中考數(shù)學三輪沖刺培優(yōu)訓練專題09銳角三角函數(shù)（解析版）

專題09銳角三角函數(shù)最新模擬押題預測40道（俯角仰角、方向角、坡度、解三角形）類型一、銳角三角函數(shù)的應用：俯角仰角問題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）某校九年級數(shù)學項目化學習主題是“測量物體高度”．小明所在小組想測量中國文字博物館門口字坊AB的高度．如圖，在C處測得字坊頂端B的仰角為37°，然后沿CA方向前進6.3m到達點D處，測得字坊頂端B的仰角為45°，求字坊AB的高度．(結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈【答案】18.9【分析】根據(jù)題意可得：∠BAC=90°，CD=6.3m，設AB=xm，然后分別在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC和AD【詳解】解：由題意得：∠BAC=90°，CD=6.3設AB=xm在Rt△ABC中，∠∴AC=在Rt△ABD中，∠∴AD=∵AC?AD=CD，∴4解得：x=18.9，∴AB=18.9m∴字坊AB的高度約為18.9m【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．2．（2023·山東菏澤·一模）某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度．無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，【答案】烈士塔的高度為28米【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分別求出BD,CD的長，再利用【詳解】解：由圖可知：AD⊥BC，∠BAD=45°,∠CAD=61°，AD=10m在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10∴DB=AD=10m在Rt△ADC中，CD=AD?∴BC=BD+CD=28m答：烈士塔的高度為28米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵．3．（2023·安徽合肥·合肥市廬陽中學?？家荒＃┤鐖D，為了測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度AD，九年級數(shù)學應用實踐小組了解到國旗的寬度AB=1.6m，小組同學在地面上的C處測旗桿上國旗A、B兩點的仰角，測得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗桿頂端到地面高度AD．（結果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：（sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.66【答案】13.9【分析】根據(jù)正切的定義表示出CD=ADtan48.5°，CD=【詳解】解：由題意可得：∠ADC=90°，∵∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，∴tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan48.5°∴ADtan48.5°=∴ADtan解得：AD≈13.9，即旗桿頂端到地面高度為13.9m【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念和銳角三角函數(shù)定義是解題的關鍵．4．（2023·黑龍江綏化·校考一模）小王和小李負責某企業(yè)宣傳片的制作，期間要使用無人機采集一組航拍的資料．在航拍時，小王在C處測得無人機A的仰角為45°，同時小李登上斜坡CF的D處測得無人機A的仰角為31°．若小李所在斜坡CF的坡比為1：3，鉛垂高度DG=3米（點E，G，C，B在同一水平線上）．(1)小王和小李兩人之間的距離CD；(2)此時無人機的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60【答案】(1)310(2)21米【分析】（1）根據(jù)坡比的定義即可求解；（2）過點D作DH⊥AB于點H，解Rt△ADH【詳解】（1）解：∵小李所在斜坡CF的坡比為1：3，鉛垂高度DG=3米∴GC=3DG=9(米)，∴CD=G（2）解：設AB=x，如圖所示，過點D作DH⊥AB于點H，∴DH=GB，BH=DG=3，則AH=AB?BH=x?3，∵∠ACB=45°，∴AB=BC=x，∴DH=GB=9+x，在Rt△ADH中，∠ADH=31°∴tan∠ADH=解得：x≈21，∴AB≈21米．答：無人機的高度約為21米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，坡比問題，仰角俯角問題，掌握三角函數(shù)關系是解題的關鍵．5．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考一模）如圖是人民英雄紀念碑，它位于北京天安門廣場中心，是為了紀念在人民解放戰(zhàn)爭和人民革命中犧牲的人民英雄，碑體正面是毛澤東親筆題詞“人民英雄永垂不朽”八個鎏金大字．右圖是紀念碑的示意圖，小麗在A處測得碑頂D的仰角為30°，沿紀念碑方向前進37.1m后，在B處測得碑頂D的仰角為53°（點A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，且點A，B，E，F(xiàn)在同一水平線上）求紀念碑的高度．（結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈【答案】37.9m【分析】過D作DH⊥AB于H，設DH=xm，得出BH的值，根據(jù)tanA=tan【詳解】解：過D作DH⊥AB于H，如圖所示：設DH=xm在Rt△DBH中，tan∴BH=x在Rt△AHD中，tan∴AH=3∴AB=AH?BH=3解得：x=37.9，答：紀念碑的高度約為37.9m．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，三角函數(shù)值的運算．6．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖，小剛同學從樓頂A處看樓下公園的湖邊D處的俯角為65°，看另一邊B處的俯角為25°，樓高AC為25米，求樓下公園的湖寬BD．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù):sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91【答案】湖寬BD約為42米．【分析】在Rt△ADC求出CD，在Rt△ACB求出BC，那么【詳解】解：由題意，得∠ADC=65°，∠ABC=25°．