2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的方程（八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第03講圓的方程

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：圓的定義和圓的方程....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷..................................................4

題型一：求圓多種方程的形式.....................................................5

題型二：直線系方程和圓系方程...................................................6

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題.....................................................7

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件...............................9

題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷..................................................10

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用....................................................10

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題....................................................11

題型八：圓過定點(diǎn)問題..........................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................15

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視圓的一般方程成立的條件............................................15

答題模板：求圓的方程..........................................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第3題，5分高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查

（1）圓的方程2023年乙卷（文）第11題，5分內(nèi)容、頻率'題型難度均變化不大，備考時(shí)

（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)2023年上海卷第7題，5分應(yīng)熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求

系2022年甲卷（文）第14題，5分法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用

2022年乙卷（文）第15題，5分幾何性質(zhì)求解圓的方程.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

//二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于

圓的定義定長的點(diǎn)的集合(軌跡)

叫圓.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：代-4+①0'/,

圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0)

圓的一般方程：X:+J2+P.V+￡：)+F=0(Z):+￡:-4F>0),

周心坐標(biāo)為(n費(fèi)肯F)，半徑片m+E'7F

2

圓的方程

圓的直徑式方程：若yiCi.yjKwjj,

貝I］以線段45為直彳仝的圓的方程是(■rz1Xx-xJ+(lJji)Qr\)=O

x=o+rcos^^

圓的參數(shù)方程:(。為參數(shù))

y=b+rsin3

圓外

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓上

圓內(nèi)

老占突曲?題理探密

-------------H-H-c

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:圓的定義和圓的方程

1、平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓.

2、圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2^r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為，，半徑

A/D2+E2-4F

r--------------

2

(3)圓的直徑式方程：若A(xl,y1),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(X一西)(無一無2)+(>_%)(>_%)=0

(4)圓的參數(shù)方程：

22

@x+y=r\r>0)的參數(shù)方程為(g為參數(shù))；

[y=rsing

x=a+rcos0

②(x-a)2+(y-b￥=/(r>0)的參數(shù)方程為\(。為參數(shù)).

[y=b+rsmO

【診斷自測】已知點(diǎn)A(-4,-2),B(T,2),C(-2,2),則VA3C外接圓的方程是().

A.x2+(y-3)2=20B.(x+3)2+y2=5

C.x2+(y+3)2=5D.(x-3)2+y2=20

知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

22

⑴點(diǎn)一1,%)與圓(x-d)+(y-b)=r2的位置關(guān)系:

①(、-〃)2+(丁一。)2〉/O點(diǎn)P在圓外；

2

②(x—〃)2+(y-b)=戶=點(diǎn)尸在圓上；

③(尤-4+0-6)2</o點(diǎn)P在圓內(nèi).

2

(2)點(diǎn)尸(%,為)與圓Y+y+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系：

①片+y；+Dx0+Ey0+F>0<=>點(diǎn)尸在圓外；

②x；+y；+￡>/+E%+F=0u>點(diǎn)尸在圓上；

③芯+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>點(diǎn)尸在圓內(nèi).

【診斷自測】(2024?河北滄州?二模)若點(diǎn)4(2,1)在圓V+y2-2a-2y+5=0(加為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為()

A.(-co,2)B.(2,+co)C.(-co,-2)D.(-2,+oo)

題型一：求圓多種方程的形式

【典例1-1】已知直線3x+4y-4=0與圓C相切于點(diǎn)7(0,1),圓心C在直線x-y=。上，則圓C的方

程為()

A.(x-3)2+(y-3)2=13B.(x-3)2+(y+3)2=25

C.(X+3)2+(J-3)2=13D.(x+3)2+(y+3)2=25

【典例1-2](2024?高三?北京?開學(xué)考試)圓心為(-1,-2),且與，軸相切的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-2)2=4B.(x-1)2+(y-2)2=1

C.(x+l)2+(y+2)2=1D.(x+l)2+(y+2)2=4

【方法技巧】

(1)求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)(a,6)

和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn).因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，

半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

【變式1-1】過點(diǎn)尸(4,2)作圓尤2+>2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,貝URW的外接圓方程是

()

A.(X-2)2+(>-1)2=5B.(X-4)2+(>-2)2=20

C.(^+2)2+(>+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

【變式1-2］圓心在直線/：尤-2y-3=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的方程為.

