第2章 直線與圓的位置關(guān)系 浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元測試1(含答案)

第十六講直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系分析：直線與圓的位置關(guān)系是比較圓心到直線的距離和半徑的大小.其它的說法是不夠準(zhǔn)確的.我們要注意！例題1：下列判斷正確的是（）①直線上一點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，則直線與圓相離；②直線上一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，則直線與圓相切；③直線上一點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，則直線與圓相交．A．①②③B．①②C．②③D．③答案：D；例題2：已知∠AOB=30°，P是OA上的一點(diǎn)，OP=4cm，以r為半徑作⊙P，若r=cm，則⊙P與OB的位置關(guān)系是，若⊙P與OB相離，則r滿足的條件是．解：相離，0＜r＜2．例題3：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C為圓心，r為半徑作圓，那么:（1）當(dāng)直線AB與⊙C相切時(shí)，求r的取值范圍；（2）當(dāng)直線AB與⊙C相離時(shí)，求r的取值范圍；（3）當(dāng)直線AB與⊙C相交時(shí)，求r的取值范圍．解答：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=4；過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D；∵S=×AC×BC=×AB×CD，∴CD==；∵直線AB與圓C相切，∴r=CD=；∵直線AB與圓C相離，∴r＜CD，即r＜；∵直線AB與圓C相交，∴r＞CD，即r＞；考點(diǎn)2：動(dòng)圓與定線(線段、射線、直線)的位置關(guān)系，分析：通過圓心所在的軌跡對(duì)切線作垂直，垂線段等于半徑，然后解決問題.例題1：（2019秋?長興縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝6，BD＝10．點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長為．答案為：5或或4．例題2：射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t秒，以點(diǎn)P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值（單位：秒）答案：t=2或3≤t≤7或t=8．例題3：（2018秋?拱墅區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，BC∥x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，），坐標(biāo)原點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，動(dòng)圓⊙P的半徑是，圓心P（m，0）在x軸上移動(dòng)，若⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中只與菱形ABCD的一邊相切，則m的取值范圍是．答案為﹣5≤m＜﹣3或﹣1＜m≤1或m＝2或m＝﹣6．例題4：（2018?鎮(zhèn)江）如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對(duì)角線AC交于A，E兩點(diǎn)．（1）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長；（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫出相對(duì)應(yīng)的AP的值的取值范圍．解：（1）如圖2所示，連接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，設(shè)AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，∴PF⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）＜AP＜或AP=5．考點(diǎn)3：動(dòng)線(線段、射線、直線)與圓位置關(guān)系分析：抓住動(dòng)直線的特點(diǎn)，是否平行直線束，還是過定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線束，畫出與圓相切的直線，然后過圓心對(duì)直線作垂線.注意|k|=tanɑ，ɑ指的是直線與x軸夾的銳角.可能要利用三角函數(shù)或相似解決問題.例題1：如圖，直線l與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)C，AB=6，AC=3，點(diǎn)P是直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，線段BP的長度為（）A．6 B． C．9 D．解：D．例題2：如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A′B′CD′的邊A′B′與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊CD′與⊙O相交于點(diǎn)F，則CF的長為4．解：4．例題3：如圖，已知直線l：y=﹣x﹣以每秒3個(gè)單位的速度向右平移；同時(shí)以點(diǎn)M（3，3）為圓心，3個(gè)單位長度為半徑的⊙M以每秒2個(gè)單位長度的速度向右平移，當(dāng)直線l與⊙M相切時(shí)，則它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．答案：2.5或10．例題4：如圖1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，PA=PB，⊙O是△PAB的外接圓．（1）求⊙O的直徑；（2）如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，使邊BA′與⊙O相切，BC′交⊙O于點(diǎn)M，求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角度及弧AQM的長度．解：（1）連接OP，OB，OP交AB于H，如圖1，∵AB=AC=4，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=30°，∵PA=PB，∴∠PAB=∠ABP=30°，OP⊥AB，∴∠BOP=2∠PAB=60°，BH=AH=2，在Rt△PBH中，PH=BH=，BP=2PH=，∵OB=OP，∴△OBP為等邊三角形，∴OB=BP=，∴⊙O的直徑為；（2）連接OB，OM，OA，如圖2，∵邊BA′與⊙O相切，∴OB⊥BA′，∴∠OBA′=90°，∵∠OBA=60°，∴∠ABA′=90°+30°=120°，∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，∴∠CBC′=∠ABA′=120°，即旋轉(zhuǎn)角度為120°，∵∠OBP=60°，∴∠OBM=60°，∴△OBM為等邊三角形，∴∠BOM=60°，∴∠AOM=360°﹣60°﹣120°=180°，而OB=，∴弧AQM的長度==π．知識(shí)點(diǎn)2：切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過其切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，就是這個(gè)圓的一條切線.切線的性質(zhì)定理的推論：（1）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.（2）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.注意：對(duì)于切線的性質(zhì)定理的掌握可歸納為三條：（1）過圓心；（2）過切點(diǎn)；（3）垂直于切線.事實(shí)上只要知道其中兩個(gè)性質(zhì)，就可以推出第三個(gè).考點(diǎn)4：利用垂直分析：已知切線，那么我們必須要連結(jié)圓心和切點(diǎn)，得出兩個(gè)結(jié)論：①長度等于半徑，②垂直直線.例題1：（2020?溫州）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為1，則BD的長為（）A．1 B．2 C． D．答案為：D．例題2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（﹣1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線y=﹣x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長PQ的最小值是．答案：2．例題3：（2020?臺(tái)州）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，連接DE．