北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：變量與函數(shù)（原卷版）

第11講變量與函數(shù)

------------------

學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V——

1.理解變量與常量概念，并會(huì)辨別自變量與因變量

2.掌握自變量的取值范圍運(yùn)算方法

3.理解函數(shù)定義，并能根據(jù)生活實(shí)際列出相關(guān)的函數(shù)解析式

4.通過(guò)函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生讀取圖像信息能力，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)。

||雷基礎(chǔ)知識(shí)

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識(shí)點(diǎn)1:變量與常量

定義：在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱(chēng)數(shù)值發(fā)生改變的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.

一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量X和y,并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有

唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù).如果當(dāng)x=a

時(shí)，y=b,b那么a叫做當(dāng)自變量x的值為a時(shí)的函數(shù)值.

知識(shí)點(diǎn)2：自變量取值范圍

初中階段，在一般的函數(shù)關(guān)系中自變量的取值范圍主要考慮以下四種情況：

（1）函數(shù)關(guān)系式為整式形式：自變量取值范圍為任意實(shí)數(shù)；

（2）函數(shù)關(guān)系式為分式形式：分母0

（3）函數(shù)關(guān)系式含算術(shù)平方根：被開(kāi)方數(shù)0；

（4）函數(shù)關(guān)系式含0指數(shù)：底數(shù)0。

知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)定義

像s=40Ly=40x,s=n，這樣，用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示

函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式

知識(shí)點(diǎn)4：函數(shù)的圖像

Q考點(diǎn)剖析

--------------lllllllllllllillllllillllllllllllllllllll-----------------------

考點(diǎn)一：變量與常量

1.（2022秋?武義縣期末）筆記本每本a元，買(mǎi)3本筆記本共支出y元，下列選項(xiàng)判斷正確的有

)

A.a是常量時(shí),y是變量

B.。是變量時(shí),y是常量

C.。是變量時(shí),y也是變量

D.無(wú)論。是常量還是變量，y都是變量

【變式1-1］（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）球的體積是V,球的半徑為R,則其中變量和常量分別

3

是（

A.變量是V,R；常量是4，TTB.變量是R,TT；常量是冬

33

C.變量是匕R,TT;常量是4D.變量是V,2；常量是幾

3

【變式1-2］（2023?惠來(lái)縣模擬）某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工100個(gè)零件，如果用n表示工作效率，用t

表示規(guī)定的時(shí)間，下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)100和"，f都是常量B.數(shù)100和〃都是變量

C.w和/都是變量D.數(shù)100和r都是變量

【變式1-3］（2022春?清鎮(zhèn)市校級(jí)期中）樹(shù)的高度隨時(shí)間f的變化而變化，下列說(shuō)法正確的是（）

A.，都是常量B.，是自變量，/?是因變量

C./?,/都是自變量D.〃是自變量，f是因變量

考點(diǎn)二：函數(shù)的定義

I'例2.（2023春?淮陽(yáng)區(qū)月考）下列曲線(xiàn)中不能表示y是x的函數(shù)的是（）

y

O

A.。B.C.

【變式2-1］（2023春?原陽(yáng)縣月考）下列等式中，y不是x的函數(shù)的是（）

A.3x-2y—0B.x2-y2—lC.y=VxD.y=|尤|

【變式2-2］（2023春?偃師市校級(jí)月考）下列圖形中，表示y是x的函數(shù)的是（）

【變式2-3]（2022秋?余姚市校級(jí)期末）如圖圖象中，表示y是x的函數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

考點(diǎn)三：函數(shù)的關(guān)系式

例3.（2022秋?晉中期末）如圖是一支溫度計(jì)的示意圖,圖中左邊是用攝氏溫度表示的溫度值，右

邊是用華氏溫度表示的溫度值，下表是這兩個(gè)溫度值之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系:

攝氏溫度值01020304050

x/℃

華氏溫度值32506886104122

根據(jù)以上信息，可以得到y(tǒng)與x之間的關(guān)系式為（

5

B.y=x+32C.y=x+40D?y^r-x+32

y

【變式3-1]（2022秋?肇源縣期末）一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為30c%,長(zhǎng)為我"，寬為衣相，則用尤表示y的關(guān)

