中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識全等三角形(練習(xí))含答案及解析

第四章三角形第17講全等三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解??題型02添加一個條件使兩個三角形全等??題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題??題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程??題型05補(bǔ)全全等三角形的證明過程??題型06全等三角形證明方法的合理選擇??題型07利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型08與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-平移模型??題型09與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-對稱模型??題型10與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-旋轉(zhuǎn)模型??題型11與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角??題型12與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-手拉手模型??題型13添加輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法??題型14添加輔助線證明兩個三角形全等-截長補(bǔ)短法??題型15添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造平行線??題型16添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造垂線??題型17利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決高度測量問題??題型18利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決河寬測量問題??題型19利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點(diǎn)問題??題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，則∠BDE的度數(shù)為2．（2024·河北秦皇島·二模）如圖，△ABC≌△AEF，有以下結(jié)論：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2024·上?！つM預(yù)測）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，點(diǎn)M，N分別在邊AB和邊DE4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，且AD=BE，連接AE，CD，當(dāng)AE+CD的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（

）A．90° B．120° C．135° D．150°??題型02添加一個條件使兩個三角形全等5．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（

）A．若∠ACD=∠ABE，則CD=BE B．若BD=CE，則BE=CDC．若CD=BE，則∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，則∠CBE=∠DCB6．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，AD，BE是△ABC的兩條高線，只需添加一個條件即可證明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是．（寫出一個即可）7．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC和△ABD中，AD與BC相交于點(diǎn)O，BC=AD，添加一個條件可以證明AC=BD．(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四個條件可以添加的是______（填序號）．(2)請你選擇一個條件給出證明．8．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為正方形，DE⊥EF，(1)證明：△DAE∽△EGF(2)不添加輔助線，添加一個角的條件，證明△DAE≌△EGF??題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題9．（2022·北京海淀·一模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)．請畫出一個△DEF，使得△DEF與△ABC全等．10．（2022·湖南長沙·二模）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，小雅按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點(diǎn)M'；③以點(diǎn)M'為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'；④過點(diǎn)N'作射線ON'交BC于點(diǎn)E．(1)根據(jù)小雅的作圖方法，得到∠COE=∠OAB．證明過程如下：由作圖可知，在△MAN和△M'ON'中，，∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此處填理論依據(jù)），∴∠COE=∠OAB．(2)若AB=6，求線段OE的長．11．（2022·福建福州·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC為銳角．(1)將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），在圖中求作點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E，使得BE=1(2)在（1）的條件下，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，連接EF，BE，若sin∠EBA=5712．（2022·河南周口·一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上．(1)作圖探討：在Rt△ABC外側(cè)，以BC為邊作△CBE≌△CAD；小明：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接BE，CE．則△CBE即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過B，C作AB，CD的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)E，則△CBE即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出△CBE≌△CAD的依據(jù)是，小軍得出△CBE≌△CAD的依據(jù)是；（填序號）①SSS②SAS③ASA④AAS(2)測量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中△CBE≌△CAD的條件下，連接AE．興趣小組用幾何畫板測量發(fā)現(xiàn)△CAE和△CDB的面積相等．為了證明這個發(fā)現(xiàn)，嘗試延長線段AC至F點(diǎn)，使CF=CA，連接EF．請你完成證明過程．(3)遷移應(yīng)用：如圖4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射線BM上存在點(diǎn)E，使S△ACE=??題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程13．（2023·貴州六盤水·一模）如圖，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求證：∠ABE=∠CBD．下面是小亮的解答過程：證明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED∴△ABC≌△EBDSAS，

∴∠ABC=∠EBD，

第三步∴∠ABE=∠CBD．

第四步(1)小亮的證明過程是從第________步開始出現(xiàn)錯誤的．(2)請你寫出正確的證明過程．14．（2024·江蘇南通·一模）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求證：∠APB=∠APC．小虎的證明過程如下：證明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP．（第一步）∴∠APB=∠APC．（第二步）(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．15．（2023·浙江嘉興·一模）如圖，已知點(diǎn)D在射線AE上BD=CD，AE平分∠BAC與∠BDC，求證AB=AC．小明的證明過程如下：證明：∵AE平分∠BAC．∴∠BAD=∠CAD．∵AD=AD，BD=CD．∴△ABD≌△ACD∴AB=AC．小明的證明是否正確？若正確，請?jiān)诳騼?nèi)打“√”，若錯誤，請寫出你的證明過程．??題型05補(bǔ)全全等三角形的證明過程16．（2024·重慶·模擬預(yù)測）學(xué)習(xí)了正方形后，小飛同學(xué)對正方形中兩條互相垂直線段，且兩條線段的端點(diǎn)分別在正方形兩組對邊上的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究．請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F、E、G分別在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)G作AB垂線交AB于點(diǎn)H．（只保留作圖痕跡）(2)證明AE=FG，將下面的過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴②=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四邊形BCGH為矩形，∴BC=GH，∴③=GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．17．（2023·重慶巴南·一模）已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且AE=AD．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作AE的垂線交AE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）；(2)求證：DC=DF，請將下面證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=①；∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=②；又∵∴△EBA≌△AFD（③）．∴AB=④∵AB=DC，∴DC=DF．18．（2023·廣西柳州·二模）綜合與實(shí)踐

