S3的中點(diǎn)，NABC=NBAD=—,SA=AB=BC=-AD=1.

22

BC

(1)求證：BD//平面AEG.

(2)求平面SCD與平面ESD所成銳二面角的余弦值；

⑶在線段EG上是否存在一點(diǎn)H,使得8"與平面SCO所成角的大小為多？若存在，求出G"的長(zhǎng)：若不

存在，說(shuō)明理由.

3.(2023春?江西新余?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD為正方形，底面ABCD,

PA=DC=l,E為線段尸8的中點(diǎn)，尸為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

P

⑴證明：4￡_1平面尸3。；

⑵若直線AF與平面上4B所成角的正弦值為日,求點(diǎn)尸到平面AEF的距離.

4.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）如圖（1）,在正三角形ABC中，分別為AB,AC中點(diǎn)，將VADE沿OE

折起，使二面角A-DE-3為直二面角，如圖（2）,連接AB,4C,過(guò)點(diǎn)E作平面所G與平面4如平行，

分別交2cAe于RG.

（1）證明：EG，平面ABC；

（2）點(diǎn)H在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)EH與平面所G所成角的正弦值為姮時(shí)，求”的值.

5AD

5.（2023?吉林?統(tǒng)考三模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABEE和四邊形CD跖均是等腰梯形，底

面ABC。為矩形，AC與3。的交點(diǎn)為0,即〃平面ABCD,且E尸與底面ABCD的距離為0,

AE=ED,AB=2EF=4,4。=272.

（1）求證：R9〃平面ADE；

⑵在線段所上是否存在一點(diǎn)加，使得CM與平面ADE所成角的正弦值為其耳.若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的

位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

__TT

6.(2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè))如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，ZABC=-,AB^AP=2,PA±

底面ABC。，E,E分別是線段RB,PO的中點(diǎn)，G是線段PC上的一點(diǎn).

BC

i

(1)若洋=：，證明直線AG在平面AEF內(nèi)；

(2)若直線AG與平面AE尸所成角的正弦值為巫，試確定巖的值.

10PC

2、平面與平面所成角問(wèn)題

①求平面與平面所成角定值問(wèn)題

1.(2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级?如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面跳?|GC為菱形,

NCBB]=60。,AB=BC=2,AC=AB、=0.

AA}

(1)證明：平面ACB|_L平面8耳GC；

(2)求平面ACQA與平面4片。夾角的余弦值.

2.(2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐A-3CDE中，側(cè)面?底面3CDE,底面8cDE為菱

形，ZBCD=120°,AE±AD,ZADE=30°.

B2------------------

(1)若四棱錐A-3CDE的體積為1,求DE的長(zhǎng)；

(2)求平面ABE與平面ACD所成二面角的正弦值.

3.(2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC-中，AB=BC,ABt=BtC.

⑴證明：AClBtB；

(2)若AB=BB1=2,AB,=>/6,ZABC=120,求二面角人-盟-C的余弦值.

4.（2023?福建三明?統(tǒng)考三模）如圖，平面五邊形ABCDE由等邊三角形ADE與直角梯形ABCD組成，其中

AD//BC,ADLDC,AD=2BC=2,CD=有，將VADE沿AD折起，使點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)M的位置，且=a.

（1）當(dāng)“=布時(shí)，證明并求四棱錐H-ABC。的體積；

⑵己知點(diǎn)P為棱CM上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，當(dāng)a=3時(shí)，求平面刊見(jiàn)與平面ABCD夾角的余弦值.

5.（2023?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDMP中，四邊形ABCD是菱形,且有ZDAB=60°,AB=DM=1,

PB=2,尸3_L平面A5C￡）,PB//DM.

⑴求證：AM//平面「3C；

⑵求平面㈤WP與平面P3C所成的銳二面角的余弦值.

②求平面與平面所成角最值或范圍問(wèn)題

1.(2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD,

PA=AB=2,E,尸分別在棱P8,BC上.

(1)當(dāng)E為棱PB中點(diǎn)時(shí)，求證：AE±EF；

⑵當(dāng)尸為棱8C中點(diǎn)時(shí)，求平面AEP與平面PDC所成的二面角余弦值的最大值.

