數(shù)學(xué)物理方法(第3版)課件：傅里葉變換

傅里葉變換本書介紹兩種積分變換：傅里葉變換和拉普拉斯變換。本章的內(nèi)容是傅里葉變換，首先在復(fù)指數(shù)傅里葉級數(shù)里介紹了正交函數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)正交基等基本概念，然后對傅里葉變換的性質(zhì)、卷積定理作了詳細(xì)的討論。本章以相當(dāng)大的篇幅介紹了現(xiàn)代工程技術(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)。盡管傅里葉變換的應(yīng)用很廣，但是限于課時(shí)的限制，這里對積分變換只側(cè)重于它的基本性質(zhì)和解微分方程、偏微分方程所需要的內(nèi)容。2

傅里葉變換§

2.1

函數(shù)空間及函數(shù)展開

§

2.2

傅里葉積分與傅里葉變換

§

2.3

階躍函數(shù)與6函數(shù)的傅里葉變換

§

2.4

傅里葉變換的性質(zhì)

§

2.5

函數(shù)的卷積與傅里葉變換的卷積定理

§

2.6

復(fù)值函數(shù)的傅里葉變換3§

2.1.1

函數(shù)的內(nèi)積§

2.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開2.1

函數(shù)空間及函數(shù)展開4有些場合希望有一個(gè)簡單周期函數(shù)組合來表達(dá)函數(shù)的周期特性，這樣更容易了解函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)。實(shí)傅里葉級數(shù)f

(x

)=(an

cosn

x

+bn

sinn

x)n=0就表達(dá)了函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)的相位，每個(gè)頻率的分量等性質(zhì)。

2.1.1

函數(shù)的內(nèi)積52.1.1

函數(shù)的內(nèi)積三維實(shí)向量：設(shè)A

=(ax

,ay

,az

)R3

，B

=(bx

,by

,bz

)

R3

，則向量的內(nèi)積：A

.B

=axbx

+ay

by

+

az

bz

=BT

A

向量的長度(模)：||A||==

(2.1.1)向量的夾角：cos9=(A

.B)(||A||.||B||)

(2.1.2)向量的投影：PrjA

B

=(A

.B)||A||(B

到A

上的投影)n

維實(shí)向量：設(shè)X

=(x1

,x2

,…

,xn

)Rn

，Y

=(y1

,y2

,…

,yn

)Rn

，則向量的內(nèi)積：X,Y

>=x1y1

+x2

y2

+…

+xn

yn

==1

xi

yi

(2.1.3)in向量的長度(模)：||X||=X,X

>=

=1

xi2in(2.1.4)6(1)<議,b>=<b,議

>(2)<k議,b>=k

<議,b>(3)<議

+b,y

>=<議,y

>+<b,y

>(4)<議,議

>>0且<議,議

>=0當(dāng)且僅當(dāng)議

=0n

維復(fù)向量：設(shè)Z

=(z1

,z2

,…

,zn

)=Cn

，W

=(w1

,w2

,…

,wn

)=Cn

，則向量內(nèi)積：<Z,W

>=z1w1

+z2

w2

+…

+zn

wn

=x

1

zi

wi

(2.1.5)向量的模：||Z||=<Z,Z

>=x

=1

|zi

|2內(nèi)積滿足的條件：對V議,b,y

=Cn

，Vk

=

Cin2.1.1

函數(shù)的內(nèi)積(2.1.6)72.1.1

函數(shù)的內(nèi)積設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，將[a,b]作N

等分，令xi

a

i(b

a)N

，fN

(f(x1

),…

,f(xN

))RN

，gN

(g(x1

),…

,g(xN

))則當(dāng)N

時(shí)，fN

,gN

f(x),g(x)函數(shù)的內(nèi)積：

f(x),g(x)lN

(b

a)1N

fN

,gN

lN

1

f

(xi

)g

(xi

)

(b

a)

N

lN

1

f

(xi

)g

(xi

)

xi

xi

0

af(x)g(x)

dzbi

N

imi

N

im

im函數(shù)的模：||f(x)||f(x),f

(x)

a

|f(x)|2

dzb82.1.1

函數(shù)的內(nèi)積函數(shù)正交：<f(z),g(z)>=j

af(z)g(z)

dz

=0(內(nèi)積等于0)正交函數(shù)系：函數(shù)系懇Qn

(z):n

=0,土1,土2,…

}滿足<Qn

(z),Qm

(z)>=j

aQn

(z)Qm

(z)dz

=〈

實(shí)正交函數(shù)系：[a,b]上的實(shí)函數(shù)系懇Qn

(x):n

=0,土1,土2,…

}滿足<Qn

(x),Qm

(x)>=j

aQn

(x)Qm

(x)dx

=〈

標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系：正交函數(shù)系且滿足Am

=

1bmmbmmb92.1.1

函數(shù)的內(nèi)積令三角函數(shù)定義在

-

,

上的函數(shù)系〈

,

cos

nox,

sin

nox

:

n

=

1,

2,

…

卜正交函數(shù)系：懇1,cos

nox,sin

nox:n

=1,2,…

}(角頻率o

=2"T

)令復(fù)指數(shù)函數(shù)定義在

-

,

上的函數(shù)系〈

e

:

n

=

0,

土1,

土

2,

…

卜

(

o

=

2"

