2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合,則A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.14.已知，，，則（）．A. B. C. D.5.在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.6.中，“”是“”的（）條件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要7.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，8.已知函數(shù)．甲同學(xué)將的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象；乙同學(xué)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則m取值范圍為（）A. B. C. D.10.“開(kāi)車不喝酒，喝酒不開(kāi)車”.一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)（）小時(shí)，才能開(kāi)車?（精確到1小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11.函數(shù)的定義域是_____________．12.記為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和.已知，，則______.13.已知向量，．若存在實(shí)數(shù)，使得與方向相同，則的一個(gè)取值為_(kāi)_________．14.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，_________，_________.15.已知數(shù)列滿足，，，.則集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.三、解答題，本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟.16.已知函數(shù)．（1）求值；（2）求的最小正周期；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值．17.在中，角所對(duì)的邊分別為已知.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.18.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).19.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）若，，求的值；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，確定的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：的最大值為2；條件②：圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；條件③：圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.在中，．（1）求A；（2）若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求三角形的面積.條件①：；條件②：a=2；條件③：．21.已知函數(shù),其中．（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）當(dāng)時(shí),判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并加以證明;（3）當(dāng)時(shí),證明:存在實(shí)數(shù)m,使恒成立．2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合,則A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先解不等式得集合A，再求并集的結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，選D.本題考查一元二次不等式解集以及并集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，，是R上的增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，，是奇函數(shù)，又，，，所以不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，畫(huà)出其圖像，可得既是奇函數(shù)又是增函數(shù).故選：D.3.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A. B. C. D.1【正確答案】C【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，，，則（）．A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)樗赃xC．考點(diǎn)：比較大小5.在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，，所以,因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以,故選:B.6.中，“”是“”的（）條件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要【正確答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及三角函數(shù)可得解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，而時(shí)，或.所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A7.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】由圖得到周期與單調(diào)遞減區(qū)間即可.【詳解】由圖可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由圖可知周期；故的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：D8.已知函數(shù)．甲同學(xué)將的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象；乙同學(xué)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)平移和伸縮變換原則，依次驗(yàn)證選項(xiàng)中的函數(shù)變換后的解析式是否相同即可.【詳解】對(duì)于A，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D錯(cuò)誤.故選：B.9.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及分段函數(shù)的最值即可得求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得，所以m的取值范圍為．故選：B．10.“開(kāi)車不喝酒，喝酒不開(kāi)車”.一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)（）小時(shí)，才能開(kāi)車?（精確到1小時(shí)）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】A【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.【詳解】由題得，在喝酒后，血液中酒精含量與時(shí)間的關(guān)系為，建立不等式，則，所以.故選：A二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11.函數(shù)的定義域是_____________．【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?，?2.記為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和.已知，，則______.【正確答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】由題知：，解得.所以故13.已知向量，．若存在實(shí)數(shù)，使得與的方向相同，則的一個(gè)取值為_(kāi)_________．【正確答案】（答案不唯一，小于的實(shí)數(shù)均可）【分析】由兩向量同向可知，由此可構(gòu)造方程組求得，由可求得滿足題意的的范圍，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】與方向相同，，，，由得：，存在實(shí)數(shù)，，使得與方向相同.故（答案不唯一，小于的實(shí)數(shù)均可）.14.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，_________，_________.【正確答案】①.②.【分析】由三角函數(shù)定義求出，利用正弦和余弦二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.【詳解】由三角函數(shù)定義得，，則，又，則.故，15.已知數(shù)列滿足，，，.則集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.【正確答案】24【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【詳解】由題意得，，所以，又，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，解得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可得集合中元素的個(gè)數(shù)為.故24三、解答題，本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟.16.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【正確答案】（1）-1；（2）；（3）最大值為，最小值為．【分析】（1）自變量直接代入求值；（2）應(yīng)用倍角正余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，由正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期；（3）利用正弦型函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可.【小問(wèn)1詳解】．【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)．所以的最小正周期為．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，所以在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以在區(qū)間上的最小值為．17.在中，角所對(duì)的邊分別為已知.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大??；（2）由正弦定理即可求出答案；（3）求出，由二倍角公式求出，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，有，又因?yàn)?，所?（2）在中，由正弦定理及.可得.（3）由及，可得，，，所以.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握有關(guān)公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).【正確答案】（1）單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先將參數(shù)代入函數(shù)方程，然后判斷函數(shù)定義域，求導(dǎo)計(jì)算單調(diào)區(qū)間即可；（2）先求切線斜率，然后假設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以切線斜率等于切點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率，得到該方程無(wú)解，故假設(shè)不成立，得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然的定義域?yàn)?，，顯然，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞増；所以，單調(diào)遞増區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由題可知，，所以直線的斜率為，假設(shè)直線過(guò)原點(diǎn)，則有，因?yàn)椋杂?，令，得，因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞增，所以，故無(wú)解，故假設(shè)直線過(guò)原點(diǎn)錯(cuò)誤，所以直線不過(guò)原點(diǎn).19.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）若，，求的值；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，確定的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：的最大值為2；條件②：圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；條件③：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】（1）（2）；【分析】（1）根據(jù)條件，代入，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，選擇條件，代入后，即可求解函數(shù)的解析式，然后代入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，則，且，則；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，則，若選①②，則，且，又，則，則，所以，所以，若選擇①③，則，且，則，又，則，則，則，所以若選擇②③，由②可知，，由③可知，，則，所以，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是20.在中，．（1）求A；（2）若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求三角形的面積.條件①：；條件②：a=2；條件③：．【正確答案】（1）或（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用正弦定理邊角互化可解；（2）若選擇①：運(yùn)用正弦定理，結(jié)合面積公式可解；若選擇②：運(yùn)用正弦定理，結(jié)合面積公式可解；若選擇③：運(yùn)用正弦余弦定理，結(jié)合面積公式可解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理可得，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)锳為的內(nèi)角，所以或；【小問(wèn)2詳解】若選擇①：因?yàn)?，?所以，所以，又因?yàn)椋?，所以；若選擇②：因?yàn)椋?，則，則.所以，則為等腰直角三角形，所以；若選擇③：因?yàn)椋?，由余弦定理可得，，?dāng)時(shí)，，即，解得;當(dāng)時(shí)，，即，解得；此時(shí)不唯一，不合題意．21.已知函數(shù),其中．（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）當(dāng)時(shí),判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并加以證明;（3）當(dāng)時(shí),證明:存在實(shí)數(shù)m,使恒成立．【正確答案】（1）（2）1個(gè)（3）證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)代入解析式,求出,根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程即可;(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,觀察到,根據(jù)單調(diào)性分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可;(3)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再通分,令再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性即值域情況,分析的正負(fù),即的正負(fù),進(jìn)而求出的單調(diào)性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在實(shí)數(shù)m,使恒成立.【小問(wèn)1詳解】解:由題知,,,,故在點(diǎn)處的切線方程為,即;【小問(wèn)2詳解】由題,,,,,故在上單調(diào)遞增,,故有1個(gè)零點(diǎn);【小問(wèn)3詳解】由題,,,令