第一章《有理數(shù)》期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理-2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級上冊

第一章有理數(shù)一七年級上冊數(shù)學(xué)人教版（2024）期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理

第一步：單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）理解正數(shù)，負(fù)數(shù)和0的意義，能正確判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)（2）理解生活中具有相反意義的量，能用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，并能靈活

應(yīng)用

（1）理解有理數(shù)的概念，能按一定的標(biāo)準(zhǔn)對有理數(shù)進(jìn)行分類

（2）理解數(shù)軸的概念，掌握數(shù)軸的畫法，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

（3）體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法，掌握數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)

的對應(yīng)關(guān)系

2.有理數(shù)

（4）借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的意義，掌握求一個(gè)有理數(shù)的相反

數(shù)及絕對值的方法，會(huì)對含多重符號的有理數(shù)進(jìn)行化簡

（5）掌握絕對值的性質(zhì)，會(huì)用絕對值的非負(fù)性解決相關(guān)問題

（6）能用正數(shù)、0和負(fù)數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸及絕對值比較有理數(shù)的大小

第二步：思維導(dǎo)圖回顧知識(shí)

①M(fèi)有相反意義

具有相反意義的量②具有數(shù)量

③屬性相同

大于0的數(shù)

有關(guān)概念

負(fù)數(shù)在正數(shù)前加上符號"的數(shù)

有理數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)

正有理數(shù)

正分?jǐn)?shù)

0

分類

負(fù)百

負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

定義：只有符號不同

幾何意義：一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，數(shù)軸上與

原點(diǎn)的距離是a的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別在正、負(fù)

半軸上，表示a和-a,這兩個(gè)數(shù)只有符號不同，

相反數(shù)它們互為相反數(shù)

求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)在原數(shù)前面加上負(fù)號

多重符號的化簡奇負(fù)偶正

第三步：單元重難知識(shí)易混易錯(cuò)

【知識(shí)梳理】

有理數(shù)的分類

'正整數(shù)

整數(shù)＜0

按定義分：有理數(shù)＜負(fù)整數(shù)

‘正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)，

負(fù)分?jǐn)?shù)

'正整數(shù)

正有理數(shù)<

正分?jǐn)?shù)

按性質(zhì)符號分類:有理數(shù)<0

'負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)<

、負(fù)分?jǐn)?shù)

0的意義：①0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

②相反數(shù)等于本身的數(shù)

有理數(shù)的有關(guān)概念

數(shù)軸：(1)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度

(2)數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù);

(3)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離：|AB|=Z?-a(Z?>a)

屬點(diǎn)正方向

AIB->

-3a-2-10612

單位長度

相反數(shù)：(1)。的相反數(shù)是爭

(2)0的相反數(shù)是Q

絕對值：(1)同：數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離

a{a>0),

(2)同=<0(〃=0),=>問…0

-a(a<0),

【注意】相反數(shù)與絕對值的關(guān)系：

(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相同；

(2)若問=同，貝?。荨?6或〃=一人

比較兩數(shù)大小的常用方法：

利用數(shù)軸在水平的數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)學(xué)中規(guī)定，它們從左到右的順序，就是從小

到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)

利用法則(1)負(fù)數(shù)<0〈正數(shù)；

(2)兩個(gè)正數(shù)，絕對值大的較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而較小

【?？碱}型】

1.在下列選項(xiàng)中，具有相反意義的量是(

A.勝2局與負(fù)3局B.盈利5萬元與支出6萬元

C.氣溫升高3℃與氣溫為-3℃D.向東行20米和向南行30米

2.有理數(shù)2024的相反數(shù)是()

A.2024B.-2024C.------D.--------

20242024

3.比較大?。?23-2.7,-(-5)-|-5|.

4.如果a是有理數(shù),那么同+2024的最小值是.

5.已知一■組數(shù)據(jù)：4卜0,-2—,—(―3),—5|,—0.5

(1)在數(shù)軸上表示出這組數(shù)據(jù)；

1」」」」」」」」i」?