在Rt△ADC中，AC=25∴tan65°=∴CD=AC在Rt△ACB中，則BC≈53.19米，∴BD=BC?CD≈42（米）．答：湖寬BD約為42米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用?仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．7．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，西安市某居民樓南向的窗戶用AB表示，其高度為2.5米（A，B，D三點共線），此地一年冬至正午時刻太陽光與地平面的最小夾角α為32.3°，一年夏至正午時刻太陽光與地平面的最大夾角β為79.2°，并且在冬至的正午時刻陽光剛好全部射入窗戶，求遮陽棚中BD的高（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos【答案】約為0.3米【分析】由AC∥DE可得出∠AED=79.2°，在Rt△ADE中，可得出AD≈5.2DE，在Rt△BDE中，可得出BD≈0.6DE，結合AD?BD=AB及AB=2.5米，可求出【詳解】解：∵AC∥∴∠AED在Rt△ADE中，AD在Rt△BDE中，BD∵AD?BD=∴5.2DE?0.6DE=2.5∴DE=25∴BD≈0.6DE=0.6×25答：遮陽棚中BD的高約為0.3米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用以及平行線的性質(zhì)，通過解直角三角形，用DE的長度表示出AD及BD的長是解題的關鍵．8．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B，C兩點的俯角分別為60°和35°，已知大橋BC的長度為100m，且與地面在同一水平面上．求熱氣球離地面的高度（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈712，cos35°≈【答案】119【分析】過點A作AD⊥CB交CB延長線于點D，利用三角函數(shù)表示出CD≈107AD，BD≈【詳解】如圖，過點A作AD⊥CB交CB延長線于點D，由題知，∠ACD=35°，∠ABD=60°，在Rt△ACD中，tan∴CD≈10在Rt△ABD中，tan∴BD≈10∴BC=CD?BD≈10∴107解得AD=119m∴熱氣球離地面的高約為119m【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是構造直角三角形．9．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）消防車是救援火災的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動張角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，轉(zhuǎn)動點A距離地面的高度AE(1)當起重臂AC的長度為24米，張角∠CAE=120°時，云梯消防車最高點C距離地面的高度CF的長為_____米．(2)某日一棟大樓突發(fā)火災，著火點距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實施有效救援？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）（提示：當起重臂AC伸到最長且張角∠CAE最大時，云梯頂端C【答案】(1)16(2)能【分析】（1）過點A作AG⊥CF，在Rt△ACG中求出CG的長度，然后計算CF=CG+GF（2）當起重臂最長，轉(zhuǎn)動張角最大時，同樣求出CF的長度，與26米比較即可.【詳解】（1）解：如圖，過點A作AG⊥CF，由題意的：∠EAG=90°，GF=AE=4，∵∠CAE=120°，∴∠CAG=30°，在Rt△ACG∵AC=24，∴CG=AC?sin∴CF=CG+GF=12+4=16米．故答案為：16；（2）解：當起重臂最長，轉(zhuǎn)動張角最大時，即：AC=30米，∠CAE=150°，∴∠CAG=60°，∴CG=AC?sin∴CF=CG+GF=25.5+4=29.5米．∵29.5>26，∴能實施有效救援．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，準確從圖中提取數(shù)學模型是解題關鍵．10．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？家荒＃┐笱闼枪懦俏靼驳臉酥拘越ㄖㄈ鐖D1）．某學習小組為測量大雁塔的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7:24的斜坡AE前行100米到達平臺E處，測得此時樓頂D的仰角為60°，請同學們根據(jù)學習小組提供的數(shù)據(jù)求大雁塔的高度DC（結果保留根號）．【答案】大雁塔的高度DC為103+343【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，可以得到EF=28米，AF=96米，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出DC的值．【詳解】解：作BF⊥AB于F，由已知可得，tan∠EAF=EFAF=724，AE=100米，設EF=7a米，AF=24a米，∴7a2解得a=4，∴EF=28米，AF=96米，∵∠DAB=45°，∠B=90°，∴∠DAB=∠ABD=45°，∴AB=BD，設DC=x米，則DB=x+28米，CE=BF=x+28?96=∵∠DEC=60°，tan∠DEC=∴3x?68解得x=103+343答：大雁塔的高度DC為103+343【點睛】本題考查解直角三角形的應用—仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．類型二：銳角三角函數(shù)的應用：方向角問題11．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）在某海域開展的“海上聯(lián)合”反潛演習中，我方軍艦要到達C島完成任務．已知軍艦位于B市的南偏東25°方向上的A處，且在C島的北偏東58°方向上，B市在C島的北偏東28°方向上，且距離C島372km，此時，我方軍艦沿著AC方向以30km/h的速度航行，問：我方軍艦大約需要多長時間到達C島？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin【答案】我方軍艦大約需要10小時到達C島【分析】過點A作AD⊥BC于D，利用正切的定義表示出BD、CD，列出方程，解方程即可．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，由題意知，∠ABC=28°+25°=53°，∠ACB=58°?28°=30°，BC=372km設AD=xkm在Rt△ABD中，∵∠ABD=53°，∴BD=在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=∵BD+CD=BC，34x+3∴AD≈150km，∴AC=2AD=300km，∴答：我方軍艦大約需要10小時到達C島．