T

)

j

ejnox

ejmoxdx

=j

ejnoxe-

jmoxdx

=j

ej(n-m

)oxdx

=〈

正交周期函數(shù)系：懇ejnox

:

n

=

0,

土1,

土

2,

…

}

ejno(

x+T

)

=

ejnoxejn

2"

=

ejnoxoxoxoxjnnn-2T-2T-2TjnoxJ)l(J)l(102.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開L2

空間：[a,b]區(qū)間上平方可積的函數(shù)所構(gòu)成的空間，(L2

([a,

b]))即滿足j

a|f(x)|2

dx

<的函數(shù)所構(gòu)成的空間內(nèi)積空間：L2

([a,b])上定義內(nèi)積：對Vf(x),g(x)=L2

([a,b])，<f(x),

g(x)>L2

=j

a

f(x)g(x)dxbb112.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開正交展開：設(shè)V0

是L2

([a,b])空間V

的一個(gè)子空間，{e1

,e2

,…

,eN

}是

V0

的標(biāo)準(zhǔn)正交基，f(x)V0

可唯一地展開為f(x)1

an

en

(x)。展開式系數(shù)：

f(x),ek

(x)1

an

en

(x),ek

(x)1

a

an

en

(x)ek

(x)dx

1

an

a

en

(x)ek

(x)

dx

ak(

因?yàn)?/p>

a

en

(x)ek

(x)

dx

)所以f(x)n

an

en

(x)1

f(x),en

(x)en

(x)n

N

1

bbn

Nbn

Nn

Nn

N12則稱懇Qn

(x):n

=1,2,…

}為該函數(shù)空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交完備基，并稱式(*)為按懇Qn

(x):n

=1,2,…

}展開的廣義傅里葉級數(shù)。展開系數(shù)：兩邊與Qm

(x)作內(nèi)積得：(注意到<Qn

(x),Qm

(x)>=6mn)<f(x),Qm

(x)>=x

an

<Qn

(x),Qm

(x)

>=am

，所以f(x)=x

<f(x),Qn

(x)>Qn

(x)。2.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開設(shè)懇Qn

(x):n

=1,2,…

}為某函數(shù)空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)

系，若對于該函數(shù)空間中的任一個(gè)函數(shù)f(x)，有f(x)=x

anQn

(x)(*)132.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開例：對

-

,

上正交函數(shù)系〈

,

cos

nox,

sin

nox

:

n

=

1,

2,

…

卜an

=<f(x),cos(nox)>=f

(x)cos(nox)dxbn

=<f(x),sin(nox)>=f

(x)sin(nox)dxJ)l(142.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開定理：若函數(shù)f(x)是以T

為周期的光滑或分段光滑函數(shù)，即f(x

+T)=f(x)，且在[-T2,T2]上滿足狄里克萊條件：(1)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(左右極限存在)；(2)只有有限個(gè)極值點(diǎn)稱式(1)為f(x)的傅里葉展開式，其中，o

=2T

T

，an

和bn

為傅里葉系數(shù)：

an

=f(x)cos(nox)dx,bn

=f(x)sin(nox)dx在間斷點(diǎn)x0

處，式(1)的左端為f

。則在連續(xù)點(diǎn)處有f

(x)=+(an

cos(nox)+bn

sin(nox))(1)152.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開j

2

f

(x)dx

=

j

+

(an

cos(nOx)

+

bn

sin(nOx))))|dx=

j

dx

+

(an

j

2

cos(nOx)dx

+

bn

j

2

sin(nOx)dx)=

a0j

2

cos(nOx)dx

t

=nOx

j

cos

t(nO)dt

=一sin

t(nO)T

=0j

2

sin(nOx)dx

t

=nOx

j

sin

t(nO)dt

=cost(nO)T

=0所以

a0

=

j

2

f

(x)dx

=

j

2

f

(x)

cos(0

.Ox)dx注：a0

2為f(x)在[一T2,T2]上的平均值2222一TT一TTnT一nnTT一n一TT22nT一nnTT一n一TT22222222222222222222一TT一TT一TT22一TT一TT162.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開j

f(x)cos(mOx)dx=

j

cos(mOx)

+

(an

cos(nOx)

