2024-2025學年安徽省阜陽市高三上冊10月月考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年安徽省阜陽市高三上學期10月月考數(shù)學檢測試卷考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列四個數(shù)中最大的是（）A. B. C. D.4.某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為（）A.4h B.6h C.8h D.12h5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.8.定義x為不超過的最大整數(shù)，區(qū)間（或）的長度記為．若關于的不等式的解集對應區(qū)間的長度為2，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.已知，且，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)與導函數(shù)分別為與，且的定義域均為，，，為奇函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“”是假命題，則實數(shù)的最小值為______．13.若函數(shù)在時取得極小值，則的極大值為______．14.已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線與曲線和均相切，則實數(shù)的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知函數(shù)滿足，求在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.16.設是函數(shù)導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為曲線的“拐點”．經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)的圖象都有“拐點”，且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心．已知函數(shù)13的圖象的對稱中心為．（1）求實數(shù)m，n的值；（2）求的零點個數(shù).17.已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若且存在，使得成立，求取值范圍．18.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的極值；（3）若恒成立，求的取值范圍．19.已知函數(shù)．（1）討論的單調性．（2）當時．（?。┳C明：當時，；（ⅱ）若方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：．附：當時，．2024-2025學年安徽省阜陽市高三上學期10月月考數(shù)學檢測試卷考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由函數(shù)定義域知識求出集合，再由指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式求出集合，最后結合交集運算的概念即可得答案.【詳解】由已知，得，由，得，所以，所以．故選：B.2.已知直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由垂直關系求出a的值，再結合充分、必要條件的概念即可得答案.【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.下列四個數(shù)中最大是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質結合對數(shù)運算即可得答案.【詳解】由的單調性可知，即．故最大的是．故選:C.4.某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為（）A.4h B.6h C.8h D.12h【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出值，再由廢氣中的污染物含量不超過的列出不等式求解即得.【詳解】依題意得，當時，，當時，，則，可得，即，所以，當時，解得，故至少需要過濾8h才能達到排放標準．故選：C.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由時即可排除A；由奇偶性可排除B；時0，則可排除C，故答案可求.【詳解】對于A，當時，，排除A；對于B，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，當時，由0，得，排除C，故選：D．6.已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】分段函數(shù)的單調性需要考慮每段函數(shù)的單調性，還要考慮銜接點位置的取值大小關系，列不等式組即可求得答案.【詳解】易知在上單調遞減，要使在上單調遞減，則需滿足解得，即的取值范圍是．故選：B.7.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】首先得出為奇函數(shù)，且易知在上單調遞增，再解不等式即可.【詳解】令為奇函數(shù)，且易知在上單調遞增．原不等式可轉化為，，解得．故選：D.8.定義x為不超過的最大整數(shù)，區(qū)間（或）的長度記為．若關于的不等式的解集對應區(qū)間的長度為2，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用數(shù)形結合的方法，結合新定義構成不等式組，解不等式組即可得答案.【詳解】設，作出的圖象，因為不等式的解集對應區(qū)間的長度為2，所以解集只可能為或．當解集為時，如圖（1），數(shù)形結合易知即無解．當解集為時，如圖，數(shù)形結合易知即，解得所以．綜上，實數(shù)的取值范圍為．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，若，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ABC【分析】由對數(shù)運算的性質得，通過代入即可判斷A；由二次函數(shù)的性質即可判斷B；代入即可求出a的值，則可判斷C；由可得，可解得a的取值范圍，則可判斷D.【詳解】由題意知，所以，所以．對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若，則，解得，故C正確；對于D，若，則，不能得到，故D錯誤．故選：ABC.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】直接利用基本不等式即可判斷A、C；利用基本不等式結合乘“1”法即可判斷B；將代入原式化簡，再結合基本不等式即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故A錯誤；對于，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，因為，當且僅當時等號成立，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，故D錯誤．故選：BC.11.