【變式1-3］(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知直線4：2x+y_6=O與，2：2x+y+4=0均與M相切,

點(diǎn)(2,2)在匚河上，則M的方程為.

【變式1-4］與直線x-y-4=0和圓(x+l)2+(y_l)2=2都相切的半徑最小的圓的方程是()

A.(x+l)2+(y+l)2=2B.(x+l)2+(^+l)2=4

C.(x-l『+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=4

題型二：直線系方程和圓系方程

【典例2-1】過圓G：Y+y2+6x-4=(^D/C2：Y+y2+6y_28=0的交點(diǎn)，且圓心在直線

2x+y+4=0上的圓的方程為()

A.(%+l)2+(y+2)2=25B.(x+l)2+(y+2)2=20

C.(x-l)2+(y+6)2=25D.(x-1)2+(y+6)2=20

【典例2-2】圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且經(jīng)過兩圓G:f+/_4x-3=0和圓C?:/—4y-3=0的交點(diǎn)，

則圓C的方程為.

【方法技巧】

求過兩直線交點(diǎn)(兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn))的直線方程(圓系方程)一般不需求其交點(diǎn)，而是利用

它們的直線系方程(圓系方程).

(1)直線系方程：若直線4：4x+"y+G=0與直線/2：4x+B2；y+C2=0相交于點(diǎn)P,則過點(diǎn)P的直

線系方程為：\(Alx+Bty+C1)+A2(A2x+B2y+C2)=0(^+^^0)

簡記為：用+電=o(A2+名片0)

當(dāng)4Ho時(shí)，簡記為：4+勿2=。(不含4)

(2)圓系方程：若圓G：x2+y2+px+Ej+耳=。與圓Czii+V+A尤+Ej+&=o相交于

A,B

22

兩點(diǎn)，則過A,2兩點(diǎn)的圓系方程為：x+y~+Dxx+Exy+f；++y+D2x+E2y+F2)—0(2—1)

簡記為：^+262=0(2^-1),不含C2

當(dāng)九=一1時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)/：(。-2)》+(4-E2)y+耳-8=0

注意：與圓c共根軸/的圓系G：c+/U=o

【變式2-1］經(jīng)過直線尤-2y=o與圓尤2+爐一4彳+2?-4=0的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(1,0)的圓的方程為—.

【變式2-2】曲線3--產(chǎn)=3與y=Y-2x-8的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是—.

【變式2-3】過圓/+/-彳+>-2=0和V+y2=5的交點(diǎn)，且圓心在直線3元+4y-l=0上的圓的方程

為（）

A.x?+y~+2x—2y—11=0B.x?+y~—2x+2y-11=0.

C.x2+y2-2x-2y-ll=0D.x?+y~+2,x+2y—11=0

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

【典例3-1】已知定點(diǎn)2（3,0）,點(diǎn)A在圓尤2+y2=i上運(yùn)動(dòng)，NAOB的平分線交線段A8于點(diǎn)則

點(diǎn)M的軌跡方程是.

【典例3-2】（2024?貴州畢節(jié)?三模）已知直線4：X+9-5=0,直線小田-y-3f+2=。，乙與相

交于點(diǎn)4則點(diǎn)A的軌跡方程為.

【方法技巧】

要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或

轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

【變式3-1]（2024?高三?青海西寧?期中）已知A（T,0）,8（1,0）,C為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

\AC\=y/2\BC\,則點(diǎn)C的軌跡方程為.

【變式3-2]（2024?廣東?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中放置著一個(gè)邊長為1的等邊三角形

PAB,且滿足PB與x軸平行，點(diǎn)A在x軸上.現(xiàn)將三角形沿x軸在平面直角坐標(biāo)系尤0y內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂

點(diǎn)P（%y）的軌跡方程是y=〃x）,則"%）的最小正周期為—；y=/（"在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與工

軸所圍區(qū)域的面積為

【變式3-3】已知圓M：（x-2）2+y2=4,過點(diǎn)N（l,o）的直線/與圓加交于A,8兩點(diǎn)，D是A3的中點(diǎn),

則。點(diǎn)的軌跡方程為一.

【變式3-4】如圖所示，已知圓。：N+y2=4與>軸的正方向交于&點(diǎn)，點(diǎn)8在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，過

點(diǎn)B作圓。的切線，切點(diǎn)為C,則△ABC的垂心"的軌跡方程為.

