2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第08講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷..............................................4

知識點2：弦長公式..............................................................4

知識點3:點差法................................................................5

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系...............................................6

題型二：求中點弦所在直線方程問題...............................................7

題型三：求弦中點的軌跡方程問題.................................................7

題型四：利用點差法解決對稱問題.................................................8

題型五：利用點差法解決斜率之積問題............................................10

題型六：弦長問題..............................................................11

題型七：三角形面積問題........................................................13

題型八：四邊形面積問題........................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................18

05課本典例高考素材............................................................19

06易錯分析?答題模板............................................................21

答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長..........................................21

考情透視.目標導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

從近五年的全國卷的考查情況來看，本

2024年北京卷第13題,5分

節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)

2024年甲卷（理）第20題，12分

（1）直線與圓錐曲線的常出現(xiàn).直線與圓錐曲線綜合問題是高考的

2023年I卷第22題，12分

位置關(guān)系熱點，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的求弦

2023年H卷第21題，12分

（2）弦長問題長、面積及弦中點、定點、定值'參數(shù)取值

2023年甲卷（理）第20題，12分

（3）中點弦問題范圍和最值等問題.多屬于解答中的綜合問

2022年I卷第21題，12分

題.近兩年難度上有上升的趨勢，但更趨于

2022年H卷第21題，12分

靈活.

復(fù)習(xí)目標：

（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義'標準方程及簡單幾何性質(zhì).

（3）了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).

（4）通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

直線與圓錐曲線

老占突曲?題理探密

-----H-H-c

知識JJ

知識點1:直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去M或y),得到關(guān)于y(或x)的一元二次方程，則

(1)直線與圓錐曲線相交QA>0；

(2)直線與圓錐曲線相切=A=0；

(3)直線與圓錐曲線相離=A<0.

【診斷自測】3.已知橢圓C：1^+q_=l,直線/:(〃z+2)x—(,〃+4)y+2-〃z=O(〃zeR),則直線/與橢圓

C的位置關(guān)系為()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

知識點2：弦長公式

設(shè)M(玉，％),N(X[,%)根據(jù)兩點距禺公式|肱V|=-々)-+(另一切)一-

(1)若M、N在直線、=衣+加上，代入化簡，得|肱7|=，1+周飛_々|.

(2)若M、N所在直線方程為》=3+加，代入化簡，得|MN|=7n不乂-刃

(3)構(gòu)造直角三角形求解弦長，|MN|.其中女為直線A/N斜率，a為直線傾斜

|cosa||sina|

角.

【診斷自測】已知橢圓C：，/=lS>6>0)的離心率為e,且過點(Le)和與與.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓C上有兩個不同點A,B關(guān)于直線y=x+g對稱，求|AB|.

知識點3：點差法

22b?x

（1）AB是橢圓3+方=l（a>6.0）的一條弦,中點“（“0，%），則舶的斜率為--二二

a%

運用點差法求AB的斜率；設(shè)A（p,y），笈（%2，、2）（玉工/），A，B都在橢圓上,

所以\b2，兩式相減得式W+支？￡=0

二五“b

L2廿一

所以（為+%）&-七）+（“+%）（%-%）=0

a2b2~

2

b（石+九2）Z?2x,b\

——n，故kAB

/（%+%）a%a2%

22

（2）運用類似的方法可以推出；若都是雙曲線1r—齊=1（〃>反0）的弦，中點以沁,右）,則

kAB=~一；若曲線是拋物線必=2px（0>0）,貝!）的5=上_.

a%為

【診斷自測】以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓C過點尸（0,1）和。（0，-啦），直線/與橢圓C相交于A8兩點,

M為線段AB的中點.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若點M的坐標為卜求直線/的方程;

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

【典例1-1]直線3x-2y+6=0與曲線T一型=1的公共點的個數(shù)是().

94

A.1B.2C.3D.4

22

【典例1-2】直線奴-y+l=O(左eR)與橢圓二+2L=1恒有公共點，則實數(shù)機的取值范圍()

4m

A.(1,4]B.[1,4)C.[1,4)o(4,-HX.)D.(4,-HX))

【方法技巧】

(1)直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元

后得到一元二次方程，其中△>()；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通

過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到.

(2)直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸

平行，或直線與圓錐曲線相切.