若⊙O與BC相切，∠ADE＝55°，則∠C的度數(shù)為．答案為：55°．例題4：如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑作⊙P．當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長為．答案：3或4．例題5：如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點(diǎn)C，D，與邊BC相交于點(diǎn)F，OA與CD相交于點(diǎn)E，連接FE并延長交AC邊于點(diǎn)G．（1）求證：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的長．解答：（1）證明：連接OD．∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，且OC⊥AC，∴CF為直徑，∴∠CDF=90°，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴AC=AD，．∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴∠CDF=∠OEC=90°，∴DF∥AO．（2）過點(diǎn)作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AD=AC=6，∴BD=AB﹣AD=4，∵BD2=BF?BC，∴BF=2，∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3，∴OA==3，∵OC2=OE?OA，∴OE=，∵EM∥AC，∴===，∴OM=，EM=，F(xiàn)M=OF+OM=，∴===，∴CG=EM=2．例題6：（2020?溫州一模）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，以AD為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，與BC相切于點(diǎn)C，連結(jié)CE．（1）求證：CD＝CE．（2）若AE＝3，tan∠D＝，求⊙O的半徑．【解答】解：（1）證明：如圖，連結(jié)DE，OC交于點(diǎn)F．∵BC切⊙O于點(diǎn)C，∴∠OCB＝90°，∵∠B＝90°，∴OC∥AB，∵AD是圓的直徑，∴∠DEA＝∠FEB＝90°，∴OC⊥DE，∴＝，∴CD＝CE；（2）如圖，連結(jié)AC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠CEB＝∠ADC，∵＝，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠ADC＝∠ACB∴tan∠ACB＝tan∠CEB＝tan∠ADC，設(shè)BE＝3x，則BC＝4x，CE＝5x，∴＝，解得：x＝，∴CD＝，∴AD＝＝，∴OA＝．考點(diǎn)5：切線的判定分析：判定切線的方法：（1）直接證明（2）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”.常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（3）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”.常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直.在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線方法一：直接證明例題1：（2018?邵陽）如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，連結(jié)BC．BC平分∠ABD．求證：CD為⊙O的切線．證明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD為⊙O的切線．例題2：（2018?揚(yáng)州一模）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且AD=DC，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結(jié)DE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直徑．（1）證明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，設(shè)DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直徑為．例題3：如圖，已知A，B，C，D，E是⊙O上五點(diǎn)，⊙O的直徑BE=2，∠BCD=120°，A為的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)P，使BA=AP，連接PE．（1）求線段BD的長；（2）求證：直線PE是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接DE，如圖，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE為直徑，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，BD=DE=×=3；（2）證明：連接EA，如圖，∵BE為直徑，∴∠BAE=90°，∵A為的中點(diǎn)，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP為等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直線PE是⊙O的切線．方法二：若直線l過⊙O上某一點(diǎn)A，證明l是⊙O的切線，只需連OA，證明OA⊥l就行了，簡稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.例題1：如圖，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求證：PC是⊙O的切線.證明：連接OC；∵OA2=OD·OP，且OA=OC=R，∴OC2=OD·OP,即，∵∠COD=∠POC，∴△OCD∽△OPC，∵CD⊥AB，∴∠ODC=90°=∠OCP，即OC⊥PC；∵OC為半徑，∴PC是圓O的切線；例題2：（2018?嘉興一模）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半徑為1，∠1=60°，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.MN= B.若MN與⊙O相切，則AM= C.l1和l2的距離為2 D.若∠MON=90°，則MN與⊙O相切解：B．例題3：（2020?湖州模擬）如圖，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．（1）若AC＝2，∠A＝30°，求的長．（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，求證：DE是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接OD，如圖所示：∵∠A＝30°，∴∠COD＝2∠A＝60°，∵AC＝2，AC為⊙O的直徑，∴OA＝OC＝1，∴的長＝＝；（2）證明：∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴∠B＝∠ODA，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．例題4：如圖，AD是∠BAC的平分線，P為BC延長線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證：PA與⊙O相切.解答：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，∵AE為⊙O的直徑，∴∠EBA=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠2，即∠1+∠CAD=∠2，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠ABD+∠BAD=∠2，∴∠1=∠ABC，∵∠CBE=∠EAC，∠ABC+∠CBE=90°，∴∠CAE+∠1=90°，∴PA與⊙O相切．例題5：（2018?萊蕪）如圖，已知A，B是⊙O上兩點(diǎn)，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點(diǎn)C，CD⊥AB交AB的延長線于D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半徑．（1）證明：連接OC，如圖，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：連接OE交AB于H，如圖，∵E為的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==設(shè)EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半徑為．