2.(2023春?江蘇徐州?高二徐州高級(jí)中學(xué)?？计谥?如圖1,在等邊.ABC中，點(diǎn)。，E分別為邊AB,AC

DF

上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足￡>E〃BC,記了片=2.將VADE沿DE翻折到JWDE位置，使得平面平面DEC3,

BC

連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).

圖2

(1)當(dāng)或〃/平面時(shí)，求2的值；

⑵試探究：隨著力值的變化，二面角B-MD-E的大小是否為定值？如果是，請(qǐng)求出二面角3-MD-E的

正弦值；如果不是，請(qǐng)求出二面角B-MD-E的余弦值的取值范圍.

3.(2023秋?云南昆明?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C￡＞是平行四邊形，ZADC=—

PZ)=DC=23C=4,點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段AP上且滿足A尸=4AP,尸。上面A3CD

(1)當(dāng)2時(shí)，證明：PC〃平面跳E；

⑵當(dāng)4為何值時(shí)，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最??？

4.(2023春?江蘇淮安?高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖①所示，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=1,AB=2,

點(diǎn)M是邊CO的中點(diǎn)，將"DM沿AM翻折到連接PB,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.

(1)求四棱錐尸-的體積的最大值;

⑵設(shè)尸的大小為6,若,求平面上4M和平面P3C夾角余弦值的最小值.

5.（2023春?江蘇常州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某人設(shè)計(jì)了一個(gè)工作臺(tái)，如圖所示，工作臺(tái)的下半部分是個(gè)

正四棱柱A88-A內(nèi)GR，其底面邊長(zhǎng)為4,高為1,工作臺(tái)的上半部分是一個(gè)底面半徑為血的圓柱體的

四分之一，點(diǎn)尸為圓弧E2K（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若。與，平面2E尸時(shí)，求點(diǎn)尸與用的最短距離.

（2）若。2=3,當(dāng)點(diǎn)P在圓弧當(dāng)工（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求平面PAG與平面AAG所成的銳二面角的正

切值的取值范圍.

③平面與平面所成角中探索性問(wèn)題

1.（2023?西藏日喀則?統(tǒng)考一模）如圖，已知直角梯形ABC。與4）砂，2DE=2BC=AD=AB=AF=2,

AD±AF,ED//AF,ADrAB,BC//AD,G是線段防上一點(diǎn).

⑴平面ABCDJ_平面ABF

⑵若平面A3CDJ?平面AZ比F,設(shè)平面CEG與平面A3尸所成角為6,是否存在點(diǎn)G,使得cos6=少,

若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2023?上海長(zhǎng)寧?上海市延安中學(xué)?？既?己知，么BC和VADE所在的平面互相垂直，AD±AE,AB=2,

AC=4,ABAC=120°,O是線段8C的中點(diǎn)，AD=6

(1)求證：AD±BE;

(2)設(shè)AE=2,在線段AE上是否存在點(diǎn)尸(異于點(diǎn)A),使得二面角A-M-C的大小為45。.

3.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體A8CO-A4CA中，AB=BC=2CCX,點(diǎn)尸

為棱G2上任意一點(diǎn).

(1)求證：平面A41cle_L平面P3D；

(2)若點(diǎn)E為棱CG上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P在棱GA上什么位置時(shí)，平面3DE與平面以冷夾角的余

弦值為述.

19

4.（2023?福建寧德??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體EACB。中，防，底面AC3。，EB=1,AB=2,其中

底面由以AB為直徑的半圓ACB及正三角形A3。組成

⑴若BC=1,求證:BCU平面ADE.

⑵半圓A8上是否存在點(diǎn)M,使得二面角M-AE-O是直二面角?若存在，求出第的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

BM

明理由.

5.（2023?江蘇南京?南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖（1）,平面四邊形由正三角形和等腰直

角三角形3CD組成，其中BD=2,ZBDC=9QP.現(xiàn)將三角形ABD繞著8。所在直線翻折到三角形PBD位置

（如圖（2））,且滿足平面尸3D_L平面PCD.