系式為（

A.y=30-尤B.y=dC.x=15-yD.y=15-x

2

【變式3-2］（2022秋?沈河區(qū)期末）小明一家自駕車(chē)到離家500左機(jī)的某景點(diǎn)旅游，出發(fā)前將油箱加滿(mǎn)油.下

表記錄了行駛路程尤（km）與油箱余油量y（￡）之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)：

行駛路程尤（km）050100150200

油箱余油量yCL）4541373329

下列說(shuō)法不正確的是（）

A.該車(chē)的油箱容量為45L

B.該車(chē)每行駛100km耗油8￡

C.油箱余油量y（L）與行駛路程x（km）之間的關(guān)系式為y=45-8尤

D.當(dāng)小明一家到達(dá)景點(diǎn)時(shí)，油箱中剩余5E油

考點(diǎn)四：函數(shù)的自變量取值范圍

例4.（2023春?鹿城區(qū)校級(jí)月考）在函數(shù)■中,自變量x的取值范圍是（）

A.xWOB.x>2C.%22D.x>0

【變式4-1］（2022秋?桂平市期末）函數(shù)y=旦，自變量x的取值范圍是（）

X

A.x<0B.x>0

C.X取任意實(shí)數(shù)D.xWO的一切實(shí)數(shù)

【變式4-2］（2023?惠山區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)工中，自變量尤的取值范圍是（）

A.x<2B.x<2C.x>2D.%22

【變式4-3］（2022秋?貴池區(qū)期末）函數(shù)丫巫王中，自變量尤的取值范圍是（）

yx+3

A.B.xW-3

C.*《'且x#-3D.*《］且無(wú)力-3

考點(diǎn)五：函數(shù)值

［例5.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入x的值為1,則

輸出y的值為2；若輸入x的值為-2,則輸出y的值為（）

y=ax2^2bx

【變式5-1]（2023?奉賢區(qū)一模）已知f（x）」一，那么/（-I）的值是.

X-1

【變式5-2]（2022秋?隆回縣期末）如圖，若輸入元的值為-5,則輸出的結(jié)果為（）

輸出

A.-6B.-5C.5D.6

【變式5-3]（2023?浦橋區(qū)校級(jí)自主招生）/（無(wú)）=2-1，求/（F-1）=.

X

考點(diǎn)六：函數(shù)的圖像

[\例6.（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）小明家、食堂、圖書(shū)館在同一條直線(xiàn)上.小明從家去食堂吃早

餐，接著去圖書(shū)館讀報(bào)，然后回家.小明離家的距離與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示.

根據(jù)如圖回答下列問(wèn)題：

（1）食堂離小明家多遠(yuǎn)？小明從家到食堂用了多少時(shí)間？

（2）小明吃早餐用了多少時(shí)間？在圖書(shū)館停留了多少時(shí)間？

（3）圖書(shū)館離小明家多遠(yuǎn)？小明從圖書(shū)館回家的平均速度是多少？

【變式6-1］（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）周末，小陳出去購(gòu)物；如圖是他離家的距離y（千米）與時(shí)間x

（分鐘）的關(guān)系圖象，根據(jù)圖示信息：下列說(shuō)法正確的是（）

A.小陳去時(shí)的速度為6千米/小時(shí)

B.小陳在超市停留了15分鐘

C.小陳去時(shí)花的時(shí)間少于回家所花的時(shí)間

D.小陳去時(shí)走下坡路，回家時(shí)走上坡路

【變式6-2】（2022秋?肇源縣期末）某天小明騎自行車(chē)上學(xué)，途中因自行車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)耽誤了一段時(shí)

間后繼續(xù)騎行，按時(shí)趕到了學(xué)校.如圖所示是小明從家到學(xué)校這一過(guò)程中所走的路程s（米）與時(shí)間*分）

之間的關(guān)系.

