2025年湘教新版高二數(shù)學下冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教新版高二數(shù)學下冊階段測試試卷458考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、已知函數(shù)其導函數(shù)圖象如圖1所示，則函數(shù)的極小值是（*）A.B.C.D.2、函數(shù)f（x）的定義域為（a，b），導函數(shù)f′（x）在（a，b）內的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在（a，b）內的極大值點有（）

A.4個。

B.3個。

C.2個。

D.1個。

3、【題文】若則向量與的夾角為（）A.B.C.D.4、【題文】在中，若則()A.B.C.D.5、如圖所示，墻上掛有一邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧。某人向此板投鏢；假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是（）

A.B.C.D.與a的取值有關6、曲線y=x3﹣2x+4在點（1，3）處的切線的傾斜角為（）A.30°B.45°C.60°D.120°7、“a=1

”是“復數(shù)a2鈭?1+(a+1)i(a隆脢R,i

為虛數(shù)單位)

是純虛數(shù)”的(

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8、將甲、乙、丙、丁四名學生分配到三個不同的班，每個班至少一名，則不同分法的種數(shù)為(

)

A.18

B.24

C.36

D.72

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)9、若A，B是雙曲線8x2-y2=8的兩焦點，點C在該雙曲線上，且△ABC是等腰三角形，則△ABC的周長為____．10、【題文】一鐘表的分針長5cm，經(jīng)過40分鐘后，分針外端點轉過的弧長是________cm11、【題文】____12、【題文】某小組中有6名女同學和4名男同學，從中任意挑選3名同學組成環(huán)保志愿者宣傳隊，則這個宣傳隊由2名女同學和1名男同學組成的概率是________（結果用分數(shù)表示）．13、【題文】14、【題文】五對夫妻要排成一列，則每一位丈夫總是排在他妻的后面（可以不相鄰）的概率為____。15、已知f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則實數(shù)a的取值范圍是______．16、過點（1，0）且與直線x+3y-1=0垂直的直線方程的一般式是______．評卷人得分三、作圖題(共6題，共12分)17、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

18、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）19、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）20、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）21、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）22、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共15分)23、在相同條件下對自行車運動員甲；乙兩人進行了6次測試；測得他們的最大速度（單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：

。甲273830373531乙332938342836（1）用莖葉圖表示甲；乙兩個成績；

（2）根據(jù)莖葉圖分別計算兩個樣本的平均數(shù)和方差s2；并根據(jù)計算結果估計哪位運動員的成績比較穩(wěn)定．

24、【題文】已知數(shù)列滿足：且．

（1）令判斷是否為等差數(shù)列，并求出

（2）記的前項的和為求．25、求函數(shù)f(x)=x3鈭?32x2+5

在區(qū)間[鈭?2,2]

上的最大值與最小值．評卷人得分五、計算題(共3題，共9分)26、已知等式在實數(shù)范圍內成立，那么x的值為____．27、1.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實數(shù)a的值；(2)若關于x的方程在[，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；(3)證明：(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931).28、解不等式組：．評卷人得分六、綜合題(共2題，共20分)29、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．30、已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，S3=0．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、D【分析】【解析】【答案】D2、D【分析】

結合函數(shù)圖象；根據(jù)極大值的定義可知在該點處從左向右導數(shù)符號先正后負；

從圖象上可看出符合條件的有1點；

故選D．

【解析】【答案】結合圖象；根據(jù)導數(shù)大于零，即導函數(shù)的圖象在x軸上方，說明原函數(shù)在該區(qū)間上是單調遞增，否則為減函數(shù)，極大值點兩側導數(shù)的符號，從左往右，先正后負，因此根據(jù)圖象即可求得極大值點的個數(shù)．

3、B【分析】【解析】

試題分析：∵∴∴∵∴

∴∴

考點：1.夾角公式；2.向量運算.【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】解：因為中，若利用正弦定理可知sinB=選D【解析】【答案】D5、A【分析】【分析】因為基本事件總數(shù)無限，所以考慮幾何概型求概率，

