18.1.2+平行四邊形的判定（第3課時(shí)+三角形的中位線）（教學(xué)設(shè)計(jì)）八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(人教版)

.1.2平行四邊形的判定（第3課時(shí)三角形的中位線）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）第十八章“平行四邊形”18.1.2平行四邊形的判定（第三課時(shí)）.這節(jié)課主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有：1.三角形中位線的概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；3.運(yùn)用三角形中位線定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.2.內(nèi)容解析三角形中位線是三角形中重要的線段，它與三角形的中線不同，教學(xué)時(shí)需著重引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分兩者概念.三角形中位線定理揭示了三角形中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，是后續(xù)解決幾何問(wèn)題，如證明線段平行、計(jì)算線段長(zhǎng)度的重要依據(jù).該定理的證明方法多樣，可通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明，這不僅能加深學(xué)生對(duì)定理的理解，還能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.在實(shí)際應(yīng)用中，三角形中位線定理常與其他幾何知識(shí)（如相似三角形、平行四邊形等）綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問(wèn)題的能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并掌握三角形的中位線定理.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解三角形中位線的概念，掌握三角形中位線定理.（2）應(yīng)用三角形的中位線定理解決問(wèn)題．2.目標(biāo)解析理解三角形中位線的概念，即讓學(xué)生明確三角形中位線的定義和構(gòu)成方式，能夠準(zhǔn)確識(shí)別三角形的中位線.掌握三角形中位線定理，不僅要記住定理的內(nèi)容，還要理解其證明過(guò)程和應(yīng)用條件.在定理的探索過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)觀察三角形中位線與第三邊的關(guān)系，提出猜想，然后通過(guò)測(cè)量、拼圖等操作進(jìn)行驗(yàn)證，最后進(jìn)行邏輯證明，這一系列活動(dòng)能提高學(xué)生的推理能力和自主探究能力.在小組合作中，學(xué)生相互交流、討論，共同解決問(wèn)題，培養(yǎng)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題：1.概念混淆：容易將三角形中位線與三角形中線混淆，對(duì)兩者的定義和性質(zhì)區(qū)分不清.2.定理理解困難：對(duì)于三角形中位線定理中“平行于第三邊且等于第三邊的一半”這一關(guān)系，學(xué)生可能難以理解其內(nèi)在邏輯，在證明過(guò)程中也可能存在思維障礙.3.應(yīng)用能力不足：在實(shí)際解題中，學(xué)生可能無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別題目中可以運(yùn)用三角形中位線定理的條件，或者不能靈活添加輔助線再運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算.基于以上學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：應(yīng)用三角形的中位線定理解決問(wèn)題．四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情境引入有一位老農(nóng)夫，他有一塊三角形土地，準(zhǔn)備分給四個(gè)孩子.如何公平分地才能讓四個(gè)人都滿意呢？隨機(jī)將四塊地分給四兄弟你有更好的辦法嗎？前面我們研究平行四邊形時(shí)，常常把它分成幾個(gè)三角形.利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問(wèn)題.下面我們利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)際生活中的情境導(dǎo)入新課并設(shè)置疑問(wèn)，激發(fā)學(xué)生的求知，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中處處有數(shù)學(xué).（二）新知探究如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.思考1：一個(gè)三角形有幾條中位線？請(qǐng)?jiān)凇鰽BC中畫(huà)出它所有的中位線.有三條.如圖所示，△ABC的中位線是DE、DF、EF.思考2：三角形的中位線與中線一樣嗎？思考3：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關(guān)系？思考4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述你的猜想．提出猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．思考5：如何證明你的猜想？證明猜想：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn).求證：DE∥BC，DE=12BC證法1：延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE．連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F，AD=CF,∴CFAD,∴BDCF．∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴DFBC．又∵DE=12DF∴DE∥BC，DE=12BC證法2：延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接AF、CF、DC.∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∴CFAD.∴CFBD.∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DFBC．又∵DE=12DF∴DE∥BC，DE=12BC【小結(jié)】三角形問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造平行四邊形解決.【歸納小結(jié)】三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.思考6：根據(jù)三角形的三條中位線能得到什么結(jié)論？【回顧引入】作出三角形地的三條中位線，由上述推導(dǎo)，即可分出四塊全等的三角形地.【設(shè)計(jì)意圖】用問(wèn)題串的方式，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生探索并證明中位線定理，鍛煉學(xué)生的推理能力，學(xué)習(xí)規(guī)范、正確的證明過(guò)程，培養(yǎng)有條理的思維模式.（三）典例精析一、利用中位線定理求線段長(zhǎng)度例1.如圖，D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)．