2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（北京卷）

2024年北京高考數(shù)學(xué)卷(以下簡稱北京卷)在命題思路和特點(diǎn)上展現(xiàn)了其獨(dú)特之處，充分體現(xiàn)了“立德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了守正創(chuàng)新北京卷注重將數(shù)學(xué)知識與德育內(nèi)容相融合，通過精心設(shè)計(jì)的題目，使考德育價(jià)值。例如，通過引入古代數(shù)學(xué)文化元素，讓考生了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的心和自豪感。同時(shí)，試卷還關(guān)注勞動教育和美育的考查，使考生在育價(jià)值。北京卷在命題上緊扣課標(biāo)和教材，注重考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本北京卷在命題中充分體現(xiàn)了首都特色和創(chuàng)新精神。試卷在題目設(shè)計(jì)和呈開放性問題、多項(xiàng)選擇問題等，激發(fā)考生的探究興趣和創(chuàng)新思維。同時(shí)，試卷還北京卷在保持命題穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，不斷探索和創(chuàng)新。試卷在命題思路學(xué)科本質(zhì)的理解、思想方法的領(lǐng)悟、應(yīng)用探究能力的提升、創(chuàng)總的來說，2024年北京高考數(shù)學(xué)卷在命題上體現(xiàn)了全面育人、選拔人才和引導(dǎo)教學(xué)的理念，注重考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)，彰顯了首都特色和北京2024年高考數(shù)學(xué)題目設(shè)計(jì)在整體結(jié)構(gòu)上與往年保持了一致性，依然注重考查學(xué)生對集合、復(fù)數(shù)、二項(xiàng)式定理、解析幾何、立體幾何、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用等知識點(diǎn)的掌握情況。分題目設(shè)計(jì)得相對簡單，旨在檢驗(yàn)學(xué)生的基礎(chǔ)知識與基本技能，預(yù)計(jì)這一部分的分值大約占100分左右。難題的數(shù)量相對較少，但加強(qiáng)了對學(xué)生思維能力的考查，強(qiáng)調(diào)學(xué)科核心素養(yǎng)的導(dǎo)向。數(shù)，旨在讓不同層次的學(xué)生都能得到充分的展示機(jī)會。特別是第10、15、19、20、21題，這些題目設(shè)置得較為有區(qū)分度，能夠拉開不同學(xué)生之間的水平差距。特別值得一提的是第21題，這道題目以新定義的形式出現(xiàn)，旨在為優(yōu)秀的人才提供充分展現(xiàn)才華的空間，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才的選拔，助推素質(zhì)教育的發(fā)展。整個(gè)試卷的設(shè)計(jì)避免了死記硬背和偏題怪題，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考改革的新方向。題號題型模塊(題目數(shù))14分集合(共2題)24分復(fù)數(shù)的乘法4運(yùn)算復(fù)數(shù)(共1題)34分直線與圓、點(diǎn)到直線的距離解析幾何(共4題)44分二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)二項(xiàng)式定理(共1題)54分平面向量(共1題)64分(共4題)74分函數(shù)(共3題)84分空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間幾何立體幾何(共3題)94分指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本函數(shù)(共3題)基本不等式(共1題)4分的思想去轉(zhuǎn)化題目中的幾何意義集合(共2題)函數(shù)(共3題)5分填空題拋物線的性質(zhì)解析幾何(共4題)5分填空題(共4題)5分填空題雙曲線的基本性質(zhì)解析幾何(共4題)5分填空題積數(shù)列(共3題)空間幾何體的體積(共3題)5分填空題征分析它們之間的性質(zhì)數(shù)列(共3題)成對數(shù)據(jù)分析(共1題)13分(共4題)13分線面平行、面面所成角立體幾何(共3題)14分古典概型、離散型隨機(jī)變量分布列統(tǒng)計(jì)與概率15分關(guān)系解析幾何(共4題)15分導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)(共1題)15分新定義、數(shù)列數(shù)列(共3題)我們不應(yīng)僅僅滿足于對知識點(diǎn)的記憶和背誦，而應(yīng)深入理解知識的產(chǎn)生過程。這景、發(fā)展脈絡(luò)以及其在整個(gè)學(xué)科體系中的位置和作用。通過追溯知識的根源識，增強(qiáng)記憶深度，同時(shí)培養(yǎng)我們的思維能力和探索精神。(2)以問題為導(dǎo)向的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)：問題導(dǎo)向的復(fù)習(xí)方法能夠幫助我們更加有針對性地進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過設(shè)定問題，我們能夠明確自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從同時(shí)，通過解決問題，我們能夠加深對知識點(diǎn)的理解和記憶，形成更加完整和系統(tǒng)的知識體系。