【變式3-51點(diǎn)尸(1,0),點(diǎn)Q是圓Y+V=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是()

【變式3-6］已知?jiǎng)狱c(diǎn)“與兩個(gè)定點(diǎn)。(-1,0),A(2,0)的距離之比為1：2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

為.

【變式3-7】已知尸(4,0)是圓尤2+/=36內(nèi)的一點(diǎn),4,3是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足NAPB=90。，求矩形

AMQ頂點(diǎn)。的軌跡方程.

【變式3-8］在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、8c上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。、R,且忸。|=|CR|.求

直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程.

【變式3-9］如圖，已知點(diǎn)A(-l,0)與點(diǎn)2(1,0),C是圓尤2+/=1上異于a,B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接8c

并延長至。，使得|C@=|BC|,求線段AC與。。的交點(diǎn)尸的軌跡方程.

【變式3-10】已知點(diǎn)A（2,0）是圓Y+y2=4上的定點(diǎn)，點(diǎn)以1,1）是圓內(nèi)一點(diǎn)，尸、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求線段AP的中點(diǎn)"的軌跡方程.

（2）若NPBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)N的軌跡方程.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

【典例4-1］若方程/+>2+的-〃/+2=0表示一個(gè)圓，則相可取的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【典例4-2】（2024?高三?全國?課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程4^+B？+0/+?：+號(hào)+尸=0表示

一個(gè)圓的充要條件是（）.

A.臺(tái)=0，J.A=C^0

B.B=1，S.D2+E2-4AF>0

22

C.3=0，且A=八0，￡>+E-4AF>0

D.g=o，MA=C^0>D2+E2-4AF>0

【方法技巧】

Jj^x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>Q,故在解決圓的一般式方程的有關(guān)

問題時(shí)，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為半徑—m+E—F

<21）2

【變式4」】若方程f+丁+女+2丁+2=。表示圓，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.a<-2B.a>2

C.〃<一2或a>2D.〃<一2或〃之2

【變式4-2］（2024?貴州?模擬預(yù)測）已矢口曲線C的方程2/+2/+4，+8丫+尸=0,則“產(chǎn)110”是

“曲線C是圓''的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-3】已知方程V+V+J嬴+2》+2=0表示圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.（3,+oo）D.（4,+oo）

題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

【典例5-1］（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）“1<6<2”是“點(diǎn)3（0力）在圓（7:（*_1）2+（丁-2）2=2內(nèi)

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【典例5-2］（2024?江西?模擬預(yù)測）若點(diǎn)（1」）在圓/-無一。=0的外部，則。的取值范圍為

（）

B.%）C.（一-1）D.（1,+?）

【方法技巧】

在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他

約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.

【變式5-1］（2024?貴州黔南?二模）已知直線y=x+2后與直線y=-x的交點(diǎn)在圓/+y=4的內(nèi)部,

則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.—1<左<1B.—2v左<2C.—3<左v3D.—>/2<左<,\/2

【變式5?2］（2024?陜西西安?三模）若過點(diǎn)尸（0,1）可作圓f+y_2%—今+〃=0的兩條切線，貝lj〃的

取值范圍是（）

A.（3,+oo）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+oo）

【變式5?31點(diǎn)P在單位圓。。上（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)=+貝lj

，+%的最大值為（）

3L

A.-B.百C.2D.3

【變式5?4】（2024?高三?全國-課后作業(yè)）已知兩直線》=%+2左與y=2x+k+1的交點(diǎn)在圓

/+V=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)上的取值范圍().

A.--<^<-1B.--<k<l

55

C.—<女<1D.—2v左<2

3

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

【典例6-1】已知曲線尸"京二i與直線履-、+4-1=。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范

圍是（）

【典例6-2】若直線/：質(zhì)-廣2=0與曲線c：Ji_（y—=x-l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)上的取值范

圍是（）

【方法技巧】

研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，尤其要注意需

對代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【變式6-1］（多選題）關(guān)于曲線C：/+_/=2國+2祝，下列說法正確的是（）

A.曲線C圍成圖形的面積為4%+8

B.曲線C所表示的圖形有且僅有2條對稱軸

C.曲線C所表示的圖形是中心對稱圖形

D.曲線C是以（1,1）為圓心，2為半徑的圓

【變式6-2】已知直線/：履-y+2-左=0與曲線y=有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為一.