【變式1-1】已知拋物線方程產(chǎn)=4無，過點尸(0,2)的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有

()條

A.0B.1C.2D.3

【變式1-2]若直線人=依+2與曲線C：Y-黃=6(x>0)交于不同的兩點，則上的取值范圍是()

V15715^1r岳1

A.C.D.丁T

【變式1-3】已知直線/：>=-1+加與曲線C：y=；而二門恰有三個不同交點，則實數(shù)小的取值范圍

是（）

A.（-A/2,0）U（0,>/2）B.[1,V2）C.（0,V2）D.（1,72）

22

【變式P(2。24廣東肇慶.模擬預(yù)測)已知雙曲線E：十》l,

公共點的直線共有()

A.4條B.3條C.2條D.1條

題型二：求中點弦所在直線方程問題

22

【典例2-1］若橢圓匕+土=1的弦AB恰好被點弦(1,1)平分，則A8的直線方程為______.

43

【典例2-2】己知玳2,1)為橢圓工+.=1內(nèi)一點，經(jīng)過戶作一條弦，使此弦被尸點平分，則此弦所在

1612

的直線方程為.

【方法技巧】

點差法

【變式2-1】已知雙曲線方程是一一二=1,過定點尸(2,1)作直線交雙曲線于＜上兩點，并使戶為耳鳥

2

的中點，則此直線方程是.

【變式2-2】過點尸(2,2)作拋物線V=4x的弦A8,恰好被尸平分，則弦所在的直線方程是

【變式2-3】拋物線丁=2無的一條弦被A(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是.

題型三：求弦中點的軌跡方程問題

【典例3-1】已知橢圓一+4y=16內(nèi)有一點4(1,1),弦尸。過點A,則弦PQ中點M的軌跡方程是.

【典例3-2］斜率為2的平行直線截雙曲線/-V=1所得弦的中點的軌跡方程是—.

【方法技巧］

點差法

【變式3-1】直線八5-y-(。+5)=0(。是參數(shù))與拋物線/:y=(x+l?的相交弦是加，則弦AB的

中點軌跡方程是.

【變式3-2】已知橢圓亍+V=i.

(1)求過點尸且被P點平分的弦所在直線的方程；

(2)過點A/(2,l)引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.

【變式3-3］已知橢圓彳+丁=1.

(1)過橢圓的左焦點F引橢圓的割線，求截得的弦的中點戶的軌跡方程;

(2)求斜率為2的平行弦的中點。的軌跡方程；

⑶求過點M且被M平分的弦所在直線的方程.

【變式3-4】已知/為拋物線V=x的焦點，點A,3在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OA.OB=2(其

中0為坐標原點).直線48在繞著定點轉(zhuǎn)動的過程中，求弦48中點M的軌跡方程.

題型四：利用點差法解決對稱問題

【典例4-1】已知”ZUR,在拋物線歹=4元上存在兩個不同的點關(guān)于直線y=x+加對稱，則”z的取值

范圍是.

【典例4-2】已知雙曲線C：—-^=1.

94

(1)若直線y=依與雙曲線c有公共點，求實數(shù)上的取值范圍;

(2)若直線/與雙曲線C交于A,B兩點，且A,8關(guān)于點。(一M)對稱，求直線/的方程.

【方法技巧】

點差法

【變式4-1］(2024?江西南昌?模擬預(yù)測)已知點7(2,-2)在拋物線。：/=2內(nèi)上，也在斜率為1的直

線/上.

(1)求拋物線C和直線/的方程；

(2)若點在拋物線C上，且關(guān)于直線/對稱，求直線的方程.

22

【變式4-2］已知橢圓E:一+2=1(。>6>0)的焦距為2c,左右焦點分別為?、F2,圓

ab

E：(x+c)2+y2=i與圓片：(x_c)2+y2=9相交，且交點在橢圓E上，直線/：y=x+機與橢圓E交于A、B

兩點，且線段的中點為直線。加的斜率為

⑴求橢圓E的方程；

(2)若加=1,試問E上是否存在P、。兩點關(guān)于/對稱，若存在，求出直線尸。的方程，若不存在，請說明

理由.

【變式4-3】已知O為坐標原點，點［半］在橢圓C：f1”>0)上，直線/：尸+根與C

交于A,8兩點，且線段AB的中點為直線的斜率為-L

2

⑴求C的方程；

(2)若切=1,試問C上是否存在P,。兩點關(guān)于/對稱，若存在，求出P,。的坐標，若不存在，請說明理

由.

【變式4-4】雙曲線C的離心率為好，且與橢圓1+亡=1有公共焦點.

294

(1)求雙曲線C的方程.

