2024-2025學年福建省龍巖市高三上冊第一次月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省龍巖市高三上學期第一次月考數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.2.設，為實數(shù)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，若，，，則（）A. B. C. D.4.聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB.若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（）A120dB B.100dB C.80dB D.60dB5.已知為正實數(shù)，且，則最小值為（）A. B. C. D.6.設函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且，當時，，函數(shù)f（x）在區(qū)間的零點個數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.108.已知可導函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設是的導函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知則下列結論正確的是（）A. B.C. D.10.設函數(shù)，則（）A當時，有三個零點B.當時，無極值點C.，使在上是減函數(shù)D.圖象對稱中心的橫坐標不變11.已知函數(shù)的定義域為，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點P，點P在冪函數(shù)的圖象上，則__________．13.若曲線在處的切線恰好與曲線也相切，則______.14.表示三個數(shù)中的最大值，對任意的正實數(shù)，，則的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)為偶函數(shù)，（1）求a的值及函數(shù)的值域；（2）若命題“”為假命題，求實數(shù)m取值范圍．16.某企業(yè)投資生產一批新型機器，其中年固定成本為1000萬元，每生產x臺，需另投入生產成本萬元.當年產量不足25臺時，；當年產量不小于25臺時，且當年產量為10臺時需另投入成本1100萬元；若每臺設備售價200萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產的這批機器能全部銷售完.（1）求k的值；（2）求該企業(yè)投資生產這批新型機器年利潤所（萬元）關于年產量x（臺）的函數(shù)關系式（利潤＝銷售額－成本）；（3）這批新型機器年產量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.17.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間和極值；（2）若，求a的取值范圍．18.已知函數(shù)（）.（1）若在其定義域內單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且有兩個極值點，其中，求的取值范圍.19.設集合或，中的元素，，定義：．若為的元子集，對，都存在，使得，則稱為的元最優(yōu)子集．（1）若，且，試寫出兩個不同的；（2）當時，集合，證明：為的2元最優(yōu)子集；（3）當時，是否存在2元最優(yōu)子集，若存在，求出一個最優(yōu)子集，若不存在，請說明理由．2024-2025學年福建省龍巖市高三上學期第一次月考數(shù)學檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接由并集的概念即可求解.【詳解】由，得.故選：A.2.設，為實數(shù)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調可判大小，但要注意對數(shù)函數(shù)的定義域是正數(shù).【詳解】當成立時，由對數(shù)函數(shù)的單調性可得，即，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可得：，所以是的充分條件；當成立時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可得：，但由于，為實數(shù)，所以不能推出，所以是的不必要條件；故選：A.3.已知，若，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A分析】根據(jù)對數(shù)的運算及，，，即可得出，，，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出，，的大小關系．【詳解】，，．故選：A．4.聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB.若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（）A.120dB B.100dB C.80dB D.60dB【正確答案】D【分析】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，根據(jù)題意得出和，算出，可計算出.【詳解】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，由題意可得，解得，因為，所以，所以，所以一般說話時聲音的等級約為60dB.故選：D5.已知為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】把化簡為為，然后利用基本不等式即可求出最小值【詳解】因為，則，由于，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，故選：C6.設函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先判斷函數(shù)奇偶性與單調性，再根據(jù)奇偶性與單調性將函數(shù)不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，當時，因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，則在上單調遞減，不等式，即，等價于，解得或，所以不等式的解集為.故選：C7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且，當時，，函數(shù)f（x）在區(qū)間的零點個數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】C【分析】根據(jù)的對稱軸和對稱中心，結合函數(shù)的圖象即可判斷的零點個數(shù).【詳解】因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以，所以關于直線對稱，因為，x=2時，由，當時，，故，又關于直線對稱，所以，由對稱性可得在上的大致圖象如下圖所示，則在區(qū)間的零點個數(shù)為9.故選：C.8.已知可導函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設是的導函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由為奇函數(shù)，結合導數(shù)運算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進而分析可得，即可得結果.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，即，兩邊求導得，則，可知關于直線對稱，又因為為奇函數(shù)，則，即，可知關于點1,0對稱，令x=1，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.