(3)重視教材的使用：教材是學(xué)科知識的載體，也是我們進(jìn)行復(fù)習(xí)的主要工具。因此，利用教材，深入研讀教材內(nèi)容。通過反復(fù)閱讀和思考教材內(nèi)容，我們能夠更好地對知識的印象。同時(shí)，教材上的例題和習(xí)題也是我們進(jìn)行練習(xí)和鞏固知識的重要資源。(4)題組教學(xué)，變式訓(xùn)練：題組教學(xué)和變式訓(xùn)練是提高學(xué)生解題能力和思維水平的有效方法典型的例題進(jìn)行深入的解析和訓(xùn)練。通過題組教學(xué)，我們能夠了解不同題的套路和技巧。同時(shí)，通過變式訓(xùn)練，我們能夠拓展解題思路和方法，提高解題的靈活性和應(yīng)變能在復(fù)習(xí)課之前，我們應(yīng)該進(jìn)行一番自我檢測。通過回顧教材、筆記和之前的作業(yè)，梳識點(diǎn)，同時(shí)標(biāo)出那些還存在疑惑或未掌握的內(nèi)容。這樣的預(yù)復(fù)習(xí)不僅能幫助我們聽課時(shí)更有針對性地吸收知識。(2)動手做題，明確難點(diǎn)：課之前，我們可以嘗試獨(dú)立完成其中的例題。在解題過程中，我們可能會遇到一些難正是我們聽課的重點(diǎn)，它們將引導(dǎo)我們更加深入地理解知識，并找出自己的不足。(3)聽課有重點(diǎn)，多動腦思考：在聽課時(shí)，我們要保持高度的專注力，認(rèn)真聽老師講解每一個(gè)知識點(diǎn)和解題時(shí)遇到的難點(diǎn)，要特別留意老師的講解，并多動腦思考，確參與課堂討論，發(fā)表自己的觀點(diǎn)和疑問，與老師和同學(xué)共同探討，以加深對知識點(diǎn)的理解。(4)課后及時(shí)鞏固與反思：課后，我們要及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，通過做題、復(fù)習(xí)筆記等方式加深3.精準(zhǔn)糾錯(cuò)，深化反思，完善知識體系(1)在高三的緊張復(fù)習(xí)階段，我們需要積極“以錯(cuò)糾錯(cuò)”,即專門收集日常作業(yè)中的錯(cuò)誤。隨著復(fù)習(xí)的深入，我們將面對幾十套甚至上百套的各類試題，每個(gè)錯(cuò)誤都是我們成長的墊腳石。(2)若在做題時(shí)出錯(cuò)較多，建議在試卷上對錯(cuò)題進(jìn)行標(biāo)記，并旁邊附上簡短的評析。隨后，妥善保存這些試卷。定期回顧這些“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記了錯(cuò)題的試卷，將幫助我們有針對性地進(jìn)行查漏補(bǔ)缺。(3)在閱讀參考書時(shí)，不妨將精彩之處或錯(cuò)誤的題目也做上標(biāo)記。這樣，在再次翻閱時(shí)就能有所側(cè)重，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)。查漏補(bǔ)缺不僅是對知識的回顧，更是對自己思維方式的反思與提升。(4)除了逐一理解不同問題外，更要學(xué)會“舉一反三”,及時(shí)歸納總結(jié)。每次訂正試卷或作業(yè)時(shí)，都要在錯(cuò)題旁詳細(xì)記錄錯(cuò)誤原因。常見原因包括：①無從下手解題；②概念模糊、理解不透徹；③方法選擇不當(dāng)；④知識點(diǎn)間遷移和綜合存在問題；⑤情景設(shè)計(jì)理解困難；⑥熟練度不夠，時(shí)間緊迫；⑦粗心大意或計(jì)算失誤。通過一段時(shí)間的自查，建立一份個(gè)性化的補(bǔ)差檔案，持續(xù)邊查邊改。隨著時(shí)間的推移，重復(fù)犯錯(cuò)的頻率會大幅降低。同時(shí)，隨著自我認(rèn)識的不斷深化，考試時(shí)的自信心將增強(qiáng)，緊張情緒也將得到緩解。2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀(北京卷)2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀(北京卷)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合M={x|-4<x≤1},N={x|-1<x<3},則MUN=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-1<x≤1}c.{0,1,2}D.{【命題意圖】本題考查集合的并集運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：易.【點(diǎn)評】集合是高考每年必考知識點(diǎn)，一般以容易題面目呈現(xiàn)，考查熱點(diǎn)一是集合的并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算，二是集合之間的關(guān)系，所給集合多為不等式集、離散的數(shù)集或點(diǎn)集，這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.【知識鏈接】1.求解集合的運(yùn)算問題的三個(gè)步驟：(1)看元素構(gòu)成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵，即辨清是數(shù)集、點(diǎn)集還是圖形集等；(2)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).A.1-iB.-i【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：易.【答案】C點(diǎn)一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義，如復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何意義等，二是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算運(yùn)算.