(2)雙曲線C上是否存在兩點A,B關(guān)于點(4,1)對稱？若存在，求出直線的方程；若不存在，說

明理由.

題型五：利用點差法解決斜率之積問題

22

【典例5-1】（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）己知橢圓C:=+==l（a>6>0）,過點時（如外）作傾斜角為

ab

ji]

7的直線與C交于A,B兩點，當M為線段配的中點時，直線（0為坐標原點）的斜率為-屋則C的

離心率為（）

A.正B.-C.6D.逅

3333

【典例5-2】（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測）已知傾斜角為:的直線/與橢圓C:二+產(chǎn)=1交于兩點，

44

戶為加中點，0為坐標原點，則直線0P的斜率為（）

【方法技巧】

點差法

【變式5-1】橢圓的2+"=1與直線y=i_x交于M,N兩點，連接原點與線段MN中點所得直線的

斜率為"，則竺的值是（）

2n

A6R2A/3-9&N2A/3

23227

22

【變式5-2】已知點AB,C是離心率為2的雙曲線「3-2=1（0>0,6>0）上的三點，直線

ab

A5,AC,5c的斜率分別是匕，七，七，點2E,尸分別是線段A3,AC,BC的中點，0為坐標原點，直線

111=

尸的斜率分別是片，自，勺，若廠+廠+7=5,則%+七+/=_.

。42I

【變式5-3］拋物線歹=2加（〃>0）的焦點為齊，過廠的直線與該拋物線交于不同的兩點M、N,

若1MM=3",則線段MN的中點與原點連線的斜率為

22

【變式5-4】已知橢圓C:=+［=l（a>b>0）,。為坐標原點，直線/交橢圓于A,B兩點，M為

ab

的中點.若直線/與0M的斜率之積為則C的離心率為（）

A,-B.立C.3D.逅

2233

題型六：弦長問題

【典例6-1］（2024?海南?模擬預(yù)測）已知雙曲線=8>。）的實軸長為2正，點

ab

?（2,、后）在雙曲線C上.

⑴求雙曲線C的標準方程；

（2）過點P且斜率為2#的直線與雙曲線C的另一個交點為0,求I尸Q|.

【典例6-2】（云南省2024屆高三9月名校聯(lián)考數(shù)學(xué)卷）動圓M經(jīng)過原點，且與直線才=-2相切，記

圓心M的軌跡為C,直線y=與C交于A,3兩點，則|"|=.

【方法技巧】

在弦長有關(guān)的問題中，一般有三類問題：

12

（1）弦長公式：|AB|=71+k|x；-x21=71+ky-|-

（2）與焦點相關(guān)的弦長計算，利用定義；

（3）涉及到面積的計算問題.

【變式6-1】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其中左焦點為歹卜6,0),長軸長為4.

⑴求橢圓C的方程；

⑵直線/：y=x-l與橢圓C交于不同兩點P、Q,求弦長|尸2|.

【變式6-2］在平面直角坐標系xOy中，已知點耳卜百,0),乙=動點M的軌

跡為C.

⑴求C的方程；

⑵若直線/：y=-x+f交C于A3兩點，且|朋=2而，求直線/的方程.

【變式6-3】已知拋物線y2=6x,過點A(4,l)作一條直線交拋物線于B,c兩點，且點A為線段BC的

中點.

(1)求線段BC所在的直線方程.

⑵求線段BC的長.

【變式6-4］已知橢圓C：1+r=1(“>6>0)的離心率為6=2且橢圓經(jīng)過點(2,—0).

(1)求橢圓C的方程；

⑵過橢圓C的左焦點與作斜率為1的直線/交橢圓于A、B兩點，求|AB|.

【變式6-5］(2024?四川德陽?二模)已知直線〃z與橢圓C:工+2=1相切于點乂舟，直線㈤的斜率

43<2；

為;，設(shè)直線〃與橢圓分別交于點A、B(異于點P),與直線，”交于點Q.

(1)求直線機的方程：

(2)證明：|AQI,|PQI,|BQ|成等比數(shù)列

22

【變式6-6](2024?河南開封?二模)已知橢圓C:會+g=l(a>b>0)的左，右焦點分別為月，

上頂點為A,且近?五或=0.

(1)求C的離心率；

Q

(2)射線A片與C交于點3,且|陰=三，求叫的周長.

【變式6-7](2024?陜西寶雞?二模)已知點8是圓C:(x-l>+y2=i6上的任意一點，點尸(-1,0),線

段BF的垂直平分線交3C于點P.