圖⑴

⑴證明：CD_L平面PBD；

,當(dāng)平面5C。與平面尸CQ夾角的余弦值為畫(huà)時(shí)，求丸的值.

（2）若點(diǎn)。滿足=彳

31

3、體積（距離）問(wèn)題

1.（2023?江蘇徐州??？寄M預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)ABC-AEF中，G為AC中點(diǎn)，AC=2DF,AB1BC,BC1.CF.

（1）求證：3cl平面DEG；

jr

（2）若AB=BC=2,CF1AB,平面EFG與平面ACFD所成二面角大小為求三棱錐E-DFG的體積.

2.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的圓錐中，已知尸為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面的圓心，其母線長(zhǎng)

為6,邊長(zhǎng)為3g的等邊ASC內(nèi)接于圓錐底面，OZ）=/IO尸且九€.

⑴證明：平面平面D4O；

⑵若E為AB中點(diǎn)，射線OE與底面圓周交于點(diǎn)當(dāng)二面角A-03-C的余弦值為以時(shí)，求點(diǎn)M到平面

BCD的距離.

3.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體ABCGA4中，四邊形臺(tái)用GC是邊長(zhǎng)為4的正方形，AB1B.B,

△A8C是正三角形.

⑴若4為AB的中點(diǎn)，求證：直線AC//平面A2G；

⑵若點(diǎn)A在棱A片上且A4t=24用，求點(diǎn)C到平面4BG的距離.

4.（2023?北京通州?統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐A-3CD中，平面平面3C￡）,ABLAD,AB=AD,

。為8。的中點(diǎn).

（1）證明：OALCD.

（2）若△BCD是等腰直角三角形，ZBDC=90,8=2,點(diǎn)E在棱AD上（與A,D不重合），若二面角E-8C-D

的大小為45,求點(diǎn)。到面8CE的距離.

5.（2023?廣東廣州廣州六中校考三模）四棱錐尸-ABCD中，AD//BC,AB=AD=2BC=2,NABC=60。,

PA工CD,PD±AC,點(diǎn)E是棱上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn).

（2）若平面PAC與平面E4C的夾角的余弦值為應(yīng)，求四棱錐尸-ABC。的體積.

10

4、折疊問(wèn)題

1.（2023?全國(guó)?高二課堂例題）如圖（1）,在等腰梯形ABC。中，M,N分別是AD,AE的中點(diǎn)，

AE=BE=BC=CD=4,EF=2EB（0</I<1）,將VADE沿著。E折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，平面

P￡?E_L平面BODE,如圖（2）.

（1）若PC〃平面求X的值；

2

（2）若CQ=§C?，平面平面MNR求2的值；

⑶若平面MNF與平面BCDE所成角的余弦值為回，求力的值;

10

⑷若點(diǎn)C到平面的距離為孚，求彳的值.

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）圖①是直角梯形ABCD,AB!/CD,ZD=90,四邊形ABCS是邊長(zhǎng)為2的

菱形，并且/BCE=60,以BE為折痕將3CE折起，使點(diǎn)C到達(dá)G的位置，且

①

⑴求證：平面，平面ABED；

⑵在棱0a上是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到平面ABG的距離為孚？若存在，求出直線￡?與平面ABG所成

角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ABC中，ABC=90,BC=2,AACB=60,E為4B中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)E作曲垂直AC于。，將VADE沿翻折，使得面4汨，面3CDE,點(diǎn)/是棱AC上一點(diǎn)，且9〃

面ADE.

（2）求二面角V-班-C的余弦值.

4.(2023春?廣西南寧?高二賓陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末)圖1是由矩形ADE?、RtaABC和菱形3FGC組成的一

個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60。.將其沿AB,8C折起使得BE與所重合，連接。G,

如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC1平面3CGE；

⑵求圖2中BG與平面ACGZ)所成角的正弦值.

