2024-2025學(xué)年四川省達(dá)州市高二上冊10月期中數(shù)學(xué)檢測試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省達(dá)州市高二上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)檢測試題（一）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每一題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則等于（）A. B.5 C. D.【正確答案】D【分析】先得到，從而求出，計算出模長.【詳解】點(diǎn)在平面上的射影為，，故，故選：D2.將10個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（）A.19 B.20 C.21 D.22【正確答案】C【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C3.設(shè)，，，且∥，則（）A B. C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)，可得，；再根據(jù)∥，可得，進(jìn)而得，最后根據(jù)向量的坐標(biāo)求模即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，且，所以，解得，所以，又因?yàn)?，且∥，所以，所以，所以，所?故選：C.4.對空中移動的目標(biāo)連續(xù)射擊兩次，設(shè)兩次都擊中目標(biāo)兩次都沒擊中目標(biāo){恰有一次擊中目標(biāo)}，至少有一次擊中目標(biāo)}，下列關(guān)系不正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)事件關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標(biāo)或兩次都擊中目標(biāo)，所以，故A正確；B.包含的事件為至少一次擊中目標(biāo)，為樣本空間，所以B錯誤，C正確；D.事件與事件是對立事件，所以，故D正確.故選：B5.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這8個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，將得到的點(diǎn)數(shù)從小到大排列，討論不同情況，即可求解.【詳解】由題意，這8個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5，只有三種情況：①將拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為，此時中位數(shù)為；②拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為，此時中位數(shù)為；③拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為，此時中位數(shù)為或；綜上，x的點(diǎn)數(shù)只能為5，或者6，故概率為，故選：D.6.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中得兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90，在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由平均數(shù)，方差計算公式可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】設(shè)其他48個數(shù)據(jù)依次為，則，因?yàn)?，因此平均?shù)不變，即；又由方差計算公式可知：，，注意到，則.故選：C.7.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點(diǎn)，則線段的長為（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長.【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（）A.平面B.異面直線與所成角為C.直線與平面所成角為D.【正確答案】B【分析】連接，可得，A選項(xiàng)，利用線面平行的判定定理即可證明；B選項(xiàng)，異面直線與所成角即為直線與與所成角；C選項(xiàng)直線與平面所成角即直線與平面所成角；D選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可以得證.【詳解】如圖，連接，在正方形中，為的中點(diǎn)，則，即也為的中點(diǎn)，在中，分別為的中點(diǎn)，有，又平面，平面，所以平面，故A正確；由題可知，異面直線與所成角即為直線與與所成角，即，為，故B錯誤直線與平面所成角即直線與平面所成角，由平面，可知直線與平面所成角為，故C正確；正方體中，平面，平面，則有，由，得，故D正確；，故選：B.二?多項(xiàng)選擇題（每空6分，共18分）9.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B.1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)C.1-12月校車銷量環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D.1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【正確答案】BCD【分析】由統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯誤；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.10.給出下列命題，其中正確的是（）A.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)是C.若空間四個點(diǎn)P，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線D.平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.若，則【正確答案】ACD【分析】根據(jù)三個向量是否共面判斷A，由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面的對稱判斷B，由向量的運(yùn)算確定三點(diǎn)共線可判斷C，根據(jù)向量共線求參數(shù)可判斷D?！驹斀狻繉τ贏,不共面，則不共面，所以也是空間的一個基底，故正確；對于B,點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)是，故錯誤；對于C，由可得，即,所以A，B，C三點(diǎn)共線，故正確；對于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD11.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨(dú)立，則 B.若，則事件A與相互獨(dú)立C.若A與B互斥，則 D.