+

bn

sin(nOx))cos(mOx)))|dx=j

am

cos(mOx)cos(mOx)dx

=

amj

cos(mOx)dx

=0，j

sin(nOx)

cos(mOx)dx

=

0j

cos(nOx)

cos(mOx)dx

=

6mn

=〈所以an

=j

f(x)cos(nOx)dx，同理bn

=j

f(x)sin(nOx)dx一TT一TTnn豐=一TT一TT一TT一TT一TT一TT172.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開若周期函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則展開式可以簡化為+

其中

bn

=f(x)sin(nOx)dx

=j0

f(x)sin(nOx)dx若周期函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則展開式可以簡化為+

TTTTTTTT22Tf(x)=+an

cos(nOx)其中

an

=f(x)cos(nOx)dx

=j0

f(x)cos(nOx)dxTTTTTTTT22Tf(x)=bn

sin(nOx)n=1182.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開定理

2.2：設(shè)f(x)是以T

為周期的實(shí)函數(shù)，且在[-T2,T2]上滿足狄里克萊條件： (1)連續(xù)或者只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； (2)只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則復(fù)指數(shù)傅里葉級數(shù)存在且收斂，并有其中cn

=f(x)e-jnoxdx

，(n

=0,土1,土2,…)(2.1.19)o

=2爪

T+的f(x)=x

cn

ejnoxn=-的(2.1.18)192.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開定理2.2的收斂值有以下結(jié)論：(1)若f

(x

)在某點(diǎn)連續(xù)，則級數(shù)收斂于f

(x

)本身；(2)這一點(diǎn)是間斷點(diǎn)，則收斂于該點(diǎn)左、右極限平均值；(3)可以證明若f(x

)在整個(gè)數(shù)軸上是連續(xù)的，并且在任何

有限區(qū)間上是逐段光滑的，那么級數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上絕對且一致收斂于f

(x

)。20復(fù)指數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)cn

的意義：把cn

寫成指數(shù)表達(dá)式是cn

=|cn

|ej9n

，因此有f

(x

)

=

|

cn

|

ej(nox+9n

)n=

(1)|cn

|是n

次諧波的振幅，稱為振幅頻譜；(2)9n是n

次諧波的相位，稱它是相位頻譜；(3)|cn

|2

的物理意義：2.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開212.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開(3)|cn

|2

的物理意義：首先求f

(x

)，對(2.1.18)兩邊求模，有f

(x

)2

=f

(x

)

.f

(x

)

=cn

ejnOx

.ck

e一jkOxn=一w

n=一w在上式兩邊求一個(gè)周期內(nèi)的平均值，得到x+wx+w22用f

(x

)表示通過1Q

電阻的電流，j

2T一|f

(x

)|2

dx是單位電阻消耗的功率，2Tj

2T一

f

(x

)dx

=

j

2T一

ej(n一k

)Oxdx

=

cn

ck

.6n

,k

=

cn

2k2Tk22T根據(jù)(2.1.26)可知，信號的功率等于|cn

|2

之和，因此，|cn

|2

也稱作功率譜。(2.1.26)22式(2.1.28)表示函數(shù)模的平方等于復(fù)指數(shù)傅里葉級數(shù)功率譜之和，這個(gè)等式被稱為帕斯瓦爾定理，式(2.1.28)也稱為帕斯瓦爾等式。稱f

(x

)是函數(shù)f

(x)的模。在一個(gè)周期內(nèi)求f

(x)的模，可以得到帕斯瓦卡爾定理：引入記號||f

(x

)||，它的定義是2.1.2

平方可積函數(shù)空間與函數(shù)展開f

(x

)=j

f

(x

)dx

=

cn

22222222222222222222222b

a

j

a

fb

1f

(x

)=(2.1.27)(2.1.28)2

n=

w

()