【知識鏈接】解復(fù)數(shù)運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算定義解答.(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.復(fù)數(shù)的幾何意義解答.A.√2B.2難度：易【答案】D則其圓心坐標(biāo)為(1,-3),則圓心到直線x-y+2=0的距離為.故選：D.【點(diǎn)評】今年的直線與圓的位置關(guān)系考的比往年要簡單，往年著重考查圓有關(guān)的最值問題，今年考查的是基礎(chǔ)知識的運(yùn)用，學(xué)生易得分?！局R鏈接】(1)對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F為常數(shù)),當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程的展開式中，x3的系數(shù)為()B.-6【命題意圖】本題考查二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：易【答案】A【點(diǎn)評】相較于往年，今年的題目在難度上稍有提升，其中新加入了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的知識點(diǎn)，為考生帶來了新的挑戰(zhàn)。然而，從總體方向來看，題目的主要考查點(diǎn)并未改變，仍舊聚焦于二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，旨在檢驗(yàn)考生對該知識點(diǎn)的掌握與運(yùn)用。【知識鏈接】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式Tk+1=Cha"-kbkA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及命題與邏輯，數(shù)學(xué)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：易【答案】B可知(a+b)(a-b)=0等價(jià)于la=6,綜上所述，"(ā+b)·(a-b)=0”是“a≠b且a≠-b”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)評】平面向量在北京高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的必考地位，常以客觀題的形式呈現(xiàn)。其考察熱點(diǎn)主要集中在平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的靈活運(yùn)用上。這些題目既可以設(shè)置成基礎(chǔ)題型，幫助學(xué)生扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識點(diǎn)；又可以構(gòu)造得相當(dāng)復(fù)雜，通過融合平面幾何、不等式、三角函數(shù)等多個(gè)知識領(lǐng)域，對學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和解題策略提出更高層次的要求。特別是在較難的題目中，平面向量常與其他數(shù)學(xué)概念相交融，形成綜合考察，考驗(yàn)著學(xué)生的邏輯思維深度和解題智慧?！局R鏈接】1.對于平面向量數(shù)量積的求解，有兩種主要方法。當(dāng)已知向量的模長和夾角時(shí)，可以利用公則a-b=xix2+yiy?.2.在處理與平面幾何相關(guān)的平面向量數(shù)量積的最值與范圍問題時(shí)，常用的方法有以下兩種。一是通過建立坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再利用函數(shù)思想或基本不等式進(jìn)行求解；二是通過引入角作為變量，將問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值或范圍問題。這兩種方法都能夠有效地處理這類問題，并幫助我們找到數(shù)量積的最值或范圍。A.1B.2【命題意圖】本題考查三角函數(shù)最值以及周期性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：中【答案】B【解析】由題意可知：x,為f(x)的最小值點(diǎn)，x?為f(x)的最大值點(diǎn)，【點(diǎn)評】學(xué)生們在解決涉及三角函數(shù)最值分析的問題時(shí)，可以利用周期性的概念進(jìn)行深入理解，并結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式進(jìn)行計(jì)算求解。相較于去年，今年的題目難度雖略有提升，但整體上依然較為友好，易于學(xué)生理解和把握，因此學(xué)生們在掌握相應(yīng)知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，較容易獲得理想的分?jǐn)?shù)?！局R鏈接】1.對于函數(shù)y=Asin(ox+φ)(A≠0,w≠0),其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).2.w由周期得到：①函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數(shù)的半個(gè)周期；②函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對稱中心，相鄰兩個(gè)對稱中心間的距離也是函數(shù)的半個(gè)周期；③一條對稱軸與其相鄰的一個(gè)對稱中心間的距離為函數(shù)白個(gè)周期(借助圖象很好理解記憶).7.