(1)求動點尸的軌跡E的方程；

(2)直線/：y=2x+m與E交于點M,N,且|MN卜絲渭，求根的值.

題型七：三角形面積問題

22

【典例7-1】(2024.高三.河南焦作?開學(xué)考試)已知橢圓C：下方=1(〃>0>0)的焦距為20，離心

率為孝.

(I)求C的標準方程；

⑵若A，|，。]，直線/：x="+|("0)交橢圓c于區(qū)尸兩點，且△碼的面積為半，求f的值.

【典例7-2】(2024.陜西渭南?模擬預(yù)測)已知拋物線C:y2=2px(2>0)的頂點在原點O,焦點坐標為

(1)求拋物線。的方程;

(2)若直線l-.x=ty+l與拋物線C交于尸,Q兩點，求△OP。面積的最小值.

【方法技巧】

三角形的面積處理方法：sA=L底?高(通常選弦長做底，點到直線的距離為高)

【變式7-1](2024?福建泉州?二模)已知橢圓C：4+/=im>6>0),離心率為當，點尸(T,正)在

ab22

橢圓c上.

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)若耳(-1,0),E(l,0),過工直線/交橢圓C于M、N兩點，且直線/傾斜角為45。，求的面

積.

【變式7-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測)點N(%,%)是曲線「:加+切2=1上任一點，已知曲線「在點

N(x(),%)處的切線方程為"°x+6%y=l.如圖，點尸是橢圓C:￡+y2=l上的動點，過點尸作橢圓C的切

線/交圓O:Y+y2=4于點A、B,過A、8作圓。的切線交于點

(1)求點M的軌跡方程；

(2)求QPM面積的最大值.

2

【變式7-3](2024?上海.二模)已知雙曲線C:/一2r=

b

(I)若雙曲線c的一條漸近線方程為y=2無，求雙曲線c的標準方程；

(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為耳工，點P在雙曲線C上，若尸乙，且AP招尸的面積為9,求

b的值.

【變式7-4](2024.全國?模擬預(yù)測)已知拋物線。：>2=2°聯(lián)°>0)的焦點為尸，直線/：x=my+〃與C

交于A,8兩點，且當切=2,〃=一1時，|AB|=4^后.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若AF工BF,求zXAB尸面積的最小值.

【變式7-5](2024.河南.三模)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在'軸的正半軸上，圓

尤2+(y-I)?=1經(jīng)過拋物線C的焦點.

(1)求C的方程；

(2)若直線/:座+y-4=0與拋物線C相交于A,8兩點，過A,8兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線相交

于點尸，求AABP面積的最小值.

題型八：四邊形面積問題

【典例8-1】己知4(一2,0),在橢圓C：5+《=1(°>6>0)上，%用分別為C的左、右焦

k)ab

點.

(1)求a,6的值及C的離心率；

(2)若動點P,。均在C上，且P,。在x軸的兩側(cè)，求四邊形P￡。鳥的面積的取值范圍.

【典例8-2】已知拋物線。：丁=2。%(。>0)的焦點為尸，拋物線C上的點A的橫坐標為1,且|AF|=；

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點/作兩條相互垂直的直線(斜率均存在)，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形

MPNQ面積的最小值.

【方法技巧】

四邊形或多個圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(尤其是

有平行條件的時候)，可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計算量.特殊的，對角線互相垂直的四邊形，面積=對角

線長度乘積的一半.

22

【變式8-1](2024?湖南.三模)已知橢圓工+匕=1,A是橢圓的右頂點，B是橢圓的上頂點，直線

169

/:丫=丘+。(左>0)與橢圓交于口N兩點，且M點位于第一象限.

(1)若人=0,證明：直線4〃和4N的斜率之積為定值；

3

(2)若k七,求四邊形4WBN的面積的最大值.

4

一

【變式8-2](2024?江蘇鎮(zhèn)江?三模)如圖,橢圓C：KF=1(。＞萬＞0)的中心在原點O,右焦點尸,

橢圓與,軸交于兩點、，橢圓離心率為咚,直線跖與橢圓C交于點聞

(1)求橢圓C的方程;

(2)尸是橢圓C弧加上動點，當四邊形的面積最大時，求P點坐標.

【變式8-3]已知定點尸(6,0)，圓。：5+6)2+/=16,N為圓Q上的動點，線段NP的垂直平分線

和半徑NQ相交于點M.