-5-4-3-2-1012345

(2)用“〈”號將這些數(shù)連接起來.

6.請根據(jù)圖示的對話解答下列問題.

已知a與2互為相反數(shù).1

痣黎

h-且的絕-對值是.乙

65

(1)分別求出。和6的值

⑵已知卜77-。|+弧+"=0,求加一〃的值.

7.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a,點(diǎn)、B表示的數(shù)為b,a、b滿足卜-4|+0+8丫=0,點(diǎn)O是數(shù)軸

原點(diǎn).

BOA

------1---------------11----------

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，線段A5的長為.

⑵若點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)5與點(diǎn)C之間的距離表示為BC,請?jiān)跀?shù)軸上找一點(diǎn)

C,使AC=3BC,則點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為.

(3)現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、。都從3點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)尸出發(fā)

5秒后，點(diǎn)。也從3點(diǎn)出發(fā)，并以每秒3個(gè)單位長度的速度向右移動(dòng)，且當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P

就停止移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)。移動(dòng)的時(shí)間為/秒，問：當(dāng)/為多少時(shí)：

①P、。兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長度；

②尸、。兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.

第四步：單元核心素養(yǎng)對接中考

【核心素養(yǎng)】

(1)數(shù)感與符號意識(shí)：通過正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，如溫度、海拔高度等，讓學(xué)

生理解數(shù)的實(shí)際意義和符號的作用，建立數(shù)感和符號意識(shí)2.

(2)推理能力：在探究有理數(shù)的分類、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、相反數(shù)和絕對值的

性質(zhì)等過程中，需要學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、歸納和推理，培養(yǎng)推理能力.

(3)數(shù)學(xué)抽象：從實(shí)際生活中的具體數(shù)量抽象出有理數(shù)的概念，以及通過數(shù)軸、相反數(shù)、絕

對值等概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

【對接中考】

1.[2024年貴州中考真題]下列有理數(shù)中最小的數(shù)是()

A.-2B.OC.2D.4

2.[2024年遼寧中考真題]亞洲|、歐洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：

大洲亞洲歐洲非洲南美洲

最低海拔/m-415-28-156-40

其中最低海拔最小的大洲是()

A.亞洲B.歐洲C.非洲D(zhuǎn),南美洲

3.[2024年西藏中考真題]下列實(shí)數(shù)中最小的是()

A.-2B.OC.-D.1

2

4.[2024年廣西中考真題]下列選項(xiàng)記錄了我國四個(gè)直轄市某年一月份的平均氣溫，其中氣溫

最低的是()

A—.4^.61CBI5.8^CIC[—.3[.W2CjD.I8麗.1CI

5.[2024年江西中考真題]實(shí)數(shù)-5的相反數(shù)是()

A.5B.-5C.-D.--

55

6.[2024年山東濟(jì)寧中考真題]-3的絕對值是()

A.--B.-3C.-D.3

33

7.[2024年山西中考真題]中國空間站位于距離地面約400km的太空環(huán)境中.由于沒有大氣層保

護(hù)，在太陽光線直射下，空間站表面溫度可高于零上15(FC,其背陽面溫度可低于零下100°C.

若零上15ITC記作+15(FC,則零下10(FC記作()

A.+100℃B.-100℃C.+50℃D.-50℃

8.[2024年山東威海中考真題]定義

我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)a的絕對值.數(shù)軸上表示數(shù)a,b的點(diǎn)A,3之

間的距離=.特別的，當(dāng)。之0時(shí)，表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于a-0.當(dāng)。<0

時(shí)，表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于0-a.

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示-3的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng).同

時(shí)，動(dòng)點(diǎn)3從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng).

AB

—?---------------1-----------------------------------------------------1——>

-3O12

(1)經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)A,3之間的距離等于3個(gè)單位長度?

(2)求點(diǎn)A,3到原點(diǎn)距離之和的最小值.

