專題06 多邊形角的計(jì)算

專題06多邊形角的計(jì)算【專題解讀】在幾何學(xué)習(xí)中，我們常常要研究一些變化過程中的不變量．比如，隨著多邊形邊數(shù)的變化，其內(nèi)角和在變化，而外角和則始終保持不變．因此，在分析與解決有關(guān)多邊形的角的計(jì)算題時(shí)，我們往往以圖形的確定性分析為抓手，從基本圖形的演變?nèi)胧?，在“變”與“不變”中探索規(guī)律．在解決問題的具體過程中，常?；噙呅螁栴}為三角形問題．此外，我們還可設(shè)立未知數(shù)表達(dá)相關(guān)的量，最終建立方程求解問題．【思維索引】例1．如圖，從四邊形ABCD的紙片中只剪一刀，剪去一個(gè)三角形，剩余的部分是幾邊形？請(qǐng)畫出示意圖，并在圖形下方寫上剩余部分多邊形的內(nèi)角和．例2．在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)F是一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)∠FDA＝α，∠FEB＝β，∠DFE＝n．（1）如圖1，若點(diǎn)F在線段AB上，且n＝50°，則α＋β＝ ；（2）如圖2，若點(diǎn)F在斜邊BA的延長線上運(yùn)動(dòng)（CE＞CD），請(qǐng)直接寫出n、a、β之間的關(guān)系 ；（3）若點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到△ABC形外（只需研究圖3情形），則n、a、β之間有何關(guān)系？并說明理由．例3．如圖：線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把這個(gè)圖形稱為“8字型”．根據(jù)三角形內(nèi)角和容易得到：∠A＋∠D＝∠C＋∠B．（1）利用“8字型”：如圖（1）：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ；（2）構(gòu)造“8字型”：如圖（2）：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ ；（3）發(fā)現(xiàn)“8字型”：如圖（3）：BE、CD相交于點(diǎn)A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線．①圖中共有 個(gè)“8字型”；②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值．素養(yǎng)提升1．如圖是一個(gè)長方形和兩個(gè)等邊三角形，若∠3＝50°，則∠1＋∠2的值是 ( )A．90° B．100° C．130° D．180°2．如圖，在△ABC中，∠C＝50°，按圖中虛線將∠C剪去后，∠1＋∠2等于 ( )A．230° B．210° C．130° D．310°3．將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和不可能是 ( )A．360° B．540° C．720° D．900°4．一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為 ( )A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或95．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E為 ( )A．360° B．300° C．220° D．180°6．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ．7．如圖的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點(diǎn)．若圖中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，則∠BOD的度數(shù)為 ．8．將六邊形ABCDEF沿直線GH折疊，使A、B落在六邊形CDEFGH內(nèi)部，若∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝510°，則∠A′KF＋∠B′JC＝ ．9．如圖，在同一平面上，將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起，則∠AEB＋∠CED－∠BEC＝ ．10．如圖，已知∠AOB＝7°，一條光線從點(diǎn)A出發(fā)后射向OB邊．若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A＝90°－7°＝83°．當(dāng)∠A＜83°時(shí)，光線射到OB邊上的點(diǎn)A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點(diǎn)A2，易知∠BA1A＝∠A2AO．若A1A2⊥AO，光線又會(huì)沿A2→A1→A原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A＝76°．若光線從A點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點(diǎn)A，則銳角∠A的最小值是 ．11．已知，在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E＋∠F＝100°，將△DEF如圖1和圖2擺放，使得∠D的兩條邊分別經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．（1）當(dāng)將△DEF如圖1擺放時(shí)，則∠ABD＋∠ACD＝ ．（2）當(dāng)將△DEF如圖2擺放時(shí)，請(qǐng)求出∠ABD＋∠ACD的度數(shù)，并說明理由．（3）能否將△DEF擺放到某個(gè)位置時(shí)，使得BD與CD同時(shí)平分∠ABC和∠ACB，請(qǐng)說出理由．12．（1）在圖甲中，猜想：∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＝ ，并說明理由．（2）如果把圖甲稱為2環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2；把圖乙成為2環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2；把圖丙成為2環(huán)五邊形，它的內(nèi)角和為∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2．請(qǐng)你猜一猜，2環(huán)n邊形的內(nèi)角和是多少？（只要直接寫出結(jié)論）13．（1）如圖1，AD與BC相交于E，連接AB、CD，若AF、CF分別平分∠BAD、∠BCD，∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，試求∠F的度數(shù)；（2）如圖2，直線AF平分∠NAD，CF平分∠MCB，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，試求∠F的度數(shù)；（3）在圖3中，直線AF平分∠NAD，CF平分∠MCB，猜想∠F與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由；（4）在圖4中，AF平分∠BAD，CF平分∠MCB，猜想∠F與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由．14．（1）如圖1，已知直線PQ與直線EF交于點(diǎn)N，則∠PME、∠P、∠MEF、∠PNE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求圖2中∠P＋∠F＋∠Q＋∠M＋∠N＋∠E的度數(shù)．拓展延伸一：如圖3，若平面內(nèi)有點(diǎn)，連接，求的度數(shù)是多少？拓展延伸二：若平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，且將這個(gè)點(diǎn)圍成的多邊形是凸多邊形，連接，則的度數(shù)是多少？（請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示）

專題06多邊形角的計(jì)算【思維索引】例1．180°；360°；540°；例2．(1)140°；(2)β－α－n＝90°；(3)α＋n－β＝90°．例3．(1)360°(2)540°(3)①6個(gè)；②x＝5．【素養(yǎng)提升】1．B；2．A；3．D；4．D；5．D；6．240°；7．40°；8．60°；9．24°；10．6°；11．(1)240°；(2)40°；(3)不能；12．(1)360°；(2)360°(n一2)；13．(1)26°；(2)26°；(3)∠F＝180°－EQ\F(1,2)(∠B＋∠D)；(4)∠F＝90°＋EQ\F(1,2)(∠B＋∠D)；1