18.1.2+平行四邊形的判定(第3課時(shí)+三角形的中位線)(教學(xué)設(shè)計(jì))八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(人教版)_第1頁(yè)
18.1.2+平行四邊形的判定(第3課時(shí)+三角形的中位線)(教學(xué)設(shè)計(jì))八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(人教版)_第2頁(yè)
18.1.2+平行四邊形的判定(第3課時(shí)+三角形的中位線)(教學(xué)設(shè)計(jì))八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(人教版)_第3頁(yè)
18.1.2+平行四邊形的判定(第3課時(shí)+三角形的中位線)(教學(xué)設(shè)計(jì))八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(人教版)_第4頁(yè)
18.1.2+平行四邊形的判定(第3課時(shí)+三角形的中位線)(教學(xué)設(shè)計(jì))八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(人教版)_第5頁(yè)
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.1.2平行四邊形的判定(第3課時(shí)三角形的中位線)教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)(以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”)第十八章“平行四邊形”18.1.2平行四邊形的判定(第三課時(shí)).這節(jié)課主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有:1.三角形中位線的概念:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;2.三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;3.運(yùn)用三角形中位線定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明.2.內(nèi)容解析三角形中位線是三角形中重要的線段,它與三角形的中線不同,教學(xué)時(shí)需著重引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分兩者概念.三角形中位線定理揭示了三角形中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,是后續(xù)解決幾何問(wèn)題,如證明線段平行、計(jì)算線段長(zhǎng)度的重要依據(jù).該定理的證明方法多樣,可通過(guò)構(gòu)造平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明,這不僅能加深學(xué)生對(duì)定理的理解,還能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.在實(shí)際應(yīng)用中,三角形中位線定理常與其他幾何知識(shí)(如相似三角形、平行四邊形等)綜合運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問(wèn)題的能力.基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為:探索并掌握三角形的中位線定理.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)理解三角形中位線的概念,掌握三角形中位線定理.(2)應(yīng)用三角形的中位線定理解決問(wèn)題.2.目標(biāo)解析理解三角形中位線的概念,即讓學(xué)生明確三角形中位線的定義和構(gòu)成方式,能夠準(zhǔn)確識(shí)別三角形的中位線.掌握三角形中位線定理,不僅要記住定理的內(nèi)容,還要理解其證明過(guò)程和應(yīng)用條件.在定理的探索過(guò)程中,學(xué)生通過(guò)觀察三角形中位線與第三邊的關(guān)系,提出猜想,然后通過(guò)測(cè)量、拼圖等操作進(jìn)行驗(yàn)證,最后進(jìn)行邏輯證明,這一系列活動(dòng)能提高學(xué)生的推理能力和自主探究能力.在小組合作中,學(xué)生相互交流、討論,共同解決問(wèn)題,培養(yǎng)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題:1.概念混淆:容易將三角形中位線與三角形中線混淆,對(duì)兩者的定義和性質(zhì)區(qū)分不清.2.定理理解困難:對(duì)于三角形中位線定理中“平行于第三邊且等于第三邊的一半”這一關(guān)系,學(xué)生可能難以理解其內(nèi)在邏輯,在證明過(guò)程中也可能存在思維障礙.3.應(yīng)用能力不足:在實(shí)際解題中,學(xué)生可能無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別題目中可以運(yùn)用三角形中位線定理的條件,或者不能靈活添加輔助線再運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算.基于以上學(xué)情分析,確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為:應(yīng)用三角形的中位線定理解決問(wèn)題.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)情境引入有一位老農(nóng)夫,他有一塊三角形土地,準(zhǔn)備分給四個(gè)孩子.如何公平分地才能讓四個(gè)人都滿意呢?隨機(jī)將四塊地分給四兄弟你有更好的辦法嗎?前面我們研究平行四邊形時(shí),常常把它分成幾個(gè)三角形.利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問(wèn)題.下面我們利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)際生活中的情境導(dǎo)入新課并設(shè)置疑問(wèn),激發(fā)學(xué)生的求知,感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中處處有數(shù)學(xué).(二)新知探究如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),連接DE.像DE這樣,連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.思考1:一個(gè)三角形有幾條中位線?請(qǐng)?jiān)凇鰽BC中畫(huà)出它所有的中位線.有三條.如圖所示,△ABC的中位線是DE、DF、EF.思考2:三角形的中位線與中線一樣嗎?思考3:如圖,DE是△ABC的中位線,DE與BC有怎樣的關(guān)系?思考4:度量一下你手中的三角形,看看是否有同樣的結(jié)論?并用文字表述你的猜想.提出猜想:三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.思考5:如何證明你的猜想?證明猜想:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn).求證:DE∥BC,DE=12BC證法1:延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE.連接FC.∵∠AED=∠CEF,AE=CE,∴△ADE≌△CFE.∴∠ADE=∠F,AD=CF,∴CFAD,∴BDCF.∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴DFBC.又∵DE=12DF∴DE∥BC,DE=12BC證法2:延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接AF、CF、DC.∵AE=EC,DE=EF,∴四邊形ADCF是平行四邊形.∴CFAD.∴CFBD.∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DFBC.又∵DE=12DF∴DE∥BC,DE=12BC【小結(jié)】三角形問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造平行四邊形解決.【歸納小結(jié)】三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.思考6:根據(jù)三角形的三條中位線能得到什么結(jié)論?