已知函數(shù)與導函數(shù)分別為與，且的定義域均為，，，為奇函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【正確答案】ACD【分析】選項A由奇函數(shù)的性質即可得出結論；選項B由條件進行轉化，得到有關的關系式，由函數(shù)奇偶性的判定得出結論；選項C由已知條件進行轉化，得到，從而得出結論；選項D，通過前面的對稱性和周期性等結論，驗證出一個周期內的整數(shù)函數(shù)值的和，從而得出結論.【詳解】對于A，因為為奇函數(shù)，所以，令，得，故A正確；對于B，由，得，又，∴，即，∴，又的定義域為R，故為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，由，可得為常數(shù)），，又，∴，∴，，∴，所以是周期為8的函數(shù)，同理也是周期為8的函數(shù)，故C正確；對于D，，令，得，則，再令，得，又是周期為8的函數(shù)，所以，∵，∴，又，∴，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“”是假命題，則實數(shù)的最小值為______．【正確答案】【分析】由正弦函數(shù)的性質結合全稱量詞命題的概念即可得參數(shù)m的取值范圍.【詳解】因為“”是假命題，所以“”是真命題，所以，故實數(shù)的最小值為．故．13.若函數(shù)在時取得極小值，則的極大值為______．【正確答案】【分析】由題意得，則可求得，再結合導數(shù)即可求得極大值.【詳解】由題意可得，，解得，所以，故當x<1或x>2時，,當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極大值為．故答案為.14.已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線與曲線和均相切，則實數(shù)的取值范圍為______.【正確答案】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出兩曲線的切線方程，進而，利用方程根的個數(shù)與函數(shù)圖象交點的個數(shù)之間的轉化，結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性和數(shù)形結合的思想即可求解.【詳解】設曲線上的切點坐標為，又，則公切線的方程為，即．設曲線上的切點坐標為，又，則公切線的方程為，即，所以，消去，得．若存在兩條不同的直線與曲線均相切，則關于的方程有兩個不同的實數(shù)根．設，則，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由可得，當且時，，當時，且，則的大致圖象如圖所示，由圖可知，，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故關鍵點點睛：解決本題的關鍵點是兩曲線的切線方程相等，消去得，利用數(shù)形結合的思想將方程的根個數(shù)轉化為函數(shù)圖象的交點個數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知函數(shù)滿足，求在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)的最小值為，且，求的最小值.【正確答案】（1）；（2）最小值為1【分析】（1）首先求出的值，再利用二次函數(shù)的性質即可求得值域；（2）先結合（1）中的結論得，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）由題意得，即，所以且，解得．所以，則在上單調遞增，在12,1上單調遞減，又，所以在區(qū)間上的值域為．（2），當時，，由（1）知，所以，即．所以，當且僅當時等號成立．所以的最小值為1.16.設是函數(shù)導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為曲線的“拐點”．經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)的圖象都有“拐點”，且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心．已知函數(shù)13的圖象的對稱中心為．（1）求實數(shù)m，n的值；（2）求的零點個數(shù).【正確答案】（1）（2）3個零點．【分析】（1）利用拐點的概念，結合導數(shù)的運算即可求解；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，結合極值情況即可判斷零點個數(shù).【小問1詳解】因為，所以，所以，又因為的圖象的對稱中心為，所以即解得【小問2詳解】由（I）知，，所以，令，得或，當變化時，的變化情況如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的極大值為，極小值為，又，所以有3個零點．17.已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）若且存在，使得成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷函數(shù)的單調性，由單調性求出函數(shù)的最值，則可得證.（2）由題意只需函數(shù)在上最小值小于，求出，討論a的取值范圍，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)的最小值，則a的范圍可求.【小問1詳解】若，則，所以由得，由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增所以有極小值，也是最小值，且，所以．【小問2詳解】由題意得，因為，所以令，得，令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增.若，則在上的最小值為.要使條件成立，只需，解得.若，則在上的最小值為，令，無解．故的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的極值；（3）若恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2），無極大值．（3）．【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先對函數(shù)求導后，由導數(shù)的正負求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；（3）令，由，得，再結合的單調性可求得，然后再利用導數(shù)證明當時，即可.【小問1詳解】當時，，故曲線在點處的切線方程為．【小問2詳解】當時，，則，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無極大值．【小問3詳解】令，由得，令，則在上單調遞減，又，故．下面證明當時，．易知．設，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，則，即設，則，當時，，當時，，故，則，即．故，則．故所求的取值范圍是．關鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)求函數(shù)極值、解決不等式恒成立問題，第（3）問解題的關鍵構造函數(shù)，結合求出的取值范圍再證明，考查計算能力和轉化思想，屬于較難題.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調性．（2）當時．（?。┳C明：當時，；（ⅱ）若方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：．附：當時，．【正確答案】（1）答案見解析（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【