2x

dx23§

2.2.1

一維傅里葉變換定理§

2.2.2

多維傅里葉變換2.2

傅里葉積分與傅里葉變換24傅里葉級數(shù)是一系列以編O=2"T

為間隔的離散頻率所形成的簡諧波的合成。在T

)w時(shí)，編O)0，這時(shí)的傅里葉級數(shù)就是非周期函

數(shù)f

(x)的表達(dá)式。將cn

的表達(dá)式(2.1-19)代入式(2.1-18)后，得到f

(x

)=

j

2T-

f

(x)e-jnOx

dx

ejnOx用On

表示nO，編O

=+1

-On

=(n

+1。這些代入上式后，得到f

(x

)=

j

2T-

f

(x)e-jOnx

dx

ejOnx

編O2TnO2T2.2.1

一維傅里葉變換定理T

T

T25在T

)的時(shí)有)的編o)0。頻率間隔編o)0，導(dǎo)致了頻率譜連續(xù)，因而on

)o

，上式化為f

(x

)=

l編io

j

f

(x

)e_joxdx

ejox編o若改寫成積分形式，得到的的)0mf

(x

)=

j

j

f

(x

)e_joxdx

ejoxdo式(2.2-1)稱為傅里葉積分。的的的的2.2.1

一維傅里葉變換定理(2.2-1)26在f

(x

)間斷點(diǎn)處，傅里葉積分收斂于f

(x

)=f

(x

+0)+f

(x

-0)。滿足定理2.3的傅里葉變換稱作是古典傅里葉變換。傅里葉積分定理

2.3

若f

(x

)在(-w,+w)的任意一個(gè)區(qū)間內(nèi)滿足狄里克萊條件，即j

f

(x

)dx存在。則有f

(x

)=

j

j

f

(x

)e-

joxdx

ejoxdoww2.2.1

一維傅里葉變換定理(2.2-1)272.2.1

一維傅里葉變換定理從傅里葉積分表達(dá)式可以寫出傅里葉變換。在式(2.2-1)中，

令f

(o)=j

f

(x

)e-joxdx

(2.2-2)式(2.2-1)可以寫成f

(x

)=

j

f

(o)ejoxdo

(2.2-3)稱(2.2-3)為傅里葉變換，f

(o)是f

(x

)的象函數(shù)，f

(x

)是f

(o)的象原函數(shù)。傅里葉變換對可以寫作f

(o)=

F

f

(x

)式(2.2-3)為傅里葉逆變換，寫作f

(x

)=

F-

1

f

(o)傅里葉變換對關(guān)系用f

(x

)一f

(o)表示。282.2.1

一維傅里葉變換定理函數(shù)f

(x)與f

(o)所構(gòu)成的傅氏變換對的物理意義：(1)f

(o)的作用與復(fù)指數(shù)傅里葉級數(shù)中的系數(shù)cn

相當(dāng)，是信號在頻率域上的特性，因此稱f

(o)為頻譜密度函數(shù)；(2)f

(o)是振幅譜，argf

(o)為相位譜。例2.1例2.229定理

設(shè)z

為復(fù)變量，函數(shù)定義在閉區(qū)域上91

共arg

z

共92

，R0

共z

共+w

，且R0

>0和0共91

共92

共爪

。若函數(shù)在定義的區(qū)域上連

續(xù)，并且設(shè)CR

是該閉區(qū)域上一段以原點(diǎn)為中心，R

>R0

為半徑的圓弧，若z

在閉區(qū)域上有l(wèi)z

f

(z

)

=0，則對任意o

>0有l(wèi)R

jC

f

(z

)ejoz

dz

=

0定理的證明過程可以從有關(guān)的書中查到，這里將其略去。下面就用約當(dāng)引理來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的傅里葉變換。RR)wim)wim2.2.1

一維傅里葉變換定理例2.330二元函數(shù)滿足下面三個(gè)條件，可以得到傅里葉變換，即(1)f

(x,y

)定義在全平面-x

+,-y

+

；(2)

和

存在；(3)x

固定時(shí)j

f

(x,y

)dy存在，y固定時(shí)j

f

(x,y

)dx存在。2.2.2

多維傅里葉變換31二維傅里葉變換對是f

(x,

y

)

=

j

j

f

(,oy

)e

(

)d

doy

f

(

,oy

)

=j

j

f

(x,y

)e-j(ox

x+oy

y

)dxdy為了簡化表示，引入矢量式(|

=

(x,

y

)〈|l

=

(

,oy

)式(2.2-5)和(2.2-6)可以寫成f

(

)

=

j

j

f

(

)df

()=

j

j

f

()e-j

dr一r一o一r一wwo一o一o一r一xoo一r一jjjjjjjjjjjjoyyo+xxojwwwwxoxoxowwww(2.2-5)(2.2-6)(2.2-7)(2.2-8)(2.2-9)2.2.2

多維傅里葉變換32三維絕對可積函數(shù)，也有傅里葉展開式，為f

(

)

=

(2

)3

jjj

f

(

)ej

.

d

(2.2-10)f

(O)=

jjj

f

()e一j

.

d

(2.2-11)式中

=

(x,

y,

z

),

=

(,Oy

,

)。zOxOO一r一r一r一O一r一O一r一O一O一ww幾1r一2.2.2

多維傅里葉變換33§

2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換§

2.3.2

廣義函數(shù)及6函數(shù)

§

2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)2.3

階躍函數(shù)與6函數(shù)的傅里葉變換34廣義傅里葉變換：新定義的階躍函數(shù)為h(x

)=h(x

)e-bx

(b>0)

(2.3-2)令hb(o)=

F

h(x)e-bx

(2.3-3)則有傅里葉變換對為h

(o)=

hb(o)(2.3-4)h(x

)=

F-

1

hb

(o)(2.3-5))0mbli)0mbli)0mbli單位階躍函數(shù)定義如下：h(x

)

