集體備課教案13算法案例

霍城縣江蘇中學(xué)集體備課教案（試行稿）年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)主備人王圣明第2稿教學(xué)內(nèi)容：必修3第一章1.3算法案例教學(xué)目標(biāo)（按考試大綱要求）知識與技能1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析.2.了解秦九韶算法的計算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì).3.了解各種進位制與十進制之間轉(zhuǎn)換的規(guī)律，會利用各種進位制與十進制之間的聯(lián)系進行各種進位制之間的轉(zhuǎn)換.過程與方法在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對比我們常見的約分求公因式的方法模仿秦九韶計算方法，體會古人計算構(gòu)思的巧妙.學(xué)習(xí)各種進位制轉(zhuǎn)換成十進制的計算方法，研究十進制轉(zhuǎn)換為各種進位制的除k取余法，并理解其中的數(shù)學(xué)規(guī)律.情感、態(tài)度與價值觀1.通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻.2.在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力.復(fù)備人：重點、突破難點：重點：1..理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.2.秦九韶算法的特點3.各進位制表示數(shù)的方法及各進位制之間的轉(zhuǎn)換。難點:1.把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言2.秦九韶算法的先進性理解.3除k取余法的理解以及各進位制之間轉(zhuǎn)換的程序框圖的設(shè)計.修改補充：如何突出重點、突破難點1.在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語句設(shè)計出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序.2.探究秦九韶算法對比一般計算方法中計算次數(shù)的改變，體會科學(xué)的計算.3.在學(xué)習(xí)各種進位制特點的同時探討進位制表示數(shù)與十進制表示數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉各種進位制表示數(shù)的方法，從而理解十進制轉(zhuǎn)換為各種進位制的除k取余法.教學(xué)設(shè)計：教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題1.教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過求最大公約數(shù)的知識，你能求出18與30的公約數(shù)嗎？2.接著教師進一步提出問題，我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容.二、研探新知1.輾轉(zhuǎn)相除法例1求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù).（分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù)）解：8251＝6105×1＋2146顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù).6105＝2146×2＋1813，2146＝1813×1＋333，1813＝333×5＋148，333＝148×2＋37，148＝37×4＋0，則37為8251與6105的最大公約數(shù).以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法.也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的.利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商q0和一個余數(shù)r0；第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0得到一個商q1和一個余數(shù)r1；第三步：若r1＝0，則r1為m，n的最大公約數(shù)；若r1≠0，則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個商q2和一個余數(shù)r2；……依次計算直至rn＝0，此時所得到的rn－1即為所求的最大公約數(shù).練習(xí)：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù).（答案：53）2.更相減損術(shù)我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù).更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.翻譯出來為：第一步：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù).繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù).例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35，63－35＝28，35－28＝7，28－7＝21，21－7＝14，14－7＝7，所以，98與63的最大公約數(shù)是7.練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù).（答案：12）3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯.（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到.三、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的計算，下面我們計算一下多項式當(dāng)時的值，并統(tǒng)計所做的計算的種類及計算次數(shù).根據(jù)我們的計算統(tǒng)計可以得出我們共需要10次乘法運算，5次加法運算.我們把多項式變形為：再統(tǒng)計一下計算當(dāng)時的值時需要的計算次數(shù)，可以得出僅需4次乘法和5次加法運算即可得出結(jié)果.顯然少了6次乘法運算.這種算法就叫秦九韶算法.四、研探新知秦九韶計算多項式的方法這就是我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出的算法.這種算法就叫秦九韶算法.思考：對于f（x）＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，其算法步驟如何？第一步，計算v1＝anx＋an－1.第二步，計算v2＝v1x＋an－2.第三步，計算v3＝v2x＋an－3.……第n步，計算vn＝vn－1x＋a0.思考：在秦九韶算法中，記v0＝an，那么第k步的算式是什么？vk＝vk－1x＋an－k（k＝1，2，…，n）.例1已知一個5次多項式為,用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)時的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：f（x）＝（（（（4x＋2）x＋3.5）x－2.6）x＋1.7）x－0.8按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x＝5時的值：v0＝4；v1＝45＋2＝22；v2＝225＋3.5＝113.5；v3＝113.55－2.6＝564.9；v4＝564.95＋1.7＝2826.2；v5＝2826.25－0.8＝14130.2.所以，當(dāng)x＝5時，多項式的值等于14130.2.思考：（1）例1計算時需要多少次乘法計算？多少次加法計算？（2）在利用秦九韶算法計算n次多項式當(dāng)時需要多少次乘法計算和多少次加法計算？練習(xí)：利用秦九韶算法計算當(dāng)時的值，并統(tǒng)計需要多少次乘法計算和多少次加法計算？五、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題我們常見的數(shù)字都是十進制的，但是并不是生活中的每一種數(shù)字都是十進制的.比如時間和角度的單位用六十進位制，電子計算機用的是二進制.那么什么是進位制？不同的進位制之間又有什么聯(lián)系呢？六、研探新知進位制是一種記數(shù)方式，用有限的\o"數(shù)字"數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值.可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制.現(xiàn)在最常用的是\o"十進制"十進制，通常使用10個\o"阿拉伯?dāng)?shù)字"阿拉伯?dāng)?shù)字0－9進行記數(shù).對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示.比如：\o"十進制"十進數(shù)57，可以用\o"二進制"二進制表示為111001，也可以用\o"八進制"八進制表示為71、用\o"十六進制"十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的.表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示，如111001（2）表示二進制數(shù)，34（5）表示5進制數(shù).電子計算機一般都使用二進制，下面我們來進行二進制與十進制之間的轉(zhuǎn)化.例1把二進制數(shù)110011（2）化為十進制數(shù).解：110011＝125＋124＋023＋022＋121＋120＝32＋16＋2＋1＝51.例2把89化為二進制數(shù).解：根據(jù)二進制數(shù)滿二進一的原則，可以用2連續(xù)去除89或所得商，然后取余數(shù).具體的計算方法如下：因為89＝244＋1，44＝222＋0，22＝211＋0，11＝25＋1，5＝22＋1，所以，89＝2（2（2（2（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1＝126＋025＋124＋123＋022＋021＋120＝1011001（2）.這種算法叫做除2取余法，還可以用下面的除法算式表示：把上式中的各步所得的余數(shù)從下到上排列即可得到89＝1011001（2）上述方法也可以推廣為把十進制化為k進制數(shù)的算法，這種算法成為除k取余法.當(dāng)數(shù)字較小時，也可直接利用各進位制表示數(shù)的特點，都是以冪的形式來表示各位數(shù)字，比如2*103表示千位數(shù)字是2，所以可以直接求出各位數(shù)字.即把89轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，直接觀察得出89與64最接近故89＝64*1＋25同理：25＝161＋9，9＝81＋1，即89＝641＋161＋81＋1＝126＋124＋123＋120,位數(shù)6543210數(shù)字1011001即89＝1011001（2）練習(xí)：p45