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE．①求證：AD=BE；將下列解答過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE；②若∠ACB=50°，則∠AEB的度數(shù)為________．(2)類比探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷AE、BE與CM三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：在（2）的條件下，若BE=2，CM=1，請直接寫出四邊形ABEC的面積．19．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且點(diǎn)D，E別不與點(diǎn)B，C重合，且點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)）．①初步探究如圖1，若n=1，α=120°，BD=CE，試探究BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．下面是小東的探究過程（不完整），請補(bǔ)充完整．解：∵n=1，α=120°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°．∴∠ABD=∠ACE=30°．如圖，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ACG，連接GE．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AGC≌∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．∴CE=CG，∠GCE=60°．∴△CGE為等邊三角形．（依據(jù)：_________________）∴CG=______=______．∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，∴∠DAE=∠EAG=60°，又∵AE=AE，∴△ADE≌∴DE=GE．∴BD=CE=DE．②類比探究如圖2，若n=1，α=90°，BD≠CE，請寫出BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．（2）問題解決如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于點(diǎn)M，BM=3，CM=2，點(diǎn)N為線段BC上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為BC的三等分點(diǎn)時，直接寫出AN的長．??題型06全等三角形證明方法的合理選擇20．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．21．（2024·青海玉樹·三模）[證明體驗(yàn)](1)[思考探究]如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F在邊AC上，AB=AD，F(xiàn)B=FC，AD與BF相交于點(diǎn)E．求證：∠ABF=∠CAD．(2)[拓展延伸]如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)D作AB的平行線交AC于點(diǎn)G，若DE=2AE，AB=6，求DG的長．22．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折至△AFE，延長AF交邊BC于點(diǎn)G．

(1)求證：CG=FG；(2)若正方形的邊長為2，求BG的長．23．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，P是菱形對角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長交邊AD于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：△APB≌△APD；(2)如圖2，連接EF、BD，請直接寫出圖中所有的等腰三角形（不包括以菱形的邊AD和??題型07利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題24．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD25．（2024·四川廣元·二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且ABP是以AB為底邊的等腰三角形，連接AC，PD，PC，有下列結(jié)論：①PD=PC;②PA+PC>AC;③當(dāng)PB=BC時，∠BPC=60°;④當(dāng)AB=AP時，S其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③26．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，點(diǎn)M，N分別在AB，CD邊上，且AM=CN，將△ADM，△BCN分別沿DM，BN折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)A，A'在BD甲：當(dāng)A'C'乙：當(dāng)A'C'則下列正確的是（

）A．甲錯，乙對 B．甲對，乙錯 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯誤27．（2024·北京門頭溝·一模）如圖，在等邊三角形ABC中，有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，將BP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BD，連接PD、AD，有如下結(jié)論：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等邊三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA2=PB2+PC2．以上結(jié)論正確的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③??題型08與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-平移模型28．（2024·云南昆明·一模）如圖，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且點(diǎn)B，E、C、F在同一條直線上．求證：

