專題06 矩形的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學年蘇科版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題06矩形的判定和性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?平山縣期末）如圖，在矩形COED中，點D的坐標是（1，3），則CE的長是（）A．3 B． C． D．4解：∵四邊形COED是矩形，∴CE＝OD，∵點D的坐標是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故選：C．2．（2分）（2022春?朝天區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動點，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，連接EF，則EF的最小值是（）A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4解：連接AP，如圖：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，當AP⊥BC時，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面積＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故選：D．3．（2分）（2022春?八公山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P為斜邊AB上一動點，過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F，連結(jié)EF，則線段EF的最小值為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8解：連接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當PC最小時，EF也最小，即當CP⊥AB時，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值為：＝4.8．∴線段EF長的最小值為4.8．故選：D．4．（2分）（2022春?桂平市期末）如圖，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P為BC上一動點，PG⊥AC于點G，PH⊥AB于點H，M是GH的中點，P在運動過程中PM的最小值為（）A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2解：連接PA，如圖所示：∵AC＝3、AB＝4、BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵PG⊥AC于點G，PH⊥AB于點H，∴∠PGA＝∠PHA＝90°，∴四邊形AGPH為矩形，∴AP與GH互相平分且相等，∵M是GH的中點，∴M是AP的中點，當AP⊥BC時，AP最小，此時，△ABC的面積BC×AP＝AC×AB，則AP＝＝＝2.4，∴PM＝AP＝1.2，即PM的最小值為1.2，故選：D．5．（2分）（2022春?新邵縣期中）如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD為（）A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．無法判斷解：∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選：B．6．（2分）（2022?科左中旗二模）如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，連接OE，設(shè)AC＝12，BD＝16，則OE的長為（）A．8 B．9 C．10 D．12解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四邊形OCED為矩形，∴OE＝CD＝10，故選：C．7．（2分）（2022?巨野縣模擬）如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點，分別作PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，點O是MN的中點，若AB＝6，BC＝8，當點P在AC上運動時，則BO的最小值是（）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5解：連接BP，如圖所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，∴四邊形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP與MN互相平分，∵點O是MN的中點，∴BO＝MN，當BP⊥AC時，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故選：C．8．（2分）（2021春?梁山縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動點（P不與B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的取值范圍是（）A．AM＜6 B．AM＜12 C．AM＜12 D．AM＜6解：如圖，連接PA，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝＝13，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵M為EF中點，∴AM＝EF＝PA，當PA⊥CB時，PA＝＝＝，∴AM的最小值為，∵PA＜AC，∴PA＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6，故選：D．9．（2分）（2021春?羅平縣期中）下列說法正確的有幾個（）①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；③對角線相等的平行四邊形是矩形；④矩形的四個角是直角；⑤對角線互相垂直的四邊形是菱形；⑥對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；⑦四條邊相等的四邊形是菱形．A．6個 B．5個 C．4個 D．7個解：①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故①正確；②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故②正確；③對角線相等的平行四邊形是矩形，故③正確；④矩形的四個角是直角，故④正確；⑤對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故⑤錯誤；⑥對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故⑥正確；⑦四條邊相等的四邊形是菱形，故⑦正確；正確的說法有6個，故選：A．10．（2分）（2021春?林州市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線交點，則線段GF的最小值為（）A． B． C． D．解：連接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值為，∵點G為四邊形DEAF對角線交點，∴GF＝EF＝；故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2019春?岱岳區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，點P和點Q分別從點B和點D出發(fā)，按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cm/s和1cm/s，則最快5s后，四邊ABPQ成為矩形．解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，設(shè)最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，∵四邊形ABPQ是矩形∴AQ＝BP∴3x＝20﹣x∴x＝5故答案為：512．（2分）（2015春?濱湖區(qū)校級月考）如圖，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，點P從A開始沿折線A﹣B﹣A以4cm/s的速度運動，點Q從C開始沿CD邊以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s），當t＝2s時，四邊形APQD也為矩形．解：根據(jù)題意得：CQ＝2t，AP＝4t，則DQ＝12﹣2t，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，∴當AP＝DQ時，四邊形APQD是矩形，即4t＝12﹣2t，解得：t＝2，∴當t＝2s時，四邊形APQD是矩形；故答案為：2s．13．（2分）（2022春?本溪期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，點P為斜邊AB上的一個動點（點P不與點A，B重合），過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D和點E，連接DE，PC交于點Q，連接AQ，當△APQ為直角三角形時，AP的長是6或4．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，∴∠BAC＝30°，∴AB＝8，AC＝4，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形PECD是矩形，∴CQ＝PQ，當∠APQ＝90°時，則AB⊥CP，∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CP，∴4×4＝8CP，∴CP＝2，∴AP＝＝＝6，當∠AQP＝90°時，則AQ⊥CP，又∵CQ＝QP，∴AC＝AP＝4，綜上所述：AP的長為6或4，故答案為：6或4．14．（2分）（2022春?臨汾期末）如圖，四邊形ABCD是個活動框架，對角線AC、BD是兩根皮筋．