【點睛】本題考查解直角三角形的應用?方向角問題，正確標注方向角，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．12．（2023·安徽黃山·?？寄M預測）如圖，一條高速公路在城市A的東偏北30°方向直線延伸，縣城M在城市A東偏北60°方向上，測繪員從A沿高速公路前行4000米到達C，測得縣城M位于C的北偏西60°方向上．現(xiàn)要設計一條從縣城M進入高速公路的路線，請在高速公路上尋找連接點N，使修建到縣城M的道路最短，試確定N點的位置并求出最短路線長？（結果取整數(shù)，3≈1.732【答案】點N在點M南偏西30°的10003米處，點N到A【分析】過M作MN⊥AC交于N點，即MN最短，根據(jù)方向角可以證得∠AMC=90°，根據(jù)三角函數(shù)即可求得MC，進而求得AN的長以及∠NPC．【詳解】解：如圖，過M作MN⊥AC交于N點，即MN最短，∵∠MAD=60°，∴∠CAM=30°，∠EAC=60°∴∠AMN=60°，又∵C處看M點為北偏西60°，∴∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠CAD=30°，CB∥∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，∴∠AMC=90°，∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°∴MC=∴NC=1∴MN=M∵MP∥∴∠AMP=∠MAB=30°,∴∠NMP=90°?30°?30°=30°，∴點N在點M南偏東30°的1732米處，∵AC=4000米，∴AN=AC?NC=4000?1000=3000（米）．答：點N在點M南偏東30°的1732米處，點N到A市最短路線3000米．【點睛】本題主要考查了方向角含義，正確作出高線，證明△AMC是直角三角形是解題的關鍵．13．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┤鐖D，一艘海輪自西向東航行，在點B處時測得海島A位于北偏東67°，航行12海里到達C點，又測得小島A在北偏東45°方向上．已知位于海島A的周圍8海里內(nèi)有暗礁，如果海輪不改變航線繼續(xù)向東航行，那么它有沒有觸礁的危險？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin67°≈1213，cos【答案】沒有觸礁的危險，理由見解析【分析】過點A作AD⊥BC于點D，利用三角函數(shù)，求出AD的值，與8進行比較，即可得出結論．【詳解】解：沒有觸礁的危險；理由如下：過點A作AD⊥BC于點D，則：∠ADC=∠ADB=90°，由題意，知：∠ABD=90°?67°=23°,∠ACD=45°,BC=12，設AD=x，在Rt△ADC中，∠ACD=45°∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=12+x，在Rt△ADB中，∠BAD=90°?∠ABD=67°∴tan∠BAD=解得：x≈60∵607∴沒有觸礁的危險．【點睛】本題考查解直角三角形的應用．解題的關鍵是構造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義，進行求解．14．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）通過學習《解直角三角形》這一章，王凱同學勤學好問，在課外學習活動中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關系，下面是他的學習筆記．請仔細閱讀下列材料并完成相應的任務．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a、b、c，△ABC的面積為S△ABC，過點A作AD⊥BC，垂足為D，則在Rt∵sin∴AD=AB?∴S同理可得，S△ABC=即S△ABC由以上推理得結論：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又∵abc≠0∴將等式12bcsinA=∴asin由以上推理得結論：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等．理解應用：如圖，甲船以302海里/時的速度向正北方向航行，當甲船位于A處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15°方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘到達D處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C處，此時兩船相距10(1)求：△ADC的面積；(2)求：乙船航行的速度（結果保留根號）．【答案】(1)50(2)203【分析】（1）結合題中條件可求出AD的長，再根據(jù)材料中的結論1：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦值的一半，即可求出答案．（2）根據(jù)第一問可知△ACD是等邊三角形，結合題中條件求出∠ABC和∠BAC的大小，根據(jù)材料中的結論2：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，可求出BC的長，從而可求出答案．【詳解】（1）解：由題意知：∠ADC=60°，DC=102，AD=30由結論①知，S=1所以△ADC的面積為503（2）解：由（1）知DC=AD，∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD=102又∠BAM=75°，∴∠BAC=180°?75°?60°=45°，由題意知∠NBC=15°，∠NBA=75°，∴∠ABC=75°?15°=60°，在△ABC中，由材料中結論②得ACsin∴BC=AC?∴乙船航行的速度為：203【點睛】本題考查的是方向角問題、等邊三角形的判定，掌握方向角的概念、正確使用材料中的結論是解題的關鍵．15．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┰谀硰埡胶D上，標明了三個觀測點的坐標為O0，0、B(12，0)、C(12，16)(1)求圓形區(qū)域的面積．(2)某時刻海面上出現(xiàn)一艘可疑船A，在觀測點O測得A位于北偏東45°方向上，同時在觀測點B測得A位于北偏東30°方向上，求觀測點B到可疑船A的距離，結果保留根號；(3)當可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時，是否會進入演習區(qū)？請通過計算解釋．