2025年中考數(shù)學總復習 平行四邊形與多邊形 學案（含答案）

微專題24平行四邊形與多邊形

考點精講

1.平行四邊形的性質(zhì)與判定（6年7考）

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

⑵平行四邊形的性質(zhì)

邊兩組對邊分別平行，兩組對邊分別①——

角兩組對角分別②______

對稱是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點（北師獨

性有）

⑶平行四邊的判定

1.兩組對邊分別④的四邊形是平行四邊形（定義）;

邊2.兩組對邊分別⑤的四邊形是平行四邊形;

3.一組對邊⑥的四邊形是平行四邊形

角兩組對角分別⑦的四邊形是平行四邊形（人教獨有）

對角線對角線⑧的四邊形是平行四邊形

2.平行四邊形面積

面積計算公式：S=a/z（a表示一條邊長，用表示此邊上的高）.

【拓展知識】

①每條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形；

②平行四邊形中的面積關(guān)系：

/\S,^^7

Si=82=53=84

Si=82

（源于人教八下P51習題）

Si+83=82+54

S1S=S2,S4

（源于北師八下P158習題）

3.多邊形（6年2考）

⑴概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形

（2）多邊形的性質(zhì)（八23,〃為整數(shù)）

內(nèi)角和定理八邊形的內(nèi)角和尊手⑨

外角和定理任意多邊形的外角和等于⑩

牙“邊形二個頂點可引但一3）條對角線，把這個n邊形分成（八一2）

對角線

一個三角形，〃邊形共有也三條對角線

【溫馨提示】〃（八＞3）邊形具有不穩(wěn)定性

(3)正多邊形的性質(zhì)伽23,〃為整數(shù))

邊正〃邊形各條邊?

內(nèi)角各個內(nèi)角相等，正幾邊形的每個內(nèi)角為?_____

外角各個外角相等，正〃邊形的每個外角為?_____

練考點

1.如圖，在QABCQ中，對角線AC,相交于點。

AD

第1題圖

⑴若/BCD—NAZ)C=60°,則NA/?C=0；

(2)若口的周長為42,AB：BC=3：4,則A5=,AD=；

(3)若AC+3D=26,AB=U,則△OCQ的周長為.

2.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AC,BD交于點、O,再添加一個條件，

不一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()

A.AD=BCB.AB//CD

C.AB=CDD.OA=OC

R—a‘

/

第2題圖

3.如圖，在口A5CQ中，對角線AC,8。相交于點0,線段取過點0,分別交

AB,CD于點E,E陰影部分的面積之和為10,貝gABCQ的面積為()

第3題圖

A.16B.18

4.九邊形的內(nèi)角和為.

5.若正多邊形的一個內(nèi)角是120。，則這個正多邊形的邊數(shù)為.

高頻考點

考點1與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的證明及計算(6年4考)

例1已知在口ABC。中，AB>AD,E是AB邊上一點，連接。E

(1)核心設問如圖①，若。EJ_ABAB=6,AD=2V2,ZC=45°,求5E的長;

[2023廣東19⑴題考查]

例1題圖①

(2)核心設問如圖②，連接CE,若CE平分/BCD,AE=3,EB=5,DE=A.[2021

廣東16題考查]

①求證：ZDEA=90°；

②求CE的長；

例1題圖②

(3)如圖③，連接CE,若E是的中點，ZCED=90°,DE=4,且遮,

BC

求四邊形5CDE的面積；

例1題圖③

(4)如圖④，若。E平分NA。。交A5于點E,A/平分ND45交。。于點尸，過點

E作石。的垂線交。。于點G.求證：FG=BC.

DFCC

7\/

//

/

4￡H

例1題圖④

考點2平行四邊形的判定

例2(北師八下習題改編)如圖，在四邊形ABC。中，連接AC,分別過點5,D

作AC的垂線，垂足為E,F.

(1)如圖①，若四邊形A5co是平行四邊形，分別延長5E,DF,交A。于點G,

交BC于點H,求證：四邊形5GQ"是平行四邊形；

4cD

rIi/r-7/\I

RHC

例2題圖①

(2)如圖②，連接。E,BF,若BE=DF,AF=CE.

