2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下的新定義壓軸解答題（九大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點(diǎn)突破05函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下的新定義壓軸解答題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：曲率與曲率半徑問題......................................................2

題型二：曼哈頓距離與折線距離....................................................5

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問題......................................................6

題型四：凹凸函數(shù)................................................................8

題型五：二元函數(shù)問題............................................................9

題型六：切線函數(shù)新定義.........................................................10

題型七：非典型新定義函數(shù).......................................................12

題型八：拐點(diǎn)、好點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)、S點(diǎn)...............................................14

題型九：各類函數(shù)新概念.........................................................16

03過關(guān)測(cè)試....................................................................17

方法特眄與Q餞

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾?/p>

考生對(duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，

重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.

2、設(shè)尸（西,為）,0（%,%）為平面上兩點(diǎn),則定義昆-再|(zhì)+歷-為|為“折線距離”“直角距離”或“曼哈

頓距離”，記作d（P,Q）=|x2-xj+昆-兒|.

結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)尸（尤0，為）為直線/:Nx+8y+C=0外一定點(diǎn)，0為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，則

出。+By。+C|

4（尸,Q）min

max{|^|,|5|}

結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)尸為直線++G=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0為直線/x+gy+G=。上的動(dòng)點(diǎn)，則

C-GI

義尸，。濡=

max{|^|,|5|）

題型歸贏總結(jié)

題型一：曲率與曲率半徑問題

【典例1-1]（2024?浙江溫州?二模）如圖，對(duì)于曲線r,存在圓。滿足如下條件:

①圓C與曲線「有公共點(diǎn)A,且圓心在曲線「凹的一側(cè);

②圓C與曲線「在點(diǎn)A處有相同的切線;

③曲線「的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線「的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓c在點(diǎn)A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

+(y-b)2=/在點(diǎn)/(%,%)處的二階導(dǎo)數(shù)等于區(qū)My)；

則稱圓C為曲線「在A點(diǎn)處的曲率圓，其半徑/稱為曲率半徑.

(1)求拋物線>=/在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

(2)求曲線的曲率半徑的最小值；

X

(3)若曲線y=e”在(再,9)和92，/乂%w%)處有相同的曲率半徑，求證：xt+x2<-ln2.

【典例1-2】有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對(duì)中國高鐵的認(rèn)知.由于地形等原因，在

修建高鐵、公路、橋隧等基建中，我們常用曲線的曲率(Curvature)來刻畫路線彎曲度.如圖所示的光滑

曲線C上的曲線段/瓦設(shè)其弧長為As,曲線C在4,8兩點(diǎn)處的切線分別為〃,4，記加4的夾角為

1兇1ir(x)|

△小回回,定義心普為曲線段蕊的平均曲率，定義風(fēng)月=螞

krz,3仁為曲線

C：y=/(x)在其上一點(diǎn)/&/)處的曲率.(其中/'(X)為/⑴的導(dǎo)函數(shù)，/㈤為了‘(X)的導(dǎo)函數(shù))

TT

(2)記圓/+/=2025上圓心角為w的圓弧的平均曲率為a.

①求。的值；

②設(shè)函數(shù)g(x)=ln(x+45a)-xe、i,若方程g(x)=加(加>0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%,吃,證明:

區(qū)-士|<1-與?，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-.

3e-3

【變式1-1]定義：若"(X)是。X)的導(dǎo)數(shù),"(X)是一(X)的導(dǎo)數(shù)，則曲線y在點(diǎn)若,〃(%))處的曲率

K=―W'⑸—(Tiy(1A

(r已知函數(shù)/(》)=6>111片+工|,g(x)=x+(2a-l)cosx,a<-\,曲線y=g(x)在點(diǎn)

[l+[〃(x)『｝2U)I2)

(0,g(0))處的曲率為變；

4

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

7T

(2)對(duì)任意xe--,0，時(shí)(x)2g'(x)恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(3)設(shè)方程/(x)=g'(x)在區(qū)間,2〃兀+鼻eN")內(nèi)的根為項(xiàng),馬,x"，…比較x"+]與X"+2兀的大小,

并證明.