【答案】(1)100π(2)AB=12(3)當可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時，不會進入演習區(qū)，理由見解析【分析】（1）如圖所示，連接BC，OC，由O、B、C三點的坐標可得OB=12，BC=16，∠OBC=90°，即可得到（2）如圖所示，連接OA，BA，過點A作AD⊥x軸于D，由題意得，∠AOD=45°，∠ABD=60°，設AB=x，解Rt△ABD得到AD=32x，（3）只需要判斷出AD>20即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，連接BC，∵O0，0、B(12，0)∴OB=12，BC=16，BC⊥x軸，即∴OC即為該圓形區(qū)域的直徑，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC=∴該圓形區(qū)域的面積為π×20（2）解：如圖所示，連接OA，BA，過點A作AD⊥x軸于由題意得，∠AOD=45°，設AB=x，在Rt△ABD中，AD=AB?sin∠ABD=∴OD=OB+BD=12+1在Rt△AOD中，tan∴32解得x=123∴AB=123（3）解：當可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時，不會進入演習區(qū)，理由如下：由（2）得AD=3∴點A的縱坐標大于該圓形區(qū)域的直徑，∴當可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時，不會進入演習區(qū)．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，坐標與圖形，勾股定理，90度的圓周角所對的弦是直徑等等，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．16．（2023·廣西河池·?？家荒＃┤鐖D，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40nmile的點A處，它沿著點A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠距離小島B最近（結果保留根號）？(2)漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續(xù)航行206nmile到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊求救，問救援隊從B處出發(fā)到達事故地點的最短航程BC【答案】(1)202(2)402【分析】（1）過B作BM⊥AC于M，求出AM的長，即為所求；（2）在Rt△BCM中，勾股定理求出BC【詳解】（1）解：過B作BM⊥AC于M，由題意，可知：∠BAM=45°，則∠ABM=45°，在Rt△ABM中，∠BAM=45°，AB=40nmile∴△ABM是等腰直角三角形，∴BM=AM=2答：漁船航行202nmile距離小島B（2）解：在Rt△BCM中，BM=202∴BC=B答：救援隊從B處出發(fā)到達事故地點的最短航程是402nmile【點睛】本題考查解直角三角形的應用．解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形．17．（2023·湖南湘潭·湘潭縣云龍中學校考一模）如圖，AB是湘江段江北岸濱江路一段，長度為2km，C為南岸一渡口．為了解決兩岸交通困難，在渡口C處架橋，CD⊥AB垂足為點D．經(jīng)測量點C在A點的東偏南45°方向，在B點的西偏南60°方向．問：橋長CD為多少km？（結果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【答案】1.27【分析】設CD=xkm，解Rt△ACD得到AD=xkm，解Rt△BCD得到BD=3【詳解】解：設CD=xkm由題意得∠A=45°，在Rt△ACD中，AD=在Rt△BCD中，BD=CD?∵AB=AD+BD=2km∴x+3解得x=3?3∴CD≈3?1.732≈1.27km答：CD的長約為1.27km【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，正確計算是解題的關鍵．18．（2023·浙江嘉興·?？家荒＃┬∶鲗W了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進1003米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D(1)求點D與點A的距離；(2)求隧道AB的長度．（結果保留根號）【答案】(1)點D與點A的距離為300米(2)隧道AB的長為(1502【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；（2）過點D作DE⊥AB于點E．分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長【詳解】（1）由題意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°?45°?45°=90°在Rt△ADC中，∴AD=DC×tan答：點D與點A的距離為300米．（2）過點D作DE⊥AB于點E．∵AB是東西走向∴∠ADE=45°,∠BDE=60°在Rt△ADE中，∴DE=AE=AD×在Rt△BDE中，∴BE=DE×∴AB=AE+BE=1502答：隧道AB的長為(1502【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．19．（2023·新疆·統(tǒng)考一模）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向，求此時貨輪與A港口的距離（結果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766,【答案】貨輪距離A港口約141海里【分析】過點B作BH⊥AC于點H，分別解直角三角形求出AH、HC即可得到答案．【詳解】解：過點B作BH⊥AC于點H，根據(jù)題意得，∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°?25°=45°，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∵AB=100,∠BAC=50°，sin∠BAH=∴BH=AB?sinAH=AB?cos在Rt△BHC中，∠BHC=90°∵∠BCH=45°,∴CH=BH∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141（海里）答：貨輪距離A港口約141海里．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，正確理解題意作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．20．