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中S,N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由N?變?yōu)镹?,生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則()A.3N?=2N?B.2N?=3C.N2=N3【命題意圖】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：中【答案】D【點(diǎn)評】通過將題目背景設(shè)置為現(xiàn)實(shí)生活情境，我們旨在讓考生在解題的同時(shí)，深刻體會到數(shù)學(xué)既源于生活又服務(wù)于生活。本題特別強(qiáng)調(diào)了比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，除了常見的作差法外，有時(shí)采用作比法可能更為恰當(dāng)和有效。這樣的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)考生拓展思維，理解數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的靈活應(yīng)用。該棱錐的高為().A.1B.2則PE⊥AB,EF⊥AB,且PE∩EF=E,PE,EFC平面PEF,可知AB⊥平面PEF,且ABc平面ABCD,過P作EF的垂線，垂足為0,即PO⊥EF,平面PEF,所以PO⊥平面ABCD,則PE2+PF2=EF2,即PE⊥PF,則【點(diǎn)評】與去年相比，去年考察的是空間幾何體的棱長之和，而今年的焦點(diǎn)則轉(zhuǎn)向了空間幾何體的高，從難度上看，今年的考查點(diǎn)顯得更為直接和簡單。解題過程中，首先利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出線面垂直，進(jìn)而借助等體積法巧妙求解，使得整個(gè)解題過程變得清晰且易于操作。【知識鏈接】面面垂直的性質(zhì)定理文字語言直線與另一個(gè)平面垂直圖形語言a符號語言9.已知(x,y?),(x?,y?)是函數(shù)y=2*圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是()【答案】A對于選項(xiàng)AB:可得對于選項(xiàng)C:例如x?=0,x?=1,則y?=1,y?=2,對于選項(xiàng)D:例如x?=-1,x?=則可得),即,故D錯(cuò)誤，【點(diǎn)評】這道題目巧妙地運(yùn)用了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)模型，深入考察了基本不等式的應(yīng)用。在北京高考中，基本不等式經(jīng)常與其他數(shù)學(xué)知識點(diǎn)相互交融，而今年這一結(jié)合的方式顯得尤為巧妙。題目不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式的深度，還與函數(shù)的凹凸性有著微妙的關(guān)聯(lián)，為考生提供了一次綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的機(jī)會?！局R鏈接】(1)指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0,且a≠1)圖象0x0x定義域R性質(zhì)過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1;當(dāng)x<0時(shí)，y>1當(dāng)x>0時(shí)，y>1;當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1y=a*與的圖象關(guān)于y軸對稱(2)基本不等式：應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.10.已知M={(x,y)ly=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)d是M中兩點(diǎn)間距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則()A.d=3,S<1B.【命題意圖】本題考查集合的表示、函數(shù)圖像的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：難【答案】C【解析】對任意給定x∈[1,2],則x2-x=x(x-1)≥0,且t∈[0,1],可知x≤x+t(x2-x)≤x+x2-x=x2,即x≤y≤x2,再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域如圖陰影部分所示，其中A(1,1),B(2,2),C(2,4),可知任意兩點(diǎn)間距離最大值d=|AC=√10;陰影部分面積.【點(diǎn)評】這道題目的設(shè)計(jì)極為巧妙，它巧妙地利用集合中的點(diǎn)集來代表平面圖形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像深入分析平面中兩點(diǎn)的最值問題。作為選擇題的壓軸題，它不僅展示了數(shù)學(xué)的深度和美感，而且相較于去年，難度上有所降低，使得更多學(xué)生能夠挑戰(zhàn)并享受解題的過程?！局R鏈接】在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法時(shí)，其核心在于“以形助數(shù)”,即在解題過程中，我們應(yīng)著重培養(yǎng)這種思想意識。