【變式1-2](2024?湖北黃岡?二模)第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會(huì)(簡稱“高交會(huì)”)在深圳

閉幕.會(huì)展展出了國產(chǎn)全球首架電動(dòng)垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會(huì)被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)

代產(chǎn)品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線。：了=/(同上

的曲線段48,其弧長為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段N8運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線乙也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到8點(diǎn)的

切線記這兩條切線之間的夾角為(它等于。的傾斜角與〃的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，

一/\<7

夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=丁為

As

曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)8越接近A,即As越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，

因此定義《=圖二=；7(若極限存在)為曲線c在點(diǎn)A處的曲率.(其中y,y分別表示

11(i+y2)2

了=/卜)在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù))

(1)已知拋物線/=2加(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,則在該拋物線上點(diǎn)(3,力處的曲率是多少？

xx

11（e_1_e-]

⑵若函數(shù)g（x）=3不等式g|---|vg（2-cos<wx）對(duì)于xeR恒成立，求。的取值范圍；

（3）若動(dòng)點(diǎn)A的切線沿曲線〃力=2》2-8運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8（x",〃x"））處的切線，點(diǎn)5的切線與X軸的交點(diǎn)為

（%,0）僅eN）若占=4,b?=xn-2,7；是數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，證明「<3.

題型二：曼哈頓距離與折線距離

【典例2-1】（2024?甘肅蘭州?一模）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為（為,為），

（演，/），那么稱"（48）=k-xJ+|%-為|為/,8兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.

⑴已知點(diǎn)M，也分別在直線x-2y=0,2%-了=0上，點(diǎn)/（0,2）與點(diǎn)生，刈的曼哈頓距離分別為

d（M,N）,d（M,N2）,求d（MM）和刈/,乂）的最小值；

⑵已知點(diǎn)N是直線》+產(chǎn)歹+2左+1=0（左〉0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)“（0,2）與點(diǎn)N的曼哈頓距離d（跖N）的最小值

記為/㈤，求/㈤的最大值;

（3）已知點(diǎn)點(diǎn)（k,m,?eR,e是自然對(duì)數(shù)的底），當(dāng)后VI時(shí)，d（跖N）的最大值為

/（加,〃），求的最小值.

【典例2-2】（2024?高三?廣西防城港?階段練習(xí)）若設(shè)/（。川=同-1|+|冰-2|+…+|依-〃|為曼哈頓擴(kuò)張距

離，它由〃個(gè)絕對(duì)值之和組成，其中〃為正整數(shù).如：

M（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2x-4|+|2x-5|+|2x-6|

⑴若M（1,2）W5,求x的取值范圍；

（2）若/（3,2）上相對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，設(shè)0>0,Z>>0,J!La2+b2=m+\，求2a+b的最大值.

【變式2-1]（2024?高三?北京?期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提

出來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我

們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用刈45)表示，又稱

“曼哈頓距離”，即d(43)=Ma+|C8|,因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式"：若/(%,乂)，B(x2,y2),則

"(45)=b2-西|+歷一%|

⑴①點(diǎn)4(3,5),5(2-1),求“43)的值.

②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

⑵已知點(diǎn)以1,0),直線2x-y+2=0,求2點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為4=(%,%zJ,，=1,2,3,4,且毛，N,4?{0,1}.設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”

的平均值即7,求7最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo).

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問題

【典例3-1](2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試)定義：雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=e；e",雙曲正弦函數(shù)

px-

sinh(%)二——-——.

(1)求函數(shù)y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；

(2)若函數(shù)/(x)=logg[cosh(2x)-4sinh(x)]在R上的最小值為-1,求正實(shí)數(shù)。的值；

sinh(x)1

⑶求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)人關(guān)于％的方程J<=6+彳總有實(shí)根.

cosh(x)2

【典例3-2】(2024?高三?福建寧德?期末)固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈

XX

線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程以匕+e。),其中c為參數(shù).當(dāng)c=1時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)

片-2-

cosh%=￡±￡l,類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx='匚.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:sinh2x=.(只寫出

即可，不要求證明)；

(2)Vxe[-l,l],不等式cosh2x+加coshx20恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

⑶若x嗚爭，試比較cosh(sinx)與sinh(cosx)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式3-1](2024?上海寶山?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函

數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh(x)=C^,雙曲余弦函數(shù)：

cosh(x)=《/，㈠是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)解方程：cosh(x)=2；

(2)寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：sinh(x+y)=,并證明；

(3)無窮數(shù)列{。“},q=。，??+,=2^-1,是否存在實(shí)數(shù)使得出必=；?若存在，求出。的值，若不

存在，說明理由.

題型四：凹凸函數(shù)

【典例4-1】(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))定義：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),我們稱函數(shù)/'(x)的導(dǎo)函

數(shù)/G)為函數(shù)/(X)的二階導(dǎo)函數(shù).已知P(x)=ex(x2+3),q[x)=ex+ax+2.

(1)求函數(shù)O(x)的二階導(dǎo)函數(shù)；

(2)已知定義在R上的函數(shù)g(x)滿足：對(duì)任意&,g"(x)>0恒成立.尸為曲線y=g(x)上的任意一點(diǎn).求

證：除點(diǎn)P外，曲線>=g(x)上每一點(diǎn)都在點(diǎn)P處切線的上方；

(3)試給出一個(gè)實(shí)數(shù)。的值，使得曲線y=o(x)與曲線了=4卜)有且僅有一條公切線，并證明你的結(jié)論.