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC=200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD=100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．(1)求步道DE的長度（精確到個位）；(2)點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【答案】(1)283米(2)經(jīng)過點B到達點D較近【分析】（1）過E作BC的垂線，垂足為H，可得四邊形ACHE是矩形，從而得到EH=AC=200米，再證得△DEH為等腰直角三角形，即可求解；（2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解．【詳解】（1）解：過E作BC的垂線，垂足為H，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四邊形ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根據(jù)題意得：∠D=45°，∴△DEH為等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴DE=2（2）解：根據(jù)題意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC=400米，∴經(jīng)過點B到達點D，總路程為AB+BD=500米，∴BC=A∴AE=CH=BC+BD?DH=2003∴經(jīng)過點E到達點D，總路程為2002∴經(jīng)過點B到達點D較近．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．類型三：銳角三角函數(shù)的應用：坡度坡角問題21．（2023·天津武清·?？寄M預測）如圖，某社區(qū)一建筑物上，懸掛“創(chuàng)文明小區(qū)，建和諧社會”的宣傳條幅AB，小明站在位于建筑物正前方的臺階D點處測得條幅頂端A的仰角為36.5°，朝著條幅的方向走到臺階下的E點處，測得條幅頂端A的仰角為64°，已知臺階DE的坡度為1:2，DC=2米，則條幅AB的長度為多少米．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9【答案】AB≈7.8米【分析】要求AB的長，只要構造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)進行求解即可，過點D作DF⊥AB于點F，然后根據(jù)題目中的數(shù)量關系，可以表示出關于AB的等式，從而可以得到AB的值．【詳解】解：過點D作DF⊥AB于點F，如圖，由題意得DF=CB，∵臺階DE的坡度為1:2，DC=2米，∴CE=2CD=4米，∵∠AFD=90°,∠ADF=36.5°,CD=2米，tan∠ADF=∴tan36.5°=即DF=AB?2又∵∠ABE=90°,∠AEB=64°,CE=4米，CB=DF,tan∴BE=AB即DF?4=AB∴AB?2tan解得AB≈7.8米，∴條幅AB的長度為7.8米．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題，仰角俯角問題，解題的關鍵是明確題意，構造合適的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)進行解答．22．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）綿山是中國清明節(jié)（寒食節(jié)）的發(fā)源地，相傳春秋時期晉國介子推攜母隱居被焚在山上．綿山入口處有一座雄偉高大的介子推銅像，當?shù)啬承５木C合與實踐小組的同學們想要測出這座銅像有多高．他們先制訂了測量方案，隨后又進行了實地測量．如圖，銅像MN建在坡比為1∶2.4的樓梯BM頂端，同學們在A處測得銅像頂點N的仰角為30°，然后沿著AC方向走了12m到達B處，此時在B處測得銅像頂點N的仰角為63.4°，其中點A，B，C，D，M，N均在同一平面內(nèi)．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出銅像MN的高度．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73，sin63.4°≈0.89，【答案】7.7【分析】延長NM交AB于點E，設BE=xm，在Rt△ANE中，根據(jù)正切得出tan∠NAE=NEAE，即33=NE12+x，根據(jù)正切得出tan∠NBE=NEBE，即【詳解】解：延長NM交AB于點E，設BE=xm在Rt△ANE中，∠NAE=30°，∠AEN=90°∴tan∠NAE=NEAE在Rt△NBE中，∠NBE=63.4°，∠BEN=90°∴tan∠NBE=NEBE聯(lián)合①②可求得x=1223∵銅像MN建在坡比為1∶2.4的樓梯BM頂端，∴MEBE∴ME=5∴MN=NE?ME=19答：銅像MN的高度約為7.7m【點睛】本題考查解直角三角形-仰角俯角問題，坡度坡角問題，通過作垂線構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系和坡度的意義進行計算是解題關鍵．23．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┭影矊毸歉锩サ匮影驳臉酥竞拖笳?，融歷史文物和革命遺址為一脈，集人文景觀和自然景觀為一體．某數(shù)學興趣小組在確保無安全隱患的情況下，開展了測量延安寶塔的高度的實踐活動，具體過程如下：如圖，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的長為15米，BC=32米．MN是測角儀，長為2米，從點M測得該塔頂部A處的仰角為37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求該塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈【答案】44米【分析】過M作ME⊥AB于點E，延長MN交BC于H，由坡度i=3:4，可設NH=3k，CH=4k，由勾股定理求得k=3，可得NH=9，CH=12，再在Rt△AEM中求得AE【詳解】解：過M作ME⊥AB于點E，延長MN交BC于H，則BE=HM，EM=BH，由坡度i=3:4，可設NH=3k，CH=4k，則3k2解得k=3，∴NH=9，CH=12，∴BE=MH=MN+NH=2+9=11，EM=BH=BC+CH=32+12=44在Rt△AEM中，∵∠AME=37°∴AE=EM?tan∴AB=AE+BE=33+11=44．該塔AB的高度為44米【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題和坡度坡比問題，掌握仰角俯角和坡度坡比的定義，并根據(jù)題意構建合適的直角三角形是解題的關鍵．24．（2023·陜西西安·?？既＃╅_封鐵塔又名“開寶寺塔”，坐落在開封城東北隅鐵塔公園內(nèi)，因塔身全部以褐色琉璃瓦鑲嵌，遠看酷似鐵色，故稱為“鐵塔”．