高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）51任意角和弧度制（八大題型）

5．1任意角和弧度制目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：角的概念 4題型二：終邊相同的角的表示 6題型三：角所在象限的研究 9題型四：象限角的判定 11題型五：區(qū)域角的表示 13題型六：弧度制與角度制的互化 16題型七：扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用 17題型八：扇形中的最值問(wèn)題 20

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．知識(shí)點(diǎn)詮釋：角的概念是通過(guò)角的終邊的運(yùn)動(dòng)來(lái)推廣的，既有旋轉(zhuǎn)方向，又有旋轉(zhuǎn)大小，同時(shí)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)角，從而得到正角、負(fù)角和零角的定義．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；（3）終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍．3、常用的象限角角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負(fù)半軸y軸負(fù)半軸x軸y軸坐標(biāo)軸是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以知識(shí)點(diǎn)二：弧度制1、弧度制的定義長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定．（2）角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑．【典型例題】題型一：角的概念【典例11】（2024·高一·浙江臺(tái)州·專題練習(xí)）已知，則的余角是（

）A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°【答案】A【解析】的余角為.故選：.【典例12】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①終邊相同的角一定相等；②鈍角一定是第二象限角；③第一象限角可能是負(fù)角；④小于的角都是銳角．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，終邊相同的角可以相差360°的整數(shù)倍，不一定相等，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，鈍角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正確；對(duì)于③，第一象限角可以是正角，也可以是負(fù)角，③正確；對(duì)于④，小于90°的角可以是銳角，也可以是負(fù)角，④錯(cuò)誤．綜上，正確的個(gè)數(shù)是2.故選：B．【方法技巧與總結(jié)】理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．【變式11】（2024·高一·江西·階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．小于的角都是銳角 B．鈍角一定是第二象限角C．第二象限角大于第一象限角 D．若，則是第二或第三象限的角【答案】B【解析】對(duì)于A中，小于的角，例如，但不是銳角，所以A是假命題；對(duì)于B中，因?yàn)殁g角的范圍是是第二象限角，所以B是真命題；對(duì)于C中，例如：是第二象限角，是第一象限角，但，所以C是假命題；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，，但不是第二或第三象限的角，所以D是假命題．故選：B．【變式12】（2024·高一·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列命題正確的是（