故選A。6、B【分析】【解答】解：y/=3x2﹣2，切線的斜率k=3×12﹣2=1．故傾斜角為45°．故選B．

【分析】欲求在點（1，3）處的切線傾斜角，先根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知k=y′|x=1，再結合正切函數(shù)的值求出角α的值即可．7、C【分析】解：當a=1

時；復數(shù)a2鈭?1+(a+1)i=2i

為純虛數(shù)，滿足充分性；

當a2鈭?1+(a+1)i

是純虛數(shù)時；有a2鈭?1=0

且a+1鈮?0

解得a=1

滿足必要性．

綜上；“a=1

”是“復數(shù)a2鈭?1+(a+1)i(a隆脢R)i

為虛數(shù)單位)

是純虛數(shù)”的充要條件；

故選：C

．

利用純虛數(shù)的定義；先判斷充分性再判斷必要性．

該題考查復數(shù)的基本概念、充要條件.

屬基礎題．【解析】C

8、C【分析】解：根據(jù)題意；分2

步進行分析：

壟脵

將4

名學生分成3

組；其中1

組2

人，其余2

組各1

人，有C42=6

種分組方法；

壟脷

將分好的3

組全排列；對應3

個班級，有A33=6

種情況；

則有6隆脕6=36

種不同的分法；

故選：C

．

根據(jù)題意；分2

步進行分析：壟脵

將4

名學生分成3

組，其中1

組2

人，其余2

組各1

人，壟脷

將分好的3

組全排列，對應3

個班級，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

本題考查分步計數(shù)原理的應用，注意題目要求“每個班至少一名”學生．【解析】C

二、填空題(共8題，共16分)9、略

【分析】

8x2-y2=8化為標準方程：x2-=1，則c2=1+8=9；即c=3；

所以焦點A（-3；0），B（3，0）；

△ABC為等腰三角形有三種情況：AC=BC；AB=AC，AB=BC；

（1）AC=BC；這在雙曲線中是不可能的，因為雙曲線滿足|AC-BC|=2a；

顯然AC不可能等于BC；

（2）AB=AC；因為AB=6，所以AC=6，由第一定義：|AC-BC|=2a=2，得BC=8或4

所以周長為16或20；

（3）AB=BC；根據(jù)對稱性，結果同（2）；

所以；△ABC的周長為16或20

故答案為：16或20．

【解析】【答案】首先將方程轉化成標準方程；然后求出焦點坐標，△ABC為等腰三角形有三種情況：AC=BC，AB=AC，AB=BC，當AC=BC時，這在雙曲線中是不可能的，當AB=AC時，根據(jù)雙曲線定義得出|AC-BC|=2a，求出BC的長，即可求出周長；當AB=BC時，根據(jù)對稱性，求出結果．

10、略

【分析】【解析】

試題分析：分針每60分鐘轉一周；

故每分鐘轉過的弧度數(shù)是

分針經(jīng)40分鐘，分針的端點所轉過的角的弧度數(shù)為2π×=

代入弧長公式l=αr，得出分針的端點所轉過的長為×5=（cm）．

故答案為：

考點：弧度制下弧長公式的計算。

點評：中檔題，弧長等于弧長所對圓心角的弧度數(shù)乘以半徑，弧長公式l=αr中α的數(shù)值應為圓心角的弧度數(shù)。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：由于二倍角余弦公式可知，故可知答案為

考點：二倍角的余弦公式。

點評：主要是考查了二倍角余弦公式的運用，屬于基礎題?！窘馕觥俊敬鸢浮?2、略

【分析】【解析】

試題分析：從6+4=10人中任意挑選3名同學，共有種基本事件，選2名女同學和1名男同學共有種基本事件，因此概率是

考點：古典概型概率【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1.814、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】解：（i）當a=0時，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=函數(shù)f（x）有兩個零點，舍去．