在一次綜合實踐活動中，某數(shù)學小組對該鐵塔進行測量．如圖，他們在遠處一山坡坡腳P處，測得鐵塔頂端M的仰角為60°，沿山坡向上走35m到達D處，測得鐵塔頂端M的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3:4，即tanθ=34【答案】約55米【分析】如圖，過點D作DG⊥PE，垂足為G，過點D作DF⊥ME，垂足為F，根據(jù)題意可得：DG＝FE，DF＝GE，根據(jù)已知可設DG＝3x米，則GP＝4x米，從而在Rt△DGP中，利用勾股定理求出DP＝5x米，進而求出DG，GP的長，然后再設PE＝y(tǒng)米，在【詳解】解：如圖，過點D作DG⊥PE，垂足為G，過點D作DF⊥ME，垂足為F，由題意得：DG＝FE，在Rt△DGP中，tanθ=DG∴設DG＝3x米，則∴DP＝∵DP＝∴5x＝∴x＝∴DG＝FE＝設PE＝在Rt△MPE中，∠MPE＝∴ME＝∴DF=GE=GP+EP=28+y米，MF在Rt△MDF中，∠MDF＝∴tan30°＝解得：y=28+21經(jīng)檢驗：y=28+21∴ME＝∴鐵塔的高度ME約為55米．【點睛】本題考查了解直角三角形中仰角俯角問題，坡度問題，根據(jù)題意，結合圖形畫出正確的輔助線是解題的關鍵．25．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在坡角為30°的山坡上有一鐵塔AB，其正前方矗立著一大型廣告牌，當陽光與水平線成45°角時，測得鐵塔AB落在斜坡上的影子BD的長為8米，落在廣告牌上的影子CD的長為5米，求鐵塔AB的高．（AB、CD均與水平面垂直，結果保留根號）【答案】(43【分析】過點C作CE⊥AB于E，過點B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分別求出DF、BF的長度，在Rt△ACE中，求出AE【詳解】過點C作CE⊥AB于E，過點B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°,sin∵BD=8米，∴DF=4米，BF=43∵AB∥CD，∴四邊形BFCE為矩形，∴BF=CE=43則BE=CF=CD?DF=5?4=1（米），在Rt△ACE中，∠ACE=45°∴AE=CE=43∴AB=AE+BE=(43答：鐵塔AB的高為(43【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)題目所給的坡角構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．26．（2023·河北衡水·?？级＃┤鐖D，有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等．(1)求證：△ABC?△DEF；(2)若滑梯的長度BC=10米，DE=8米，分別求出滑梯BC與EF的坡度；(3)在（2）的條件下，由于EF太陡，在保持EF長不變的情況下，現(xiàn)在將點E向下移動，點F隨之向右移動．①若點E向下移動的距離為1米，求滑梯EF底端F向右移動的距離；②在移動的過程中，直接寫出△DEF面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)滑梯BC的坡度為34．滑梯EF的坡度為(3)①底端F向右滑行的距離為51?6【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的判定直接證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)及勾股定理得出DF=AC=6，再由坡度的定義求解即可；（3）①點E向下滑動的距離為1米，則此時DE=7米．結合勾股定理求解即可；②根據(jù)斜邊不變，當三角形為等腰三角形時，面積最大求解即可．【詳解】（1）在Rt△ABC與RtBC=EFAC=DF∴Rt△ABC?（2）∵Rt△ABC?∴AB=DE=8米．在Rt△ABC中，AC=∴DF=AC=6米，∴滑梯BC的坡度為ACAB滑梯EF的坡度為DEDF（3）①點E向下滑動的距離為1米，則此時DE=7米．在Rt△DEF中，DF=∴底端F向右滑行的距離為51?6②設點E向下滑動的距離為x米，則此時DE=8?x米在Rt△DEF中，DF=當DE=DF時，△DEF面積的最大，100?(8?x)解得：(8?x)2∴面積最大值為12【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形及坡度的定義，理解題意是解題關鍵．27．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形ABCD是某水壩的橫截面示意圖，其中AB=CD，壩頂BC=2m，壩高CH=5m，迎水坡AB的坡度為(1)求壩底AD的長；(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬0.5m，背水坡坡角改為α=30°．求加固總長5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：π≈3.14,2≈1.41,【答案】(1)12(2)加固總長5千米的堤壩共需58125.0m【分析】（1）過點B作BM⊥AD于M，可得：CH=MB=5m,CB=HM=2m，利用坡比求出AM的長，易得△CHD為等腰直角三角形，進而求出DH（2）過點F作FG⊥AD于G，求出梯形CFED的面積，再乘以總長即可得出結果．【詳解】（1）解：過點B作BM⊥AD于M，則四邊形BCHM是矩形，∴CH=MB=5m∵i=1:1，∴tanA=∴∠A=45°，AM=BM=5∵AB=CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形∴∠CDH=∠A=45°∴△CHD是等腰直角三角形∴DH=CH=5m∴AD=DH+HM+AM=5+2+5=12m（2）解：過點F作FG⊥AD于G，則四邊形FCHG是矩形，∴CF=GH=0.5m∵∠E=30°,∠FGE=90°，∴EG=FG∴DE=EG+GH?DH=5∴S梯形∴加固總長5千米的堤壩共需土方：252【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用．解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形．28．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，一根燈桿AB上有一盞路燈A，路燈A離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方B點15.5米處有一坡度為i=1:43的斜坡CD，如果高為3米的標尺EF豎立地面BC上，垂足為(1)當影子全在水平地面BC上（圖1），求標尺與路燈間的距離；(2)當影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（圖2），求此時標尺與路燈間的距離為多少米？