5.(2023春?重慶北倍?高一西南大學(xué)附中?？计谀?如圖1,在四邊形A3CD中，BCYCD,E為BC上一

點(diǎn)，AELBC,AE=8E=2CD=2,位=白，將四邊形AEC。沿AE折起，使得二面角3-AE-C的大小為30。,

連接BO,BC,得到如圖2.

圖1

(1)證明：平面/WE_L平面8CE；

(2)點(diǎn)尸是線段BE上一點(diǎn)，設(shè)EF=2EB，且二面角E-AD-尸為30。，求2的值.

專(zhuān)題20立體幾何與空間向量（解答題壓軸題）

目錄

1、直線與平面所成角問(wèn)題.............................................1

①求直線與平面所成角定值問(wèn)題.....................................1

②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題..............................4

③直線與平面所成角中探索性問(wèn)題..................................6

2、平面與平面所成角問(wèn)題............................................9

①求平面與平面所成角定值問(wèn)題....................................9

②求平面與平面所成角最值或范圍問(wèn)題.............................12

③平面與平面所成角中探索性問(wèn)題.................................14

3、體積（距離）問(wèn)題................................................17

4、折疊問(wèn)題........................................................19

1、直線與平面所成角問(wèn)題

①求直線與平面所成角定值問(wèn)題

」.2兀

1.（2023?云南?云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，A,8為底面圓。上兩點(diǎn)，=

E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)/在線段AB上，且AF=2FB.

p

(1)證明：平面AQP_L平面OEb；

⑵若OP=AB,求直線AP與平面OE/所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)叵

26

【詳解】(1)設(shè)圓。的半徑為r,

27r7T

在一AQB中，OA=OB=r,ZAOB=—,ZOAB=-

369

故42=技，又AF=2FB,故AF=冥立，

3

222

在tAOF中，由余弦定理得OF。=OA+AF-2OA?AF?cosZOAF=|t>A=1

所以。42+。尸2=人尸2,即必，。;？；

圓錐中，P01底面O,OBu底面O,故尸。，0尸，

又。4cop=O,所以O(shè)P,平面AOP,

又OPu平面0￡F,所以平面AOP_L平面OEP.

(2)以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-沖2,

不妨設(shè)。4=豆，則OP=AB=gOA=3,OF=—OA=l,

3

則OP(o,o,3),B

A(6,O),I442)尸(0,1,0),

AP=(—A/3,0,3),OE=——,OF=(0,1,0),

設(shè)平面OEF的一個(gè)法向量為〃=(%，y，2),

〃■OE=0--------y-I--2=0r~

有，即44-2,解得〃=(26,0,1),

n-OF=0八

設(shè)直線AP與平面OEF所成角為夕,

|AP“_卜6+3|—屈

則sin0=cos〈AP,n)\

|AP|.|H|-712^13-26

2.（2023,寧夏銀川??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ACBD=O,

且尸01平面ABC。，PO=2,F,G分別是P8,PD的中點(diǎn)，E是抬上一點(diǎn)，且AP=3AE.

P

（1）求證：3。//平面￡7七；

2元..

（2）若ZDAB=可，求直線上4與平面跖G所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）?

【詳解】（1）證明：G,尸分別為尸。，PB中點(diǎn)、，：.GF//DB,

又比）仁平面G￡F,G/u平面G￡F,

.?./孫//平面斯6：

（2）底面A5CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以AC43。，又尸02平面ABCD,0Au平面ABCD,

所以PO_LO4Po_LO8,

如圖所示，以。為原點(diǎn)，以0Ao民。尸所在直線為x，、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

z

ZDAB=—,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形,OA=1,OD=OB=也，

則41,0,0),B(0,"0),D(0,-y/3,0),尸(0,0,2),G(0,-^,l),F(0,—,1).

22

PA=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(1,0,0),

又AP=3AE,AE=—AP,OE=OA+—AP=(—,0,—

3333

.n22^12731

-E(3,0,y'一^

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

2V31

n-EF=-n

3230y=0

則,令I(lǐng)=1,所以加=(1,0,2),

2A/31z=2x

nEG=——x------y+—z=0

323

設(shè)直線可與平面所G所成角為6>.