29．（2024信陽市模擬預(yù)測）如圖，已知A，D，C，E在同一直線上，BC和DF相交于點(diǎn)O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．(1)求證：△ABC≌△DFE；(2)連接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度數(shù)．??題型09與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-對稱模型30．（2024·廣東·模擬預(yù)測）（1）解不等式組：3x+1<4（2）如圖，已知A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共線，AF=CD，AB=DE，∠A=∠D，連接BC，EF，求證：BC=EF．31．（2024中山市模擬預(yù)測）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．試說明：PM=PN．32．（2024·青?！ひ荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．(1)求證：AC=AE；(2)若BC=4，AB=5，求BE的長．??題型10與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-旋轉(zhuǎn)模型33．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG（如圖2），此時GF即是DE+BF．參考小明得到的結(jié)論和思考問題的方法，解決下列問題：(1)在圖2中，∠GAF的度數(shù)是______．(2)如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一點(diǎn)，若∠BAE=45°,DE=4，求BE的長度．(3)如圖4，△ABC中，AC=4,BC=6，以AB為邊作正方形ADEB，連接CD．當(dāng)∠ACB的度數(shù)為多少時，線段CD有最大值，并求出CD的最大值．34．（2024·貴州遵義·三模）如圖①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，連接DF，BE．(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______；(2)【問題探究】如圖②，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，再將DF繞點(diǎn)F順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至FM，連接BM，探究線段EF與線段BM的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至AF∥BE，延長DF交直線AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出35．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)．連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BD,CE，則線段BD與CE（2）如圖2，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)DE<AB，且∠EDF=90°，DE=DF，連接AE,CF，直線AE與直線CF相交于點(diǎn)①求證：AE⊥CF；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在FC的延長線上時，連接BG，已知AB=5,DE=4，在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段BG的最小值．36．（2024·貴州貴陽·二模）小瑞同學(xué)在進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動中發(fā)現(xiàn)：將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)α0<α<180°得到矩形EFGC[探究1]（1）如圖①，當(dāng)α=30°時，點(diǎn)E在AD上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)；[探究2]（2）如圖②，連結(jié)BD，F(xiàn)C，過點(diǎn)E作EM∥FC交BD于點(diǎn)M．證明：BM=EM；[探究3]（3）在探究2的條件下，射線BD分別交EC，F(xiàn)C于點(diǎn)P，N，如圖③，探究線段BN，MN，PN之間的數(shù)量關(guān)系．??題型11與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角37．（2024太原市模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，(1)△CDA≌(2)BE=AD?DE38．（2024·黑龍江雞西·二模）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE，AB，(2)如圖2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB，BD，DE，AE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；(3)如圖3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，則線段AE長度的最大值是．39．（2024·青海西寧·三模）類比探究題：【建立模型】（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△ACD≌【應(yīng)用模型】（2）如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,1，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動點(diǎn)，以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系．【拓展拔高】（3）如圖3，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C都不重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；過點(diǎn)P作∠BPF的角平分線交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x，BE=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是_______，BE最大值為______．??題型12與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-手拉手模型40．（2024·青海西寧·一模）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD=CE；【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AD=a，AB=b，∠ABC=∠ADE=90°．連接BD，CE．請寫出41．（2024·湖北·模擬預(yù)測）問題背景如圖（1），在△ABC與△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求證：BD=CE．類比探究如圖（2），D，P是等邊△ABC外兩點(diǎn)，連接BD并取BD的中點(diǎn)M，且∠APD=120°，∠MPC=60°，試猜想PA與PD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．拓展應(yīng)用如圖（3），在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90°，AD=CD，AB=23，BD=42，直接寫出??題型13添加輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法42．（2024·吉林長春·一模）【發(fā)現(xiàn)問題】數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣的一個問題：如圖①，在△ABC中，AB=6，AC=8，第三邊上的中線AD=x，則x的取值范圍是____．【探究方法】小明同學(xué)通過組內(nèi)合作交流，得到了如下解決方法：（1）如圖②，延長AD至點(diǎn)A'，使得DA'=AD，連結(jié)A'C，根據(jù)“SAS”可以判定△ABD≌__________，得出A'C=AB=6．在△AA'C【活動經(jīng)驗(yàn)】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”，“中線”等條件時，可以考慮將中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求的問題集中到同一個三角形中，進(jìn)而解決問題，這種作輔助線的方法叫做“倍長中線”法．【問題解決】（2）如圖③，已知AB=AC，AD=AE，∠BAE+∠CAD=180°，連接BE和CD，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接AF．求證：BE=2AF．小明發(fā)現(xiàn)，如圖④，延長AF至點(diǎn)A'，使FA'=AF，連接A'下面是小明的部分證明過程：證明：延長AF至點(diǎn)A'，使FA'∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF．∵AF=A'F∴△ACF≌△A∴A'D=AC，∴A'D∥請你補(bǔ)全余下的證明過程．【問題拓展】（3）如圖⑤，在△ABC和△AEF中，AB=AE，AC=AF，∠BAC+∠EAF=180°，點(diǎn)M，N分別是BC和EF的中點(diǎn)．若BC=4，EF=6，則MN的取值范圍是．43．（2024·山西呂梁·一模）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．“倍長中線法”中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”加輔助線．如圖1．在△ABC中，AD平分∠BAC，且D恰好是邊BC的中點(diǎn)．求證：AB=AC．