(1)求點M的軌跡「的方程；

⑵過尸的直線/與軌跡「交于A3兩點，若點。滿足詼=返+誣，求四邊形面積的最大值.

【變式8-4］已知橢圓W：—+^-=1的長軸長為4,左、右頂點分別為A,B,經(jīng)過點P(LO)的動

4mm

直線與橢圓W相交于不同的兩點C,D(不與點A,2重合).

(1)求橢圓W的方程及離心率；

(2)求四邊形ACBD面積的最大值；

【變式8-5】己知點尸(0,1),點3為直線y=-l上的動點，過點8作直線，=-1的垂線/,且線段FB

的中垂線與/交于點P.

(1)求點P的軌跡「的方程；

⑵設(shè)FB與x軸交于點V,直線P廠與「交于點G(異于P),求四邊形31尸G面積的最小值.

2

1.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)A,B為雙曲線--三=1上兩點，下列四個點中，可為線段

中點的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1)

2.(2023年新課標全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知橢圓C:1+y2=i的左、右焦點分別為匕，F(xiàn)2,直線

y=x+相與c交于A,B兩點,若△月A3面積是面積的2倍，則優(yōu)=().

A.工B.克C.一變D.二

3333

22

3.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）己知雙曲線二-斗=1（4>0,》>0）的右焦點與拋物線9=22以0>0）的焦

點重合，拋物線的準線交雙曲線于A,B兩點，交雙曲線的漸近線于C、。兩點，若|CD|=夜|AB|.則雙曲

線的離心率為（）

A.72B.bC.2D.3

4.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)8是橢圓C:]+V=i的上頂點，點尸在C上，則|理的最

大值為（）

5LL

A.—B.y/6C.垂D.2

5.（多選題）（2023年新課標全國H卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)。為坐標原點，直線y=-百（x-1）過拋物線

C：V=2/（p>0）的焦點，且與C交于M,N兩點，/為C的準線，貝U（）.

O

A.p=2B.|MAf|=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AQW為等腰三角形

6.（多選題）（2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）己知。為坐標原點，過拋物線0：;/=2.%（口〉0）焦點

廠的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限，點河（p,0）,若耳=|4M，則（）

A.直線A3的斜率為2"B.\OB\^\OF\

c.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

1.已知拋物線的方程為J=4x,直線/繞點尸（-2,1）旋轉(zhuǎn)，討論直線/與拋物線J=4x的公共點個數(shù)，并

回答下列問題：

（1）畫出圖形表示直線/與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線/與拋物線只有一個公共點時是什

么情況？

（2）V=4x與直線/的方程組成的方程組解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關(guān)系？

2.過拋物線y2=2px（p>0）的焦點/作直線與拋物線交于A,8兩點，以為直徑畫圓，觀察它與拋物

線的準線/的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結(jié)論嗎？

3.綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠鏡.這種望遠鏡的特點是，鏡筒

可以很短而觀察天體運動又很清楚.例如，某天文儀器廠設(shè)計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，

其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示.其中，一個反射鏡尸。衛(wèi)弧所在的曲線為拋物線，另一

個反射鏡”。2汽弧所在的曲線為雙曲線的一個分支.已知居，罵是雙曲線的兩個焦點，其中歹2同時又是

拋物線的焦點，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm）,分別求拋物線和雙曲線的方程.

4.在拋物線丁=以上求一點p,使得點P到直線y=x+3的距離最短.

5.設(shè)拋物線的頂點為O,經(jīng)過焦點且垂直于對稱軸的直線交拋物線于瓦C兩點，經(jīng)過拋物線上一點尸且

垂直于軸的直線與軸交于點。.求證：IPQI是IBCI和|OQ|的比例中項.

6.如果直線＞=丘-1與雙曲線尤2-丁=4沒有公共點，求上的取值范圍.

㈤6

/八易錯分析」答題模屬\\

答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長

1、模板解決思路

首先，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消去一個變量得到關(guān)于另一個變量的二次方程。然后，利用韋達定

理求出交點橫（縱）坐標和。最后，利用弦長公式（涉及兩點間距離公式和根的判別式）求出弦長。

2、模板解決步驟

第一步：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，通過消元法得到一個關(guān)于x或y的二次方程。

第二步：利用二次方程的求根公式，求出交點的坐標和（利用韋達定理，即根與系數(shù)的關(guān)系）。

第三步：根據(jù)弦長公式，代入交點坐標和，求出弦長。

【經(jīng)典例題1】已知雙曲線C:1-y2=i,直線/：y=x+/w被C所截得的弦長為4?,貝打九=—.