【變式6-3】直線2x+y-2=0與曲線（尤+了一1），尤2+4一4=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式6-4］若兩條直線/1：y=x+m,l2.y=x+"與圓f+y2-2x-2y+f=。的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩

形，則根+孔=（）

A.0B.1C.2D.3

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題

【典例7-1】圓（x-3『+（y_l）2=5關(guān)于直線y=f對稱的圓的方程為.

【典例7-2】己知圓G：Y+y2=3關(guān)于直線/對稱的圓為圓C?:（尤+2）2+（y-l『=3,則直線/的方程

為一

【方法技巧】

（1）圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱

（2）圓關(guān)于點(diǎn)對稱：

①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程

②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)

（3）圓關(guān)于直線對稱：

①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程

②兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線

【變式7-1］（2024?遼寧?二模）已知圓Y+丁=4與圓X?+J一8x+4y+16=。關(guān)于直線/對稱，則直

線/的方程為（）

A.2x+y—3=0B.x—1y—8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【變式7-2］（2024?高三?山西?期末）已知點(diǎn)A,B在圓C:Y+y2+27nx+2〃y=o上，且A,8兩

點(diǎn)關(guān)于直線y=x+2對稱，則圓C的半徑的最小值為（）

A.2B.72C.1D.3

【變式7-3】已知直線/:?+外+1=0,HC:x2+/+4x+2y+l=0,若圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/對

稱，則（a-2）2+0-7）2的最小值是（）

A.5B.VsC.275D.20

【變式7-4】如果圓f+V+m+份+產(chǎn)=0,2+序-4尸>0）關(guān)于直線y=2x對稱，那么（）

A.D=2EB.E=2D

C.E+2￡）=0D.D=E

【變式7-5］圓C:（龍-iy+（y-l）2=2關(guān)于直線/:y=x-l對稱后的圓的方程為（）

A.（x-2）2+>2=2B.（x+2）2+y2=2

C.x~+（y—2）2=2D.jr2+（y+2）2=2

題型八：圓過定點(diǎn)問題

【典例8-1】點(diǎn)P（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)

）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【典例8-2］圓％2+_/+〃叱-2丫-加=0恒過的定點(diǎn)是___.

【方法技巧】

特殊值法

【變式8-1】已知圓C:x2+y2=4,點(diǎn)平面內(nèi)一定點(diǎn)N（異于點(diǎn)V）,對于圓C上的任意動(dòng)

AN

點(diǎn)A，都有為\作\為定值，定點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

【變式8-2］(2024?高三?上海閔行?期中)若拋物線y=/+or+b與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)

A、B、C,則VA3C的外接圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【變式8-3］對任意實(shí)數(shù)加，圓尤2+y?-2mx-4%y+6根-2=0恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為___.

【變式8-4］設(shè)有一組圓C：(xd+iy+(y_3行=2仁化?N*).下列四個(gè)命題其中真命題的序號(hào)是

①存在一條定直線與所有的圓均相切；

②存在一條定直線與所有的圓均相交；

③存在一條定直線與所有的圓均不相交；

④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn).

1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)圓/+產(chǎn)一2工+63；=0的圓心到直線工-)；+2=0的距離為()

A.72B.2C.3D.3>/2

2.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+〉2=i的一條對稱軸，則。=(

A.—B.—C.1D.—1

22

3.(2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題)已知圓心為(-2,1)的圓與，軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=1B.(x+2)2+(y-l)2=4

C.(%-2)2+(y+l)2=lD.(尤_2『+(y+l)2=4

4.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在“上，則M

的方程為.

5.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)真題)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

\\

1.平面直角坐標(biāo)系中有A(O,1),3(2,1),C(3,4),。(-1,2)四點(diǎn)，這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？為什么？

2.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(xi,yi),B(兀2,”).求證：此圓的方程是(%-xi)(x-X2)+(y-yi)

（y—》2）=0.

3.如圖，在四邊形ABC。中，AB=6,CD=3,且AB//CD,AD=BC,A3與CO間的距離為3.求等

腰梯形A8CD的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑.

x=。+rcos0

4.在半面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)(尤,y)滿足其中夕為參數(shù)?證明：點(diǎn)P的軌跡是

圓心為(a,b),半徑為r的圓.

5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)/與兩個(gè)定點(diǎn)。（0,0）,A（3,0）的距離的比為;，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.

6.長為2a的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段A8的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明

軌跡的形狀.