若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A，若A與B相互獨(dú)立，則，所以，故A對；對于B，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，所以事件與相互獨(dú)立，故B對；對于C，若A與B互斥，則，故C錯；對于D，若B發(fā)生時A一定發(fā)生，則，則，故D對．故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的直線的一個方向向量是______.【正確答案】(時，均可)【分析】求出向量符合題意，所有與共線非零向量均可.【詳解】點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則直線的一個方向向量為，時，也都是直線的方向向量.故（時，均可）13.某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為__________萬輛.【正確答案】53【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)公式，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】設(shè)2020年的銷量為，2021年的銷量為，，由題意可知，中位數(shù)為，平均數(shù)為，由，得，所以這四年的總銷量為萬量.故5314.已知是空間單位向量，.若空間向量滿足，且對于任意，，則__________，__________.【正確答案】①.2②.【分析】問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，利用數(shù)量積求向量的模，且當(dāng)模最小時，求出相關(guān)的數(shù)值.【詳解】，由于，所以，問題等價于當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，.則，解得，，.故2；.方法點(diǎn)睛：涉及向量的模，通常用到求解.四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.柜子里有3雙不同的鞋，分別用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每雙鞋的左腳，，，表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機(jī)地取出2只，那么（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只腳的；②取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋.（3）求取出的鞋不成雙的概率.【正確答案】（1）見解析（2）（3）【分析】（1）通過列舉法寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）（3）結(jié)合（1）所求的樣本空間，利用古典概型的概率公式逐一求解即可．【小問1詳解】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；【小問2詳解】記：“取出的鞋都是一只腳的”,，,，,，,，,，,，，；記“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，,,,，,，,，,，，，【小問3詳解】記“取出的鞋不成雙”，由（1）得，，,，,，，，；16.2023年是中國共產(chǎn)黨建黨102周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事?開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識競賽.競賽共設(shè)100個小題，每個小題1分，共100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計，并將成績分成以下七組：并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)；（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)和中位數(shù).（2）根據(jù)分層抽樣的方法，確定樣本中人員的構(gòu)成，再列出人選2人的所有可能，利用古典概型的公式求相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，1000名學(xué)員成績眾數(shù)為，成績在的頻率為，成績在的頻率為，故中位數(shù)位于之間，中位數(shù)是【小問2詳解】∵與的黨員人數(shù)的比值為，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，設(shè)抽取人的編號為，，抽取人的編號為，，，則從5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查對應(yīng)的樣本空間為：，，，，，，，，，，共10個樣本點(diǎn)，這2人中至少有1人成績低于76分的有：，，，，，，，共7個樣本點(diǎn)，故這2人中至少有1人成績低于76分的概率.17.在四棱錐中．底面為矩形，且平面．為中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求異面直線所成角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出、，利用空間向量法求出，從而求出，再由點(diǎn)到直線的距離計算可得；（2）利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】因?yàn)闉榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，則有，所以，所以點(diǎn)到直線的距離．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以異面直線所成角的余弦值．18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；（2）利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離；（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.【小問1詳解】連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，則，由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，則，可得，且，，平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)的射影為，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，是線段的中點(diǎn)，所以為正三角形，由平面，平面，可得，，又因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】因?yàn)?，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一個法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因?yàn)?，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為19.