\PA-n\|-3|3i-----------4

貝iJsinOu1r-=-7=-cos6>=Vl-sin26>=-,

網(wǎng)同V5-V555

4

所以直線出與平面EFG所成角的余弦值y.

3.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，平行六面體ABC。-A4GA的體積為6,截面ACQA的面積為

6.

(1)求點(diǎn)8到平面AC￡4的距離;

(2)^AB=AD=2,ZBAD=60°,A4,=#,求直線8,與平面CGRD所成角的正弦值.

【答案】(1)1

⑵當(dāng)

【詳解】(1)在平行六面體ABCD-AB￡R中，ABC-44G是三棱柱，

丹一ACG4=§匕=§匕58一451Gq=2，

設(shè)點(diǎn)8到平面ACC0的距離為d,則LACCM=gsAcc"d=：x6d=2,所以d=l,

即點(diǎn)B到平面ACCd的距離為1.

(2)在YABC。中，AB=AD=2,ZBAD=60°,所以ABCD是菱形，連接50交AC于。，則30=1,

由(1)知點(diǎn)B到平面ACC小的距離為1,所以3。1平面ACCH.

設(shè)點(diǎn)4在直線AC上射影為點(diǎn)”,5AcqA=AC-A"=2百4〃=6,

則=百，且20_L4旦_4標(biāo)="(府—詆2=石,

所以。和//重合，即AO1AO.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,05,04分別為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,1,0),4(6,0,0),。(0,-1,0),4(0,0,我，

根據(jù)"=匹=(Y,0,6),AB=DC=(-73,1,0),則A(-A-1,A/3),

BDX=(-百,-2,6),設(shè)平面CCRD的一法向量為n=(x,y,z),

DD.,〃——y/3x+\/3z—0,—

則,?。?1,貝lj〃=（l,國(guó)）,

DC-n=-+y=0

BDj-nY-2反力一諉

設(shè)直線BQ與平面CCQD所成角為a,貝I]sine=cos(2。,〃

\BD\\n\Mx正一5'

所以直線82與平面CCQD所成角正弦值為遠(yuǎn).

5

4.（2023?安徽六安?安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體E4BCAP的底面48C。是邊長(zhǎng)為2

的正方形，E4,底面ABCD,FD//EA,S.FD=-EA=1.

2

（1）記線段2C的中點(diǎn)為K,在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面ECT平行，要求保留作圖痕跡，但不

要求證明；

⑵求直線￡8與平面ECF所成角的正弦值.

【答案】①答案見(jiàn)解析

【詳解】（1）延長(zhǎng)AD,防，設(shè)其交點(diǎn)為N,連接CN,

則CN為平面A3CD與平面ECF的交線，

取線段CO的中點(diǎn)M,連接KM,直線KM即為所求.

證明如下：延長(zhǎng)A￡>,9"設(shè)其交點(diǎn)為N,連接CN,

則CN為平面ABCD與平面ECF的交線，

因?yàn)镕D//EA,所以FDQEAN,又/D=

所以收=工N4,

2

所以A?=ZM=3C,又NDHBC,

所以四邊形3CNO為平行四邊形，所以CN〃皿，

取CO的中點(diǎn)連接KM,

???分別為8C,C￡）的中點(diǎn)，

KM//BD,KM//CN.

,「CNu平面EFC,KMa平面EFC,

KM〃平面EFC.

(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為了軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由已知

可得A（0,0,0），磯0,0,2）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,2,1）,

所以EC=（2,2,—2）,￡B=（2,0,_2）,EP=（0,2,T）,

設(shè)平面ECF的法向量為〃=（x,y,z）,

n-EC=0,f尤+y-z=0

則得。'_n,

n-EF=0.[2y—z=0

取y=i得，%=i,z=2,

平面ECF的一個(gè)法向量元=（1,1,2）.

設(shè)直線EB與平面Eb所成的角為。，

I/\i\EB-A2也

則sin。=cos（EB,n）\=J――=-=葉.

?\/I\EB\-\n\20x?6

所以直線￡3與平面Eb所成角的正弦值為魚(yú).