）．A．小于的角是銳角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．與終邊相同的最小正角是 D．若，則是第四象限角【答案】C【解析】，但是由銳角的定義知不是銳角，故A錯(cuò)誤；是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與終邊相同的最小正角是，故C正確；且，所以是第三象限角，故D錯(cuò)誤.故選：C【變式13】（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以是第四象限角，則是第一象限角，故A錯(cuò)誤；是第二象限角，故B錯(cuò)誤；是第四象限角，故C正確；是第一象限角，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式14】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且射線OA的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)OB位置，由OB位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)OC位置，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和，所以.故選：B題型二：終邊相同的角的表示【典例21】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合．(1)集合中有幾種終邊不相同的角？(2)集合中有幾個(gè)大于且小于的角？【解析】（1）由于任意k值都可以寫成或或或（）的形式，所以集合中終邊不相同的角共有4種．（2）由，得．又，故．所以集合中大于且小于的角共有8個(gè)．【典例22】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知．(1)把α寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且．【解析】（1），它是第三象限角．（2）令，取就得到符合的角．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故或．【方法技巧與總結(jié)】在0°～360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法（1）把任意角化為（且）的形式，關(guān)鍵是確定k．可以用觀察法（的絕對(duì)值較?。部捎贸ǎ?）要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．【變式21】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在與530°終邊重合的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)–720°到–360°的角．【解析】（1）因?yàn)榕c530°終邊相同角的集合為，當(dāng)時(shí)，得到最大的負(fù)角為：；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，得到最小的正角為：；（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，得到–720°到–360°的角為：；【變式22】（2024·高一·陜西渭南·階段練習(xí)）已知角的終邊在直線上，(1)寫出角的集合；(2)寫出集合中適合不等式的元素.【解析】（1）角的終邊在直線上且直線與軸正半軸的夾角為，角的集合.（2）在中，取，得，取，得，取，得，取，得，取，得，取，得，中適合不等式的元素分別是.【變式23】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來(lái)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（2）因?yàn)?，所以，與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（3）因?yàn)?，所以，與終邊相同的角的集合為，由，可得、、，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，適合不等式的元素為、、.（4）因?yàn)椋?，與終邊相同的角的集合為，由，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，適合不等式的元素為、、.【變式24】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知角的集合．(1)其中有幾種終邊不重合的角？(2)寫出落在–360°~360°之間的角；(3)寫出其中是第二象限的角的一般表示方法．【解析】（1）（1）當(dāng)（）時(shí)，，與45°角的終邊重合；當(dāng)（）時(shí)，，與135°角的終邊重合；當(dāng)（）時(shí)，，與225°角的終邊重合；當(dāng)（）時(shí)，，與315°角的終邊重合，故有4種終邊不重合的角.（2）由，得．又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3．所以，在給定的角的集合中落在–360°~360°之間的角是：–315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°．（3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示為，．題型三：角所在象限的研究【典例31】若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．【典例32】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．【解析】由于角是第二象限角，所以，所以，，所以角的終邊落在第三象限、第四象限或軸的負(fù)半軸，角的終邊落在第一象限、第三象限.【方法技巧與總結(jié)】已知的范圍，確定的范圍，一般應(yīng)先將的范圍用不等式表示，然后再兩邊同除以，根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，以確定的范圍，討論角的范圍時(shí)要做到不重不漏，尤其對(duì)象限界角應(yīng)引起注意．【變式31】（2024·高一·江蘇·課后作業(yè)）已知是第一象限角，試分別確定，的終邊所在象限．【解析】∵是第一象限角，∴，∴，，則的終邊在第一或第二象限或y軸的非負(fù)半軸，，，則的終邊在第一或第三象限．【變式32】（2024·高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)是第一象限角，試探究：（1）一定不是第幾象限角？（2）是第幾象限角？【解析】（1）因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，即，所以，所以一定不是第三、四象限角；?）因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，即，所以，?dāng)時(shí)，，是第一象限；當(dāng)時(shí)，，是第二象限；當(dāng)時(shí)，，是第三象限；當(dāng)時(shí)，，是第一象限；綜上：是第一、二、三象限角.【變式33】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若是第一象限角，問(wèn)，，是第幾象限角？【解析】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以，所以，所以所在區(qū)域與范圍相同，故是第四象限角；，所以所在區(qū)域與范圍相同，故是第一、二象限角或終邊在軸的非負(fù)半軸上；．當(dāng)時(shí)，，所以是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，所以是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，所以是第三象限角．綜上可知：是第一、二或第三象限角．【變式34】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個(gè)象限的角；（2）求的范圍.【解析】是第四象限的角，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是第二象限；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是第四象限；又此時(shí)是第三象限或第四象限或軸的非正半軸；（2）題型四：象限角的判定【典例41】（2024·高三·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知角，則角的終邊落在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，故與的角終邊相同，其中在第四象限，故角的終邊落在第四象限.故選：D【典例42】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)?，可知的終邊與的終邊相同，且為第三象限角，所以角是第三象限角.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)角在第幾象限或哪條坐標(biāo)軸上的一般方法（1）若的絕對(duì)值比較大，可通過(guò)加上或減去360°的整數(shù)倍得到內(nèi)或內(nèi)的一個(gè)角β；（2）判斷所在象限，則在第幾象限，就在第幾象限．【變式41】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】，故角是第三象限角．故選：C．【變式42】（2024·高一·陜西渭南·期中）角1000°的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，則與有相同的終邊，所以其終邊在第四象限.故選：D．【變式43】（2024·高一·廣西桂林·階段練習(xí)）是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】顯然，所以是第三象限角.故選：C.【變式44】（2024·高一·遼寧撫順·期中）的終邊落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，又因?yàn)榈慕K邊落在第四象限，所以的終邊落在第四象限．故選：D題型五：區(qū)域角的表示【典例51】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則集合中的角的終邊在圖中的位置（陰影部分）是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則有，角的終邊在介于角終邊所在的區(qū)域內(nèi)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則有，角的終邊在介于角終邊所在的區(qū)域內(nèi)．故選：C．【典例52】（2024·高一·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】終邊落在陰影部分的角為，，即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】區(qū)域角的寫法可（1）按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域的起始和終止邊界；（2）由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角，，寫出所有與，終邊相同的角；（3）用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．【變式51】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的終邊與函數(shù)的圖象相交，則角的集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)角的終邊與直線重合時(shí)，角的終邊與函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn).又因?yàn)榻堑慕K邊為射線，所以，.故選：C【變式52】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則角的終邊落在的陰影部分是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，則B選項(xiàng)中的陰影部分區(qū)域符合題意.故選：B．【變式53】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則集合中的角的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，，，故角的終邊在第一象限.當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，，，故角的終邊在第三象限.故選：C.【變式54】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是A．B．C．D．【答案】C【解析】在間陰影部分區(qū)域中邊界兩條終邊表示的角分別為，.所以陰影部分的區(qū)域在間的范圍是.所以終邊在陰影部分區(qū)域的角的集合為：.故選：C.題型六：弧度制與角度制的互化【典例61】（2024·高一·黑龍江牡丹江·期末）330°化成弧度制為弧度.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，故答案為?【典例62】（2024·高一·北京·階段練習(xí)）角化為弧度制等于.【答案】/【解析】因?yàn)?，所?故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】①在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵是抓住πrad=180°，這一關(guān)系．②用弧度作為單位時(shí)，常出現(xiàn)，如果題目沒(méi)有特殊的要求，應(yīng)當(dāng)保留的形式，不要寫成小數(shù)．③角度制與弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正確的寫法．【變式61】（2024·高一·廣東湛江·期末）將﹣300°化為弧度為．【答案】【解析】【變式62】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是度，即rad.如果大輪的轉(zhuǎn)速為（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10.5cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是.【答案】864【解析】本題可以通過(guò)相互嚙合的兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的齒數(shù)相同，得到小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，得到填空（1）答案，經(jīng)換算得到其弧度，即得到填空（2）答案，再通過(guò)大輪的速，得到小輪的轉(zhuǎn)速，從而求出小輪上每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)速，得到填空（3）答案，得到本題結(jié)論．∵相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，∴當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，大輪轉(zhuǎn)動(dòng)了48個(gè)齒，∴小輪轉(zhuǎn)動(dòng)周，即，，∴當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為時(shí)，，小輪轉(zhuǎn)速為，∴小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為：，∵小輪的半徑為10.5cm，∴小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為：，故答案為：864；；.【變式63】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）與600°終邊相同的最小正角為弧度．【答案】/【解析】與終邊相同的角可以表示為，當(dāng)時(shí)，與終邊相同的最小正角為，化為弧度制為：.故答案為：.【變式64】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）將1920°轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為．【答案】【解析】，故答案為：題型七：扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用【典例71】（2024·高一·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知圓心角為1的扇形的面積為8，則該扇形的弧長(zhǎng)為.【答案】4【解析】由，可得，所以.從而可得.故答案為：4.【典例72】（2024·高一·河北承德·階段練習(xí)）已知某扇形的周長(zhǎng)為10，圓心角為2，則該扇形的半徑為，該扇形的面積為.【答案】【解析】設(shè)該扇形的半徑為，則，解得，得該扇形的面積為.故答案為：，【方法技巧與總結(jié)】有關(guān)扇形的弧長(zhǎng)，圓心角，面積的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用，兩組公式．【變式71】（2024·高一·江蘇南通·階段練習(xí)）用一根長(zhǎng)度為的繩子圍成一個(gè)扇形，當(dāng)扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)為．【答案】【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以扇形面積，當(dāng)時(shí)，扇形面積取得最大為.所以圓心角的弧度數(shù)為.故答案為:.【變式72】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）某書中記載計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積弦矢矢弧田如圖所示由圓弧及其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差現(xiàn)有圓心角為，半徑為的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是.