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。菊_答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）先求直線的方向向量，結(jié)合題意即可得直線方程；（2）根據(jù)題意可得平面、、的法向量，進(jìn)而可求交線的方向向量，利用空間向量判斷線面關(guān)系；（3）根據(jù)題意可得平面、的法向量，進(jìn)而可求交線的方向向量，根據(jù)線面關(guān)系可得，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】由得，直線的方向向量為，故直線的點(diǎn)方向式方程為．【小問2詳解】由平面可知，平面的法向量為，由平面可知，平面的法向量為，設(shè)交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知，平面的法向量為，因?yàn)?，即，且，所以．【小?詳解】因平面經(jīng)過三點(diǎn)，可得，設(shè)側(cè)面所在平面的法向量，則，令，解得，可得，由平面可知，平面法向量為，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，令，則，可得，由平面可知，平面的法向量為，因?yàn)?，解得，即，則，故平面與平面夾角的大小為．2024-2025學(xué)年四川省達(dá)州市高二上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)檢測試題（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說法中正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個平面 B.四邊形一定是平面圖形C.梯形一定是平面圖形 D.兩個互異平面和有三個不共線的交點(diǎn)【正確答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系依次判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，共線的三點(diǎn)無法確定一個平面，A錯誤；對于B，空間四邊形不平面圖形，B錯誤；對于C，梯形有一組對邊互相平行，則四個頂點(diǎn)必然處于同一平面內(nèi)，即梯形一定是平面圖形，C正確；對于D，兩個互異平面若有交點(diǎn)，則所有交點(diǎn)必在同一條直線上，D錯誤.故選：C.2.已知，，則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接計算即可.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.故選：A3.如圖，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則等于（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，是的中點(diǎn)，所以.故選：A.4.已知是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A. B.1 C. D.【正確答案】D【分析】由給定的直觀圖畫出原平面圖形，再求出面積作答.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，所給的直觀圖對應(yīng)的原平面圖形，如圖，其中，，所以這個平面圖形的面積為.故選：D5.設(shè)兩條直線，，兩個平面，，則下列條件能推出的是（）A.，，且 B.，，且C.，，且 D.，，且，【正確答案】A【分析】利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷A；舉例說明判斷BCD.【詳解】對于A，由，，得，而，所以；對于B，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，，，都與平行時，，相交，B錯誤；對于C，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，都與平行時，，相交，C錯誤；對于D，若，，且，，此時，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，都與平行時，，相交，D錯誤.故選：A6.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如圖，則下列說法正確的是（）A.在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)B.早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在80,90C.早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小D.晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在【正確答案】B【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)分析及極差的概念作出判斷.【詳解】A選項(xiàng)，由于不知抽樣數(shù)據(jù)中早睡和晚睡的人數(shù)，從而無法確定在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)和晚睡人數(shù)，A錯誤；B選項(xiàng)，由統(tǒng)計圖可看出早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在內(nèi)，B正確；C選項(xiàng)，在統(tǒng)計圖中無法確定早睡人群睡眠指數(shù)和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差，C錯誤.D選項(xiàng)，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在內(nèi)，D錯誤.故選：B7.已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)結(jié)合球的性質(zhì)得，其外接球的球心為上下面外接圓圓心連線中點(diǎn)，利用勾股定理計算半徑，代入球的體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)正六棱柱下底面的中心為，其外接球的圓心為點(diǎn)，則，為等邊三角形，故，即為其外接球的半徑，所以，所以該正六棱柱的外接球的體積為.故選：C.8.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且．如果，那么（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】確定出函數(shù)的周期性，然后由周期性和奇偶性求值．【詳解】是奇函數(shù)，則，又，所以，所以，是周期為2的周期函數(shù)，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若，，，是空間任意四點(diǎn)，則有B.若向量，，滿足，則C.空間中任意三個非零向量都可以構(gòu)成空間一個基底D.