6

5.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在底面為正方形的四棱臺(tái)A3CO-A4G2

中，已知AD=2,DD{=\,BD、=*i,A到平面的距離為2^.

(1)求2到平面ABC。的距離；

⑵若M=白，求直線CC、與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)[

(2)辿

5

【詳解】(1)在正方形ABCD中，AB=AD^2,則8。=20,

在中，由條件可知8￡>2=B，2+￡)￡)；,即

BDDD

所以sBOB,=5『X=g,

因?yàn)锳到平面BDDt的距離為其H,所以%BM--X—SBDn=2,

7A-DL)D^37DDD^3

因?yàn)镾z^^=gAHAO=2,記。1到平面ABCQ的距離為Zz,

所以由％=—h-S=V=,得h=,

L)\—ADBLDJ3ADBUDA—DBUDUD^32

即Dt到平面ABCD的距離為且；

2

(2)在四棱臺(tái)ABCD-AgGA中，曬II平面ABCD,

則D,到平面ABC。的距離即為4到平面45co的距離，

假設(shè)AA不垂直于平面ABCD,則AA>《，與⑨=半矛盾，

所以A4,，平面ABC。，

又因?yàn)槠矫?，平面ABC。，所以平面A4G2，

由ARu平面AAGA'M±AXDX,

所以在直角梯形明馬。中，如圖所示，過(guò)Q作DML4D于M點(diǎn)，

小Di

i3

則。M=4。-4。1，相=2M，。〃2+第=。葉n￡）M=/，A2=-,

以A為原點(diǎn)，45,相）,抬方向?yàn)閤，％z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,GA3=（2,0,0）,

IJ

3、

AD.=foSCCJ11

22

[%萬(wàn)7

2行

"I"

②求直線與平面所成角最值或范圍問(wèn)題

1.（2023春?黑龍江?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在梯形A8C。中，AD//BC,點(diǎn)M在邊上，

AM=-AD=-BC=—,CM=CD=2,以CM為折痕將△CMD翻折到△CMS的位置，使得點(diǎn)S在平面

542

ABCD內(nèi)的射影恰為線段CD的中點(diǎn).

⑴求四棱錐S-ASCM體積：

（2）若點(diǎn)尸為線段加上的動(dòng)點(diǎn)，求直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值.

【答案】⑴亞

6

（邛

【詳解】（1）取C。的中點(diǎn)。，連接s。、SO,取MD的中點(diǎn)憶連接CH

AM=-AD^-BC=—,BC=MD=2①,

542

:CD=CM=2,CD2+CM2=MD2

：.CMLCD,CFLMD,CF=-DM=y/2.

2

由題意知SO_L平面ABC。，CDu平面ABC￡>,，SO_LCD

???0為CD中點(diǎn)，且CD=CS=2,OC=1CS=1,SO=g

xSO=-x-x（—+2yfl}x^2xy/3=—

%棱錐S-A5cM=§S四邊形ABC”

3212J6

（2）延長(zhǎng)。C到點(diǎn)E,以C為原點(diǎn)，CM、CE的方程分別為x軸、y軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，則C（0,0,0）,M（2,0,0）,S（0,-l,6）,

MS=（-2,-l,V3）,屈=（0,-l同,

BC=MD,且AD〃3C,.?.四邊形為平行四邊形,

NBMC=NMCD=90。，：.B（2,2,0）,

,MB=（0,2,0）,SB=（2,3,-A/3）.

X

設(shè)SP=/ISB，Xe[O,l]

貝I]CP=CS+SP=CS+ASB=（0,-1,^）+2（2,3,-A/3）

設(shè)平面MBS的一個(gè)法向量”=（x,y,z）,直線CP與平面MBS所成的解得為6.

ri'MB二

,令x=5則y=0,z=2,

n-MS=Q

故可取〃=（也,0,2）.

sin3=Icos=*--------

1'71H-CPA/7.A/16/12-122+4

.??當(dāng)2時(shí)，sin。取得最大值述.

87

所以直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值孚.