證明：如圖2，延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD．∵D是邊BC的中點(diǎn)∴BD=CD．∵∠ADB=∠EDC，DE=AD，∴△ABD≌△ECD∴，∠BAD=∠E．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠E，∴AC=CE，∴AB=AC．任務(wù)：(1)材料中的“依據(jù)”是________．（填選項(xiàng)）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS(2)在△ABC中，AB=6?cm，AC=4?cm，則BC邊上的中線(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AM平分∠BAD，且M是BC的中點(diǎn)，AB=2，AD=3，求DC的長．??題型14添加輔助線證明兩個三角形全等-截長補(bǔ)短法44．（22-23九年級·全國·單元測試）已知A、B、C、D順次在圓O上，AB=BD，BM⊥AC于點(diǎn)M，求證：45．（2024·貴州·模擬預(yù)測）綜合與探究：已知正方形ABCD中，E是BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分線于點(diǎn)F(1)【動手操作】如圖①，在BA上截取BP=BE，連接EP，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中∠APE=_____度；(2)【深入探究】E是線段BC上的一個動點(diǎn)，如圖②，過點(diǎn)F作FG∥AE交直線CD于點(diǎn)G，以CG為斜邊向右作等腰直角三角形HCG，點(diǎn)H在射線CF上，求證：(3)【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若E是射線BC上的一個動點(diǎn)，AB=5，CE=2，求線段DG的長．46．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以四邊形為背景，探究非動點(diǎn)的幾何問題．若四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD，BC上，且(1)【初步嘗試】如圖1，將△ADM繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE，連接MN．用等式寫出線段DM，(2)【類比探究】小啟改變點(diǎn)的位置后，進(jìn)一步探究：如圖2，點(diǎn)M，N分別在正方形ABCD的邊CD，BC的延長線上，∠MAN=45°，連接MN，用等式寫出線段(3)【拓展延伸】李老師提出新的探究方向：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，用等式寫出線段??題型15添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造平行線47．（2024葫蘆島市模擬預(yù)測）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB延長線上的一點(diǎn)，連接EF，交BC于點(diǎn)D，若ED=DF，求證：BE=CF．①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段DC上截取DM，使DM=BD，連接FM，利用兩個三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作EM∥AC交CB的延長線于點(diǎn)M，利用兩個三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；請你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請你解答，如圖4，在△ABC中，點(diǎn)E在線段AB上，D是BC的中點(diǎn)，連接CE，AD，CE與AD相交于點(diǎn)N，若∠EAD+∠ANC=180°，求證：AB=CN；【學(xué)以致用】（3）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，點(diǎn)E在線段BA的延長線上運(yùn)動，過點(diǎn)E作ED∥AF，交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，且BD=CD，請直接寫出線段AE，CN和BC48．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）【感知】（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的一個三等分點(diǎn)，且AE=13AC．連結(jié)AD，BE交于點(diǎn)G小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)D作AC的平行線或過E作BC的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案．請你根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，AB=AD，連結(jié)BD，若AE⊥BD，交BD、BC于點(diǎn)E、F．若AD=9，CD=3，AF=8，則AE的長為【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AE、AC分別交于點(diǎn)G、M，若CFCD=25，若△BEG的面積為2，則??題型16添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造垂線49．（2024·黑龍江佳木斯·一模）△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，M是BC的中點(diǎn)，D為射線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）、連接AD并延長到點(diǎn)E，使得DE=AD，連接BE．過點(diǎn)B作BE的垂線交直線AC于點(diǎn)F．(1)如圖①，點(diǎn)D在線段BM上，線段CD，DB，CF之間的有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明：(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段MC上時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在MC的延長線上時，如圖③，直接寫出線段CD，DB，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．50．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，以DE為腰作等腰直角△DEF，連接CF．(1)若DE⊥AB，求證：CF=BE；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上移動，且點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部時，探究∠DCF的大小是否變化？若不變，求∠DCF的度數(shù)；若變化，請說明理由；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在△ABC外部時，EF與AC交于點(diǎn)G，若BC=8，AE=13BE??題型17利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決高度測量問題51．（2024貴州市模擬）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組在項(xiàng)目學(xué)習(xí)課上的方案策劃書，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．項(xiàng)目課題探究用全等三角形解決“不用直接測量，得到高度”的問題問題提出墻上有一點(diǎn)A，在無法直接測量的情況下，如何得到點(diǎn)A的高度？項(xiàng)目圖紙解決過程①標(biāo)記測試直桿的底端點(diǎn)D，測量OD的長度．②找一根長度大于OA的直桿，使直桿斜靠在墻上，且頂端與點(diǎn)A重合；③使直桿頂端緩慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④記下直桿與地面的夾角∠ABO；項(xiàng)目數(shù)據(jù)…任務(wù)：(1)由于項(xiàng)目記錄員粗心，記錄排亂了“解決過程”，正確的順序應(yīng)是；A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①(2)若∠ODC=20°，則∠ABO=；(3)請你說明他們作法的正確性．52．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測量凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（AB=CB，∠ABC=90°）放置在凹槽內(nèi)，三個頂點(diǎn)A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若∠AMN=∠CNM=90°，測得AM=18cm，CN=30cm，則該凹槽的寬度MN的長為53．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測）圖1是一款平衡蕩板器材，其示意圖如圖2，A、D為支架頂點(diǎn)，支撐點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在水平地面同一直線上，G、H為蕩板上固定的點(diǎn)，GH∥BF，測量得AG=GH=DH，Q為DF上一點(diǎn)且離地面1m，旋轉(zhuǎn)過程中，AG始終與DH保持平行．如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A，Q，H在同一直線上時，連接G'Q，測得G'Q=1.6m，（1）DQ的長為m．（2）點(diǎn)D離地面的距離為m．??題型18利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決河寬測量問題54．（2023·河北秦皇島·三模）要得知某一池塘兩端A，B的距離，發(fā)現(xiàn)其無法直接測量，兩同學(xué)提供了如下間接測量方案．方案Ⅰ：如圖1，先過點(diǎn)B作BF⊥AB，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC=CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測量DE的長即可；方案Ⅱ：如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AB，再由點(diǎn)D觀測，用測角儀在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使∠BDC=∠BDA，則測量BC的長即可．對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（

）

A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行55．（2024汕頭市模擬預(yù)測）【綜合實(shí)踐活動】【問題背景】小亮想測量他家門口水塘兩個端點(diǎn)A，B長度（如圖1），但是小亮找不足夠長度的繩子，小亮尋求哥哥的幫助．【理論準(zhǔn)備】哥哥幫他出了這樣一個方法：先在地上取一個可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CD=CA；連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE并測量出它的長度（如圖2），請你幫小亮說明DE的長度等于水塘兩個端點(diǎn)AB長度的原因；【實(shí)際操作】小亮實(shí)際測量時發(fā)現(xiàn)但是由于房屋的阻擋，無法采用上述的方法進(jìn)行測量，哥哥提出仍然可以計(jì)算出AB長度（如圖3），方法如下：（1）在房屋M墻CD邊找一點(diǎn)C，使得∠ACB=45°；（2）在院子里找一點(diǎn)E，使得：CE⊥CD此時發(fā)現(xiàn)CD=CE；（3）測量出B到房屋M墻CD的距離BD，即：BD⊥CD，BD=13.8m（4）測量出A到CE的距離AE，即：AE⊥CE，AE=14.4m，同時發(fā)現(xiàn)CE=CD經(jīng)過以上的方法可以計(jì)算出AB的長度．請根據(jù)哥哥的思路提示，幫助小亮完成計(jì)算出AB的長度：解：如圖4，延長AE至F，使得EF=BD，連接CF．……【成果遷移】如圖5，海警船甲在指揮中心（A處）北偏西20°的B處，一艘可疑船只乙在指揮中心正東方向的C處，并且兩艘船到指揮中心A的距離相等（AB=AC），可疑船只沿北偏東20°的方向以20海里/小時的速度行駛，指揮中心命令海警船甲從B點(diǎn)向正東方向以30海里/小時的速度追擊，兩船前進(jìn)3小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩船分別到達(dá)D，E處，且兩船和指揮中心形成的夾角為55°，（∠DAE=55°），請直接寫出此時甲、乙兩船之間的距離DE．??題型19利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點(diǎn)問題56．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖．正方形ABCD的邊長為1，E、F分別是BD、CD上的動點(diǎn)．且BE=CF．則AE+AF的最小值為．57．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為邊向下作正方形DEFG．則DE+CG+CF的最小值為（