【回顧引入】作出三角形地的三條中位線,由上述推導(dǎo),即可分出四塊全等的三角形地.【設(shè)計(jì)意圖】用問(wèn)題串的方式,層層遞進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生探索并證明中位線定理,鍛煉學(xué)生的推理能力,學(xué)習(xí)規(guī)范、正確的證明過(guò)程,培養(yǎng)有條理的思維模式.(三)典例精析一、利用中位線定理求線段長(zhǎng)度例1.如圖,D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn).連接DE,過(guò)點(diǎn)B作BF平分∠ABC,交DE于點(diǎn)F.若EF=4,AD=7,求BC的長(zhǎng).解:∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn),∴DE∥BC,DE=12BC,BD=AD=7∴∠DFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠DFB=∠DBF,∴∠DBF=∠FBC,∴DF=BD=7,∴DE=DF+EF=11,∴BC=2DE=22.【小結(jié)】中點(diǎn)→中位線→中位線定理【針對(duì)練習(xí)】1.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn).已知BC=10,則OE=____5____.2.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,E,F(xiàn)分別為AB,AC上的中點(diǎn),AC=4,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)____1_____.二、利用中位線定理求角度例2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,M,N,P分別是AD,BC,BD的中點(diǎn),∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN的度數(shù).解:∵M(jìn),N,P分別是AD,BC,BD的中點(diǎn),∴PN,PM分別是△CDB與△DAB的中位線.∴PM=12AB,PN=12DC,PM∥AB,PN∥∵AB=CD,∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB,PN∥DC,∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°?130°)÷2=25°.【針對(duì)練習(xí)】如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,ED平分∠AEF.若∠C=70°,則∠EFB的度數(shù)是____110°___.三、利用中位線定理判斷平行四邊形例3.如圖,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.證明:連接AC.∵E,F(xiàn),G,H分別為各邊的中點(diǎn),∴EF∥AC,EF=12AC,HG∥AC,HG=12∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.【小結(jié)】順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形.你還有其他方法嗎?【針對(duì)練習(xí)】如圖,在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AD,BD,BC,AC的中點(diǎn),AB=5,CD=7,請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀,并求出四邊形EFGH的周長(zhǎng).解:∵E,F(xiàn),G,H分別是AD,BD,BC,AC的中點(diǎn),AB=5,CD=7,∴EF∥AB,EF=12AB=2.5,GH∥AB,GH=12AB∴EF∥GH,EF=GH.∴四邊形EFGH為平行四邊形.同理可得EH∥FG,EH=FG=12CD=∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為2(EF+EH)=2×(2.5+3.5)=12.四、構(gòu)造中位線解決問(wèn)題問(wèn)題:如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi),在AB外選一點(diǎn)C,連接AC和BC,怎樣測(cè)出A,B兩點(diǎn)的實(shí)際距離?根據(jù)是什么?分別取AC和BC的中點(diǎn)M,N,測(cè)出MN的長(zhǎng),則AB=2MN.根據(jù):中位線定理如果,MN兩點(diǎn)之間還有阻隔,你有什么解決辦法?例4.如圖,在△ABC中,AB=AC,E為AB的中點(diǎn),在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D,使BD=AB,求證:CD=2CE.證明:取AC的中點(diǎn)F,連接BF.∵BD=AB,∴BF為△ADC的中位線,∴DC=2BF.∵E為AB的中點(diǎn),AB=AC,∴BE=CF,∠ABC=∠ACB.∵BC=CB,∴△EBC≌△FCB,∴CE=BF,∴CD=2CE.【小結(jié)】恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造三角形中位線是解決線段倍分關(guān)系的關(guān)鍵.【能力提升】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AC,BD交于點(diǎn)O,F(xiàn),E分別是AC,BD的中點(diǎn),連接EF,求證:EF=12(BC-AD證明:連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M.∵AD∥BM,∴∠ADE=∠MBE.∵E是BD的中點(diǎn),∴DE=BE.∵∠AED=∠MEB,∴△ADE≌△MBE(ASA).∴AD=BM,AE=EM.∵F是AC的中點(diǎn),∴EF是△ACM的中位線.∴EF=12CM=12(BC-BM)=12(BC【小結(jié)】靈活添加輔助線構(gòu)造中位線模型.【設(shè)計(jì)意圖】鞏固三角形中位線定理的理解和運(yùn)用,鍛煉學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和證明能力.(四)當(dāng)堂鞏固1.如圖,在△ABC中,AB=6cm,BC=4cm,AC=5cm,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn),則EF=(A)A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC上,且DC=AC,CE⊥AD,垂足為E,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).若AC=6,BC=10,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_2__.3.如圖,在△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,AC的中點(diǎn).(1)圖中平行四邊形共有_____3_____個(gè);(2)若AB=10cm,AC=6cm,則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為_(kāi)___16______cm;(3)若△ABC周長(zhǎng)為6cm,面積為12cm2,則△DEF的周長(zhǎng)為_(kāi)____3_____cm,面積為_(kāi)___3______cm2.4.如圖,D,E,F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn).求證:AD與EF互相平分.證明:連接DE,DF.∵D,E分別為BC,AB的中點(diǎn),∴DE∥AC.同理可得DF∥AB.∴四邊形DFAE為平行四邊形.∴AD與EF互相平分.5.如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OB,OC,線段AB,OB,OC,AC的中點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),G,連接DE,EF,F(xiàn)G,DG.(1)判斷四邊形DEFG的形狀,并說(shuō)明理由;(2)若∠OBC與∠OCB互余,OE=3,OF=4,求線段BC的長(zhǎng).解:(1)四邊形DEFG是平行四邊形.理由:∵E,F(xiàn)分別為線段OB,OC的中點(diǎn),∴EF

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