=〈(1

,

x

>

0h(x

)不滿足(-w,+w)內(nèi)絕對可積的條件，它的古典傅里葉變換對并不存在。2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換l0,x

<

0(2.3-1)35上式的積分下限應(yīng)當(dāng)理解為0+

。求上式在b)0

的極限，得到h

(O)

=

hb

(O)

=

=

，(O

才

0)

(2.3-7)在O

=0處的h

(O)，應(yīng)當(dāng)先求hb(0)，再進(jìn)行極限運(yùn)算，故有h(0)

=

hb(O

=

0)

=

)

w)0mbli)0mbli)0mbli)0mblihb(O)=

j

h(x

)e一bx

.e一jOxdx

=

j

e一(b+jO)x

dx

=

ww單位階躍函數(shù)h(x

)=h(x

)e一bx

(b>0)的傅里葉變換：)0mbli2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換(2.3-6)36上式也可以這樣書寫(

1

b(o)

=〈|

b

=

0(

1 lllll,0,lo

豐,

o0)0mblih

(o)

=〈|

豐

0lllll=0=lbli2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換或簡記作b(o)

=〈(w

，o＝0=

+

b(o)(2.3-8)0，o

豐0l37定理2.3給出的間斷點(diǎn)收斂值為h

(0+

)+h(0-

)=(1+0)=，與上式計(jì)算結(jié)果相同，這就驗(yàn)證了定理2.2。因此，為了保持傅里葉變換的完整性，可以對h(x

)定義如下：h(x

)

=〈

|l

0，

x

<

0但從計(jì)算過程可知，在間斷點(diǎn)x

=0處是否有定義對傅里葉變換的計(jì)算是無影響的，在間斷點(diǎn)賦值只是為了和單值函數(shù)理論對應(yīng)起來。211，2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換38=

bj

do+

j

do設(shè)上式右邊的第一個(gè)積分是I1

，第二個(gè)積分為I2

。用例2.3的方法可以求出I1

=j

do=j

do

=

e_b|_x|

=

e_b|x|wwww)0mbli)0mblih(x

)

=

F_1

hb(o)

=

j

do

=

j

ejoxdo)0mbli)0mbli)0mbli

h(o)的逆變換：根據(jù)式(2.3-5)和(2.3-6)，可以得到2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換(2.3-9)392.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換積分I2

的求解方法。在上半平面取一個(gè)圍道，引用約當(dāng)引理。分兩種情況加以討論。設(shè)z

=o+jy

，x

>0時(shí)圍道如圖2.5所示，曲線C

由CR

和o軸上_R

至R

這一段所構(gòu)成。令R

)+的得到圖2.5

求積分I2

的圍道j

do+

lR

jCR

e

dz

=

C

dzjzxjzx的的根據(jù)約當(dāng)引理lR

jC

ejzx

dz

=

0

，因此上式為RRC：b-R

0

R

oCR40yR2.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換j

dO

=C

dz

=C

dz=

2"j

ze

=

j"e_bx對于x

<0時(shí)，用變量代換可以得到：j

dO

=j

e_jOx

dO

=_

j

e

dO=

_j"e

將x

>0和x

<0兩種情況結(jié)合起來，有I2

=

j

dO

=〈Oxxb_OxOxjjOxjzxjzxz

+

jbz=jb412.3.1

階躍函數(shù)及廣義傅里葉變換I1

和I2

代入(2.3-9)后，得到階躍函數(shù)的傅氏逆變換是h(x

)=

2

e一bx

+

2

j

〈j一

一b冗e

1

，x

>

0

(1

，x

>

0=

2

+〈|一

,

x

<

0

=〈l0

,

x

<

0在引入階躍函數(shù)時(shí)，并沒有定義在間斷點(diǎn)x

=0處的值，現(xiàn)在可以從傅氏逆變換中求出h(x

)在x

=0處的值。令式(2.3-9)中的x

=

0，有l(wèi)le一bxe一bxe一bxe一bxj冗)0mbli冗1b冗b)0mbli冗1h(0)

=

2

b.

