2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第二章不等式二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題理

二元一次不等式(組)與簡潔的線性規(guī)劃問題1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的全部點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x，y)可行域全部可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題概念方法微思索1．不等式x≥0表示的平面區(qū)域是什么？提示不等式x≥0表示的區(qū)域是y軸的右側(cè)(包括y軸)．2．可行解肯定是最優(yōu)解嗎？二者有何關(guān)系？提示不肯定．最優(yōu)解是可行解中的一個或多個．最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不肯定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不肯定唯一．1．（2024?浙江）若實數(shù)，滿意約束條件，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．【答案】B【解析】畫出實數(shù)，滿意約束條件所示的平面區(qū)域，如圖：將目標(biāo)函數(shù)變形為，則表示直線在軸上截距，截距越大，越大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，截距最小為，隨著目標(biāo)函數(shù)向上移動截距越來越大，故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是，．故選B．2．（2024?天津）設(shè)變量，滿意約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，有最大值為5．故選C．3．（2024?浙江）若實數(shù)，滿意約束條件則的最大值是A． B．1 C．10 D．12【答案】C【解析】由實數(shù)，滿意約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最大，有最大值：10．故選C．4．（2024?北京）若，滿意，且，則的最大值為A． B．1 C．5 D．7【答案】C【解析】由作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，令，化為，由圖可知，當(dāng)直線過點時，有最大值為．故選C．5．（2024?天津）設(shè)變量，滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．6 B．19 C．21 D．45【答案】C【解析】由變量，滿意約束條件，得如圖所示的可行域，由解得．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時，直線的截距最大，取得最大值．將其代入得的值為21，故選C．6．（2024?北京）設(shè)集合，，，則A．對隨意實數(shù)， B．對隨意實數(shù)， C．當(dāng)且僅當(dāng)時， D．當(dāng)且僅當(dāng)時，【答案】D【解析】當(dāng)時，集合，，，，，明顯不滿意，，，所以不正確；當(dāng)，集合，，，，，明顯在可行域內(nèi)，滿意不等式，所以不正確；當(dāng)，集合，，，，，明顯，所以當(dāng)且僅當(dāng)錯誤，所以不正確；故選D．7．（2024?上海）已知、滿意，則的最大值為_________．【答案】【解析】由約束條件作出可行域如圖陰影部分，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即．有最大值為．故答案為：．8．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若，滿意約束條件則的最大值是_________．【答案】8【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大，由，解得，此時，故答案為：8．9．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）若，滿意約束條件則的最大值為_________．【答案】7【解析】先依據(jù)約束條件畫出可行域，由解得，如圖，當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)在軸上的截距取得最大值時，此時取得最大值，即當(dāng)，時，．故答案為：7．10．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）若，滿意約束條件則的最大值為_________．【答案】1【解析】，滿意約束條件，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由，可得時，目標(biāo)函數(shù)，可得，當(dāng)直線過點時，在軸上截距最大，此時取得最大值：．故答案為：1．11．（2024?上海）不等式的解集為_________．【答案】【解析】由得，則，即，解得，所以不等式的解集是，故答案為：．12．（2024?上海）已知，滿意，則的最小值為_________．【答案】【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由即，表示直線在軸上的截距的相反數(shù)的倍，平移直線，當(dāng)經(jīng)過點時，取得最小值，故答案為：．13．（2024?天津）設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為_________．【答案】【解析】，將分解因式即有：；；由一元二次不等式的解法“小于取中間，大于取兩邊”可得：；即：；或；故答案為：．14．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若變量，滿意約束條件則的最大值是_________．【答案】9【解析】由約束條件作出可行域如圖：化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最小，有最大值為9．故答案為：9．15．（2024?北京）若，滿意則的最小值為_________，最大值為_________．【答案】，1【解析】由約束條件作出可行域如圖，，，令，作出直線，由圖可知，平移直線，當(dāng)直線過時，有最小值為，過時，有最大值1．故答案為：，1．16．（2024?浙江）若，滿意約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________．【答案】；8【解析】作出，滿意約束條件表示的平面區(qū)域，如圖：其中，．設(shè)，將直線進行平移，視察直線在軸上的截距改變，可得當(dāng)經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)達到最小值．．可得當(dāng)經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)達到最最大值：．故答案為：；8．17．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）若變量，滿意約束條件，則的最大值是_________．【答案】3【解析】畫出變量，滿意約束條件表示的平面區(qū)域如圖：由解得．變形為，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，當(dāng)直線過時，直線的縱截距最小，最大，最大值為，故答案為：3．18．（2024?北京）若，滿意，則的最小值是_________．【答案】3【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)，則，平移，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時最小，由得，即，此時，故答案為：3．強化訓(xùn)練強化訓(xùn)練1．（2024?杭州模擬）設(shè)為不等式所表示的平面區(qū)域，則位于內(nèi)的點是A． B． C． D．【答案】C【解析】把代入不等式，得，成立，點不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)；把代入不等式，得，成立但不成立，點不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)；把代入不等式，得，成立且，點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)；把代入不等式，得，不成立，點不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)．