連接DE，過(guò)點(diǎn)B作BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F．若EF=4，AD=7，求BC的長(zhǎng).解：∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=12BC，BD=AD=7∴∠DFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DFB=∠DBF，∴∠DBF=∠FBC，∴DF=BD=7，∴DE=DF+EF=11，∴BC=2DE=22.【小結(jié)】中點(diǎn)→中位線→中位線定理【針對(duì)練習(xí)】1.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．已知BC＝10，則OE＝____5____.2.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的中點(diǎn)，AC＝4，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)____1_____.二、利用中位線定理求角度例2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M，N，P分別是AD，BC，BD的中點(diǎn)，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數(shù)．解：∵M(jìn)，N，P分別是AD，BC，BD的中點(diǎn)，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線.∴PM=12AB，PN=12DC，PM∥AB，PN∥∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°?130°)÷2=25°．【針對(duì)練習(xí)】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，ED平分∠AEF.若∠C＝70°，則∠EFB的度數(shù)是____110°___.三、利用中位線定理判斷平行四邊形例3.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：連接AC.∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=12AC，HG∥AC，HG=12∴EF∥HG，EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.【小結(jié)】順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.你還有其他方法嗎？【針對(duì)練習(xí)】如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點(diǎn)，AB＝5，CD＝7，請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀，并求出四邊形EFGH的周長(zhǎng)．解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點(diǎn)，AB＝5，CD＝7，∴EF∥AB，EF＝12AB＝2.5，GH∥AB，GH＝12AB∴EF∥GH，EF＝GH.∴四邊形EFGH為平行四邊形．同理可得EH∥FG，EH＝FG＝12CD＝∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為2(EF＋EH)＝2×（2.5+3.5）＝12.四、構(gòu)造中位線解決問(wèn)題問(wèn)題：如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，怎樣測(cè)出A，B兩點(diǎn)的實(shí)際距離？根據(jù)是什么？分別取AC和BC的中點(diǎn)M，N，測(cè)出MN的長(zhǎng)，則AB=2MN.根據(jù)：中位線定理如果，MN兩點(diǎn)之間還有阻隔，你有什么解決辦法？例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點(diǎn)，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.證明：取AC的中點(diǎn)F，連接BF.∵BD＝AB，∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.∵E為AB的中點(diǎn)，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.【小結(jié)】恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造三角形中位線是解決線段倍分關(guān)系的關(guān)鍵．【能力提升】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)，E分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接EF，求證：EF＝12(BC－AD證明：連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M.∵AD∥BM，∴∠ADE＝∠MBE.∵E是BD的中點(diǎn)，∴DE＝BE.∵∠AED＝∠MEB，∴△ADE≌△MBE(ASA).∴AD＝BM，AE＝EM.∵F是AC的中點(diǎn)，∴EF是△ACM的中位線．∴EF＝12CM＝12(BC－BM)＝12(BC【小結(jié)】靈活添加輔助線構(gòu)造中位線模型.【設(shè)計(jì)意圖】鞏固三角形中位線定理的理解和運(yùn)用，鍛煉學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和證明能力.（四）當(dāng)堂鞏固1.如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝5cm，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，則EF＝(A)A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD，垂足為E，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．若AC＝6，BC＝10，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_2__.3.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)．(1)圖中平行四邊形共有_____3_____個(gè)；(2)若AB＝10cm，AC＝6cm，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為_(kāi)___16______cm；(3)若△ABC周長(zhǎng)為6cm，面積為12cm2，則△DEF的周長(zhǎng)為_(kāi)____3_____cm，面積為_(kāi)___3______cm2.4.如圖，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．求證：AD與EF互相平分．證明：連接DE，DF.∵D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC.同理可得DF∥AB.∴四邊形DFAE為平行四邊形．∴AD與EF互相平分．5.如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OB，OC，線段AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，G，連接DE，EF，F(xiàn)G，DG.(1)判斷四邊形DEFG的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若∠OBC與∠OCB互余，OE＝3，OF＝4，求線段BC的長(zhǎng)．解：(1)四邊形DEFG是平行四邊形．理由：∵E，F(xiàn)分別為線段OB，OC的中點(diǎn)，∴EF