方法點睛：函數(shù)的性質主要是函數(shù)的奇偶性、單調性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關系，推證函數(shù)的性質，根據(jù)函數(shù)的性質解決問題．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABC【分析】由題意可知，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性可知D錯誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡整理可知B正確；在根據(jù)，利用不等式的性質，即可判斷C正確.【詳解】由題可知，，又，所以，D錯誤；因為，有．所以A正確；由基本不等式得，所以，當且僅當時，取等號；又因為，，所以，故，B正確；由于，，所以，C正確.故選：ABC．10.設函數(shù)，則（）A.當時，有三個零點B.當時，無極值點C.，使在上是減函數(shù)D.圖象對稱中心的橫坐標不變【正確答案】BD【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值判斷A；由恒成立判斷B；由的解集能否為R判斷C；求出圖象的對稱中心判斷D.【詳解】對于A，當時，，求導得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點，A錯誤；對于B，，當時，，即恒成立，函數(shù)在R上單調遞增，無極值點，B正確；對于C，要使在R上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為R，C錯誤；對于D，由，得圖象對稱中心坐標為，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的定義域為，則（）A B.C.是偶函數(shù) D.【正確答案】ABD【分析】A.令求解判斷；B.分別令，求解判斷；C.令利用函數(shù)奇偶性定義判斷；D.令求解判斷.【詳解】令，得，A正確.令，得，所以.令，得，所以，B正確.令，得，所以是奇函數(shù)，C錯誤.令，得，所以D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點P，點P在冪函數(shù)的圖象上，則__________．【正確答案】##0.5【分析】令便可得到函數(shù)圖象恒過點，將點代入冪函數(shù)中，解得的解析式，然后計算的值.【詳解】函數(shù)中，令，解得，此時，所以函數(shù)y的圖象恒過定點，又點P在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，.故答案為.13.若曲線在處的切線恰好與曲線也相切，則______.【正確答案】【分析】對于根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得在處的切線是；對于：，結合導數(shù)的幾何意義列式求解即可.【詳解】對于：，可得，當，則，可知曲線在處的切線是；對于：，可得，令得，由切點在曲線上得.故答案為.14.表示三個數(shù)中的最大值，對任意的正實數(shù)，，則的最小值是______．【正確答案】2【分析】設，因，可得，借助于基本不等式可得，驗證等號成立的條件，即得.【詳解】設，則，，，因，則得．又因，所以，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值為2．故2.思路點睛：本題解題的思路在于，先根據(jù)的含義，設出，即得，將問題轉化為求的最小值，而這可以利用基本不等式求得，同時需驗證等號成立的條件.四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)為偶函數(shù)，（1）求a的值及函數(shù)的值域；（2）若命題“”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1），；（2）【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)求出參數(shù)，再結合基本不等式求出值域；（2）先應用不等式恒成立化簡不等式，再設新參數(shù)結合（1）的范圍求出自變量范圍，再應用導數(shù)求出最值即可求參.【小問1詳解】∵為偶函數(shù)，，，，即對恒成立，．（當且僅當時取等）故值域為．【小問2詳解】若命題“”為假命題，則命題“”為真命題，，令，當且僅當時等號成立；則．對恒成立，即對恒成立．，故原式子又等價于對恒成立．令，則，則在上單調遞增．故，．故m的取值范圍為．16.某企業(yè)投資生產一批新型機器，其中年固定成本為1000萬元，每生產x臺，需另投入生產成本萬元.當年產量不足25臺時，；當年產量不小于25臺時，且當年產量為10臺時需另投入成本1100萬元；若每臺設備售價200萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產的這批機器能全部銷售完.（1）求k的值；（2）求該企業(yè)投資生產這批新型機器的年利潤所（萬元）關于年產量x（臺）的函數(shù)關系式（利潤＝銷售額－成本）；（3）這批新型機器年產量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【正確答案】（1）（2）（3）20臺，200萬元【分析】（1）將代入即可求解，（2）根據(jù)銷售額減去成本，即可得利潤，（3）利用二次函數(shù)的性質以及基本不等式可分別求得相應范圍上的最大值，進而比較求解.【小問1詳解】當，代入，得；【小問2詳解】由題意可得：當時，，當時，所以年利潤（萬元）關于年產量x（臺）的函數(shù)關系式為：；【小問3詳解】由（1）得時，，此時（臺）時，（萬元）當時，，當且僅當，即時等號成立，（萬元）而，故（臺）時，利潤最大，最大利潤是200萬元，綜上所述：年產量為20臺時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是200萬元.17.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間和極值；（2）若，求a的取值范圍．【正確答案】（1）單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值；（2）【分析】（1）將代入，利用導數(shù)的正負與原函數(shù)的增減關系，確定函數(shù)的單調區(qū)間，即可得答案；（2）由題意可得即恒成立，設，利用導數(shù)求出的最大值即可．【小問1詳解】當時，，，令，則，故在上單調遞減，而，因此0是在上的唯一零點，即0是在上的唯一零點，當變化時，，的變化情況如下表：00單調遞增極大值單調遞減所以的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；所以的極大值為，無極小值；【小問2詳解】由題意知，即，即，設，則，令，解得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，所以．所以的取值范圍為．18.已知函數(shù)（）.（1）若在其定義域內單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且有兩個極值點，其中，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系可轉化條件為在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解；（2）由題意結合函數(shù)極值點的概念可得，，進而可得，轉化條件為，令（），利用導數(shù)求得函數(shù)的值域即可得解.【詳解】（1）的定義域為(0,+∞)，∵在(0,+∞)上單調遞增，∴在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，又，當且僅當時等號成立，∴；（2）