答案以及解析

【?？碱}型】

1.答案：A

解析：A、勝二局與負(fù)三局，具有相反意義,故選項(xiàng)正確；

B、盈利與虧損具有相反意義，而與支出沒有相反意義,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、升高與下降才符合相反意義的量,而升高3℃與氣溫本身為-3C不是相反意義的量，故選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

D、東行和西行才符合相反意義的量，而東行和南行則不是相反意義量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.

2.答案：B

解析：有理數(shù)2024的相反數(shù)是-2024,

故選：B.

3.答案：>；>

解析：：—2：=2：,卜2.7|=2.7,2；<2.7,

-2->-2.7；

3

V-(-5)=5,-|-5|=-5,5>-5,

?,.一(―5)>十5|；

故答案為：>；>.

4.答案:2024

解析：：。是有理數(shù)，

|a|>0,

時(shí)+202422024,

同+2024的最小值是2024,

故答案為：2024.

5.答案：(1)見解析

(2)-|-5|<—2；<-0.5<0<-(-3)<|-4|

解析：(1)卜4|=4,—(―3)=3,—卜5|=—5,

在數(shù)軸上表示如圖所示：

-|-5|-2+-0.5o-(-3)|-4|

—I--------1-------------1?I-----------1??I--------1??1

-5-4-3-2-1012345

⑵由⑴中數(shù)軸圖得：

-|-5|<-2|<-0,5<0<-(-3)<|-4|,

6.答案：(l)a=-2,b=-5

⑵-7

解析：(I);。與2互為相反數(shù)

+2=0

Q=—2

???6的絕對值是5

.\b-±5

\*b<a

:.b=-5

故Q=—2,Z?=—5；

(2)?.伽一《+性+”=0

:.m—a=0,b+n=0

由(1)知,Q=—2,b=—5

TKL—(—2)=0,—5+n=0

:.m=—2,n=5

in—n=-2—5=—7.

7.答案：(1)4,-8,12

(2)—14或-5

(3)①0.5秒；②2.5秒或2.75秒

解析：(1):,—4|+3+8)2=0,

a—4=0,6+8=0,

解得：。=4/二一8,

點(diǎn)A表示的數(shù)為4,點(diǎn)B表示的數(shù)為-8,線段的長為4-(-8)=12,

故答案為：4,-8,12；

(2)設(shè)點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為關(guān)，則AC^\4-x\,BC=|%-(-8)|=|%+8|.

AC=3BC,

|4—x|=3|%+8|,

當(dāng)％<—8時(shí),4—x=—3(x+8),

解得：x=-14；

當(dāng)-8JW4時(shí),4-x=3(x+8),

解得：x=-5；

當(dāng)x>4時(shí),一(4—x)=3(x+8),

解得：1=-14(不合題意，舍去)，

綜上所述，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-14或-5,

故答案為：-14或-5；

(3)①經(jīng)過fs后，點(diǎn)P表示的數(shù)為f+5-8=f-3,點(diǎn)Q表示的數(shù)為引-8,

分情況討論：

情況一：點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，

Pg=(r-3)-(3r-8)=4,

解得：7=0.5；

情況二：點(diǎn)。在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，

PC=(3r-8)-(r-3)=4,

解得：?=4.5,

又AB=12,

當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)3到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間為：12+3=4s,

4.5>4,

二/=4.5舍去；

綜上所述，當(dāng)/為0.5秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長度；

②經(jīng)過fs后，點(diǎn)P表示的數(shù)為f+5-8=f-3,點(diǎn)。表示的數(shù)為3"8,

。尸=卜-3|,OQ=13/-8|,

根據(jù)題意得：OP=OQ,

BP|r-3|=|3?-8|,

Q

當(dāng)OWf〈（時(shí)（f_3）=_（3/_8）,

解得：t=2.5；

Q

當(dāng)時(shí)3）=3/—8,

解得：”2.75；

當(dāng)3W/W4時(shí)3=3/—8,

解得：?=2.5（舍去）；

綜上所述,當(dāng)/為2.5秒或2.75秒時(shí),P、。兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.

【對接中考】

1.答案：A

解析：2<0<2<4,

二最小的數(shù)是-2,故選A.

2.答案：A

解析：|