①求證：四邊形A5CD是平行四邊形；

例2題圖②

②求證：四邊形5EQ尸是平行四邊形;

變式1（2024佛山二模）如圖，點E是口ABC。邊AZ）延長線上一點，連接5E,

CE,BD,BE與CD交于點F,添加以下條件，不能判定四邊形為平行四

邊形的是（）

A.DE=DAB.ZABD=ZDCEC.EF=FBD.ZDEB=ZBCD

變式1題圖

考點3多邊形（6年2考）

例3如圖①是一個八角亭，亭子的八個立柱在地面上圍出了一個正八邊形結(jié)

構(gòu)，如圖②，若從其中一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其他頂點，該多邊形

被分成的三角形個數(shù)為（）

sr圖2

例3題圖

A.5B.6C.8D.16

變式2（人教八下習題改編）如圖是一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中

一邊與對角線的夾角NAC5=15°,算出這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.9B,10C.11D.12

變式2題圖

變式3（2024佛山模擬）如圖，在正五邊形A5CDE中，N5CQ的平分線交AE

于點F,連接CE,則NEC尸的度數(shù)為（）

?\///d

\/，/

\“//

rh

變式3題圖

A.15°B,18°C,36°D.54°

真題及變式

命題點1與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的計算（6年7考）

1.（2022廣東8題3分）如圖，在口A5CZ）中，一定正確的是（）

A.AD=CDB.AC^BDC.AB=CDD.CD=BC

第1題圖

2.（2021廣東16題4分）如圖，在口A5CD中，AD=5,45=12,sinA=：.過點。

作DELAB,垂足為E,則sinZBCE=.

第2題圖

變式

2.1變條件——將邊的高線變?yōu)榻瞧椒志€

如圖，在口A5C。中，AZ）=8,ZA=60°，CE平分/BCD交AB于點E,連接

DE.若BE=2AE,則DE的長為.

變式2.1題圖

拓展訓練

3.（2024棗莊）如圖，點E為口A5co的對角線AC上一點，AC=5,CE=1,連接

DE并延長至點尸，使得EF=DE,連接則5尸為（）

第3題圖

57

A.-B.3C,-D.4

22

命題點2多邊形（6年2考）

4.（2020廣東4題3分?人教八上習題改編）若一個多邊形的內(nèi)角和是540°,則該

多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

變式

4.1變條件——結(jié)合內(nèi)外角的倍數(shù)關(guān)系

若一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個正多邊形的邊數(shù)為.

拓展訓練

5.（2023陜西）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線A5,相交于點E,則線段

BE的長為

?

I)

第5題圖

新考法

6.［綜合與實踐］(2024達州改編)

【主題】在學習特殊的平行四邊形時，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對角線等于邊長的魚倍,

某數(shù)學興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶蔷€和邊長的數(shù)量關(guān)系進行探究.

【探究發(fā)現(xiàn)】步驟具體如下：

如圖①，?.?四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,AO=CO,BO=DO.

：.AB2=AO2+BO2.

又?.?AC=2AO,BD=2BO,

：.AB2=+.

化簡整理得AG+5Z)2=.

【猜想與探究】

⑴補全【探究發(fā)現(xiàn)】中的步驟；

⑵如圖②，若四邊形ABC。是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數(shù)量關(guān)系.

考點精講

①相等②相等③平分④平行⑤相等⑥平行且相等⑦相等⑧互相

平分⑨(八一2)X180°

⑩360。須目等鄴-2尸80。喏

練考點

1.(1)60；(2)9,12；(3)24

2.C

3.C【解析】.四邊形A8CD是平行四邊形，.,.SABOC,SABOE=SADOF,

SAFOC=S&AOE，?,.SnABCD=2(SAAOD+SXBOE+SACOF)=2X10=20.

4.1260°

5.6【解析】設所求正多邊形邊數(shù)為小則120°-n=(?-2)-180°,解得八=6.

高頻考點

例1(1)解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

ZA=ZC=45°.

DELAB,

.?.在R34E。中，ZAED=90°,ZA=45°,

：.AE^ADcosA=2V2X—=2,

2

J5E=AB—AE=6—2=4；

(2)①證明：，；CE平分/BCD,

：./BCE=ZDCE,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AB//CD,

：.ZBEC=ZDCE,

：.ZBEC=ZBCE,

：.BC=BE=5,

：.AD^5,

'：AE=3,DE=4,32+42=52,

：.AEr+DE^=AD2,

...△ADE是直角三角形，且NQE4=90°；

②解：由(1)可知，ZDEA=90°,

二?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZCDE=ZDEA=90°,CD=AB=AE+EB=3+5=S,

在中，由勾股定理得CE=JD￡2+CD2=.+82=4底

.??CE的長為4V5；

(3)解：如解圖，取CD的中點尸，連接所，過點石作CD,垂足為

?:E,尸分別是ABCD的中點，四邊形A5CD為平行四邊形，

C.BE//CF,BE=CF,即四邊形5CFE為平行四邊形.

又?；NCED=90°,尸為CD的中點，

1

：.EF=-CD=CF.

2

J四邊形BCFE為菱形.

1

：.BC=CF=-CD.

2

：

.CE^V3BC=—2CD,

.CFV3

??CD2,

：.ZCDE=60°,ZECD=30°,

"：DE=4,

：.CD=2DE=8,EH=DEsin60°=4Xy=2V3.