【典例4-2】記/(x)=(/(x))'，/'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)Vxe。，/"(x)>0,則稱函數(shù)了=/(x)為。

上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)H-g/-a/-1,?eR.

(1)若函數(shù)/(x)為R上的凸函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=〃x)-x在(1,口)上有極值，求a的取值范圍.

【變式4-1】設(shè)g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若g'(x)是定義域?yàn)镈的增函數(shù)，則稱g(x)為D上的“凹函數(shù)”,已

知函數(shù)/(x)=xe*+分+a為R上的凹函數(shù).

(1)求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)6(x)=eX-；x2-x-l,證明：當(dāng)x>0時(shí)，A(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，A(x)<0.

1451

(3)證明：/(^)>—+x+77?

—24444

【變式4-2](2024?上海普陀?一模)若函數(shù)”/(“卜￡。)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱歹=/(可在。

上具有性質(zhì)M.

①y=/(x)在。上的導(dǎo)數(shù)/'(x)存在；

②了=/'(x)在。上的導(dǎo)數(shù)/"(X)存在，且/〃(x)>0(其中=恒成立.

⑴判斷函數(shù)y=1g：在區(qū)間(0,+8)上是否具有性質(zhì)河?并說明理由.

⑵設(shè)。、b均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)g(x)=2x3+M+g在X=1處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)c,使得y=g(x)

在區(qū)間[c,+8)上具有性質(zhì)M?若存在，求出C的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)設(shè)左eZ且后>0,對(duì)于任意的xe(O,E),不等式1+M(x+1)>_L成立,求人的最大值.

XX+1

題型五：二元函數(shù)問題

【典例5-1](2024?高三?湖南?階段練習(xí))設(shè)A是有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的非空集，B是實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A

中的任意一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(xj),按照某種確定的關(guān)系/,在B中都有唯一確定的數(shù)z和它對(duì)應(yīng)，那么就稱

為從集合A到集合8的一個(gè)二元函數(shù)，記作z=/(x,y),(x/)e”,其中A稱為二元函數(shù)/的定

義域.

(1)已知/(x,y)=，拶+y2,1=(x],yj,8=(x2,y2),若/⑷=1,/?)=2,再%=1,求/R+B)；

(2)非零向量〃=(%,%),若對(duì)任意的(X,力eD,Z)a4〃>0,記方=(xj),都有/伍)</伍+碗)，則稱/

在。上沿瓦方向單調(diào)遞增.已知/(xj)=eX+y+er,xwR,"R.請(qǐng)問/在｛(x,y)|x/eR｝上沿向量(1,1)方向

單調(diào)遞增嗎？為什么？

(3)設(shè)二元函數(shù)/的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

①V(x,y)e。，都有

②況乙，判)￡。，使得，(%，%)=』.

那么，我們稱M是二元函數(shù)/的最小值.求

/(X")=了+sin2x+|：-jJcos2x,(x,y)eeR,gV”2：的最大值.

【典例5-2】(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=/(x,y)在約束條

件g(xj)的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)=+其中/為拉格

朗日系數(shù).分別對(duì)中的x,弘幾部分求導(dǎo)，并使之為0,得到三個(gè)方程組，如下：

4(x,y㈤=￡(x,y)+近(x,y)=0

<Ly(x,2)=fy(x,y)+Agy(x,y)=0,解此方程組，得出解(X/),就是二元函數(shù)z=/(x,y)在約束條件

LAx,y,X)=g(x,y)=0

g(x,y)的可能極值點(diǎn).x，N的值代入到了(xj)中即為極值.

補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)/(x,y)=/+xy+產(chǎn)關(guān)于變量x的導(dǎo)數(shù).即：將變量V當(dāng)做常數(shù)，即：

fx(x,y)=2x+y,下標(biāo)加上X,代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo).即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的4,4,與表示

分別對(duì)x,y,2進(jìn)行求導(dǎo).

⑴求函數(shù)/(x,y)=x2/+2xy+xy2關(guān)于變量，的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)x=1處的導(dǎo)數(shù)值.

(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)X，V滿足g(x,y)=4/+y2+盯_1=o,求/(x/)=2x+7的最大值.

⑶①若x,%z為實(shí)數(shù)，且x+y+z=l,證明：x2+y2+z2>—.

,11,

②設(shè)。>6>c>0,求20rH--H"-——1Qac+25c的最小值.

aba(a-b)

【變式5-1](2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知變量x,y,z,當(dāng)x,y在某范圍。內(nèi)任取一組確定的值時(shí)，若變

量z按照一定的規(guī)律/總有唯一確定的x,夕與之對(duì)應(yīng)，則稱變量z為變量x,y的二元函數(shù)，記作

z=f(x,y).已知二元函數(shù)〃x,y)=2x+：(y力0).