（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+），令f′（x）=0，解得x=0或-．

①當a＜0時，-＞0，當x＞-或x＜0，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當0＜x＜-時；f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．

∴故x=-是函數(shù)f（x）的極大值點；0是函數(shù)f（x）的極小值點．

∵函數(shù)f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零點x0，且x0＜0，則f（-）=-+-1=-1＜0；

即a2＞4得a＞2（舍）或a＜-2．

②當a＞0時，-＜0，當x＜-或x＞0時；f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增；

當-＜x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減．

∴x=-是函數(shù)f（x）的極大值點；0是函數(shù)f（x）的極小值點．

∵f（0）=-1＜0；

∴函數(shù)f（x）在（0；+∞）上存在一個零點，此時不滿足條件．

綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是（-∞；-2）．

故答案為：（-∞；-2）．

討論a的取值范圍；求函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)極值和單調性之間的關系進行求解即可．

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、函數(shù)的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】（-∞，-2）16、略

【分析】解：設與直線x+3y-1=0垂直的直線方程的一般式是3x-y+m=0；

把點（1；0）代入可得：3+m=0，解得m=-3．

因此所求的方程為：3x-y-3=0．

故答案為：3x-y-3=0．

設與直線x+3y-1=0垂直的直線方程的一般式是3x-y+m=0；把點（1，0）代入即可得出．

本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【解析】3x-y-3=0三、作圖題(共6題，共12分)17、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

18、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點之間，線段最短．20、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．22、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共15分)23、略

【分析】

（1）由題意可得：這兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖為：

（2）由莖葉圖可得：

∵S乙2＜S甲2

∴乙比較穩(wěn)定。

∴確定乙的成績比較穩(wěn)定．

【解析】【答案】（1）根據(jù)莖葉圖的特征可得莖的部分是十位；葉的部分是個位．

（2）由莖葉圖結合均值與方差的公式；計算出甲乙兩人的均值與方差，進而得到答案．

24、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）注意從出發(fā)；確定。

數(shù)列中相鄰項的關系，得到再根據(jù)為首項，以為公差的等差數(shù)列；確定通項公式．

（2）研究發(fā)現(xiàn)是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；

是以為首項，以為公差的等差數(shù)列；因此，應用“分組求和法”，計算等比；等差數(shù)列數(shù)列的和．

解得本題的關鍵是確定數(shù)列的基本特征．

試題解析：（1）

即4分。

是以為首項，以為公差的等差數(shù)列5分。

6分。

（2）對于

當為偶數(shù)時，可得即

是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；8分。

當為奇數(shù)時，可得即

是以為首項，以為公差的等差數(shù)列10分。

12分。

考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式．【解析】【答案】（1）是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

（2）．25、略

【分析】

求出函數(shù)的導數(shù)；解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道基礎題．【解析】解：f隆盲(x)=3x2鈭?3x=3x(x鈭?1)

令f隆盲(x)>0

解得：x>1

或x<0

令f隆盲(x)<0

解得：0<x<1

故f(x)

在[鈭?2,0)

遞增；在(0,1)

遞減，在(1,2]

遞增；

而f(鈭?2)=鈭?9f(0)=5f(1)=92f(2)=7

故函數(shù)f(x)max=7f(x)min=f(鈭?2)=鈭?9

．五、計算題(共3題，共9分)26、略

【分析】【分析】先移項并整理得到=，然后兩邊進行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化為=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案為：1或2．27、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由題意，得f'(1)＝0Ta＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0設g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)則g'(x)＝2x－3＋＝4分當x變化時，g'(x)，g(x)的變化情況如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗極大值↘極小值↗b－2＋ln2當x＝1時，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根高考+資-源-網(wǎng)由TT＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)設Φ(x)＝lnx－(x2－1)則Φ'(x)＝－＝當x≥2時，Φ'(x)＜0T函數(shù)Φ(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Tlnx＜(x2－1)∴當x≥2時，∴＞2[(1－)