2.（2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期末）如圖，三棱臺(tái)ABC-A瓦G中，AB=BC=23^=4,。是AC的

中點(diǎn)，E是棱BC上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若平面。EC-確定E的位置.

⑵已知CCJ平面A8C,且設(shè)直線2G與平面OEG所成的角為風(fēng)試在（1）的條件下，求sind

的最大值.

【答案】⑴見(jiàn)解析

【詳解】（1）連接。G，DE,

B

由三棱臺(tái)ABC-中，AB=BC=28G=4,。是AC的中點(diǎn)可得AG"AD,Ag=AD,所以四邊形

ADCW為平行四邊形，故A4,〃￡>G,

441cz平面DEG,OGu平面。EG,故相〃平面DEG,

又A耳〃平面。EC1，且A耳,A41U平面A844，ABit的=A,

所以平面ABB,A〃平面DEC］,又平面A-平面ABC=AB,

平面ABCc平面DEG=OE,故DEV/AB,

由于。是AC的中點(diǎn)，故E是BC的中點(diǎn)，

故點(diǎn)E在邊BC的中點(diǎn)處，4耳//平面DEC1；

（2）因?yàn)镃￡_L平面ABC,ABu平面ABC,

所以CG_LAB,又A3_LBG，CC,nBQ=C^CCpBC】u平面BCC4,

故ABI平面Bee4,由于BCu平面BCQB］，所以AB_LQ3,

由（工）知：E在邊8c的中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，

所以即//AB,進(jìn)而。EJ_3C,

連接用E,由BG//EC,B￡=EC,

所以四邊形BIGCE為平行四邊形，

故CC\UB、E，由于CG，平面ABC，因此4平面ABC,

故￡Z）,EC,EB］兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)與E=a,

則E（0,0,0）,B（-2,0,0）,C（2,0,0）,D（Q,2,0）,Q（2,0,a）,Bx（0,0,a）,

故￡D=（0,2,0）,EQ=（2,0,a）,

設(shè)平面DEG的法向量為m=（x,y,z）,

EDm=y=0...

則＜，?。?〃，貝iJm=(a,0,—2),

EC\-m=2x+az=Q

又g=(4,0,a),

2a]_

+4，〃2+163，

當(dāng)且僅當(dāng)/=胃，即〃=2日時(shí)取等號(hào),

a

所以sin。的最大值為g.

3.(2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐P-ABCD中，AB//CD,,平面平面PCD

P

(1)證明：平面PAD_L平面ABCD；

(2)若AD=2AB=2,PB=g，PD=y/5,8c與平面PCD所成的角為。，求sin。的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵絡(luò)

因?yàn)槠矫嫔?。_L平面尸CD,平面上4Dc平面PCD=PD,所以AH_L平面PCD,

又CDu平面尸CD,所以CD_LAW,

由AB〃CD,AB±AD,可知CZ)_LAZ),

而?lHcAr>=A,4",4。<=平面巳4￡>

所以平面PAD,

因?yàn)镃￡)u平面A3C￡),所以平面PAD_L平面ABC。.

(2)法1：由(1)知CD_L平面PAD,PAu平面PAD,所以CDJ_R4,

又ABIICD,所以AB_LX4,

所以PA=<PBZ_4序=1，PA2+A￡>2=PD2=5,所以R4_LAD,

由A3cAO=A,A3,AOu平面ABC。，所以PA_L平面ABCD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（L0,0）,P（0,0,l）,￡>（0,2,0）,設(shè)C（俏,2,0）（租>0）,

平面PCD的一個(gè)法向量為〃=（%,%,Z。），PD=（0,2,-1）,

[n-PD=0

DC=（zn,0,0）,所以〃_LPD,"J_DC,即〈，

n.DC=0

得12%—z°：0,令%=i,得“=（0,1,2）,

Imx0=0,

BC=（m-1,2,0）,所以sin6=U：!="匕,

'7\BC\-\n\-1）2+4-V5

顯然，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，Jo-1）?+4取最小值,

綜上，當(dāng)CD=1時(shí)，sind的最大值為q.

法2：設(shè)點(diǎn)8到平面PCD的距離為“，因?yàn)锳B〃C