㈤6

八易錯(cuò)分析-答題模板一\

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視圓的一般方程成立的條件

易錯(cuò)分析：易忽視圓的一般方程：f+/+5+￡>+尸=0表示圓的條件。2+工一4尸>。而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【易錯(cuò)題1】已知點(diǎn)尸。,2）為圓V+y2+x-4y+機(jī)=0外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.(2,+8)B.一＜?,]

【易錯(cuò)題2】已知圓C的方程為r!+y2-2mx+47沖+5療-3〃z+3=0,若點(diǎn)（1,-2附在圓外，則加的取值范

圍是（）

A.(-oo,l)l1(4,+oo)B.(1,+8)

C.(1,4)D.(4,+oo)

答題模板：求圓的方程

1、模板解決思路

求圓的方程，首先確定圓的類型。若已知圓心坐標(biāo)和半徑，直接代入標(biāo)準(zhǔn)方程；若已知圓上三點(diǎn)，通

過構(gòu)造方程組求解圓心坐標(biāo)和半徑；若已知直徑，則先求圓心，再計(jì)算半徑后代入方程。

2、模板解決步驟

第一步：根據(jù)題意，設(shè)出圓的方程或圓心、半徑.

第二步：根據(jù)條件列出關(guān)于“，兒r或。，E,尸的方程組，并求解。

第三步：根據(jù)第二步所得結(jié)果，寫出圓的方程.

【典型例題1】寫出與直線尤+y+2=o和y軸都相切，半徑為拒的一個(gè)圓的方程：—.

【典型例題2】已知點(diǎn)A（2,-l）,以4,3）,c（-l,2）,其中一點(diǎn)在圓￡內(nèi)，一點(diǎn)在圓E上，一點(diǎn)在圓E外，貝U

圓E的方程可能是—.（答案不唯一，寫出一個(gè)正確答案即可）

第03講圓的方程

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：圓的定義和圓的方程....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷..................................................4

題型一：求圓多種方程的形式.....................................................5

題型二：直線系方程和圓系方程...................................................6

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題.....................................................7

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件...............................9

題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷..................................................10

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用....................................................10

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題....................................................11

題型八：圓過定點(diǎn)問題..........................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例高考素材............................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................15

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視圓的一般方程成立的條件............................................15

答題模板：求圓的方程..........................................................15

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第3題，5分高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查

（1）圓的方程2023年乙卷（文）第11題，5分內(nèi)容、頻率'題型難度均變化不大，備考時(shí)

（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)2023年上海卷第7題，5分應(yīng)熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求

系2022年甲卷（文）第14題，5分法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用

2022年乙卷（文）第15題，5分幾何性質(zhì)求解圓的方程.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

//二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于

圓的定義定長的點(diǎn)的集合(軌跡)

叫圓.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：代-4+①0'/,

圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0)

圓的一般方程：X:+J2+P.V+￡：)+F=0(Z):+￡:-4F>0),

周心坐標(biāo)為(n費(fèi)肯F)，半徑片m+E'7F

2

圓的方程

圓的直徑式方程：若yiCi.yjKwjj,

貝I］以線段45為直彳仝的圓的方程是(■rz1Xx-xJ+(lJji)Qr\)=O

x=o+rcos^^

圓的參數(shù)方程:(。為參數(shù))

y=b+rsin3

圓外

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓上

圓內(nèi)

老占堂硒■題理探點(diǎn)

-------QO-OOy.

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:圓的定義和圓的方程

1、平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)叫圓.

2、圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：｛x—a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r(r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為[-g-g],半徑

7r>2+￡2-4F

r=-------------

2

(3)圓的直徑式方程：若4%,%),3(尤2，力)，則以線段A8為直徑的圓的方程是

(無一斗)。一々)+0-％)0-、2)=。

(4)圓的參數(shù)方程：

V—yCOS0

①一+、2=弁(廠>0)的參數(shù)方程為-(6為參數(shù))；

[y=rsin^

Ix=〃+rcos0

②(X-(7)2+(、一力2=產(chǎn)(廠>。)的參數(shù)方程為「,.二((9為參數(shù)).

[y=b+rsm3

【診斷自測】已知點(diǎn)A(T-2),B(T,2),C(-2,2),則VABC外接圓的方程是().

A.%2+(y-3)2=20B.(x+3)2+y2=5

C.x2+(y+3)2=5D.(x-3)2+y2=20

【答案】A

【解析】由題B43C=(0,TR2,0)=0

得VA3C是直角三角形，且A4_L3C,

所以圓的半徑為白=Jl+Zf+HT=,圓心為(_3,0),

2112

所以VABC外接圓的方程為(x+3y+y2=5.