（1）小明從家到學(xué)校的路程共米，從家出發(fā)到學(xué)校，小明共用了一分鐘；

（2）小明修車(chē)用了多長(zhǎng)時(shí)間？

（3）小明修車(chē)以前和修車(chē)后的平均速度分別是多少？

【變式6-3］（2022春?織金縣期中）如圖是某汽車(chē)從A地去2地（行駛過(guò)程中，速度相同），再返回行駛

過(guò)程中路程與時(shí)間的關(guān)系，回答下列問(wèn)題：

（1）A地與B地之間的距離是千米；汽車(chē)中途共休息了小時(shí)；

（2）在前3小時(shí)汽車(chē)的行駛速度是多少？汽車(chē)在返回時(shí)的平均速度是多少？

考點(diǎn)七：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖像

例7.（2022春?牡丹區(qū)校級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCZ）中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿BC,CD,

D4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為x,的面積為y,如果y關(guān)于尤的函數(shù)圖象如圖所

示，則長(zhǎng)方形ABC。的周長(zhǎng)是（）

A.24B.18C.20D.40

【變式7-1］（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形A3。的邊長(zhǎng)為4,尸為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)

路線(xiàn)是4一。一（7-8―4設(shè)尸點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為x,以點(diǎn)A、P、。為頂點(diǎn)的三角形的面積是y,則下列圖

象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（

斗

8-

B.0481216x

【變式7-2］（2022春?東營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）如圖1,點(diǎn)P從AABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A-8-C勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

C,圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)線(xiàn)段CP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間尤變化的關(guān)系圖象，其中點(diǎn)0為曲線(xiàn)部分的最低點(diǎn)，則

△A8C的面積為（）

A.50B.60C.65D.70

【變式7-3］（2022秋?渦陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖1,在長(zhǎng)方形4BC。中，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿8-C一。一

A方向勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止.已知點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為Icvn/s,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X（s）,的面

積為y（cm2）,若y關(guān)于i的函數(shù)圖象如圖2所示，則長(zhǎng)方形A5CD面積為（）cm2

DC

p

A■B

圖1

C.48D.24

1.（2023?廣元）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿(mǎn)為止，則水深。與注水量u的函數(shù)關(guān)系的大

B.

C.

2.（2023?廣安）如圖，用彈簧測(cè)力計(jì)將一鐵塊懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，使鐵塊完全露

出水面，并上升一定高度，則下列能反映彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的時(shí)間x（單位:

S）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

3.甲、乙離A地的距離S與時(shí)間f

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

B.乙的速度是甲的速度的2倍

C.若甲比乙晚5分鐘到達(dá)，則甲用時(shí)10分鐘

D.若甲出發(fā)時(shí)的速度為原來(lái)的2倍，則甲比乙提前1分鐘到達(dá)B地

5.（2022?大連）汽車(chē)油箱中有汽油30L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x

（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1〃加7.當(dāng)0WxW300時(shí)，y與x的函數(shù)解析式是（）

A.y=0.1xB.y=-O.lx+30

C.產(chǎn)迪D.y=-0.1f+30x

X

6.（2022?常州）某城市市區(qū)人口尤萬(wàn)人,市區(qū)綠地面積50萬(wàn)平方米，平均每人擁有綠地y平方米，則y

與尤之間的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=x+50B.y=50xC.,=50D.y=—

x-50

7.（2022?北京）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量:

①汽車(chē)從A地勻速行駛到B地，汽車(chē)的剩余路程y與行駛時(shí)間尤;

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間x；

③用長(zhǎng)度一定的繩子圍成一個(gè)矩形，矩形的面積y與一邊長(zhǎng)x.

其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（2022?武漢）勻速地向一個(gè)容器內(nèi)注水，最后把容器注滿(mǎn).在注水過(guò)程中,水面高度h隨時(shí)間t的變化

規(guī)律如圖所示（圖中0ABe為一折線(xiàn)）.這個(gè)容器的形狀可能是（）

。1

人昌B.餐。專(zhuān)/

9.（2023?岳陽(yáng)）函數(shù)>=」一中，自變量x的取值范圍是_________.

X-2

10.（2023?黑龍江）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________.

