高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）25直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（十一大題型）

2．5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 ②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點(diǎn)的切線方程是；過圓上一點(diǎn)的切線方程是．過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．（3）兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．【變式71】（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則．【答案】4【解析】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以.故答案為：4.【變式72】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為．【答案】【解析】由，得到，圓心為，半徑為，由題易知，所以四邊形的面積，又，所以當(dāng)最小時(shí)，即PC最小，此時(shí)，所以直線的方程為，即，由，解得，即，所以，得到，則以為圓心，為半徑的圓的方程為，又是圓與圓的公共弦，兩圓方程相減得到，所以直線的方程為，故答案為：.【變式73】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，則直線的方程為.【答案】【解析】由，得到，所以圓心，半徑，如圖，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)PC最小時(shí)，也最小，此時(shí)，，故的方程為，即，聯(lián)立解得：，，即，所以直線的方程為，化簡得：.故答案為：.【變式74】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為.【答案】【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為：，化簡得：.故答案為：.【變式75】（2024·高二·安徽·期中）過直線上任意點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線過定點(diǎn)；記線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)槭侵本€上一點(diǎn)，所以，以為直徑的圓的方程為，即，所以，即直線的方程為，又直線的方程為，故直線過定點(diǎn).設(shè)，直線過定點(diǎn)為，則，由，得，整理得點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以直線與圓相離，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：，題型八：公切線問題【典例81】（2024·高二·廣西柳州·階段練習(xí)）已知圓與圓有4條公切線，則a的取值范圍為．【答案】【解析】由題可得，圓，圓心為，半徑為2，圓，圓心為，半徑為1，因?yàn)閮蓤A有4條公切線，所以兩圓外離，故圓心距，解得，故答案為：．【典例82】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若圓：與圓：有且僅有三條公切線，則a的值為．【答案】【解析】由，可得，所以圓的圓心為，半徑為a，由，可得，所以圓的圓心為，半徑為1，因?yàn)閮蓤A有且僅有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得．故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用幾何法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【變式81】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）兩圓，的公切線有且僅有條．【答案】2【解析】化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，兩圓圓心距離，，則兩圓相交，因而公切線只有兩條．故答案為：2．【變式82】（2024·高二·湖南·開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)O0,0，，動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓的公切線的條數(shù)為.【答案】2【解析】由題意設(shè)Px,y易知，即可得，整理得點(diǎn)的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標(biāo)為1,0，半徑為1，可得兩圓的圓心距為2，大于，小于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是相交.故公切線的條數(shù)為2.故答案為：2【變式83】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓系方程（，m為參數(shù)），這些圓的公切線方程為.【答案】【解析】圓心坐標(biāo)為，所以圓心在直線上，設(shè)圓的切線為，即，所以兩直線間的距離為圓的半徑，，所以直線方程為.故答案為:.【變式84】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直線l同時(shí)與圓和圓相切，請寫出兩條直線l的方程和．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】由，設(shè)圓心為，半徑為，由，設(shè)圓心為，半徑為1，設(shè)直線l不存在斜率，此時(shí)方程設(shè)為：，因?yàn)橹本€l同時(shí)與圓和圓相切，所以有，此時(shí)直線l的方程為，當(dāng)直線l存在斜率，此時(shí)方程設(shè)為：，因?yàn)橹本€l同時(shí)與圓和圓相切，所以或，所以此時(shí)切線方程為，或，即，或，故答案為：；【變式85】（2024·全國·模擬預(yù)測）圓與圓的公切線長為.【答案】4【解析】由題可得，由圓，則圓心為，半徑為，由圓，則圓的圓心為，半徑為.則兩圓心的距離，因?yàn)?，所以圓與圓相交.如圖，設(shè)切點(diǎn)為，作于點(diǎn)，所以圓與圓的公切線長為.故答案為：.題型九：圓中范圍與最值問題【典例91】（2024·高二·湖北·期中）若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，，解得，即的取值范圍是.故選：B.【典例92】（2024·高二·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知，，圓：（），若圓上存在點(diǎn)，使，則圓的半徑的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，∵，即，∴，即在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，而圓的圓心為，半徑為R，∴圓上存在點(diǎn)，即圓與有交點(diǎn)，∴.