22

【經(jīng)典例題2］若直線y=x+l和橢圓工+匕=1交于A,8兩點，則線段的長為—.

42―

第08講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷..............................................4

知識點2：弦長公式..............................................................4

知識點3:點差法................................................................5

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系...............................................6

題型二：求中點弦所在直線方程問題...............................................7

題型三：求弦中點的軌跡方程問題.................................................7

題型四：利用點差法解決對稱問題.................................................8

題型五：利用點差法解決斜率之積問題............................................10

題型六：弦長問題..............................................................11

題型七：三角形面積問題........................................................13

題型八：四邊形面積問題........................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................18

05課本典例高考素材............................................................19

06易錯分析?答題模板............................................................21

答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長..........................................21

春情目標導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

從近五年的全國卷的考查情況來看，本

2024年北京卷第13題,5分

節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)

2024年甲卷（理）第20題，12分

（1）直線與圓錐曲線的常出現(xiàn).直線與圓錐曲線綜合問題是高考的

2023年I卷第22題，12分

位置關(guān)系熱點，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的求弦

2023年H卷第21題，12分

（2）弦長問題長、面積及弦中點、定點、定值'參數(shù)取值

2023年甲卷（理）第20題，12分

（3）中點弦問題范圍和最值等問題.多屬于解答中的綜合問

2022年I卷第21題，12分

題.近兩年難度上有上升的趨勢，但更趨于

2022年H卷第21題，12分

靈活.

復(fù)習(xí)目標：

（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義'標準方程及簡單幾何性質(zhì).

（3）了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).

（4）通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

直線與圓錐曲線

考點突破■題型探究

知識固本

知識點1:直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x（或y）,得到關(guān)于y（或尤）的一元二次方程，則

（1）直線與圓錐曲線相交QA>0;

（2）直線與圓錐曲線相切=A=0；

（3）直線與圓錐曲線相離=A<0.

22

【診斷自測】3.己知橢圓C嘖+,=1,直線/:（m+2）x—（〃?+4）y+2—〃?=0（根eR）,則直線/與橢圓

C的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】D

【解析】對于直線/：（根+2）x-（m+4）y+2—根=。，整理得m（x-y-l）+2（x-2y+l）=0,

x-y-l=Ofx=3

,解得c

x-2y+l=Q卜=2

故直線/過定點A（3,2）.

=則點g2）在橢圓C的內(nèi)部，

所以直線/與橢圓。相交.

故選：A.

知識點2：弦長公式

設(shè)%）,Ng,%）根據(jù)兩點距離公式|MV|="（%了+（%-為產(chǎn).

（1）若M、N在直線>=日+機上，代入化簡，得|出|=/1+左2|&_%].

（2）若M、N所在直線方程為x=3+帆，代入化簡，得|MV|=&+〃也一%|

（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長，I」％7".其中左為直線斜率，a為直線傾斜

|cosa||sina|

角.

【診斷自測】已知橢圓C:1+W=l（Qb>。）的離心率為e，且過點（10和.

Clu〈NN,

（1）求橢圓c的方程；

（2）若橢圓C上有兩個不同點A,B關(guān)于直線>=尤+；對稱，求|4卻.

1e2_1c2_1a2-b2_1,,

【解析】（1）由題意知:V豆丁就丁^^=鏟=1'2=1

（史丫（也）22

[Tj[T）13'??-a2=2）所以橢圓C:J+y2=l；

a2+1-2?+4-1

（2）法一設(shè)4（%,%）5（%2，%）及A5中點M（/o，%）,由題意知女一=T

]+犬=1,]+￡=i，以上兩式相減得：與看+犬―犬=（）,

可化為：一*=o即;+如■x&w=o,故如■=；,

2xf-xf2%與2

又??加在直線y=%+g上，所以%=%+g,解得：/=T，%=一；

即加11,-直線"：、+；=-（x+1）,化簡為：y=-x-|

3%+%=-2

y——x—

聯(lián)立?2整理得：6/+12x+5=0由韋達定理知《5

%2+2/=2

由弦長公式得：AB=J1+左2|xj-X2|=后J（X]+%）2-4%%2=友j（-2『-4X.=2?.

法二設(shè)直線A3:y=-X+%,

y=—x+m,

聯(lián)乂｛2c2c，整理得：3x2—4mx+2m2—2=0

[x+2/=2

W+%=等4桃，則中點MI2n7