這不僅要求我們在腦海中形成清晰的圖形形象，而且要做到每當(dāng)看到數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)，能夠迅速聯(lián)想到相關(guān)的圖形。這樣做能夠極大地拓寬我們的解題思路。使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件能夠明確轉(zhuǎn)化為幾何意義，解題時(shí)，我們需精準(zhǔn)地把握條件、結(jié)論與幾何圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，巧妙地利用幾何圖形中的相關(guān)定理和結(jié)論來求解問題。二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知拋物線y2=16x,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為【命題意圖】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：易【答案】(4,0)【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).故答案為：(4,0).【點(diǎn)評】本題重在基礎(chǔ)知識的考查，對學(xué)生要求不高。【知識鏈接】標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程離心率e=1,P越大，拋物線的開口越大焦半徑公式12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱.若易【答案】【解析】由題意β=α+π+2kπ,k∈Z,從而cosβ=cos(α+π+2kπ)=-cosα,【點(diǎn)評】通過巧妙地利用三角函數(shù)的對稱性特性，我們可以建立β與α之間的關(guān)系，進(jìn)而依托的cosa取值范圍，精準(zhǔn)地推導(dǎo)出本題的答案。這種解題方法不僅體現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識點(diǎn)的深入理解和應(yīng)用，更展現(xiàn)了13.若直線y=k(x-3)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的一個(gè)取值為【命題意圖】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)及直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的核心素【答案】(或,答案不唯一)由題意得1-4k2=0或△=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得或無解，即,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：(或,答案不唯一).【點(diǎn)評】本題為開放型題目，較去年的13題相比容易很多，直接借助直線與雙曲線的位置關(guān)系聯(lián)立方程組，令△=0從而求出k?！局R鏈接】設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0),①當(dāng)b2-a2k2=0,即寸，直線l與雙曲線C的漸近平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn).14.漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是禽、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及圓柱的體積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：中【答案】【解析】設(shè)升量器的高為h,斗量器的高為h?(單位都是mm),則【點(diǎn)評】【知識鏈接】(1)圓柱體積V=πr2h(r為底面半徑，h為圓柱的高);(2)等比數(shù)列的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母9表示(q≠0)符號語言(或者15.設(shè){a}與{b.}是兩個(gè)不同的無④若{a,}為遞增數(shù)列，{b.}為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元對于③,設(shè)b?=Aq"(Aq≠0,q≠±1),a=kn+b(k≠0),當(dāng)Aq"=kn+b有奇數(shù)解，此方程即為-A|q|"=故Aq"=kn+b不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確.對于④,因?yàn)閧a,}為單調(diào)遞增，{bn}為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.【點(diǎn)評】對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,∠A為鈍角，a=7,(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得ABC存在，求ABC的面積.條件①:b=7;條件②:;條件③:注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均【分析】(1)利用正弦定理即可求出答案；(2)選擇①,利用正弦定理得,結(jié)合(1)問答案即可排除；選擇②,首先求出代入式子得b=3,再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面積公式即可；選擇③,首先得到c=5,再利用正弦定理得到再利用兩角和的正弦公式即可求出sinB,最后利用三【解析】(1)由題意得,因?yàn)锳為鈍角，因?yàn)锳為鈍角，則(2)選擇①b=7,則：,因?yàn)?