）A．2 B．2 C．4 D．258．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長是1，點(diǎn)E是邊CD上一動點(diǎn)（不與D、C兩點(diǎn)重合），將△ADE沿AE折疊得△AGE，延長EG交BC于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：AF平分∠BAG；(2)點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，△CEF的周長是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請說明變化情況；如果不發(fā)生變化，請求出△CEF的周長．(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，AE=AF？1．（2024·山西·中考真題）閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容，請認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報告博學(xué)小組研究對象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察（測量、實(shí)驗(yàn)）﹣猜想﹣推理證明研究內(nèi)容：【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形．如圖1，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個內(nèi)角的和為▲°．對角線：…任務(wù)：(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．(2)如圖3，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形．連接對角線AD，猜想∠BAD與∠FAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圓．請?jiān)趫D4中作一個等邊半正六邊形ABCDEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓心角為60°的扇形OEF，點(diǎn)D在扇形OEF內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（

）A．π2?34 B．π?3．（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、DEF疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊AC、DF上（端點(diǎn)除外），邊AB、EF相交于點(diǎn)G，邊BC、DE相交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)E是邊AC的中點(diǎn)時，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若EF∥(3)如圖3，當(dāng)AE>EC，F(xiàn)B>BD時，AE與FB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．4．（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實(shí)踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC邊上的點(diǎn)．經(jīng)過剪拼，四邊形GHJK為矩形．則△EDK≌______．(2)探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，E、F、G、H是四邊形ABCD邊上的點(diǎn)．OJKL是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：AE與EB的比值為______．②證明：四邊形OJKL為平行四邊形．(3)實(shí)踐與應(yīng)用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形ABCD剪成4塊，按圖5的方式補(bǔ)全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．1．（2024·山東德州·中考真題）如圖Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為D，AE平分∠BAC，分別交BD，BC于點(diǎn)F，E．若AB:BC=3:4，則BF:FD為（

A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:12．（2024·湖北·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是?4,6，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．4,6 B．6,4 C．?6,?4 D．?4,?63．（2024·山東東營·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線EF分別交AD，BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，O，下列條件中，不能證明△BOF≌△DOE的是（

）

A．O為矩形ABCD兩條對角線的交點(diǎn) B．EO=FOC．AE=CF D．EF⊥BD4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE=CF，則四邊形AEDF的面積為（

）A．18 B．92 C．9 D．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半徑OA=3，C是AB上一點(diǎn)，連接OC，D是OC上一點(diǎn)，且OD=DC，連接BD．若BD⊥OC，則AC的長為（

）A．π6 B．π3 C．π26．（2024·浙江·中考真題）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=2,BD=23．過點(diǎn)A作AE⊥BC的垂線交BC于點(diǎn)E，記BE長為x，BC長為y．當(dāng)x，yA．x+y B．x?y C．xy D．x7．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接AG，BH，CE，DF，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．108．（2024·北京·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O為對角線的交點(diǎn).將菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A'B'C'D'，兩個菱形的公共點(diǎn)為E，F(xiàn)，①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，連接BM并延長交AE于點(diǎn)D，連接CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①______．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD=MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（

）A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASAC．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA10．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，且滿足AE=BF，AF與DE交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB，則OM+1

A．4 B．5 C．8 D．1012．（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B為直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為13．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個大等邊三角形ABC．連接BD并延長交AC于點(diǎn)G，若AE=ED=2，則：（1）∠FDB的度數(shù)是；（2）DG的長是．14．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，ACBD=53．線段AB與A'B'關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'在線段OC上，A'B15．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）將一張矩形紙片（四邊形ABCD）按如圖所示的方式對折，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處，折痕為MN，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，C'D'交AD于點(diǎn)E．若BM=3，BC'16．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE=2，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線交AC于點(diǎn)D，P是BD上一動點(diǎn)，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．

17．（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BD的延長線上，連接EA、(1)求證：△EAB≌△ECB；(2)若∠AEC=45°，求證：DC=DE．18．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB>2AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上．將△ADF沿AF折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)G恰好落在對角線AC上；將△CBE沿CE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)H恰好也落在對角線求證：(1)△AEH≌△CFG；(2)四邊形EGFH為平行四邊形．19．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，AC、DE相交于點(diǎn)G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求證：△GEC是等腰三角形；(2)連接AD，則AD與l的位置關(guān)系是________．20．（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，連接BD，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，CE交BD于點(diǎn)F，∠1=∠ABC．(1)求證：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①請判斷線段BC，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若BC=13，AD=5，求EF的長．

