高一數(shù)學講義（人教A版2019）453函數(shù)模型的應用（五大題型）

4．5．3函數(shù)模型的應用目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 3題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應用 3題型二：分段函數(shù)模型的應用 6題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應用 9題型四：擬合函數(shù)模型的應用問題 11題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型 13

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識點二、解答應用問題的基本思想和步驟1、解應用題的基本思想2、解答函數(shù)應用題的基本步驟求解函數(shù)應用題時一般按以下幾步進行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進數(shù)學符號，將問題的非數(shù)學語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時，要注意函數(shù)的定義域應符合實際問題的要求．第三步：求模運用數(shù)學方法及函數(shù)知識進行推理、運算，求解數(shù)學模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際背景．上述四步可概括為以下流程：實際問題（文字語言）數(shù)學問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學語言）求模（求解數(shù)學問題）反饋（還原成實際問題的解答）．知識點三、解答函數(shù)應用題應注意的問題首先，要認真閱讀理解材料．應用題所用的數(shù)學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學本質(zhì)，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關(guān)系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關(guān)系符號”表達出來，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對應關(guān)系等與數(shù)學有關(guān)的問題的部分，則應“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應用【典例11】（2024·高二·山東濰坊·期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關(guān)系為，乙車的剎車距離與車速之間的關(guān)系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速【答案】C【解析】對于甲車，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；對于甲車，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故選:C.【典例12】（2024·遼寧大連·一模）一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的的汽車，當他離汽車25米時交通燈由紅變綠，汽車開始變速直線行駛（汽車與人前進方向相同），汽車在時間t內(nèi)的路程為米，那么，此人A．可在7秒內(nèi)追上汽車B．可在9秒內(nèi)追上汽車C．不能追上汽車，但其間最近距離為14米D．不能追上汽車，但其間最近距離為7米【答案】D【解析】設(shè)人于x秒追上汽車，有，∵x無解，因此不能追上汽車，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，最近距離為7米，故選D．【方法技巧與總結(jié)】1、一次函數(shù)模型的應用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．2、二次函數(shù)模型的應用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．【變式11】（2024·高一·陜西西安·期中）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價（元/件）與月銷售量（件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本為若每月獲得的利潤不少于元，該廠的月銷售量的不可能取值為（）A． B． C．. D．【答案】D【解析】設(shè)該廠月獲得的利潤為元，則.

由題意，，解得：，∴當月產(chǎn)量在至件（包括和）之間時，月獲得的利潤不少于元.故選：D.【變式12】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期中）“相約哈爾濱，逐夢亞冬會”．哈爾濱地鐵3號線預計年底全線載客運營，屆時，哈爾濱地鐵1號線2號線3號線將形成“十字+環(huán)線”地鐵線網(wǎng)，將為哈爾濱2025年第九屆亞冬會的舉辦提供有力交通保障.通車后，列車的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場調(diào)研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔相關(guān)，當時列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，則當發(fā)車時間間隔為時，列車的載客量為（

