2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.3.若，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.4.已知，則下列不等關(guān)系中不恒成立的是（）A. B.C D.5.將體積為1的正四面體放置于一個(gè)正方體中，則此正方體棱長(zhǎng)的最小值為（）A.3 B. C. D.6.武漢外校國(guó)慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（）種A.114 B.120 C.126 D.1327.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A. B. C. D.8.已知函數(shù)，，函數(shù)，若為偶函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，其中說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位數(shù)是1B.已知隨機(jī)變量，若，，則C.若一組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，n）的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為D.若事件M，N的概率滿足，且，則M與N相互獨(dú)立10.連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是（）A.平行四邊形 B.梯形C.有三條邊相等的四邊形 D.有一組對(duì)角相等的四邊形11.設(shè)函數(shù)，則（

）A.當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線B.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則C.存在，使得為曲線的對(duì)稱軸D.當(dāng)時(shí)，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則____________．13.已知函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間____________．14.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)不小于3得2分，向上的點(diǎn)數(shù)小于3得1分，反復(fù)擲這個(gè)骰子，（1）恰好得3分的概率為____________；（2）恰好得n分的概率為____________．（用與n有關(guān)的式子作答）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的面積為，且滿足,設(shè)和的夾角為，（1）求的取值范圍；（2）求函數(shù)值域．16.如圖，已知四棱錐，，側(cè)面為正三角形，底面是邊長(zhǎng)為菱形，側(cè)面與底面所成的二面角為．（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的正弦值．17.已知函數(shù)f(x)=a（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓E的方程；（2）求的角平分線所在直線的方程；（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由．19.設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)①求證：函數(shù)具有性質(zhì)；②討論函數(shù)單調(diào)性；（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定設(shè)為正實(shí)數(shù)，，，且，若，求的取值范圍．2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式求集合A，即可得交集.【詳解】由題意可得：，且，所以.故選：D.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求解，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)?，所以其共軛?fù)數(shù)是.故選：D.3.若，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量垂直列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算以及向量夾角的知識(shí)求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由于，所以，由于，所?故選：B4.已知，則下列不等關(guān)系中不恒成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由兩角和的正弦、余弦公式展開后結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷ABD，舉反例判斷C．【詳解】都是銳角，則，，A正確；，B正確；時(shí)，，，，，C錯(cuò)誤；，D正確．故選：C．5.將體積為1的正四面體放置于一個(gè)正方體中，則此正方體棱長(zhǎng)的最小值為（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】反向思考，求出邊長(zhǎng)為的正方體的最大內(nèi)接正四面體的體積，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】反向思考，邊長(zhǎng)為的正方體，其最大內(nèi)接正四面體的體積為，得到，解得，故選：C.6.武漢外校國(guó)慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（）種A.114 B.120 C.126 D.132【正確答案】A【分析】依據(jù)值班3天的為分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類解決即可.【詳解】因?yàn)橛腥焕蠋熤蛋?天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.第一類：值班3天在、、、、、時(shí)，共有種不同的值班方法；第二類：值班3天在、時(shí)，共有種不同的值班方法；第三類：值班3天在時(shí)，共有種不同的值班方法；第四類：值班3天在時(shí)，共有種不同的值班方法；綜上可知三位老師在國(guó)慶節(jié)7天假期共有種不同的值班方法.故選：A7.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．8.已知函數(shù)，，函數(shù)，若為偶函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由為偶函數(shù)，推得，再由，求得關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合，推得，得到是周期為4的周期函數(shù)，根據(jù)，得到，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，可的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，由，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)?，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，即，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，則.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，其中說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位數(shù)是1B.已知隨機(jī)變量，若，，則C.若一組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，n）的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為D.若事件M，N的概率滿足，且，則M與N相互獨(dú)立【正確答案】ABD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算判斷A，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式計(jì)算可判斷B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷C,根據(jù)相互獨(dú)立事件及條件概率的概率公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第25百分位數(shù)應(yīng)該是第二個(gè)與第三個(gè)的平均數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，，所以，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)闃颖军c(diǎn)都在直線上，說明是負(fù)相關(guān)且線性相關(guān)性很強(qiáng)，所以相關(guān)系數(shù)為，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，由，可得，即，即，所以M與N相互獨(dú)立，故D正確；故選：ABD.10.連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是（）A.平行四邊形 B.梯形C.有三條邊相等的四邊形 D.有一組對(duì)角相等的四邊形【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，結(jié)合拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：作兩條平行線與拋物線均相交，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知：截得的弦長(zhǎng)一定不相等，所以所得的四邊形不可能為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：任作一條直線垂直與拋物線的對(duì)稱軸，交拋物線與兩點(diǎn)，則，再以圓心，為半徑作圓，該圓以拋物線必有一個(gè)異于坐標(biāo)原點(diǎn)的交點(diǎn)，此時(shí)可得，符合題意，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B：任作兩條直線垂直與拋物線的對(duì)稱軸，分別與交拋物線交于和，此時(shí)，即為梯形，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如圖，以為直徑作圓，與拋物線交于，此時(shí)，符合題意，故D正確；故選：BCD.11設(shè)函數(shù)，則（

