專題04 三角形的角平分線及其規(guī)律

專題04三角形的角平分線及其規(guī)律【專題解讀】無(wú)論是中考，或者是競(jìng)賽中，常常有與三角形的角平分線（包括內(nèi)、外角的平分線）相關(guān)的問(wèn)題.這類題目形式多樣，變化方向非常廣泛。如果我們能夠善于對(duì)這類有關(guān)三角形的角平分線的基本圖形進(jìn)行歸類，并對(duì)角平分線的性質(zhì)和結(jié)論做好總結(jié)，那么必將對(duì)我們的學(xué)習(xí)產(chǎn)生很大的幫助，也將更有利于我們有效地找尋到解決有關(guān)的較難幾何證明題的思路與方法.思維索引例1.（1）如圖（1），在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，已知：∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖（2），∠BAC的角平分線AF交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BC于點(diǎn)D，若∠C-∠B=30°，求∠F的度數(shù).圖（1）圖（2）例2.已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D.設(shè) 圖1圖2（1）如圖1，若AB/∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是____________②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，x=__________；當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，x=____________（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由.例3.已知：△ABC中，記.（1）如圖1，若AF平分∠BAC，BF、CF分別平分△ABC的外角∠CBD和∠BCE，BG⊥AF于點(diǎn)G.①用的代數(shù)式表示∠BFC的度數(shù)；②用的代數(shù)式表示∠FBG的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)F為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，且BG⊥AF于點(diǎn)G.①請(qǐng)補(bǔ)全圖形；②猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出正確的結(jié)論.圖1圖2素養(yǎng)提升1.△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)D，連接AD，若∠BDC=130°，則∠BAD為（）A.65°B.60°C.40°D.35°2.如圖，在△ABC中，∠B=42°，△ABC的外角∠EAC和∠FCA的平分線交于點(diǎn)D，則∠ADC為（）A.75°B.69°C.63°D.45°3.如圖，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)F、D，若∠BEC=132°，∠BGC=118°，則∠A為（）A.65°B.66°C.70°D.78°第1題圖第2題圖第3題圖4.如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于，∠AB與∠AC的角平分線于點(diǎn)，依次類推，∠AB與∠AC的角平分線交于點(diǎn)，則∠BC的度數(shù)是（）A.56°B.60°C.68°D.54°5．如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF.以下結(jié)論：①AD//BC；②∠ACB=2∠ADB；③；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC.其中正確的結(jié)論有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)第4題圖第5題圖第6題圖6．△ABC的外角平分線CD與∠ABC平分線BD交于點(diǎn)D，若∠BDC=40°，則∠CAD=________．7．如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)，∠的平分線與的平分線交于點(diǎn)的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則=__________°.（用含m的代數(shù)式表示）8.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線與∠DCB的外角平分線相交于點(diǎn)F，且∠A+∠D=210°，則∠F=_____________°.9.如圖，若AB//CD，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，∠BEC=86°，則∠BFC=__________°.第7題圖第8題圖第9題圖10.如圖，在△ABC中，∠A=60°，HI、FI分別平分∠ABC、∠ACB，BD、CD分別平分∠HBC、∠BCF，BE、CE分別平分∠DBC、∠DCG，則∠E=_________°.11.（1）如圖甲，在凹四邊形ABCD中，∠ABD與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)E，∠A=60°，∠BDC=140°，則∠E=__________°（2）如圖乙，∠ABD，∠BAC的角平分線交于點(diǎn)E，∠C=40°，∠BDC=140°，求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖丙，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)、、…、，若∠BDC=120°，∠BC=64°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)__________.圖甲圖乙圖丙12.如圖，已知點(diǎn)A、B分別在∠ECF的兩邊上（不與點(diǎn)C重合），AD、BD平分∠EAB和∠ABF相交于點(diǎn)D.（1）如圖1，若∠ECF=90，試猜想∠ADB=________________°；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若∠ECF每秒鐘變小10°，經(jīng)過(guò)了1秒（），①試用含t的代數(shù)式表示∠ADB的度數(shù)；②并求出當(dāng)t取何值時(shí)，∠ECF與∠ADB的度數(shù)相等；（3）如圖3，在（2）的條件下，若BG平分∠ABC，其它條件不改變，是否存在t，使得，若存在直接寫(xiě)出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖（1）圖（2）13．（1）如圖1，BD、BC分別平分∠ABC、∠ACB，∠A＝70°，則∠BDC＝．（2）如圖2，將△ABC沿BC向右平移后可得△FCE，BD、DE分別平分∠ABC、∠FEC．∠A＝n°，求∠BDE的度數(shù)；（3）如圖3，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得△EFC，DA平分∠BAC，DB平分∠ABC，GF平分∠CFE、GE平分∠CEF的外角，試探究∠ADB與∠FGE有何確定的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．圖1圖2圖314．直線EF與直線MN垂直相交于O，點(diǎn)A在直線EF上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AG、BG分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AGB的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AGB的大?。唬?）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠EAB和∠ABM的角平分線，又DG、CG分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CGD的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（3）如圖3，延長(zhǎng)AB，已知∠BAO和它的外角平分線分別與∠AON的角平分線及其延長(zhǎng)線相交于G、C，在△BCG中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，試求∠BAO的度數(shù)．圖1圖2圖3

專題04三角形的角平分線及其規(guī)律【思維索引】例1．(1)∠DAE＝10°(2)∠F＝15°例2．(1)①∠ABO＝20°②120；60(2)20；35；50；125例3．(1)①∠BFC＝90°－EQ\F(1,2)α；②．∠FBG＝90°－EQ\F(1,2)β(2)①∠BFC＝90°＋EQ\F(1,2)α；②∠FBG＝EQ\F(1,2)β．【素養(yǎng)提升】1．C；2．B；3．C；4．D；5．C；6．50°；7．；8．15°；9．43°；