j

+

2

j

j

1

冗

1ww)0mbli冗1ww)0mbli冗1=lim

b

=2冗b)0

b

2例2.442將點(diǎn)電荷Q置于一條直線的某一點(diǎn)x0

，在求電荷密度p時(shí)，因?yàn)镼士0，故有p(x

)=

lAix

=〈

0但是總的電量Q是存在的，它是電荷密度p(x

)的積分Q

=

j

p(x

)dx在實(shí)際情況中，有時(shí)反而需要這樣在某點(diǎn)趨于無窮，但是在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)收斂的函數(shù)，稱有這樣性質(zhì)的函數(shù)為6函數(shù)。wwx0x)0m2.3.2廣義函數(shù)及d函數(shù)43這樣的函數(shù)稱為6函數(shù)，又稱為狄拉克函數(shù)。6函數(shù)沒有普通函數(shù)意義下的函數(shù)值，不能用普通函數(shù)意義下的值對應(yīng)關(guān)系來定義，它的作用是一個(gè)算符，表達(dá)了一種運(yùn)算關(guān)系。像這樣非常義的函數(shù)又稱為廣義函數(shù)。6函數(shù)常用它的另一種等價(jià)定義，即取含參變量的普通函數(shù)作為輔助函數(shù)，而把6函數(shù)看作當(dāng)參量趨于某個(gè)數(shù)值時(shí)的極限。這樣定義下的函數(shù)實(shí)際上是函數(shù)序列的極限，反映了函數(shù)在極限的性狀。(1)

6(x

-

x0

)=〈

(2)

j

6(x

-

x0

)dx

=

1ww2.3.2廣義函數(shù)及d函數(shù)6函數(shù)定義

在x=(-w，+w)，函數(shù)具有如下性質(zhì)：(2.3-12)(2.3-13)442.3.2廣義函數(shù)及d函數(shù)6函數(shù)的第二種定義。設(shè)函數(shù)6(x

-x0

；b)中，x

是自變量，b是參變量，函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)b豐b0

時(shí)，6(x

-x0

；b)是具有值對應(yīng)的普通函數(shù)；(2)

6(x

-

x0

；b)=〈

0

；(3)

j

6(x

-

x0

；b)dx

=

1

。則稱6(x

-x0

；b)是6函數(shù)，

即)b0imbl)b0imblx0x)b0imbl6(x

-

x0

)=

6(x

-

x0

；b))b0imbl例2.5452.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

1

設(shè)f

(x

)是定義在(_w，+w)上的連續(xù)函數(shù)，則有f

(x0

)=j

f

(x

)6(x

_x0

)dx

(2.3-15)證

因?yàn)閖

6(x

_

x0

)dx

=

6(x

_

x0

)dx

=

1，所以有j

f

(x

)6(x

_

x0

)dx

=

j

f

(x)6(x

_

x0

)dx=

f

(毛)j

6(x

_

x0

)dx=

f

(毛).

j

6(x

_

x0

)dxx0x0c)0limc)0limx0x0c)0limx0x0c)0limwwc)0limwwww462.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)上式中利用了積分的中值定理，因?yàn)閒

(毛)中的毛是[x0

-c，x0

+c]內(nèi)的一點(diǎn)，

這樣c

)0時(shí)有毛)x0

，所以上式是j

f

(x)6(x-x0

)dx

=

f

(毛).

j

6(x-x0

)dx

=

f

(x0

)[證畢]性質(zhì)1稱為篩選性質(zhì)，式(2.3-15)也可以作為6函數(shù)的定義式，它與泛函中6函數(shù)的定義式是一致的。若(2.3-15)中保留f

(x

),將6函數(shù)用Q(x,x0

)代入，式(2.3-15)也成立，則有j

f

(x

)Q(x,

x0

)dx

=

f

(x

0

)那么稱Q(x,x0

)是6(x

)函數(shù)。x0x0c)0limc)0lim472.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

2

6(x)函數(shù)是偶函數(shù)。證先求6(x)的傅里葉變換，即F

6(x)=j

6(x)e-joxdx

=

e-jox

|x=0

=

1故有6(-x)=

j

ejo(-x)do=

-

j

ejoxdo=

j-+wejoxdo

(2)比較(1)

式和(2)

式可以得到

6(x

)=

6(-x)因此6(x

)是偶函數(shù)，更一般地有6(x

-

x0

)=

6(x0

-

x)。[證畢]wwww6(x)=

j

F

6(x)ejoxdo=

j-+wejoxdo另有ww(1)482.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

3

單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是6(x)，即h

(x)=6(x)

(2.3-16)證根據(jù)式(2.3-1)，可以得到下面兩式j(luò)

6(x

)h(x

)dx

=

j

6(x

)dx

=

j

6(x

)dx

=

1j

h

(x

)h(x

)dx

=

h2

(x

)j

h

(x

)h(x

)dx

=

1

j

h

(x

)dx

=1h(x)1(1

1)=1比較上兩式的左邊，可以得到h

(x)=6(x)。[證畢]

49性質(zhì)

4

6(x)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義式為<6(x),(x)>=(0)(2.3.17)證見教材P94。2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)50性質(zhì)

5

x6(x

)=0

(2.3-18)證設(shè)有任意連續(xù)函數(shù)Q(x

)，由性質(zhì)1可以得到j(luò)

Q(x

).