方法三：若直線l與⊙O沒有已知的公共點(diǎn)，又要證明l是⊙O的切線，只需作OA⊥l，A為垂足，證明OA是⊙O的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑”(一般用于函數(shù)與幾何綜合題）例題1：已知：如圖，AC，BD與⊙O切于A，B，且AC∥BD，若∠COD=900.求證：CD是⊙O的切線.證明：延長DO與CA的延長線相交于F，過O作OE⊥CD于E，∵AC，BD是⊙O的切線，∴OA⊥AC，OB⊥BD，∵AD∥BC，∴A，O，B三點(diǎn)共線，∠F=∠BDO，在△BDO與△AFO中，，∴△BDO≌△AFO，∴OD=OF，∵∠COD=90°，∴∠COF=90°，∴CF=CD，∴∠OCA=∠ECO，∴OE=OA，∴CD是⊙O的切線．例題2：（2019秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，O為∠MBN角平分線上一點(diǎn)，⊙O與BN相切于點(diǎn)C，連結(jié)CO并延長交BM于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AD⊥BO于點(diǎn)D．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的長．【解答】解：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵O為∠MBN角平分線上一點(diǎn)，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BC為⊙O的切線，∴AC⊥BC，∵AD⊥BO于點(diǎn)D，∴∠D＝90°，∴∠BCO＝∠D＝90°，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝、BC＝6，∴AC＝BC?tan∠ABC＝8，則AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝4，∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴，∴OE＝3，OB＝＝3，∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC，∴，即＝，∴AD＝2．考點(diǎn)6：與坐標(biāo)和網(wǎng)格的結(jié)合分析：坐標(biāo)內(nèi)一般輔助線均為對(duì)坐標(biāo)軸作垂線.例題1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙M于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右邊，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2）故選：A．例題2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，⊙A與x軸相切于B，與y軸交于C（0，1），D（0，4）兩點(diǎn)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.答案：（2，）．例題3：（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C畫圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（5，2） B．（2，4） C．（1，4） D．（6，2）故選：D．例題4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（3，0），將⊙P沿x軸左平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（）A．1 B．3 C．5 D．1或5故選：D．考點(diǎn)6：切線長定理考察長度相等分析：切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.這里有幾個(gè)結(jié)論，一，長度相等，二，角平分線.例題1：（2019?杭州）如圖，P為圓O外一點(diǎn)，PA，PB分別切圓O于A，B兩點(diǎn)，若PA＝3，則PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5故選：B．例題2：如圖，⊙O與正方形ABCD是兩邊AB，AD相切，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，若正方形ABCD的邊長為5，DE=3，則tan∠ODE為（）A． B． C． D．選：B．例題3：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E；（1）求證：BE=CE；（2）若以O(shè)，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，⊙O的半徑為r，求△ABC的面積；（3）若EC=4，BD=，求⊙O的半徑OC的長．解答：（1）證明：連接CD，由AC是直徑知CD⊥AB；DE，CE都是切線，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，從而BE=CE；（2）解：連接OD，當(dāng)以O(shè)，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，DE=EC=OC=OD=r；從而BE=r，即△ABC是一個(gè)等腰直角三角形；AC=AB=2r，S△ABC=2r2；（3）解：若EC=4，BD=4，則BC=8；在Rt△BDC中，cos∠CBD==；所以∠CBD=30°；在Rt△ABC中，=tan30°，即AC=BCtan30°=8×=，OC==；另解：設(shè)OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4得BC=8，DC=4；則：，解得；即OC=．例題4：（2020?浙江自主招生）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長為．【解答】解：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切線，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案為．考點(diǎn)7：切線長定理考察角度分析：切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.這里有幾個(gè)結(jié)論，一，長度相等；二，角平分線.要算角度得利用角平分線的性質(zhì)，還有垂直.例題1：如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°答案：C；例題2：如圖，∠APB=52°，PA，PB，DE都為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)，且PA=6．（1）求△PDE的周長；（2）求∠DOE的度數(shù)．解答：（1）∵PA，PB，DE都為⊙O的切線，∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，∴DE=DA+EB，∴PE+PD+DE=PA+PB=12，即△PDE的周長為12；（2）連接OF，∵PA，PB，DE分別切⊙O于A，B，F(xiàn)三點(diǎn)，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD=∠BOF，∠FOD=∠AOD=∠AOF，∵∠APB=52°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．考點(diǎn)8：弦切角定理分析：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.如圖，∠PAB=∠C.例題1：（2020春?紹興月考）如圖，AB是⊙O的直徑，DB，DE分別切⊙O于點(diǎn)B，C，若∠ACE＝20°，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：連OC，如圖，∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠BOC＝2×70°＝140°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．故選：A．例題2：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P=70°，點(diǎn)C是⊙O上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），則∠ACB等于（）A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°答案：D例題3：如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點(diǎn)C，∠PCB=35°，則∠B等于度．答案：55°；例題4：（2018?馬邊縣模擬）已知，如圖，半徑為1的⊙M經(jīng)過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0）