第四章三角形第17講全等三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解??題型02添加一個條件使兩個三角形全等??題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題??題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程??題型05補(bǔ)全全等三角形的證明過程??題型06全等三角形證明方法的合理選擇??題型07利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型08與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-平移模型??題型09與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-對稱模型??題型10與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-旋轉(zhuǎn)模型??題型11與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角??題型12與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-手拉手模型??題型13添加輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法??題型14添加輔助線證明兩個三角形全等-截長補(bǔ)短法??題型15添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造平行線??題型16添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造垂線??題型17利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決高度測量問題??題型18利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決河寬測量問題??題型19利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點(diǎn)問題??題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，則∠BDE的度數(shù)為【答案】35°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵CA⊥AB，∴∠A=90°，又∵∠ACE=55°，∴∠AEC=90°?∠ACE=90°?55°=35°，又∵△CAE≌∴∠BDE=∠AEC=35°，故答案為：35°．2．（2024·河北秦皇島·二模）如圖，△ABC≌△AEF，有以下結(jié)論：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)；掌握三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)“全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等”求解即可．【詳解】解：∵△ABC≌△AEF，∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正確；∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故④正確；AC與AE不是對應(yīng)邊，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，故①、②錯誤；∴正確的有③④共2個．故選：B．3．（2024·上?！つM預(yù)測）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，點(diǎn)M，N分別在邊AB和邊DE【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，證得△FEN∽△BCM成為解題的關(guān)鍵．由勾股定理可得AB=5，設(shè)AM=x，則BM=5?x，由全等三角形的性質(zhì)可得AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，再證△FEN∽△BCM，然后利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【詳解】解：如圖：∵∠C=90°，∴AB=A設(shè)AM=x，則BM=5?x，∵△ACM≌∴AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，∵∠FNE=180°?∠DNF,∠CMB=180°?∠CMA，∴∠FNE=∠CMB，∵∠B=90°?∠CAM,∠EFN=90°?∠DFN，∴∠B=∠EFN，∴△FEN∽△BCM，∴FNBM=FEBC,即經(jīng)檢驗(yàn)，x=53是方程∴AM=5故答案為534．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，且AD=BE，連接AE，CD，當(dāng)AE+CD的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．將△ADC拼接到△BEF，連接AF交BC于點(diǎn)G，推出AE+CD=AE+EF≥AF，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時，AE+CD的值最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，將△ADC拼接到△BEF，連接AF交BC于點(diǎn)G，則△ADC≌△BEF，∴CD=EF，AC=BF，∠EBF=∠DAC=120°，∴AE+CD=AE+EF≥AF，∴當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時，AE+CD的值最小，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠ABF=150°，AB=AC=BF，∴∠BAF=∠BFA=15°，∴∠AGB=135°即AE+CD最小時，∠AEB的度數(shù)為135°．故選：C．??題型02添加一個條件使兩個三角形全等5．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（