x6(x

)dx

=

j

xQ(x

)6(x

)dx

=

xQ(x

)x=0

=

0

由于Q(x

)是任意的連續(xù)函數(shù)，若j

Q(x

).

x6(x

)dx

=

j

Q(x

)f

(x

)dx

=

0則f

(x

)=0，因此x6(x

)=0

[證畢]2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)51性質(zhì)

6

n

維空間中n

維6函數(shù)特性。n

維6函數(shù)有下列性質(zhì)j

f

().6(一

)d

=

f

()(2.3-20)性質(zhì)

7

n

維6函數(shù)等于n

個(gè)一維6函數(shù)的乘積，這個(gè)性質(zhì)可以表示成6(一

)=

6(r1

一

r10

).6(r2

一

r20

)…6(rn

一

rno

)(2.3-21)r0一r一r0一r一r0一r一r一的的n

維6函數(shù)的定義：6(

一

)

=〈(0,

r一

才

r0一的,r

=

r0一一r0一r一式中

=

(r1

,

r2

,

…

rn

),

=

(r10

,

r20

,

r30

,

…

rn

0

)。r0一r一2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)例2.6(2.3-19a)l521一2"6(o)(2.3-22)ejo0x

一2"6(o-o0

)(2.3-23)coso0

x

一"[6(o+o0

)+6(o-o0

)](2.3-24)sin

o0

x

一j["6(o+o0

)-6(o-o0

)](2.3-25)h(x)

一

+

"6(o)(2.3-26)6(x)一1(2.3-27)為了以后求解的方便，將已經(jīng)求解過的與6函數(shù)有關(guān)的傅里葉變換對列舉如下：2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)536(x

-x0

)=x

cn0n

(x)

n其系數(shù)是cn

=0n

(x0

)性質(zhì)

8

若在區(qū)間[a,b]上定義了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系懇0n

(x)}，那么定義在該區(qū)間上的6函數(shù)，可以展開成廣義傅里葉級數(shù)2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)(2.3-29)(2.3-28)例2.754f

(x)一2"cn

(o0

)6(o-

no0

)n=-wcn

(o0

)=j

T

f

(x)e-jno0xdx

(n

=0,+1,…)式中o0

=,cn

(o0

)是周期函數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)。x+w在另一些場合要求周期函數(shù)的傅里葉變換，對此有下面性質(zhì)。性質(zhì)

9

設(shè)f

(x)是以l為周期的實(shí)值函數(shù)，且在-

,

上滿足狄里克萊條件，則有傅里葉變換對2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)(2.3.31)(2.3.30)5522.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)證

由式(2.1-18)和(2.1-19)兩式得到f

(x)

=

cn

ejnoxn=-wcn

(o)=j

T

f

(x)e-jnoxdx,(n

=0,土1,土2…)為了與傅立葉變換中的頻率o分開，記上兩式中的o為o0，得到傅里葉級數(shù)是f

(x)=

cn

(o0

)ejno0xn=-wcn

(o0

)=j

T

f

(x)e-jno0xdx,(n

=0,土1,土2…)x+wx+w5622對f

(x)兩端取傅里葉變換，

得到f

(O)=F

[f(x)]=j

f

(x)e一jOxdx

=j

cn

(O0

)ejnO0x

.e一jOxdxn=一w=cn

(O0

)j

ej(nO0

一O)x

dx

=2幾cn

(O0

)6(O一nO0

)n=一w

n=一wF一1

[f

(O)]=j

cn

(O0

)6(O一nO0

)ejOxdO=cn

(O0

)j

6(O一nO0

)ejOxdxn=一w=cn

(O0

)ejnO0x

=f

(x)n=一w由于傅里葉變換得到的結(jié)果是頻譜密度，所以f

(O)表示在無窮小的頻帶內(nèi)(諧頻點(diǎn)處)有無限大的頻譜值。x+wwwx+wnnnnnnnnnnnnnnnnnnnwwnww幾幾22x+wwwx+wx+wwwww2.3.3

6函數(shù)的性質(zhì)例2.8572.4

傅里葉變換的性質(zhì)這里介紹傅里葉變換的5個(gè)性質(zhì)。在討論中，以一維變量的傅立葉變換來論證。性質(zhì)1

傅里葉變換的線性疊加性質(zhì)；性質(zhì)2

傅里葉變換的位移性質(zhì)；性質(zhì)3

傅里葉變換的相似性質(zhì)；性質(zhì)4

傅里葉變換的微分與象函數(shù)的微分；性質(zhì)5

傅里葉變換的積分性質(zhì)。582.4

傅里葉變換的性質(zhì)性質(zhì)