則B為銳角，則此時(shí)A+B=π,不合題意，舍棄；選擇②,因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，則則代入則代入選擇③,解得c=5,因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則則算能力過關(guān)，該題得滿分應(yīng)該沒有問題.【知識鏈接】應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧或其他相應(yīng)變形公式求解.(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,點(diǎn)E在AD上，且PE⊥AD,PE=DE=2.(1)若F為線段PE中點(diǎn)，求證：BF//(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.【命題意圖】本題考查線面平行的證明及面面所成角的計(jì)算，考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)取PD的中點(diǎn)為S,接SF,SC,可證四邊形SFBC為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得BF//平面PCD.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夾角的余弦值.【解析】而ED//BC,ED=2BC,故SF//BC,SF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形，故BF//SC,而BF女平面PCD,SCc平面PCD,所以BF//平面PCD.因?yàn)镋D=2,故AE=1,故AE//BC,AE=BC,故四邊形AECB為平行四邊形，故CE/IAB,所以CE⊥平面PAD,而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0則PA=(0,-1,-2),PB=(1,-1,-2),PC=(1,0,-2),PD=(0,2,-2),設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y,z),則由可得,取m=(0,-2,1),設(shè)平面PCD的法向量為n=(a,b,c),則由可得,取n=(2,1,1),故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為【點(diǎn)評】北京高考試卷中立體幾何解答題一般有2問，第一問多為線面位置關(guān)系的證明，對于線面位置關(guān)系的證明，步驟不規(guī)范是失分的主要原因，第二問多為利用空間向量線面角或面面角，在高考中立體幾何解答題【知識鏈接】證明線面位置關(guān)系應(yīng)注意的問題(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對照條件、步驟書寫要規(guī)范.18.某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：01234假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.(ii)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與(i)中E(X)估計(jì)【命題意圖】本題考查古典概型求概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：中【答案】(1)(2)(i)0.122萬元(ii)0.1252萬元【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；(2)(i)設(shè)ξ為賠付金額，則ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3,用頻率估計(jì)概率后可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求E(X).(ii)先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合(1)的結(jié)果可求E(Y).【解析】(1)設(shè)A為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”,由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得(2)(i)設(shè)ξ為賠付金額，則ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3,由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得(ii)由題設(shè)保費(fèi)的變化為【點(diǎn)評】此題巧妙地以保險(xiǎn)單為現(xiàn)實(shí)背景，深入生活，探尋數(shù)學(xué)的蹤跡，將數(shù)學(xué)與日常生活緊密相連。通過這一方式，不僅檢驗(yàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，更讓他們深切地認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活的真諦。與去年相比，本題難度適中，讓學(xué)生更容易上手，同時(shí)也保持了挑戰(zhàn)性，提升了學(xué)習(xí)的趣味性和實(shí)用性?！局R鏈接】一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x?,x?,…,x,,…,x,X取每一個(gè)值x;(i=1,2,…,n)的概率P(X=x,)=p?,以表格的形式表示如下：XP我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.