11

：.BE=-AB=-CD=4

229

??S四邊形=5(BE+CD)-EH=X(8+4)X2V3=12V3；

ARF

例1題解圖

(4)證明：?.?四邊形A5C。是平行四邊形，

：.DC//AB,DA=BC,

：.ZADC+ZDAB=180°,

?二。石平分NA。。，AF平分/DAB,

11

ZADE=-ZADC,ZDAF=-ZDAB,

22

.*.ZDAF+ZADE=90°,

：.DE±AF,

DELEG,

：.AF//EG,

：.四邊形AEGF是平行四邊形，

：.FG=AE,

'：DC//AB,

：./CDE=ZAED,

?「DE平分NA。。，

ZCDE=ZADE,

：.ZADE=ZAED,

：.DA=AE,

：.FG=BC.

例2證明：(1)二?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,即。G〃M

BELAC,DF±AC,

J.BG//DH,

：.四邊形BGDH是平行四邊形；

(2)@VBEXAC,DF±AC,

：.ZCEB=ZAFD=90°,

在^ADF和^CBE中，

(AF=CE

(回ZFDFCEB,

(DF=BE

：.△ADF^ACBE(SAS),

：.AD=CB,ZDAF=ZBCE,

C.AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形；

②?：AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF,

即AE=CF,

由①知AO=C5,ZEAD=ZFCB,：.AACBF(SAS),

：.DE=BF,

同理△ABE會△CDF,

:.BE=DF,

：.四邊形BEDF是平行四邊形.

變式1D【解析】?.?四邊形是平行四邊形，.?.AD=JBC,,:DE

=A。，.?.。石=5。，.?.四邊形是平行四邊形，故A正確；?.,四邊形45CD

是平行四邊形，：.AD//BC,AB//CD,：.ZABD=ZBDC,VZABD=ZDCE,

：.ZBDC=ZDCE,C.BD//CE,，四邊形5CEZ)是平行四邊形，故B正確；:

四邊形A5CZ)是平行四邊形，C.AD//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZFED=ZFBC,

又，：EF=FB,.*.△EFD^ABFC(AAS),，。石二殿..?.四邊形為平行四邊

形，故C正確；由/DEB=/BCD,得出/DEB=/A,但不能得出四邊形5CE。

為平行四邊形，故D錯誤.

例3B【解析】〃邊形從一個頂點出發(fā)，有伽一3)條對角線，則該八邊形從一

個頂點可引出5條對角線，將八邊形劃分為6個不重合的三角形.

變式2D【解析】依題意，45=5。，NAC5=15°,???NBAC=NAC5=15°,

ZABC=180°—NAC5—/氏4。=150°,??.這個正多邊形的一個外角為180°

-150°=30°,??.這個正多邊形的邊數(shù)為黑=12.

變式3B【解析】?.?五邊形石為正五邊形，5c。=/。=：><(5—

1

2)X180°=108°,CD=DE,：.NDCE=/DEC=*18U。-ZD)=36°，?:CF

11

平分NBCZ),.?.NDC尸MLNBCDMLXIOS。=54°,：.ZECF=ZDCF-ZDCE

22

=54°-36°=18°.

真題及變式

1.C【解析】?.?四邊形ABC。是平行四邊形，，根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別

相等可得C選項一定正確.

2.答【解析】\'DELAB,AB=n,AD=5,sin4=g,：.DE=4,：.AE=

IAD2~DE2=3,：.BE=AB~AE=9,如解圖，過點5作B尸，CE于點尸，在

口ABCD中，AB=CD=12,BC=AD=5,AB〃CD,：.DE_LCD,：.CE=JDE2+CD2

=4A/10,由三角形面積公式可得54。石=三。石3/，...5/=犯史，.入反/5。石=生

2210BC

_9V10

50,

DC

A

*IC-........乂

第2題解圖

變式2.14V3【解析】,四邊形A5CD是平行四邊形，5c7）=NA=60°,

BC=AD=S,CD//AB,：.ZBEC=ZDCE.CE平分NOCB；.ZDCE=ZBCE,

：.ZBEC=ZBCE,：.BE=BC=S.\'BE=2AE,：.2AE=S,解得AE=4,如解

圖，過點E作ERLAZ）于點尸，則N4/E=Nr）FE=90°,ZAEF=90°-ZA

：：

=90°-60°=30°,.AF=-2AE=2,EF=—2AE=2A/3,.DF=AD~AF=6,

在RSDE尸中，由勾股定理，得ED=IEF2+DF2=4V3.

r//

AKa

變式2.1題解圖

3.B【解析】如解圖，連接交AC于點O.,四邊形ABC。為平行四邊形，

：153：：

AC=5,CE=1,.AO=CO=-2AC=~2,2BO=DO,.OE=CO~CE=-.,EF=

DE,.?.石為。尸的中中點，又丁。為的中點，.\OE為△5。下的中位線，.二5下

=2OE=3.