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2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市高三上學(xué)期第三次學(xué)業(yè)診斷(10月)數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合,,則的非空子集個(gè)數(shù)為(
)A.7 B.8 C.15 D.163.已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上,MN垂直y軸于點(diǎn)N,若,則的面積為(
)A.8 B. C. D.4.某公司的兩名同事計(jì)劃今年國慶節(jié)期間從大理、麗江、洱海、玉龍雪山、藍(lán)月谷這個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.若在兩人中至少有一人選擇大理的條件下,求兩人選擇的景點(diǎn)不同的概率為(
)A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖像與直線相切,則的值為(
)A. B. C. D.6.在數(shù)列中,已知對任意正整數(shù)n,有,則(
)A. B. C. D.7.如圖,在正四面體中,點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.8.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且,若角的內(nèi)角平分線,則的最小值為(
)A.8 B.4 C.16 D.12二、多選題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.)9.下列命題為真命題的是(
)A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.若,則D.若,且,則的最小值為910.已知函數(shù),給出下列四個(gè)選項(xiàng),正確的有(
)A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位得到11.已知直線和圓,則下列選項(xiàng)正確的是(
)A.直線恒過點(diǎn)B.圓與圓有三條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.當(dāng)時(shí),圓上存在無數(shù)對關(guān)于直線對稱的點(diǎn)三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分.)12.設(shè)函數(shù),則使得成立的的解集是.13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且,則橢圓C的離心率為.14.已知,則.四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.(本小題滿分13分)記的內(nèi)角的對邊分別為.(1)求角;(2)若外接圓的面積是,求面積的最大值.16.(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐中,,底面為正方形,分別為的中點(diǎn).(1)求證:∥平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求點(diǎn)到平面的距離.17.(本小題滿分15分)已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(本小題滿分17分)在神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下.某學(xué)校高一年級利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識競賽活動,現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生,記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖,根據(jù)圖形,請回答下列問題:
(1)若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人,求10人中成績不高于50分的人數(shù);(2)求的值,并以樣本估計(jì)總體,估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù);(3)由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽,已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為,乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為,丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為,甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響,求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率.19.(本小題滿分17分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.若,且數(shù)列滿足.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求證:數(shù)列的前n項(xiàng)和;(3)若對一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案題號12345678910答案AACBBDAAADAB題號11答案ACD13.14.15.(1)(2)【詳解】(1)由,得,化簡得,因?yàn)?,所?(2)設(shè)外接圓的半徑為,則,所以,又,所以,所以,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立,即面積的最大值為.16.(1)證明見解析(2)(3)【詳解】(1)證明:因?yàn)?,分別為,的中點(diǎn),所以,又平面,平面,故平面;(2)由于平面,所以平面,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,1,,,1,,,0,,,0,,,0,,所以,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,故,設(shè)直線與平面所成角為,則,故直線與平面所成角的正弦值為;(3)因?yàn)椋制矫娴姆ㄏ蛄繛?,所以點(diǎn)到平面的距離為.17.(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)【詳解】(1)由題意知,,由,解得,此時(shí),,令,得,令,得,故是函數(shù)的極值點(diǎn),故符合要求,進(jìn)而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由恒成立可得恒成立,令則,令,則,故當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,而,且時(shí),,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故,因此18.(1)4(2);平均數(shù)為71;中位數(shù)為(3)【詳解】(1)從圖中可知組距為,則的頻率分別為,從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí),成績不高于50分的人數(shù)為(人).(2)由圖可知,解得.使用組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)為.因?yàn)榍?,所以中位?shù)在內(nèi),設(shè)估計(jì)的中位數(shù)為,則,得.(3)記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級分別為事件、、,則三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率等于.19.(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】(1)由題意知,當(dāng)時(shí),,所以.當(dāng)時(shí),,所以,所以數(shù)列是以為首項(xiàng)
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