⑴若孫>0,求/(xj)./','的最小值.

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式|/(x,a)|+|/(x,2a)上.恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型六：切線函數(shù)新定義

【典例6-1】若兩個(gè)函數(shù)y=〃x)與y=g(x)在x=/處有相同的切線，則稱這兩個(gè)函數(shù)相切，切點(diǎn)為

⑴判斷函數(shù)”sinx與歹=%是否相切；

(2)設(shè)反比例函數(shù)歹=，與二次函數(shù)y=狽2+樂(。力0)相切，切點(diǎn)為求證：函數(shù)產(chǎn),與歹=4—+法恰有

兩個(gè)公共點(diǎn)；

⑶若0<a<i,指數(shù)函數(shù)y=/與對(duì)數(shù)函數(shù)歹=logaX相切，求實(shí)數(shù)。的值；

(4)設(shè)(3)的結(jié)果為％,求證：當(dāng)0<“<為時(shí)，指數(shù)函數(shù)>=/與對(duì)數(shù)函數(shù)>=bg“x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).

【典例6-2】對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)/(x),若對(duì)在/(x)定義域內(nèi)的給定常數(shù)風(fēng)存

在數(shù)列｛%,｝滿足出在/(x)的定義域內(nèi)且4>a,且對(duì)\/〃22,"€3\*/=/卜)在區(qū)間(應(yīng)4_1)的圖象上有且

僅有在x=a“一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于和的連線，則稱數(shù)列｛4｝為函數(shù)〃x)的“(7關(guān)聯(lián)

切線伴隨數(shù)列”.

⑴若函數(shù)〃x)=f,證明：VaeRJ(x)都存在“。關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；

⑵若函數(shù)g(x)=(x-l)，數(shù)列｛%｝為函數(shù)g(x)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且q=逝+1,求｛4｝的通項(xiàng)公

式；

(3)若函數(shù)〃(x)=晟+6sinx,數(shù)列也｝為函數(shù)從"的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)歹U也｝的前〃項(xiàng)和為S.，

證明：當(dāng)初上1,620時(shí)，Sn+bn>｛n-\)b+2\.

【變式6-1](2024?廣西?二模)定義：若函數(shù)/(x)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)尸，。滿足曲線歹=/(力

在尸和。處的切線重合，則稱尸,。為曲線V=/(x)的“雙重切點(diǎn)”，直線P。為曲線y=/⑺的“雙重切線”.

⑴直線y=x-1■是否為曲線〃x)=；/_2x+2出的“雙重切線”，請(qǐng)說明理由；

eY+1,x<0,

(2)已知函數(shù)g(x)=<4求曲線V=g(x)的“雙重切線”的方程;

6—,x>0,

x

(3)已知函數(shù)/z(x)=cosx,直線尸。為曲線y="x)的“雙重切線”，記直線尸。的斜率所有可能的取值為

k15

占出，…，勾，若左〉左2>尢（，=3,4,5,…力,證明：—<—.

傷O

【變式6-2］（2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試）牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)

數(shù)域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先猜想某個(gè)方程/（力=0的其中一個(gè)根，?在x=x。的附近，如

圖所示，然后在點(diǎn)（%,/（%））處作/（x）的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是弓，用不代替「重復(fù)上面的

過程得到/；一直繼續(xù)下去，得到天,4，巧，……，x”.從圖形上我們可以看到々較天接近小巧較演

接近『，等等.顯然，它們會(huì)越來越逼近「于是，求「近似解的過程轉(zhuǎn)化為求五,若設(shè)精度為￡,則把首

次滿足|當(dāng)-尤.」<￡的當(dāng)稱為r的近似解.

已知函數(shù)/（力=/+（。一2.+°,aeR.

（1）當(dāng)。=1時(shí)，試用牛頓迭代法求方程/（力=0滿足精度￡=0.5的近似解（?。?-1,且結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)

后第二位）；

⑵若/⑺-1nx?0,求。的取值范圍.

題型七：非典型新定義函數(shù)

【典例7-1】（2024?湖南長沙?二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)

的開區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。@函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。?/p>

值.

對(duì)于函數(shù)y=/（x）,設(shè)自變量x從X。變化到X0+Ax,當(dāng)Ax>0,lim"/+?）一/（/）是一個(gè)確定的值,

則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)看處右可導(dǎo)；當(dāng)Ax<o,lim"/+?)一/(/)是一個(gè)確定的值,則稱函數(shù)

-Ax

y=/(x)在點(diǎn)七處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)七處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)y=/(x)在

點(diǎn)七處可導(dǎo).