【答案】(1)標尺與路燈間的距離為8米；(2)此時標尺與路燈間的距離為14米．【分析】（1）由題意可知，AB⊥BC,EF⊥BC得到AB∥EF，則△EFG∽△ABG，把數(shù)值代入EFAB（2）連接AE交CD于點M，過點M作MN⊥BC交BC延長線于點N，過點M作MG⊥AB于點G，交EF于點H，設CM=x米，則FC=4?x米，可證明△AGM∽△GHM，得到AGEH=GMHM，求出AG=9?35x米，GM=【詳解】（1）解：如圖，由題意可知，AB⊥BC,EF⊥BC,∴AB∥EF，∴△EFG∽△ABG，∴EF由題意可知，EF=3,AB=9,FG=4，∴39解得BF=8,即標尺與路燈間的距離為8米；（2）如圖，連接AE交CD于點M，過點M作MN⊥BC交BC延長線于點N，過點M作MG⊥AB于點G，交EF于點H，∵影子長為4米，∴FC+CM=4米，設CM=x米，∴FC=4?x∵BC=15.5米，∵AB⊥BC,EF⊥BC，∴AB∥EF，∴∠AGH=∠EHM，∠BAE=∠FEM，∴△AGM∽△EHM，∴AGEH∵CM=x米，MNCN∴CN=45x∴GB=3∴AG=9?35x米，GM=15.5+∴9?3∴9?35∴2x解得x1=?7（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗x=5∴FC=4?x=3∴BF=15.5?3∴此時標尺與路燈間的距離為14米．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解分式方程、解直角三角形的坡度問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．29．（2023·海南儋州·統(tǒng)考一模）如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，數(shù)學興趣小組的同學在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達點A，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．(1)求坡頂A到地面PQ的距離；(2)計算古塔BC的高度（結果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，【答案】(1)10米(2)約19米【分析】（1）過點A作AH⊥PQ于H，根據(jù)斜坡AP的坡度為i=1:2.4，得出AHPH=512，設AH=5k，則PH=12k，（2）延長BC交PQ于D，根據(jù)BC⊥AC，AC∥PQ可得BD⊥PO，從而得出四邊形AHDC是矩形，再根據(jù)∠BPD=45°，得出PD=BD，利用Rt△ABC【詳解】（1）解：過點A作AH⊥PQ于H，如圖所示：∵斜坡AP的坡度為i=1:2.4，∴AHPH設AH=5k，則PH=12k，則AP=A∴13k=26，解得：k=2，∴AH=10，∴坡頂A到地面PQ的距離為10米．（2）解：延長BC交PQ于D，如圖所示：∵BC⊥AC，AC∥∴BD⊥PQ，∴∠ACD=∠CDH=∠AHD=90°，∴四邊形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，∴∠BPD=45°，∴△BPD為等腰直角三角形，∴PD=BD，設BC=x，則x+10=24+DH，∴AC=DH=x?14，在Rt△ABC中，tan即xx?14≈4，解得：∴古塔BC的高度約19米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用、勾股定理、銳角三角函數(shù)、坡角與坡度、矩形的判定及性質(zhì)，解題的關鍵根據(jù)題意作出輔助線，構造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解．30．（2023·山東濟南·一模）在一次綜合實踐活動中，數(shù)學興趣小組的同學想要測量一樓房AB的高度，如圖，樓房AB后有一假山，其斜坡CD坡比為1∶3，山坡坡面上點E處有一休息亭，在此處測得樓頂A的仰角為45°，假山坡腳C與樓房水平距離BC=30米，與亭子距離CE=40米．(1)求點E距水平地面BC的高度；(2)求樓房AB的高．（結果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)2≈1.414，3【答案】(1)20米(2)85米【分析】（1）過點E作EF⊥BC于點F．在Rt△CEF中，求出CF=（2）過點E作EH⊥AB于點H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，結合（1）中結論得到CF的值，再根據(jù)AB=AH+BH，求出AB【詳解】（1）解：過點E作EF⊥BC于點F．在Rt△CEF中，CE=40米，EF∴EF∵EF>0，∴EF=20（米）．答：點E距水平面BC的高度為20米．（2）過點E作EH⊥AB于點H．則HE=BF，BH=EF．在Rt△AHE中，∠HAE=45°∴AH=HE，由（1）得CF=3又∵BC=30米，∴HE=BC+CF=(30+203∴AB=AH+BH=30+203答：樓房AB的高約是85米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用??仰角俯角問題、坡度坡角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．類型四、銳角三角函數(shù)與解直角三角形31．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC與BD交于點O，過點B作BE⊥AC于點E，作BF⊥BD交AC延長線于點F．(1)求證：△OBE∽△OFB；(2)求證：OC?CF=EC?OF．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】根據(jù)BF⊥BD，BE⊥AC可得∠BEO=∠OBF=90°，結合∠BOE=∠FOB即可得到證明；過點C作CH⊥BF交BF于點H，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，OB=OC可得，∠OCB=∠OBC，根據(jù)BE⊥AC，BF⊥BD可得∠CBF=∠CBE，得到EC=CH，在Rt△CHF與Rt【詳解】（1）證明：∵BF⊥BD，BE⊥AC，∴∠BEO=∠OBF=90°，∵∠BOE=∠FOB，∵△OBE∽△OFB；（2）證明：過點C作CH⊥BF交BF于點H，在矩形ABCD中，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵BE⊥AC，BF⊥BD，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CBF+∠CBO=90°，∴∠CBF=∠CBE，∴EC=CH，在Rt△CHF中，sin在Rt△BOF中，sin∵OB=OC，∴sinF=∴ECCF即OC?CF=EC?OF．【點睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是作出輔助線．