對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，，，若（其中，且），則，，，四點(diǎn)共面【正確答案】AD【分析】利用空間向量運(yùn)算判斷A；利用相等向量的意義判斷B；利用空間的一個基底的意義判斷C；利用空間共面向量定理判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時，，，，四點(diǎn)可能一條直線上，B錯誤；對于C，空間的三個非零向量有共面與不共面兩種可能，當(dāng)它們共面時，不能作為空間的一個基底，C錯誤；對于D，若，則，化簡得，因此，，，四點(diǎn)共面，D正確.故選：AD10.已知函數(shù)，若把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在上有3個零點(diǎn)【正確答案】BC【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，再結(jié)合條件求，由此可得函數(shù)的解析式，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知可得因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，解得，又，則時，，所以，故A錯誤；因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；當(dāng)時，則，且函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；令，即，解得，又，則，共兩個零點(diǎn)，故D錯誤；故選：BC.11.在三棱錐中，兩兩垂直，平面于點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，下列命題中正確的是（）A.可能為直角三角形 B.點(diǎn)為的垂心C. D.【正確答案】BCD【分析】假設(shè)，，，求出，，，根據(jù)長度和三角形形狀的關(guān)系判斷A選項(xiàng)，根據(jù)垂心的定義判斷B選項(xiàng)，根據(jù)海倫公式求出判斷C選項(xiàng)，求出和、、的關(guān)系判斷D選項(xiàng).【詳解】假設(shè)，，，所以，，，因?yàn)槿魏蝺蛇叺钠椒胶痛笥诘谌叺钠椒?，所以是銳角三角形，故A選項(xiàng)錯誤；由兩兩垂直易證平面，所以，因?yàn)?，所以易證平面，所以，同理可得，，所以點(diǎn)為的垂心，故B選項(xiàng)正確；設(shè)的面積為，因?yàn)樗拿骟w體積為，所以，等式兩邊平方可得，由海倫公式可得，其中，所以，所以代回可得，故C選項(xiàng)正確；，，，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)海倫公式求出判斷C選項(xiàng)，求出和、、的關(guān)系判斷D選項(xiàng).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)在樣本中加入一個新數(shù)據(jù)5，則此時方差是______.【正確答案】【分析】利用平均數(shù)和方差的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)這個樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以.當(dāng)加入新數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)，方差.故13.已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則______．【正確答案】【分析】依次寫出，，，利用空間兩點(diǎn)間距離公式求出答案.【詳解】由題意得，，，故.故14.如圖，邊長為的正三角形的中線與中位線交于點(diǎn)G．已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列結(jié)論正確的是______．（1）三棱錐的體積有最大值（2）異面直線與不可能互相垂直（3）恒有平面平面（4）動點(diǎn)在平面上的射影在線段上【正確答案】（1）（3）（4）【分析】通過底和高來確定體積、證明線面垂直、異面直線所成角、面面垂直的性質(zhì)等逐個判斷即可.【詳解】對于（1）：三棱錐的底面的面積是定值，高是點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)平面時距離（即高）最大，三棱柱的體積最大，故（1）正確；對于（2）：由得是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），因?yàn)檎切蔚倪呴L為，所以的長度的取值范圍是，當(dāng)時，，所以，此時直線與互相垂直，故（2）錯誤；對于（3）：在正三角形中，為中線，為中位線，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故（3）正確；對于（4）：過作，垂足為，則平面，，又平面平面，平面平面，所以平面，則動點(diǎn)在平面上的射影在線段上，故（4）正確；故（1）（3）（4）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）三棱錐的體積大?。菊_答案】（1）證明見解析；（2）1.【分析】（1）連接，取的中點(diǎn)為，利用平行公理及線面平行的判斷推理即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用等體積法轉(zhuǎn)化求出體積.【小問1詳解】在正方體中，連接，取的中點(diǎn)，連接，有M為中點(diǎn)，則，又E為BC的中點(diǎn)，于是，則四邊形是平行四邊形，，又F為CD的中點(diǎn)，則有，即四邊形是平行四邊形，，因此，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，而正方體的棱長為1，平面，則點(diǎn)到平面的距離為到平面的距離1，所以三棱錐的體積.16.已知空間中三點(diǎn)．（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）求的面積．【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）可求由已知可設(shè)，通過模長公式計算可得，即可得出結(jié)果；（2）通過數(shù)量積公式求得，利用三角形面積公式計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】空間中三點(diǎn)，，且，設(shè)，或．【小問2詳解】∵，，，，．17.某保險公司在2023年度給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計了一款針對該疾病的保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，這100個樣本按年齡段，，，，分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表格所示．（保費(fèi)：元）據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為該項(xiàng)保險支出的各種費(fèi)用為一百萬元．年齡保費(fèi)306090120150（1）用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，判斷該公司本年度是虧本還是盈利？（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的中年人對該疾病的防范意識還比較弱，