）A．若∠ACD=∠ABE，則CD=BE B．若BD=CE，則BE=CDC．若CD=BE，則∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，則∠CBE=∠DCB【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．由∠ABC=∠ACB，可得AB=AC，再分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，若∠ACD=∠ABE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAEASA∴CD=BE，則原命題是真命題，故選項(xiàng)A不符合題意；若BD=CE，∴AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴CD=BE，則原命題是真命題，故選項(xiàng)B不符合題意；若CD=BE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，不能證明△CAD與△BAE全等，則∠ACD與∠ABE不一定相等，則原命題是假命題，故選項(xiàng)C符合題意；若AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABC=∠ACB，∴∠CBE=∠DCB，則原命題是真命題，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．6．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，AD，BE是△ABC的兩條高線，只需添加一個條件即可證明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是．（寫出一個即可）【答案】BD=AE（答案不唯一）【分析】本題考查了添加條件使三角形全等，添加BD=AE，通過“HL”即可證明△AEB≌△BDA．熟練掌握三角形全等的判定是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：添加BD=AE，∵AD，BE是∴∠BEA=∠ADB=90°，在Rt△AEB和RtBD=AEAB=BA∴Rt故答案為：BD=AE（答案不唯一）．7．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC和△ABD中，AD與BC相交于點(diǎn)O，BC=AD，添加一個條件可以證明AC=BD．(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四個條件可以添加的是______（填序號）．(2)請你選擇一個條件給出證明．【答案】(1)①③(2)詳見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定：（1）添加①或③，即可；（2）添加①，根據(jù)等腰三角形的判定可得OA=OB，從而得到OC=OD，可證明△AOC≌△BOD，即可；添加③，可得OA=OB，可證明△AOC≌△BOD，即可．【詳解】（1）解：上面四個條件可以添加的是①；故答案為：①③（2）若添加①∠1=∠2；∵∠1=∠2，∴OA=OB，∵BC=AD，∴OC=OD，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；若添加③OC=OD；∵BC=AD，OC=OD，∴OA=OB，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD．8．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為正方形，DE⊥EF，(1)證明：△DAE∽△EGF(2)不添加輔助線，添加一個角的條件，證明△DAE≌△EGF【答案】(1)見解析(2)添加∠FBG=45°，證明見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，垂直的概念，三角形全等的判定；（1）證明有兩對角相等即可判斷；（2）假設(shè)△DAE≌△EGF，可以推出∠FBG=45°即可．【詳解】（1）證明：∵FG⊥AB，∴∠FGE=∠EAD=90°，又∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEG=90°，∵∠FEG+∠EFG=90°，∴∠AED=∠EFG，∴△DAE∽△EGF；（2）解：添加∠FBG=45°，如果△DAE≌△EGF，∴AE=GF,DA=EG=AB，∴AE+EB=EB+BG，∴AE=BG，∴GF=BG，∵FG⊥AB，∴Rt∴∠FBG=45°，故添加：∠FBG=45°，能證明△DAE≌△EGF．??題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題9．（2022·北京海淀·一模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)．請畫出一個△DEF，使得△DEF與△ABC全等．【答案】見解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法畫出圖形即可．【詳解】解：滿足條件的三角形有4個，如圖所示：（只要畫出一種即可）【點(diǎn)睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)圖紙，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．10．（2022·湖南長沙·二模）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，小雅按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點(diǎn)M'；③以點(diǎn)M'為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'；④過點(diǎn)N'作射線ON'交BC于點(diǎn)E．(1)根據(jù)小雅的作圖方法，得到∠COE=∠OAB．證明過程如下：由作圖可知，在△MAN和△M'ON'中，，∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此處填理論依據(jù)），∴∠COE=∠OAB．(2)若AB=6，求線段OE的長．【答案】(1)MN=(2)OE=3【分析】（1）由作圖可知△MAN≌△M'（2）由∠COE=∠OAB得OE//AB，由四邊形ABCD為平行四邊形得OC=OA，再由中位線定得OC的長．【詳解】（1）由作圖可知，在△MAN和△M'AM=OM∴△MAN≌△M'∴∠COE=∠OAB，故答案為：MN=（2）由（1）得∠COE=∠OAB，∴OE//AB∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OC=OA，∴CE=BE，∴OE為△ABC的中位線，∴OE=【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．11．（2022·福建福州·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC為銳角．(1)將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），在圖中求作點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E，使得BE=1(2)在（1）的條件下，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，連接EF，BE，若sin∠EBA=57【答案】(1)見解析(2)EF【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，以BD為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，連接AE、BE，則BE即為所求；（2）先證明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三線合一知CD=12BC，進(jìn)一步證明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57【詳解】（1）解：如圖1所示，點(diǎn)E即為所求．理由是：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC∴線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），旋轉(zhuǎn)角為∠DAE，且BE=1（2）解：如圖2，連接DF．在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴CD=1由（1）可知BE=12BC∴BE=BD，又∵AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SSS），∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又∵AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，∵CF⊥AB，∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=設(shè)CF=5a，BC=7a，∵CD=1∴DF=1∴EF=7∴EFCF【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12．（2022·河南周口·一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上．(1)作圖探討：在Rt△ABC外側(cè)，以BC為邊作△CBE≌△CAD；小明：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接BE，CE．則△CBE即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過B，C作AB，CD的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)E，則△CBE即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出△CBE≌△CAD的依據(jù)是，小軍得出△CBE≌△CAD的依據(jù)是；（填序號）①SSS②SAS③ASA④AAS(2)測量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中△CBE≌△CAD的條件下，連接AE．興趣小組用幾何畫板測量發(fā)現(xiàn)△CAE和△CDB的面積相等．為了證明這個發(fā)現(xiàn)，嘗試延長線段AC至F點(diǎn)，使CF=CA，連接EF．請你完成證明過程．(3)遷移應(yīng)用：如圖4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射線BM上存在點(diǎn)E，使S△ACE=【答案】(1)①；③(2)證明見解析(3)3+【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）由條件AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，可知△ABC≌△FBC，又△CBE≌△CAD，得到S△ABC=S△FBC，S△CBE=S△CAD，所以（3）過點(diǎn)C作CE⊥CD交BM于點(diǎn)E，連接AE，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE=S△BCD且AD=BE；根據(jù)AC=BC，∠ACB=90°，有∠ABC=45°，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可知AG=BG，結(jié)合∠BCD=15°，可得∠ADC=60°，根據(jù)BC=32，由cos∠ABC=BCAB得到AB=6，所以AG=BG=3，然后在Rt△CBG和【詳解】（1）解：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點(diǎn)E，連接BE，CE，∴AD=BE，CD=CE又∵AC=BC，在△CBE和△CAD中BC=ACBE=AD∴△CBE≌△CAD（SSS）如圖2，分別過B，C作AB，CD的垂線，∴∠DCE=90°，∠DBE=90°，即∠DCB+∠BCE=90°，∠CBA+∠CBE=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD，在△CBE和△CAD中∠CBE=∠CADBC=AC∴△CBE≌△CAD（ASA）故選：①；③（2）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，∴∠ACB=∠FCB=90°，在△ABC和△FBC中CA=CF∠ACB=∠FCB∴△ABC≌△FBC（SAS）∴S△ABC即S△CAD又∵△CBE≌△CAD，∴S△CBE∴S△CDB又∵在△AEF中，CF=CA，∴S△CAE∴S△CAE（3）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥CD交BM于點(diǎn)E，連接AE，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，又∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC，△CBG，△CDG都是Rt△，∴∠ABC=45°，AG=BG，∵∠BCD=15°，∴∠ADC=60°，在Rt△ABC中，BC=32∴cos∠ABC=∴AB=BC∴AG=BG=1在Rt△CBG中，tan∠ABC=∴CG=BG·tan在Rt△CDG中，tan∠CDG=∴DG=CG又由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE∴AD=BE，∴BE=AD=AG+DG=3+3∴BE的長為3+3【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解直角三角形等知識以及知識遷移應(yīng)用的能力．通過作適當(dāng)?shù)妮o助線從而達(dá)到能夠應(yīng)用前面兩問的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．??題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程13．（2023·貴州六盤水·一模）如圖，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求證：∠ABE=∠CBD．下面是小亮的解答過程：證明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED∴△ABC≌△EBDSAS，