(1)請(qǐng)舉出一個(gè)例子，說明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；

⑵己知函數(shù)/(x)=x2eax2+t-x3sinx-ex2.

(i)求函數(shù)g(x)=e"'+i-xsinx-e在x=0處的切線方程；

(ii)若x=0為/(x)的極小值點(diǎn)，求。的取值范圍.

【典例7-2)(2024?高三?重慶?期中)若函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)%,馬,同時(shí)滿足

/(石)=/仁)，且/(X)在點(diǎn)(巧,〃%)),(七,〃3))處的切線斜率相同，則稱/(X)為“切合函數(shù)”

⑴證明：/(x)=x3-2x為“切合函數(shù)”；

⑵若g(x)=xlnx-x2+6zx為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為%,馬.

(i)求證：再%2<—；

4

..、、2I---3

(ii)求證：(a+1)xxx2-y]xxx2<—.

【變式7-1](2024?上海?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(x),xeD,如果存在常數(shù)M,對(duì)任意滿足

n

再<吃<…<X,I<X,的實(shí)數(shù)占,馬5***,'“-19”n，其中再‘%2''"-I'6D，都有不等式?(士)-/(龍1)區(qū)加

i=2

恒成立，則稱函數(shù)y=/(x),xeD是“絕對(duì)差有界函數(shù)”

⑴函數(shù)/(x)=^,x2工是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍；

xe

(2)對(duì)于函數(shù)y=/(x),xe[a,6],存在常數(shù)左，對(duì)任意的占,％e[見同，有|/(西)-/(%)歸砒-引恒成立，

求證：函數(shù)了=/(x),xe[a,6]為“絕對(duì)差有界函數(shù)”

/、XCOS——,0<X<1

⑶判斷函數(shù)/(x)=2x是不是“絕對(duì)差有界函數(shù)”？說明理由

0,x=0

【變式7-2］(2024?上海?三模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)于區(qū)間/=［。,可(/口。)，當(dāng)且僅當(dāng)函

數(shù)V=/(x)滿足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱區(qū)間/是V=/(x)的一個(gè)“美好區(qū)間

性質(zhì)①：對(duì)于任意與",都有〃/)€/;性質(zhì)②：對(duì)于任意都有

⑴已知〃x)=f2+2x,xeR.分別判斷區(qū)間［0,2］和區(qū)間［1,3］是否為函數(shù)y=/(x)的“美好區(qū)間”，并說

明理由；

⑵已知/(x)=---3x+12(xeR)且加>0,若區(qū)間［。,間是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)“美好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)加

的取值范圍；

(3)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對(duì)于任意都有

f(a)-f(b)>b-a.求證：函數(shù)y=/(x)存在“美好區(qū)間”，且存在%eR,使得七不屬于函數(shù)y=/(x)的

任意一個(gè)“美好區(qū)間”.

題型八：拐點(diǎn)、好點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)、S點(diǎn)

【典例8-1］(2024?高三?福建泉州?期中)記/'(X)、g'(x)分別為函數(shù)/⑺、g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在

x°eR，滿足/(%)=g(Xo)且/=則稱％為函數(shù)/(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

(1)證明：函數(shù)/(x)=x與g(x)=f+2x-2不存在“S點(diǎn)”;

(2)若函數(shù)/(工)=加-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)。的值.

【典例8-2】對(duì)于函數(shù)/G),若存在實(shí)數(shù)/滿足/(%)=%,則稱/為函數(shù)/(%)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)

f(x)=x3+ax2+bx+3,其中a，beR

(1)當(dāng)。=0時(shí)，

(i)求/(x)的極值點(diǎn)；

(ii)若存在「既是/G)的極值點(diǎn)，又是/(x)的不動(dòng)點(diǎn)，求b的值：

(2)若/(x)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)々，蒞,試問：是否存在0,6使得々，巧均為/(x)的不動(dòng)點(diǎn)？證明你

的結(jié)論.

【變式8-1】記y=/'(x),y=g'(x)分別為函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x°eR,滿足

/(飛)=g(%)且/'(3)=g'(3),則稱不為函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的一個(gè)“好點(diǎn)”.

(1)判斷函數(shù)/(“=》與8(“=爐-》+1是否存在“好點(diǎn)”，若存在，求出“好點(diǎn)”；若不存在，請(qǐng)說明理由;

⑵若函數(shù)/(X)="-1與g(x)=Inx存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)。的值；

⑶已知函數(shù)/(%)=-/+°,g(x)=——，若存在實(shí)數(shù)0＞0,使函數(shù)了=/(力與了=8(”在區(qū)間(2,+8)內(nèi)

存在“好點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【變式8-2］給出定義：設(shè)/'(x)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/"(x)是函數(shù)/'⑺的導(dǎo)函數(shù)，若方程

/”(x)=0有實(shí)數(shù)解x=%，則稱(%,/(%))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)

/(0=渥+加+次+〃(//0)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=/(x)圖象的對(duì)稱中心.