）A．410 B．420 C．450 D．480【答案】C【解析】當時，載客量為，設(shè)，由題意可知，，解得，當時，，此時載客量為，故選：C.【變式13】（2024·高一·廣東揭陽·階段練習）中國芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現(xiàn)強勁實力和競爭力.中國自主創(chuàng)新，多項技術(shù)取得突破，全球布局加速，現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入98萬元購進一套生產(chǎn)設(shè)備.預計使用該設(shè)備后，第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用年后該設(shè)備的盈利額為萬元.(1)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，該設(shè)備開始盈利（盈利額為正值）；(3)使用若干年后，對設(shè)備的處理方案有兩種：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設(shè)備；②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該設(shè)備.請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由.（注：年平均盈利額為，）【解析】（1）依題得：，（2）解不等式，得：，，，故從第3年開始盈利.（3）①，當且僅當時，即時等號成立，故第七年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利萬元，②，當時，，故第十年，盈利額達到最大值，工廠獲利萬元，盈利額達到的最大值相同，而方案①所用的時間較短，故方案①比較合理.題型二：分段函數(shù)模型的應用【典例21】（2024·高一·廣東潮州·期中）設(shè)某公司生產(chǎn)某商品所獲利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定．生產(chǎn)成本G（單位：萬元）與產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)關(guān)系是；銷售收入R（單位：萬元）與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為．(1)將利潤（單位：萬元）表示為產(chǎn)量x的函數(shù)；（利潤=銷售收入生產(chǎn)成本）(2)當產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？【解析】（1）依題意，．（2）時，，故當時，有最大值，而當時，是減函數(shù)，，所以當時，有最大值，所以，當產(chǎn)量為4百臺時，公司所獲利潤最大．【典例22】（2024·高一·浙江·期中）某工廠生產(chǎn)某種玩具車的固定成本為15000元，每生產(chǎn)一輛車需增加投入80元.已知總收入（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量（單位：輛）滿足函數(shù)：(1)將利潤（單位：元）表示為月產(chǎn)量（單位：輛）的函數(shù)；(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）【解析】（1）由題可知總成本為，∴利潤.（2）當，，∴當時，有最大值；當時，是減函數(shù)，∴.∴當時，有最大值，即當月產(chǎn)量為300輛時，利潤最大，最大利潤為元.【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．【變式21】（2024·高一·北京·期中）國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)不超過30，游客需付給旅行社飛機票每張900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止.寫出飛機票的價格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式；【答案】【解析】由題意，當時，；當時，.則機票的價格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式為：.故答案為：.【變式22】（2024·高一·北京豐臺·期中）某公司計劃生產(chǎn)一類電子設(shè)備，該電子設(shè)備每月產(chǎn)量不超過臺，每臺售價為萬元.每月生產(chǎn)該電子設(shè)備的成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本為萬元，每月生產(chǎn)臺時需要投入的可變成本為（單位：萬元），每月的利潤為（單位：萬元），其中利潤是收入與成本之差．當每月產(chǎn)量不超過臺時，；當每月產(chǎn)量超過臺時，．假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的電子設(shè)備都能夠售罄．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)如果你是該公司的決策者，分析每月生產(chǎn)多少臺電子設(shè)備可以使月利潤最大？最大利潤是多少？【解析】（1）由題意知：，.（2）當時，為開口方向向下，對稱軸為的拋物線，此時；當時，（當且僅當時取等號）；，該公司每月生產(chǎn)臺電子設(shè)備可以使月利潤最大，最大利潤是萬元.【變式23】（2024·高一·天津?qū)幒印て谀┠彻旧a(chǎn)某種儀器的固定成本為300萬元，每生產(chǎn)臺儀器需增加投入萬元，且每臺儀器的售價為200萬元.通過市場分析，該公司生產(chǎn)的儀器能全部售完，則該公司在這一儀器的生產(chǎn)中所獲利潤的最大值為萬元.【答案】1680【解析】由題意可得：當時，利潤為，當時，，故；若，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，所以當時，萬元，②若，當且僅當時，即時，萬元．所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元．故答案為：1680【變式24】（2024·高一·四川·階段練習）某公司生產(chǎn)產(chǎn)品，每月的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要增加投入80元，該產(chǎn)品每月的總收入（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量（單位：臺）滿足函數(shù)：.則該公司的月利潤的最大值為元.【答案】57600【解析】該公司的月利潤.故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，該公司的月利潤的最大值為57600元.故答案為：57600.題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應用【典例31】（2024·高三·黑龍江佳木斯·開學考試）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等部門聯(lián)合印度《關(guān)于禮實推進型科技染物理工作的通知》明確指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過．年，其殘留量為初始量的（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【解析】由題意知：當時，，；當時，，，.故答案為：.【典例32】（2024·高一·上?！るS堂練習）《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”請你寫出截取x次后，單位長度的木棰的剩余量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是.【答案】，，且【解析】題干的意思是第二天取的長度是上一天的一半，所以符合指數(shù)函數(shù)模型，底數(shù)為12剩余量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是,且,故答案為：,且.【方法技巧與總結(jié)】1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸椋ㄆ渲蠳為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）的形式．