32．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、CD是⊙O的直徑，E是DA長線上一點，且∠CED=∠CAB．(1)判斷CE與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若DE=35，tanB=1【答案】(1)CE是⊙O的切線；見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，根據(jù)圓周角定理得出∠B=∠D，推出∠DCE=90°即可得出結論；（2）根據(jù)∠B=∠D，得到tan∠B=tan∠D，即可得CD=2CE【詳解】（1）CE與⊙O相切，理由：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CED=∠CAB，∠B=∠D，∴∠CED+∠D=90°，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴CD⊥CE，∵CD是⊙O的直徑，即OC是⊙O半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）由（1）知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt∵∠B=∠D，tanB=∴tan∠B=∴CD=2CE，在Rt△CDE中，CD2∴2CE2解得CE=3（負值舍去），即線段CE的長為3．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定是解答本題的關鍵．33．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=3【答案】5【分析】在Rt△ABD中，根據(jù)tan∠BAD=BDAD=34【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，tan∴BD=AD·tan∴CD=BC?BD=14?9=5，∴AC=AD∴cosC=【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵．34．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點E為邊AB上的一動點（點E不與點A，B重合），連接DE，過點C作CF⊥DE，垂足為F．(1)求證：△ADE∽(2)若AD=6,tan∠DCF=1【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)可得出∠A=∠ADC=90°，由CF⊥DE可得出∠CFD=90°=∠D，利用等角的余角相等可得出∠AED=∠FDC，進而可證出△ADE∽（2）利用相似三角形的性質(zhì)可得出∠ADE=∠FCD，進而可得出tan∠ADE=tan∠FCD=13【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵CF⊥DE，∴∠CFD=90°=∠A．∵∠AED+∠ADE=90°,∠ADE+∠FDC=∠ADC=90°，∴∠AED=∠FDC．∴△ADE∽（2）解：∵△ADE∽∴∠ADE=∠FCD，∴tan∠ADE=在Rt△ADE中，∠A=90°,AD=6∴AE=AD?tan即AE的長為2．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．35．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，∠B為銳角，AD是BC邊上的高，cosB=513(1)求AC的長；(2)求∠BAC的正弦值．【答案】(1)AC長為20．(2)∠BAC的正弦6365【分析】（1）由∠B的余弦求出BD的長，得到DC長，由勾股定理即可解決問題．（2）過C作CH⊥AB于H，由三角形的面積公式求出CH的長即可解決問題．【詳解】（1）∵∴BD=13×∴CD=BC?BD=21=5=16∵AD=∴AC=（2）作CH⊥AB于H∵△ABC的面積=∴13CH=21×12∴CH=∴∠BAC的正弦值是CH【點睛】本題考查的是解直角三角形，關鍵是作出恰當?shù)妮o助線．36．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）(1)如圖1，紙片?ABCD中，AD＝10，S?ABCD=60，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE'的位置，拼成四邊形AEE'DA．正方形

B．菱形

C．矩形(2)如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE'D中，在EE'上取一點F，使EF＝8，剪下△AEF，將它平移至△DE'F'的位置，拼成四邊形①求證：四邊形AFF'D是菱形；②連接DF，求sin∠ADF【答案】(1)C(2)①證明見詳解；②310【分析】（1）根據(jù)?ABCD可得AD∥EC，結合AE⊥BC可得，∠EAD=AEC=AEB=90°，再根據(jù)△ABE平移得到△DCE'，可得∠CE（2）①根據(jù)平移可得AF=DF'，AF∥DF'，即可得到四邊形AFF'D是平行四邊形，根據(jù)AE=60÷10=6，結合EF＝8根據(jù)勾股定理可得AF，即可得到證明；②根據(jù)ADAD∥EF可得∠FE【詳解】（1）解：∵?ABCD中，AD＝10，∴AE=60÷10=6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥EC，∵AE⊥BC，∴∠EAD=AEC=AEB=90°，∵△ABE平移得到△DCE'，∴∠CE∴四邊形AEE'D的形狀為矩形，故選C；（2）①證明：∵△AEF平移得到△DE'F'，∴AF=DF'，∴四邊形AFF∵AE=60÷10=6，EF＝∴AF=6∴AF=AD，∴四邊形AFF'D是菱形；②∵AD＝10，∴FE∵AE=6，∴DF=6∵AD∥EF，∴∠FE∴sin∠ADF【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，三角函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)平移及平行四邊形的性質(zhì)得到相應的條件．37．（2023·廣東梅州·校考模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=3，BC的延長線與AD的延長線交于點E．(1)若∠A=60°，求BC的長；(2)若sinE=35，求【答案】(1)BC=6(2)AD=6【分析】（1）利用三角函數(shù)值求出BE=3AB=63（2）先求出AE=10，再求出DE=4，即可解得．【詳解】（1）∵tanA=AB=6∴BE=3∵∠A=60°，∴∠E=30°，∴sin30°=又∵CD=3，∴CE=2CD=6，∴BC=BE?CE=63（2）∵sinE=3AB=6，∴AE=10，tanE=又∵CD=3，∴DE=4，∴AD=AE?DE=6．【點睛】