1留過(guò)關(guān)檢ST）

-------------------illlllllllllllilllllllllllllllllilillllll------------------------

1.（2022秋?東平縣校級(jí)期末）下列各圖能表示y是尤的函數(shù)是（）

yf

牛不~c

2.（2023春?橋西區(qū)校級(jí)期中）在圓的周長(zhǎng)C=2nR中，常量與變量分別是（）

A.2是常量，C、n、R是變量B.2TT是常量，C、R是變量

C.C、2是常量，R是變量D.2是常量，C、R是變量

3.（2023春?鐵西區(qū)期中）李大爺要圍成一個(gè)矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，用籬笆圍成的另外

三邊總長(zhǎng)度恰好為24米.要圍成的菜園是如圖所示的長(zhǎng)方形A3C￡>.設(shè)邊的長(zhǎng)為x米，AB邊的長(zhǎng)為

y米，則y與龍之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

墻

|AD

y菜園

5C

'XA

A.y=-kx+12B.y=-2x+24C.y=2x-24D.y=—x-12

22

4.（2023春?昌平區(qū)期中）已知函數(shù)尸[2x+l當(dāng)工=2時(shí)，函數(shù)值、為（）

[4x（x<0）

A.5B.6C.7D.8

5.（2023春?白銀期中）在利用太陽(yáng)能熱水器來(lái)加熱水的過(guò)程中，熱水器里的水溫隨所曬時(shí)間的長(zhǎng)短而變

化，這個(gè)問(wèn)題中因變量是（）

A.太陽(yáng)光強(qiáng)弱B.水的溫度C.所曬時(shí)間D.熱水器

6.（2023春?揭東區(qū)月考）周末小麗從家里出發(fā)騎單車(chē)去公園，因?yàn)樗遗c公園之間是一條筆直的自行車(chē)

道，所以小麗騎得特別放松.途中，她在路邊的便利店挑選一瓶礦泉水，耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，

愉快地到了公園.圖中描述了小麗路上的情景，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

木離家的距離（米）

A.小麗從家到達(dá)公園共用時(shí)間20分鐘

B.公園離小麗家的距離為2000米

C.小麗在便利店時(shí)間為15分鐘

D.便利店離小麗家的距離為1000米

7.（2023?青山區(qū)模擬）新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠(yuǎn)遠(yuǎn)甩在后頭.驕

傲自滿(mǎn)的兔子覺(jué)得自己遙遙領(lǐng)先，就躺在路邊呼呼大睡起來(lái).當(dāng)它一覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過(guò)它，于

是奮力直追，最后同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).用Si、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，/為賽跑時(shí)間，則下列圖象

中與故事情節(jié)相吻合的是（）

8.（2023春?禪城區(qū)校級(jí)期中）變量尤與y之間的關(guān)系是y=2尤+1,當(dāng)y=5時(shí)，自變量尤的值是（）

A.13B.5C.2D.3.5

9.（2022秋?渠縣校級(jí)期末）根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序，若輸入的值x=-3,則輸出y的值為（）

A.-2B.-8C.10D.13

10.（2023?平遠(yuǎn)縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）借培用新買(mǎi)的50元5G電話(huà)卡打長(zhǎng)途電話(huà)，按通話(huà)時(shí)間3分鐘內(nèi)收1.2元，

3分鐘后每超過(guò)1分鐘加收0.3元錢(qián)的方式繳納話(huà)費(fèi).若通話(huà)時(shí)間為f分鐘C大于等于3分鐘），那么

電話(huà)費(fèi)用卬（元）與時(shí)間r（分鐘）的關(guān)系式可以表示為.

11.（2023春?鄲城縣期中）甲、乙兩家藍(lán)莓采摘園的藍(lán)莓品質(zhì)相同，銷(xiāo)售價(jià)格都是每千克30元，“五一”

假期，兩家均推出了優(yōu)惠方案：甲采摘園的優(yōu)惠方案是：游客進(jìn)園需購(gòu)買(mǎi)60元的門(mén)票，采摘的藍(lán)莓六折

優(yōu)惠；乙采摘園的優(yōu)惠方案是：游客進(jìn)園不需購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，采摘的藍(lán)莓超過(guò)10千克后，超過(guò)部分五折優(yōu)惠，

優(yōu)惠期間，設(shè)某游客的藍(lán)莓采摘量為x（千克），在甲采摘園所需總費(fèi)用為yi（元），在乙采摘園所需

總費(fèi)用為"（元）.

（1）當(dāng)藍(lán)莓采摘量超過(guò)10千克時(shí)，求與、以與尤的關(guān)系式；

（2）若要采摘40千克藍(lán)莓，去哪家比較合算？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明.

12.（2023春?驛城區(qū)期中）為了解某種車(chē)的耗油量，我們對(duì)這種車(chē)在高速公路上做了