有時(shí)(1)求橢圓E的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0,求t的值.【答案】(1)(2)t=2【分析】(1)由題意得b=c=√2,進(jìn)一步得a,由此即可得解；定理有,而1,令x=0,即可得解.【解析】(1)由題意,從而a=√b2+c2=2,由題意△=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-r2)>0,即k,t應(yīng)滿足4k2+2-r2>0,所以若直線BD斜率為0,由橢圓的對稱性可設(shè)D(-x?,y?),,在直線AD方程中令x=0,所以t=2,此時(shí)k應(yīng)滿足,即k應(yīng)滿足或【點(diǎn)評】與去年情況相類似，今年橢圓解答題再次位于第19題，其難度水平也與去年相近。一般而言，解析幾何解答題的第(1)小題被視為較易得分的部分，其難度相對較低。對于考生而言，盡管難題可能難以完全攻克，但爭取在容易題目上拿到盡可能多的分?jǐn)?shù)，始終是值得追求的目標(biāo)。值得注意的是，解析幾何解答題的一大特點(diǎn)是其計(jì)算量相對較大，這導(dǎo)致部分學(xué)生在解題過程中可能因?yàn)橛?jì)算能力不足而出錯(cuò)，甚至因覺得麻煩而選擇放棄。然而，實(shí)際上，解析幾何解答題的第(1)小題通常涉及求圓錐曲線方程或離心率，其難度并不高，因此建議考生不要輕易放棄。對于第(2)小題，雖然其解題思路可能需要一定的思考和推導(dǎo)，但總體來說還是較為容易理解和掌握的。建議考生平時(shí)多加練習(xí)類似的題目，總結(jié)計(jì)算規(guī)律，以提高解題速度和準(zhǔn)確性，確保在這部分能夠取得理想的分?jǐn)?shù)?！局R鏈接】判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線I的方程Ax+By0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=0,消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元方程.例：由消去y,得ax2+bx+c=0.當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為4,則：4>0?直線與圓錐曲線C相交；4=0?直線與圓錐曲線C相切；4<0?直線與圓錐曲線C相離.20.設(shè)函數(shù)f(x)=x+kn(1+x)(k≠0),直線1是曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))(t>0)處的切線.(2)求證：1不經(jīng)過點(diǎn)(0,0).(3)當(dāng)k=1時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(t,f(t)(t>0),c(0,f(t)),0(個(gè)?(參考數(shù)據(jù)：1.09<In3<1.10,1.60<In5<1.61,1.94<ln7<1.95)【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：難【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+0).(2)證明見解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1,再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；,將(0,0)代入再設(shè)新函數(shù)(2)寫出切線方程,將(0,0)代入再設(shè)新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；再設(shè)新函數(shù)(3)分別寫出面積表達(dá)式，代入2SAco=15SAgo得到再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.∴f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增.則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+0).則切線方程為則,則,假設(shè)l過(0,0),則F(t)在t∈(0,+0)存在零點(diǎn).,設(shè)l與Y軸交點(diǎn)B為(0,q),由(2)知q≠0.所以q>0,【點(diǎn)評】在北京的高考數(shù)學(xué)考試中，導(dǎo)數(shù)解答題常出現(xiàn)在第19題或第20題的位置，這些題目通常以切線為核心展開，無論是探究極值、最值，還是研究零點(diǎn)問題、證明不等式，甚至解決多數(shù)情況都需要利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用這一單調(diào)性來求解。因此【知識鏈接】曲線的切線問題(在型)第二步：計(jì)算切線斜率k=f'(x).第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)(x,f(x?),切線斜率k=f'(x。)。21.已知集合M={(i,j,k,w)i∈{1,2},j∈{3,4},k∈{5,6},w∈{7,8},且i+j+k+w為偶數(shù)}.給定數(shù)下變換：將A的第i,ji,k?,w?項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作T(A);將T(A)的第i?,j?,k?,W?項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作TT(A);.……;以此類推，得到T,…T?T(A),簡