⑴若函數(shù)/("=犬+3》2一9x-l,求函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱中心；

1OS

(2)已知函數(shù)g(x)=2mx3+r61n(mx)-15~|x2+一x---+1,其中加＞0.

L3mm

(i)求g(x)的拐點(diǎn)；

(ii)若g(xJ+g(X2)=2(0＜Xi＜迎)，求證：0＜再＜,＜乙.

m

【變式8-3](2024?河南?三模)設(shè)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),/'(x)的導(dǎo)函數(shù)為/〃(尤)數(shù)為7的導(dǎo)函數(shù)

為廣⑺.若/(%)=0,且/"'(X0)N0,則(X°J(XO))為曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(1)判斷曲線、=??是否有拐點(diǎn)，并說明理由；

(尬

⑵已知函數(shù)〃“=爾-5亡若±-,fm為曲線y=〃x)的一個(gè)拐點(diǎn)，求〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

題型九：各類函數(shù)新概念

【典例9-1】定義：函數(shù)加(X),〃(X)的定義域的交集為。，A^D,若對(duì)任意的x°e/,都存在占

使得Xj,x0,4成等比數(shù)列，加(再)，“(X。)，加(%)成等差數(shù)列，那么我們稱加(x),"(x)為一對(duì)“K函

數(shù)”，已知函數(shù)〃x)=?-?n±,g(x)=or,a>0.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求證：/(工)2彳(4-右)；

(III)若/=[1,”)，對(duì)任意的aeS,/(x),g(x)為一對(duì)“K函數(shù)”，求證：C為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù))

【典例9-2](2024?山東?模擬預(yù)測(cè))如果/z(x)是定義在區(qū)間。上的函數(shù)，且同時(shí)滿足：①〃(x“(x)>o；

x

②〃(x)與6(x)的單調(diào)性相同，則稱函數(shù)/z(x)在區(qū)間。上是鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”.已知函數(shù)[(x)=e-^-x-l,

,x2

g(x)x=1---cosx.

(1)判斷函數(shù)4%)與g(x)在(0,+8)上是否是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)t并說明理由；

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，ex+cosx-2>-4smX.

3+cosx

【變式9-1](2024?上海奉賢?一模)若函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)s,fe(0,+co),有

f(s+0>/(?)+/(O恒成立，則稱函數(shù)y=f(x)為“E增函數(shù)”.

(1)求證：函數(shù)y=sinX不是“X增函數(shù)”；

(2)若函數(shù)y=-x-。是“X增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶設(shè)g(x)=e*ln(l+x),若曲線y=g(x)在x=x。處的切線方程為歹=》，求％的值，并證明函數(shù)y=g(x)是

“E增函數(shù)”.

【變式9-2](2024?高三?陜西安康?期末)已知函數(shù)/(x)=(61nx—3)x2+12(zx(aeR).

(1)若/(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)定義：若/⑴在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且/(x)+g(x)在其定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，則稱g(x)為/(x)的

“協(xié)同增函數(shù)”.

已知函數(shù)g(x)=4/-18辦、12(2-a)x,若g(x)是的“協(xié)同增函數(shù)”，求。的取值范圍.

0

時(shí)生涮步

.八.V

1.(2024?湖北?二模)記/={/(x)|/(x)=Ax+加以加ER},若/O(X)E4,滿足：對(duì)任意/(%)￡/,均有

max|/(x)-/(x)|>max|/(x)-Zo(x)|,則稱/。卜)為函數(shù)/(x)在x￡［見句上“最接近”直線.已知函數(shù)

g(x)=21nx-x2+3,

(1)若g("=g(s)=0,證明：對(duì)任意/(%)w4max|g(x)-/(x)|>l；

（2）若r=l,s=2,證明：g（x）在xe［l,2］上的“最接近，，直線為：/°（x）=⑵n2-3）［x-野］+2+；（工。）,

其中x°e（l,2）且為二次方程2d+（21n2-3）x-2=0的根.

2.（2024?高三?浙江寧波?期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎

曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：y=/（x）上的曲線段前，其弧長為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從/沿曲線段前

運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線乙也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線。，記這兩條切線之間的夾角為（它等于。的

傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，

-LX（7

弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=丁為曲線段蕊的平均曲率；顯然當(dāng)8越接近/,即As越

As'

orAW

小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)/處的彎曲程度，因此定義《=2%仄；。=；J（若極限存在）為

（1+9

曲線C在點(diǎn)/處的曲率.（其中y',y"分別表示y=/（x）在點(diǎn)/處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60。的圓弧的平均曲率；

⑵求橢圓=i在［后!）處的曲率；

⑶定義。（7）=叩］為曲線7=/（X）的“柯西曲率”.已知在曲線/（x）=xInx-2x上存在兩點(diǎn)

（1+了）

尸（xj（xj）和。卜2，〃七）），且P，0處的“柯西曲率”相同，求再+疾的取值范圍.