）A.當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線B.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則C.存在，使得為曲線的對(duì)稱軸D.當(dāng)時(shí)，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)【正確答案】ABD【分析】根據(jù)曲線的切線、函數(shù)的零點(diǎn)、曲線的對(duì)稱軸，直線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令解得，且，此時(shí)在處的切線方程為，即，正確.B選項(xiàng)，，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，通過對(duì)比系數(shù)可得，正確.C選項(xiàng)，若存在，使得為曲線的對(duì)稱軸，則，即，即，即，此方程不恒為零，所以不存在符合題意的，使得為曲線的對(duì)稱軸，錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，所以在處的切線方程為，，由，消去得①，由于，，所以①可化為，提公因式得，化簡(jiǎn)得，進(jìn)一步因式分解得，解得，由于，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，在處的切線與函數(shù)y=fx的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)的解答涉及到切線與曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用聯(lián)立方程組和因式分解的方法，最終得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)的結(jié)論，過程完整而嚴(yán)謹(jǐn)．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則____________．【正確答案】【分析】設(shè)首項(xiàng)為，公差為d，后由等差數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公差為d，由題，則.則.故13.已知函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間____________．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】，，令，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為.14.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)不小于3得2分，向上的點(diǎn)數(shù)小于3得1分，反復(fù)擲這個(gè)骰子，（1）恰好得3分的概率為____________；（2）恰好得n分的概率為____________．（用與n有關(guān)的式子作答）【正確答案】①.②.【分析】因?yàn)橐淮蔚?分，另一次得1分或三次的1分時(shí)恰好得3分，進(jìn)而利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率可求（1）；令表示“恰好得n分”的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次不小于3的情況，則有，進(jìn)而利用構(gòu)造等比數(shù)列可求（2）.【詳解】（1）擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)不小于3的概率,擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)小于3的概率.因?yàn)橐淮蔚?分，另一次得1分或三次得1分時(shí)恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于.（2）令表示“恰好得n分”的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次不小于3的情況，因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)分”的概率是，所以“恰好得到分”的概率是.因?yàn)椤皵S一次得2分”的概率是，所以有，即，則構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，即，則，，所以，又，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，.故恰好得n分的概率為.故（1）；（2）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的面積為，且滿足,設(shè)和的夾角為，（1）求的取值范圍；（2）求函數(shù)的值域．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意由三角形面積公式可得，繼而可得或，結(jié)合的范圍即可求解；（2）利用和差公式、降冪公式、倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)可得，由（1）所求的的范圍可得的范圍，繼而即可求得值域.小問1詳解】由題，可得，又，所以，得到或，因?yàn)椋?【小問2詳解】，因?yàn)?，故，故可?16.如圖，已知四棱錐，，側(cè)面為正三角形，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面與底面所成的二面角為．（1）求四棱錐的體積；（2）求二面角的正弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）作出四棱錐的高，并計(jì)算出高的長(zhǎng)度，進(jìn)而計(jì)算出四棱錐的體積.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的余弦值，進(jìn)而計(jì)算出正弦值.【小問1詳解】過點(diǎn)作垂直于平面，垂足，連接交于，連接，因?yàn)槠矫妫?，又，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，又，所以為得中點(diǎn)，所以，因?yàn)閭?cè)面與底面所成的二面角為，即有，所以，因?yàn)閭?cè)面為正三角形，所以，則，所以.【小問2詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，依題可得兩兩垂直，以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，取得中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，由?）平面，，知平面，平面，所以，可得所成角即為二面角的平面角，記為，求得，，則，則.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再代入點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）首先根據(jù)指對(duì)公式，變形不等式為elna+x?2+ln【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】轉(zhuǎn)化為，可得eln構(gòu)造函數(shù)，易得在單調(diào)遞增，所以有，由在單調(diào)遞增，故可得，即有在恒成立，令，，得到，可得時(shí)，?′x>0；時(shí)，，所以?x在所以，得到.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求橢圓E的方程；（2）求的角平分線所在直線的方程；（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)以及離心率解方程組可求得橢圓E的方程；（2）思路一：利用角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，由點(diǎn)到直線距離公式整理可得結(jié)論；思路二：求得橢圓在點(diǎn)處的切線方程，再由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得平分線所在直線方程；（3）思路一：假設(shè)存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異的兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程可得線段中點(diǎn)與點(diǎn)A重合，假設(shè)不成立；思路二：利用點(diǎn)差法求出，聯(lián)立直線方程可得點(diǎn)與點(diǎn)A重合，不合題意，可得結(jié)論.【小問1詳解】橢圓E經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，因此可得橢圓E的方程為；【小問2詳解】由（1）可知，，思路一：由題意可知，，如下圖所示：設(shè)角平分線上任意一點(diǎn)為Px,y，則得或又易知其斜率為正，∴的角平分線所在直線為思