2、在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．【變式31】（2024·高一·全國·隨堂練習）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)，單位是，其中O表示魚的耗氧量的單位數(shù).當一條魚的耗氧量是2700個單位時，它的游速是.【答案】32/【解析】當時，.故答案為：.【變式32】（2024·高一·上?！卧獪y試）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣剩余污染物數(shù)量P（mg/L）與過濾開始后的時間t（h）的關(guān)系為，其中為過濾開始時廢氣的污染物數(shù)量，k為常數(shù)，如果過濾開始后經(jīng)過5個小時消除了10％的污染物，試求：(1)過濾開始后經(jīng)過10個小時還剩百分之幾的污染物？(2)求污染物減少50％所需要的時間．【解析】（1）由可知，當時，；當時，，于是有，解得，那么，當時，，所以過濾開始后經(jīng)過10個小時還剩的81％污染物．（2）當時，有，解得，所以污染物減少50％所需要的時間為33個小時．題型四：擬合函數(shù)模型的應用問題【典例41】（2024·高一·北京·階段練習）李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元.現(xiàn)計劃在“五一”期間對商品進行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費用（單位：萬元）符合函數(shù)模型.若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用應投萬元，獲得總利潤為萬元.【答案】【解析】設(shè)李明獲得的利潤為萬元，則，則，當且僅當，因為，即當時，等號成立.此時總利潤為.故答案為：；.【典例42】（2024·高一·江蘇·階段練習）某工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當工廠和倉庫之間的?離為3千米時，運費為9萬元，倉儲費為4萬元，則運費與倉儲費之和的最小值為萬元.【答案】12【解析】設(shè)工廠和倉庫之間的距離為千米，運費為萬元，倉儲費為萬元，依題意可設(shè).工廠和倉庫之間的距離為3千米時，運費為9萬元，倉儲費用為4萬元，代入求得：于是，運費與倉儲費之和為萬元，因，由，當且僅當，即時，運費與倉儲費之和最小，最小為12萬元.故答案為：12.【方法技巧與總結(jié)】在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，探求相近的數(shù)學關(guān)系，預測函數(shù)的可能模型．【變式41】（2024·高一·陜西漢中·期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在某次事故中，根據(jù)現(xiàn)場勘測結(jié)果，肇事汽車的剎車距離為32m，經(jīng)查詢知該車的剎車距離與車速v（km/h）之間的關(guān)系為，則該車的速度為km/h.【答案】80【解析】將代入，得，解得或（舍去），所以該車的速度為km/h.故答案為你：.【變式42】（2024·高一·湖南郴州·期末）我們家里大多數(shù)裝了空調(diào)，空調(diào)風機的工作原理就是把室內(nèi)熱空氣抽出去，然后把室外新鮮空氣通過空調(diào)制冷系統(tǒng)，凈化后再傳回室內(nèi).假設(shè)某房間體積為，室內(nèi)熱氣的質(zhì)量為，已知某款空調(diào)機工作時，單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為（），室內(nèi)熱氣體的濃度與時刻的函數(shù)關(guān)系為，其中常數(shù)為過濾效率，.若該款新風機的過濾效率為，且時室內(nèi)熱空氣的濃度是時的倍，則該款空調(diào)單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積.【答案】【解析】由題意得，，，因為，所以，由于，整理得，解得，故，進而解得．故答案為：【變式43】（2024·高一·上?！るS堂練習）“學習曲線”可以用來描述學習某一任務的速度，假設(shè)函數(shù)中，t表示達到某一英文打字水平（字/分）所需的學習時間（時），N表示每分鐘打出的字數(shù)（字/分）.(1)計算要達到20字/分、40字/分水平所需要的學習時間；（精確到“時”）(2)利用（1）的結(jié)果，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的分析，作出函數(shù)的大致圖象.【解析】（1），所以要達到20字/分水平所需要16小時；，所以要達到40字/分水平所需要37小時；所以，；（2），因為是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，當N接近于90時，接近0，無窮大，當N等于0時，，可得大致圖象如下圖.題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型【典例51】（2024·高一·廣東·期末）人工放射性核素碘131可發(fā)射射線治療甲亢，已知該物質(zhì)的半衰期為8天，設(shè)質(zhì)量為的碘131經(jīng)過天后剩留的質(zhì)量為，則關(guān)于的函數(shù)解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由題意，經(jīng)過一個半衰期（8天）后，剩留的質(zhì)量，經(jīng)過兩個半衰期（16天）后，剩留的質(zhì)量，經(jīng)過三個半衰期（24天）后，剩留的質(zhì)量，，經(jīng)過天后，剩留的質(zhì)量，.故選：A.【典例52】（2024·高二·甘肅·學業(yè)考試）加快縣域范圍內(nèi)農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市名化，是“十四五”期間我國城鎮(zhèn)化和城市化戰(zhàn)略的實踐重點．某高二數(shù)學興趣小組，通過查找歷年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本縣城區(qū)常住人口每年大約以的增長率遞增，若要據(jù)此預測該縣城區(qū)若干年后的常住人口，則在建立模型階段，該小組可以選擇的函數(shù)模型為（

）A．B．且C．D．且【答案】B【解析】由題意可知，該縣城區(qū)常住人口每年大約以的增長率遞增，則該縣區(qū)城區(qū)常住人口與年份的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù).故選：B.【變式51】（2024·高一·上海浦東新·期中）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析事故的一個重要因素.在一個限速為40km/h的小道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離S（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：，.問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？【解析】，又，故解得，，又，故解得，甲無超速現(xiàn)象，乙有超速現(xiàn)象．【變式52】（2024·高一·浙江湖州·期末）隨著電動汽車研發(fā)技術(shù)的日益成熟，電動汽車的普及率越來越高．某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速（不含）．經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示．01030700132533759275為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．(1)當時，請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；(2)在本次測試報告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為．若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：）最??？并計算出該最小值．【解析】（1）對于，當時，它無意義，所以不符合題意；對于，它顯然是個減函數(shù)，所以不符合題意，故選．根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有，解得，當時，．（2）設(shè)車速為，所用時間為，所耗電量，