3.（2024?高三?遼寧?期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲

線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若/'（X）是/（力的導(dǎo)函數(shù),

⑴求曲線/(x)=lnx+x在(1,1)處的曲率4的平方;

(2)求余弦曲線〃(力=cosx(xeR)曲率K?的最大值；

4.已知定義在R上的函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若1對(duì)任意xeR恒成立，則稱函數(shù)/⑺為“線

性控制函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)/(x)=sinx和g(x)=e，是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)〃x)為“線性控制函數(shù)”，且〃x)在R上嚴(yán)格增，設(shè)43為函數(shù)/(x)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線

N8的斜率為左，判斷命題“0<%VI”的真假，并說明理由；

(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且〃x)是以T(T>0)為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意看,馬都有

5.(2024?上海徐匯?二模)已知常數(shù)上為非零整數(shù)，若函數(shù)》=/(x),xe[0,l]滿足：對(duì)任意

44

Xt,x26[0,1],|/(^)-/(%2)|<|(^+1)-(X2+1)|,則稱函數(shù)7=/(x)為“左)函數(shù).

⑴函數(shù)y=2x,xe[o,l]是否為“2)函數(shù)？請(qǐng)說明理由；

⑵若y=/(x)為〃1)函數(shù)，圖像在是一條連續(xù)的曲線，/(。)=0,/(l)=p且/(x)在區(qū)間

(0,1)上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記/(x)1m-/(xL為函數(shù)V=的最大、小值，求/(、二一/⑺皿

的取值范圍；

(3)若a>0,f(x)=0.05x2+0.lx+aIn(x+1),且y=/(x)為￡(一1)函數(shù)，g(x)=f'(x),對(duì)任意

恒有|g(x)-g(y)|w，記M的最小值為〃(a),求。的取值范圍及關(guān)于。的表達(dá)式.

6.(2024?上海奉賢?二模)設(shè)函數(shù)>=/(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是/'(X).若存在常數(shù)加(〃zeR),

使得/(x+M=-7'(x)對(duì)一切x恒成立，那么稱函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)尸(加).

⑴求證:函數(shù)y=e'不具有性質(zhì)P(m)；

⑵判別函數(shù)>=sinx是否具有性質(zhì)P(加).若具有求出加的取值集合；若不具有請(qǐng)說明理由.

7.(2024?河北石家莊?一模)已知函數(shù)f(x)=2x-&-(左+l)lnx,k>0.

X

(1)當(dāng)左=1時(shí)，過坐標(biāo)原點(diǎn)o作曲線y=/(x)的切線，求切線方程；

(2)設(shè)定義在/上的函數(shù)y=6(x)在點(diǎn)尸(/心)處的切線方程為y=/(x),對(duì)任意xw%,若

>0在/上恒成立，則稱點(diǎn)尸為函數(shù)y=力(無)的“好點(diǎn)”，求函數(shù)y=/(x)在(0,+/)上所

有“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)(結(jié)果用上表示).

8.對(duì)于定義在。上的函數(shù)〃無)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(尤).若存在斤e。，使得/")=/("),且》=后是函數(shù)

/(x)的極值點(diǎn)，則稱函數(shù)/(x)為“極致上函數(shù)”.

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=x+atanx,其中-aeR.

①若/(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

②證明：函數(shù)/(x)不是“極致0函數(shù)”.

(2)對(duì)任意加€出,證明：函數(shù)8(司=皿11》+加1：05》-加是“極致0函數(shù)”.

9.曲線的曲率定義如下：若/'(X)是/a)的導(dǎo)函數(shù)，/"(x)是/。)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(diǎn)

1八刈

(員/。))處的曲率犬=3,已知函數(shù)〃x)="COSXg(x)=acosx+x(a<。)，曲線y=g(x)在

{l+[/'?]2p

點(diǎn)(o,g(。))處的曲率為e.

4

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)對(duì)任意的xe-pO,"(x)-g'(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

(3)設(shè)方程/(x)=g'(x)在區(qū)間[2而+§,2〃兀+,J(〃eN+)內(nèi)的根從小到大依次為%,馬,…,x”,…，求證:

x“+i-X”>2兀.