故選：A【方法技巧與總結(jié)】涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問題【變式91】（2024·山東日照·二模）若實(shí)數(shù)滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的幾何意義即圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，由圖知，斜率的范圍處在圓的兩條切線斜率之間，其中AC斜率不存在，設(shè)AB的斜率為k，則AB的方程為，由切線性質(zhì)有，，解得，故的取值范圍為，故選：D【變式92】（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）已知是直線上一點(diǎn)，，分別是圓和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓，則圓心，，圓，則圓心，，因?yàn)椋瑒t兩圓心在直線的同側(cè)．又圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則兩圓在直線的同側(cè)且與直線相離，如圖所示，圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號成立；即的最小值為.故選：C．【變式93】（多選題）（2024·高二·江西新余·開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．存在點(diǎn)使D．過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，解得，得的最大值為，故A正確；對于B，令，則點(diǎn)到直線的距離，解得，得的最小值為，故B錯(cuò)誤；對于C，假設(shè)存在點(diǎn)使，設(shè)Px,y，則，化簡得，因此滿足的點(diǎn)在圓上，此圓圓心為，半徑為，而，因此與圓外離，所以不存在點(diǎn)使，故C錯(cuò)誤；對于D，圓的圓心為，半徑為，則過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為，故D正確.故選：AD.【變式94】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】不妨設(shè)x軸上定點(diǎn)使得滿足，Mx1,則，整理得，，又，所以，則，解得，所以，使得，要使最小，則最小，所以B，M，N三點(diǎn)共線，且MN垂直于直線時(shí)取得最小值，如圖所示.故的最小值為點(diǎn)B到直線的距離.故答案為：【變式95】（2024·高二·江蘇南京·期中）已知M，N為圓上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)線段MN的中點(diǎn)為，圓：的圓心為，半徑為，則圓心到直線MN的距離為，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為.所以.故答案為：題型十：圓系問題【典例101】（2024·全國·高二專題練習(xí)）求經(jīng)過圓與直線的交點(diǎn)且在軸上的弦長為的圓的方程．【解析】設(shè)所求的圓的方程為，且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，令得，化簡得，由兩邊平方得，化簡得解得或所求圓的方程為，或所求圓的方程為或【典例102】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求公共弦AB所在的直線方程；（2）求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；（3）求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．【解析】（1）將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．（2）設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（為常數(shù)），則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線y＝－x上，故，解得，故所求方程為．（3）由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最?。畠蓤A心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為，由弦長公式可知所求圓的半徑為．故面積最小的圓的方程為．【方法技巧與總結(jié)】圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系【變式101】過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：．題型十一：直線與圓的實(shí)際問題【典例111】（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）小明家附近有一座圓拱橋，當(dāng)水面跨度是40米時(shí)，拱頂離水面5米．當(dāng)水面上漲4米后，橋在水面的跨度為米．【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，則，解得，，，所以當(dāng)水面上漲4米后，橋在水面的跨度為米．故答案為：．【典例112】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）某圓拱橋的水面跨度是20m，拱高為4m．現(xiàn)有一船寬9m，在水面以上部分高3m，通行無阻．近日水位暴漲了1.5m，為此，必須加重船載，降低船身，當(dāng)船身至少降低m時(shí)，船才能安全通過橋洞．(結(jié)果精確到0.01m)【答案】1.22【解析】以水位未漲前的水面AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)圓拱所在圓的方程為，∵圓經(jīng)過點(diǎn)，∴解得：∴圓的方程是，令，得，故當(dāng)水位暴漲1.5m后，船身至少應(yīng)降低，船才能安全通過橋洞.故答案為：1.22【方法技巧與總結(jié)】解決直線與圓的實(shí)際問題，關(guān)鍵在于理解直線與圓的位置關(guān)系?？赏ㄟ^計(jì)算圓心到直線的距離與半徑比較，判斷相切、相交或相離。利用方程求解交點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際問題背景，分析并得出結(jié)果。【變式111】（2024·高二·浙江金華·期中）臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正東處，城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為小時(shí).【答案】【解析】以城市為圓心，為半徑畫圓，如圖所示，所在直線為臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn).在中，由銳角三角函數(shù)，得，在中，由勾股定理，得，所以，因?yàn)榕_(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為.故答案為：2.【變式112】（2024·高二·江蘇·假期作業(yè)）據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在A城正東方