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

⑴點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x-a)?+(y一))2=r2的位置關(guān)系:

①(x-a)2+(y—b)2>r2<=>點(diǎn)尸在圓外；

②(尤―02+(、—加2=/o點(diǎn)尸在圓上；

③(X—〃)2+⑶―力2V產(chǎn)o點(diǎn)尸在圓內(nèi).

(2)點(diǎn)P(x0,y0)與圓Y+,2+Dr+4+廣=0的位置關(guān)系：

①％；+V；+Dxo+Ey0+戶>0o點(diǎn)P在圓外；

②%;++Dx。+Ey0+產(chǎn)=0=>點(diǎn)P在圓上；

③君++DXQ+Ey0+尸v0<=>點(diǎn)P在圓內(nèi).

【診斷自測】(2024?河北滄州?二模)若點(diǎn)A(2,l)在圓f+y2—2g—2y+5=0(加為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)

加的取值范圍為()

A.(—oo,2)B.(2,+oo)C.(—00,—2)D.(―2,+oo)

【答案】B

【解析】由題意知2z+12—4加一2+5>0,

故加<2,

又由圓的一般方程/+^+“+曰+產(chǎn)二。，

可得。2+￡2_4/〉0,BP(-2m)2+(-2)2-4x5>0,

即加V—2或%>2,

所以實(shí)數(shù)用的范圍為加<-2.

故選：C.

題型洞察

題型一：求圓多種方程的形式

【典例1-1】已知直線3尤+4y-4=0與圓c相切于點(diǎn)T(0,l),圓心C在直線x-y=0上，則圓C的方程

為()

A.(x-3)2+(y-3)2=13B.(x-3)2+(y+3)2=25

C.(%+3)2+(y-3)2=13D.(x+3)2+(y+3)2=25

【答案】A

【解析】由題意，設(shè)C(a,a)(“wO),圓C的半徑為廣，

Q—14

：%=—=9,解得°=_3,

a3

所以圓心C(T一3),半徑一\CT\=7(-3-0)2+(-3-1)2=5,

所以圓C的方程為(X+3)2+(>+3)2=25.

故選：D.

【典例1-2](2024?高三?北京?開學(xué)考試)圓心為(-1,-2),且與V軸相切的圓的方程是()

A.(—(―=4B.(x-1)2+(j；-2)2=1

C.(x+l)2+(y+2)2=1D.(x+l)2+(>+2)2=4

【答案】B

【解析】由題意，圓心坐標(biāo)為(-L-2),可知AB錯(cuò)誤；

設(shè)圓心半徑為r,且圓心(-1,-2)到y(tǒng)軸的距離為1,

則由圓與y軸相切可得廠=1,

故圓的方程為：(x+l)2+(y+2)2=l.

故選：C.

【方法技巧】

(1)求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)(a,b)

和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn).因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，

半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

【變式1-1】過點(diǎn)尸(4,2)作圓d+V=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,貝h.PAB的外接圓方程是

()

A.(x-2)2+(y—l)2=5B.(^-4)2+(y-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

【答案】A

【解析】由圓尤2+必=4,得到圓心。(0,0),由題意知O、A、B、P四點(diǎn)共圓，R43的外接圓即四邊形

。4尸8的外接圓，又P(4,2),從而OP的中點(diǎn)坐標(biāo)(2,1)為所求圓的圓心，!|。尸|=石為所求圓的半徑，所

以所求圓的方程為(x-2)2+(yT)2=5.

故選：A

【變式1-2]圓心在直線，：x-2y-3=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的方程為

【答案】(x+iy+(y+2)2=10

【解析】圓經(jīng)過點(diǎn)42,-3)和次一2,-5),鮑=g,AB中點(diǎn)為(0,-4),

所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-2工-4.

x—2y—3=0八,x=-l

聯(lián)立方程組尸二-4,解得

j=_2

所以，圓心坐標(biāo)為2),半徑r=3=42+l(+(-3+2『=回，

所以，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是"+l)2+(y+2)2=10.

故答案為：(x+l)2+(y+2)2=10.

【變式1-3](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知直線4：2x+y-6=。與4：2x+y+4=0均與IM相切,

點(diǎn)(2,2)在M上，則/的方程為.

22

【答案】X+(Y-1)=5

【解析】由于直線4：2x+y-6=。與/2：2x+y+