10.(2024?湖南永州?三模)曲線的曲率定義如下:若/'(x)是“X)的導(dǎo)函數(shù)，令夕(x)=/'(x),則曲線

|夕'(X)|2

y=/(x)在點(diǎn)(XJ(x))處的曲率K=/.已知函數(shù)/(x)=L+x(a>0),g(x)=(x+1)ln(x+1),

(l+[/M)2a

且fM在點(diǎn)(0,7(0))處的曲率K=受.

4

(1)求。的值，并證明：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>g(x)；

(2)若4=嚕詈,且丁=許也也…一(”旦*),求證：(〃+2)(<j上

11.(2024?江蘇淮安?三模)定義可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)在x處的彈性函數(shù)為/'(尤>二工，其中/(X)為/a)

的導(dǎo)函數(shù).在區(qū)間。上，若函數(shù)"X)的彈性函數(shù)值大于1,則稱"X)在區(qū)間D上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間。

也稱作"X)的彈性區(qū)間.

(1)若*x)=e*-x+l,求r(x)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)對(duì)于函數(shù)/(x)=(x-l)e"+Inx-tx(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(i)當(dāng)"0時(shí)，求/a)的彈性區(qū)間D；

(ii)若〃乃>1在G)中的區(qū)間。上恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

12.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=WU.

Cl)求函數(shù)/(x)的圖象在x=e㈠為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線方程；

(2)若對(duì)任意的xe。,均有加則稱加(x)為〃(x)在區(qū)間￡)上的下界函數(shù)，為加(x)在區(qū)

間D上的上界函數(shù).

①若g(x)=￡,求證：g(x)為“X)在(0,+向上的上界函數(shù)；

②若g(x)=占，g(x)為/(X)在［1,m)上的下界函數(shù)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

13.(2024?高三?全國?課后作業(yè))設(shè)於)是定義在區(qū)間(1,+8)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X).如果存在實(shí)

數(shù)。和函數(shù)〃(x),其中〃(x)對(duì)任意的XG(1,+8)都有力(x)>0,使得/。)=力任)(/-"+1),則稱函數(shù)外)具有

性質(zhì)尸(Q).

⑴設(shè)函數(shù)〃x)=lnx+g(x>l),其中6為實(shí)數(shù).

①求證：函數(shù)人到具有性質(zhì)P(a).②求函數(shù)人x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)尸(2),給定x/,x2e(l,+oo),x/42.設(shè)優(yōu)為實(shí)數(shù)，

a=mxl+(i-m)x2,fl=(1-m)x2+mx2,且a>1,力>1.若|g(a)-g(￡)|<|g(xj-g3)|，求實(shí)數(shù)加的取值范

圍

14.(2024?甘肅?二模)已知函數(shù)〃x)=e、+上「1(aeR且。為常數(shù)).

(1)當(dāng)0=-1時(shí)，討論函數(shù)/(X)在(-1,+8)的單調(diào)性；

(2)設(shè)了=/(x)可求導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)函數(shù)/(X)仍可求導(dǎo)數(shù)，則f'(x)再次求導(dǎo)所得函數(shù)稱為原函數(shù)了=/(x)

的二階函數(shù)，記為，’(X),利用二階導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)函數(shù)的凹凸性.一個(gè)二階可導(dǎo)的函數(shù)在區(qū)間口,0上

是凸函數(shù)的充要條件是這個(gè)函數(shù)在(a，b)的二階導(dǎo)函數(shù)非負(fù).

若g(x)=(x+l)[/(x)+1]+(。-JN)/在不是凸函數(shù)，求a的取值范圍.

15.已知函數(shù)/(%)=/-(a+2)x+Qlnx,其中實(shí)數(shù)?！?.

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)定義在。上的函數(shù)y=〃(x)在點(diǎn)網(wǎng)%,〃(%))處的切線的方程為y=g(x),當(dāng)時(shí)，若

”(無)[g0)>°在。內(nèi)恒成立，則稱P為蚱右⑺的“類對(duì)稱點(diǎn)”當(dāng)a=4時(shí)，試問y=〃力是否存在“類對(duì)稱

點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)"類對(duì)稱點(diǎn)"的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.曲率是曲線的重要性質(zhì)，表征了曲線的“彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點(diǎn)切線方向?qū)￠L的轉(zhuǎn)動(dòng)

率，設(shè)曲線c：y=/(x)具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的切線，在點(diǎn)(x,/(x))處的曲率K其中/'(X)為

[1+(/'(叨

/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/"(X)為/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，已知〃x)=x21nx-Wx3-|x2.

(l)a=O時(shí)，求/(力在極值點(diǎn)處的曲率；

(2)a>0時(shí)，/'(X)是否存在極值點(diǎn)，如存在，求出其極值點(diǎn)處的曲率；

(3)g(x)=2xe*-4e*+/x2,,當(dāng)/(x),g(x)曲率均為0時(shí)，自變量最小值分別為看,求證:

17.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎

曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的