【答案】【解析】如圖，由題意可得，．在中，可得，，則，所以矢．由，得弦，所以弧田面積弦矢.故答案為：．【變式73】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方體木塊在桌面上作無(wú)滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被小木塊擋住，此時(shí)長(zhǎng)方體木塊底面與桌面所成的角為，求點(diǎn)走過(guò)的路程為．

【答案】【解析】第一次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，此次點(diǎn)走過(guò)的路徑是，第二次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，此次點(diǎn)走過(guò)的路徑是，第三次是以為旋轉(zhuǎn)中心，以為半徑旋轉(zhuǎn)，此次點(diǎn)走過(guò)的路徑是，點(diǎn)三次共走過(guò)的路徑是，故答案為：．【變式74】（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）玉雕在我國(guó)歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為．【答案】2700【解析】如圖，設(shè)扇形圓心角，，由弧長(zhǎng)公式，得，解得，，所以該玉雕的面積約為．故答案為：2700題型八：扇形中的最值問(wèn)題【典例81】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知一扇形的圓心角為（為正角），周長(zhǎng)為，面積為，所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若，求的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．【解析】（1），扇形的弧長(zhǎng)；（2）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，的最大值是，此時(shí)扇形的半徑是，圓心角．【典例82】（2024·高一·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為.(1)若，，求扇形的周長(zhǎng)；(2)若扇形的