1

傅里葉變換的線性疊加性質(zhì)。設(shè)f

(o)=F

[f(x)]，g(o)=F

[g(x)]，以和b均為常數(shù)，則有F

[以f

(x)土bg(x)]=以

f(o)土g(o)同樣，傅里葉逆變換也有類似的線性疊加性質(zhì)，即F

[以f

(o)土bg(o)]=以f

(x)土bg(x)1--1性質(zhì)

2

傅里葉變換的位移性質(zhì)。設(shè)f

(o)=F

[f

(x)]，x0

和o0為實(shí)常數(shù)，則F

[f

(x

-x0

)]=e-jox0f

(o)

(2.4-3)(2.4-1)(2.4-2)592.4

傅里葉變換的性質(zhì)證

由傅里葉變換定義可以得到F

[f

(x

_x0

)]=j

f

(x

_x0

)e_joxdx作變量代換x

_x0

=t,有dx

=dt,得到F

[f

(x

_x0

)]=j

f

(t)e_jo(t+x0

)dt

=j

f

(x)e_jox0e_joxdx

=e_jox0F

[f

(x)]=e_jox0

f

(o)同理可以得到F_1

[f

(o_o0

)]=ejo0xf

(x)

(2.4-4)一個(gè)非常有用的結(jié)果，是對上式兩邊求傅里葉變換，可以得到f

(o_o0

)=F[ejo0xf

(x)](2.4-5)[證畢]602.4

傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的位移性質(zhì)有明確的物理意義。從式(2.4-3)可以看出，信號f

(x)在時(shí)域沿時(shí)間軸延時(shí)x0

(或者說函數(shù)f

(x)向右移x0

時(shí))，在傅里葉變換后的頻域來看，等效于頻譜乘了因子e

，這說明右移后其頻譜幅度(象函數(shù)幅度)不變，但是相位譜產(chǎn)生了附加變化(ox0

)。而式(2.4-5)則對應(yīng)了頻移特性，即在頻譜沿頻率軸右移o0

，等效于時(shí)間域中信號乘以因子e

，這一頻率移動(dòng)特性在通信技術(shù)

中得到了廣泛的應(yīng)用。ox0oxoxjjox

j

j

j

j0oxox

j

j例2.961性質(zhì)

3

傅里葉變換的相似性質(zhì)。設(shè)f

(o)=F

[f

(x)]，a

為非零常數(shù)，則f

(o)=F

[f

(ax)]=F

))|

(2.4-6)此性質(zhì)反映了函數(shù)f

(x)被壓縮時(shí)，它的頻譜被擴(kuò)展；反之，若函數(shù)被擴(kuò)展(a

<1)，則頻譜被壓縮。性質(zhì)

4

傅里葉變換的微分與象函數(shù)的微分。對于導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換，

若函數(shù)f

(x)滿足：(1)f

(x)是分段光滑的，f

(x)和f

，(x)是可積的；(2)

|x|)w時(shí)，f

(x))0，則有F

[f

，(x)]=(jo)F

[f

(x)](2.4-7)若f

(x)和f

(x)(k

=0,1,2,…n-1)分段光滑，且|x|)w

時(shí)f

(x))0，則有F

[f

(x)]=(jo)F

[f(x)]

(2.4-8)nn)n((

n)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)(k

)2.4

傅里葉變換的性質(zhì)622.4

傅里葉變換的性質(zhì)證由于x

)w

時(shí)，f

(x))0且e土jOx

=1，可得f

(x)ejOx

)0。因而有

F

[f

,(x)]=j

f

,(x)e-jOxdx

=f

(x)e-jOx

+jOj

f

(x)e-jOxdx

=

jOF[f

(x)]同理可證式(2.4-8)成立。對于象函數(shù)，若f

(x)和xf

(x)是可積的，則wwF

[xf

(x)]=j

f

(O)一般地，如果f

(x)和x

f

(x)可積，則有F

[xn

f

(x)]=jn

f

(O)nn(2.4-10)[證畢](2.4-9)632.4

傅里葉變換的性質(zhì)性質(zhì)

5

傅里葉變換的積分性質(zhì)。若g(x)=j

f

(x)dx，且lix

g(x)=0，則F

[g(x)]=F

[f

(x)]

(2.4-11)證因?yàn)間,(x)=f

(x)，根據(jù)(2.4-7)得到F

[f

(x)]=F

[g,(x)]=joF[g(x)]上式兩邊同除以jo后，得到F

[g(x)]=F

[f

(x)]即F

[j-xw

f

(x)dx]=F

[f

(x)]=f

(o)[證畢]用傅里葉變換的微分與積分公式可以得到一些難以直接用傅里葉積)wmwx分求解的傅里葉變換，請看下面的例題。例2.1064圖2.8

閘門函數(shù)示意圖從G(x1

,x2

)的定義可見，它表示了一個(gè)在x

軸上高為1，寬為x1

-

x2

的矩形，實(shí)際上就是矩形函數(shù)