故選C．2．（2024?德陽模擬）不等式組表示的平面區(qū)域為，則A．， B．， C． D．【答案】D【解析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：；；令，平移，則當(dāng)其過點時，取最大值：，當(dāng)其過點時，取最小值：；即：；故都錯；設(shè)表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點連線的斜率；由圖可得：或；錯對；故選D．3．（2024?駐馬店模擬）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若從圓的內(nèi)部隨機選取一點，則取自的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為．故選B．4．（2024?龍鳳區(qū)校級一模）已知點和在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】依據(jù)題意，若點和在直線的兩側(cè)，則有，即，解可得；故選A．5．（2024?香坊區(qū)校級一模）若實數(shù)，滿意不等式組，則的最小值為A． B． C．4 D．【答案】D【解析】畫出滿意條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：，由得，結(jié)合圖象直線過，時，最大，即最小，故的最小值是：，故選D．6．（2024?江西模擬）已知實數(shù)，滿意約束條件，目標(biāo)函數(shù)且的最大值為2，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，，，直線的斜率，作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：平移直線得，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大．由，解得，此時目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，并且時取等號．故最小值為，故選A．7．（2024?湖北模擬）當(dāng)前疫情階段，口罩成為熱門商品，為了賺錢，小明確定在家制作兩種口罩：口罩和口罩．已知制作一只口罩須要2張熔噴布和2張針刺棉，制作一只口罩須要3張熔噴布和1張針刺棉，現(xiàn)小明手上有35張熔噴布和19張針刺棉，且一只口罩有4元利潤，一只口罩有3元利潤．為了獲得最大利潤，那么小明應(yīng)當(dāng)制作A．5只口罩，8只口罩 B．6只口罩，6只口罩 C．7只口罩，6只口罩 D．6只口罩，7只口罩【答案】D【解析】設(shè)小明應(yīng)當(dāng)制作只口罩，只口罩，則，再設(shè)小明所獲利潤為，則．由不等式組作出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得，即，又，，過作直線，把直線向左下平移至點時，有最大值為．小明要獲得最大利潤，應(yīng)當(dāng)制作6只口罩，7只口罩．故選D．8．（2024?雨花區(qū)校級模擬）若實數(shù)，滿意，且恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】作出不等式組，對應(yīng)的可行域，它為，其中，，，則對于可行域內(nèi)任一點，都有，，，即為恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，又即為點和點連線的斜率，由圖可知：，即，，，．故選D．9．（2024?河南模擬）已知實數(shù)，滿意約束條件則的最小值為A． B． C． D．2【答案】B【解析】由實數(shù)，滿意約束條件作出可行域如圖，由解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時直線在軸上的截距最大，有最小值，等于．故選B．10．（2024?唐山二模）已知，滿意約束條件則的最大值為A． B．0 C．2 D．4【答案】B【解析】，滿意約束條件的對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由得，平移直線，由平移可知當(dāng)直線，經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時取得最大值，由，解得代入得，即的最大值是0，故選B．11．（2024?杜集區(qū)校級模擬）已知實數(shù)、滿意則的最大值為A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】由題意作出其平面區(qū)域，經(jīng)過可行域的點時，直線在軸上的截距取得最大值，此時取得最大值，由題意可知，即，時，有最大值，故選C．12．（2024?青羊區(qū)校級模擬）若實數(shù)，滿意約束條件，則的最大值為A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】作出實數(shù)，滿意約束條件所對應(yīng)的可行域（如圖陰影），的幾何意義是可行域內(nèi)的點與定點連線的斜率，由圖象知可知的斜率最大，此時與直線重合，即的最大值為1，故選A．13．（2024?河南模擬）已知實數(shù)，滿意約束條件則的最小值為A． B． C． D．2【答案】B【解析】由，令，得，作出不等式對應(yīng)的可行域（陰影部分），平移直線，由平移可知當(dāng)直線，經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時取得最小值，的也取得最小值，由，解得將的坐標(biāo)代入，得，即目標(biāo)函數(shù)的最小值為．故選B．14．（2024?東湖區(qū)校級模擬）已知點在表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，點在表示的平面區(qū)域內(nèi)，可得，所以，，所以，則的最小值為可行域內(nèi)的點與原點距離的平方的一半．由可行域可知，可行域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點的距離的最小值為到原點的距離，即原點到直線的距離，所以距離的最小值為：，所以的最小值為．故選D．15．（2024?三模擬）已知非負(fù)實數(shù)，滿意，，，，則的最小值等于A． B． C．0 D．【答案】B【解析】設(shè)，作出四個不等式，，，組合后表示的可行域（四邊形），解得可行域的四個頂點：，，，，，一一代入計算，比較得，故選B．16．（2024?梅河口市校級模擬）已知實數(shù)，滿意，若的最大值為2024，則實數(shù)的值為A． B．673 C．504 D．【答案】B【解析】畫出實數(shù)，滿意，可行域如圖：由于目標(biāo)函數(shù)的最大值是2024，可得直線與直線的交點，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，將，，可得得：故選B．17．（2024?桃城區(qū)校級模擬）設(shè)變量，滿意線性約束條件，若取得最大值時的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為A．或1 B．1或 C．或 D．或2【答案】B【解析】作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示，因為目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的最優(yōu)解不唯一，所以當(dāng)時，直線與直線重合，此時；當(dāng)時，直線與直線重合，此時，所以或．故選B．18．（2024?東湖區(qū)校級模擬）已知，滿意區(qū)域，則的取值范圍是A．， B． C． D．【答案】C【解析】作出不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得．令，則，，，，．由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，取得最小值為；而當(dāng)時，，當(dāng)時，，即的最大值為1．的取值范圍是，．故選C．19．（2024?襄城區(qū)校級四模）若，滿意約束條件，則的整數(shù)解的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案