∴∠ABC=∠EBD，

第三步∴∠ABE=∠CBD．

第四步(1)小亮的證明過程是從第________步開始出現(xiàn)錯誤的．(2)請你寫出正確的證明過程．【答案】(1)一(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定條件即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠A=∠E，再根據(jù)SAS證明△ABC≌△EBD即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：小亮的證明過程是從第一步開始出現(xiàn)錯誤的；（2）證明：∵AB∥ED，∴∠E=∠ABE．∵∠A=∠ABE，∴∠A=∠E．

在△ABC和△EBD中，BE=BA∠A=∠E∴△ABC≌△EBDSAS，∴∠ABC=∠EBD，∴∠ABE=∠CBD．14．（2024·江蘇南通·一模）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求證：∠APB=∠APC．小虎的證明過程如下：證明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP．（第一步）∴∠APB=∠APC．（第二步）(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．【答案】(1)一(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的判定方法可得出結(jié)論；（2）證明△ABP≌△ACPSSS，得出∠APB=∠APC【詳解】（1）解：全等的判定方法用錯了，第一步出現(xiàn)錯誤；故答案為：一；（2）解：∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∵∠ABP=∠ACP，∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC，在△ABP和△ACP中，AB=ACAP=AP∴△ABP≌△ACPSSS∴∠APB=∠APC．15．（2023·浙江嘉興·一模）如圖，已知點(diǎn)D在射線AE上BD=CD，AE平分∠BAC與∠BDC，求證AB=AC．小明的證明過程如下：證明：∵AE平分∠BAC．∴∠BAD=∠CAD．∵AD=AD，BD=CD．∴△ABD≌△ACD∴AB=AC．小明的證明是否正確？若正確，請?jiān)诳騼?nèi)打“√”，若錯誤，請寫出你的證明過程．【答案】小明的證明不正確；正確的證明見解析【分析】由平分，證明∠BDE=∠CDE，再由鄰補(bǔ)角，推出∠BDA=∠CDA，根據(jù)SAS可證明△BDA≌△CDA，即可證明AB=AC．【詳解】解：小明利用的是SSA，是不能證明△ABD與△ACD全等，故小明的證明不正確；正確的證明如下，∵AE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE，∴∠BDA=∠CDA，∵AD=AD，BD=CD，∴△BDA≌△CDASAS∴AB=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．??題型05補(bǔ)全全等三角形的證明過程16．（2024·重慶·模擬預(yù)測）學(xué)習(xí)了正方形后，小飛同學(xué)對正方形中兩條互相垂直線段，且兩條線段的端點(diǎn)分別在正方形兩組對邊上的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究．請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F、E、G分別在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)G作AB垂線交AB于點(diǎn)H．（只保留作圖痕跡）(2)證明AE=FG，將下面的過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴②=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四邊形BCGH為矩形，∴BC=GH，∴③=GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．【答案】(1)見解析(2)①∠GHF；②∠AEB；③AB；④AAS【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握基本作圖方法和特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖作垂線的方法畫圖即可；（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合題意可證明∠B=∠GHF，又易證∠AEB=∠AFG和四邊形BCGH為矩形，即可間接得出AB=GH，即可證△ABE≌△GHFAAS，得出AE=FG【詳解】（1）解：如圖，GH即為所作；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB．∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=∠GHF．∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四邊形BCGH為矩形，∴BC=GH，∴AB=GH，∴△ABE≌△GHFAAS∴AE=FG．17．（2023·重慶巴南·一模）已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且AE=AD．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作AE的垂線交AE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）；(2)求證：DC=DF，請將下面證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=①；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=②；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD（③∴AB=④．∵AB=DC，∴DC=DF．【答案】(1)見解析(2)∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【分析】（1）利用基本作圖.過D點(diǎn)作AE的垂線即可；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AD∥BC，則∠DAF=∠BEA，則可根據(jù)“AAS”判斷△ADF≌△DEC,得到AB=DF，從而得到【詳解】（1）如圖（2）證明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=∠AFD；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=∠BEA；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD∴AB=DF，∵AB=DC，∴DC=DF．故答案為:∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.18．（2023·廣西柳州·二模）綜合與實(shí)踐

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE．①求證：AD=BE；將下列解答過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE；②若∠ACB=50°，則∠AEB的度數(shù)為________．(2)類比探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷AE、BE與CM三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(