如果扭動這個框架（BC位置不變），當扭動到∠A'BC＝90°時四邊形A'BCD'是個矩形，A'C和BD'相交于點O．如果四邊形OD'DC為菱形，則∠A'CB＝30°．解：由題意得，CD′＝CD，∵四邊形OD'DC為菱形，∴DD′＝CD，∴CD′＝DD′＝CD，∴△CDD′是等邊三角形，∴∠DCD′＝60°，∴∠D′CO＝60°，∵四邊形A'BCD'是個矩形，∴∠BCD′＝90°，∴∠A'CB＝30°，故答案為：30．15．（2分）（2021秋?三水區(qū)期末）如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD，連接OE，設(shè)AC＝12，BD＝16，則OE的長為10．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四邊形OCED為矩形，∴OE＝CD＝10，故答案為：10．16．（2分）（2022春?白河縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值為．解：如圖，連接CM，∵MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四邊形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，當CM⊥BD時，CM最小，則PQ最小，此時，S△BCD＝BD?CM＝BC?CD，即×3×CM＝×1×2，∴CM＝，∴PQ的最小值為，故答案為：．17．（2分）（2022春?昭化區(qū)期末）如圖，P是Rt△ABC的斜邊AC（不與點A，C重合）上一動點，過點P分別作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，連接MN．若AB＝6，BC＝8，當點P在AC上運動時，MN的最小值是4.8．解：如圖，連接BP，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四邊形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂線段最短可得BP⊥AC時，線段MN的值最小，此時，S△ABC＝BC?AB＝AC?BP，即×8×6＝×10?BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故答案為：4.8．18．（2分）（2022春?南平期末）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，P是線段EF的中點，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H為垂足，連接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，則線段GH長度的最小值是．解：連接AC、AP、CP，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝5，∵P是線段EF的中點，∴AP＝EF＝，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四邊形PGCH是矩形，∴GH＝CP，當A、P、C三點共線時，CP最小＝AC﹣AP＝5﹣＝，∴GH的最小值是，故答案為：．19．（2分）（2022春?淅川縣期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AB＝4，∠BAD＝60°，則EF的最小值為．解：連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵當OP取最小值時，EF的值最小，∴當OP⊥AB時，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值為，故答案為：．20．（2分）（2019秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框ABCD變形為平行四邊形A′BCD′，并使其面積為矩形ABCD面積的一半，若A′D′與CD交于點E，且AB＝2，則△ECD′的面積是．解：作A'F⊥BC于F，如圖所示：則∠A'FB＝90°，根據(jù)題意得：平行四邊形A′BCD′的面積＝BC?A'F＝BC?AB，∴A'F＝AB＝1，∴∠D'＝∠A'BF＝30°，∴BF＝A'F＝，∵四邊形ABCD是矩形，四邊形A′BCD′是平行四邊形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四邊形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，∴D'E＝BF＝，∴△ECD'的面積＝D'E×CE＝××1＝；故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?留壩縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，且FC＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的長．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵FC＝AE，∴DC﹣FC＝AB﹣AE，即DF＝BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠BAF，∴∠DFA＝∠DAF，∴AD＝DF＝10，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，由（1）得：四邊形DEBF是矩形，∴BF＝DE＝8．22．（6分）（2022春?曲陽縣期末）如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H．（1）求證：四邊形EGFH是矩形；（2）過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，求證四邊形MNQP是菱形．證明：（1）∵EH平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE，∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，∵點A、E、B在同一條直線上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四邊形EGFH是矩形；（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，∴四邊形MNQP為平行四邊形．如圖，延長EH交CD于點O，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FD，∵FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴△EHP≌△OHQ（AAS），∴HP＝HQ，同理可得GM＝GN，∵MN＝PQ，∴MG＝HP，∴四邊形MGHP為平行四邊形，∴GH＝MP，∵MN∥EF，ME∥NF，∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN＝EF，∵四邊形EGFH是矩形，∴GH＝EF，∴MN＝MP，∴平行四邊形MNQP為菱形．23．（6分）（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知，如圖，BE，BD是△ABC中∠ABC的內(nèi)、外角平分線，AD⊥BD于D，AE⊥BE于點E，延長AE交BC的延長線于點N．求證：DE＝BN．證明：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的內(nèi)、外角平分線，∴∠DBE＝×180°＝90°，∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，則∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，在△ABE和△NBE中，，∴△ABE≌△NBE（ASA），∴AB＝BN，∵四邊形ADBE是矩形，∴DE＝AB，∴DE＝BN．24．（8分）（2022春?洪澤區(qū)期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分別是AD、BC的中點，則下列關(guān)于四邊形EGFH（E、F相遇時除外）的判斷：①一定是平行四邊形；②一定是矩形；③一定是菱形，正確的是①；（直接填序號，不用說理）（2）在（1）的條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值．解：（1）連接HG交AC于點O，在矩形ABCD中，有AD∥CD，AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACB，∠AGH＝∠CHG，∵G、H分別是AD、BC的中點，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AOG≌△COH（ASA），∴OG＝OH，OA＝OC，由題意得：AE＝CF，∴OE＝OF，∴四邊形EGFH是平行四邊形，故①是正確得；隨著t的增加，∠EGF由大變小，不一定是直角，故②不一定正確；∵G平分AD，O平分AC，∴OG∥CD，∴OG不是AC的垂直平分線，∴EG與GF不一定相等，故③不一定正確；故答案為：①．（2）（2）如圖1，連接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如圖1，當四邊形EGFH是矩形時，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如圖2，當四邊形EGFH是矩形時，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；綜上，四邊形EGFH為矩形時t＝2或t＝8；25．（8分）（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，AC為平行四邊形ABCD的對角線，將△ABC沿對角線翻折，得到△AB′C，B′C與AD邊交于點E，連接B′D，（1）當△CDE為等邊三角形時，證明：四邊形ACDB′為矩形：（2）在（1）的條件下，當AB＝3時，求S△AEC．（1）證明：∵△CDE是等邊三角形，∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠BCA＝∠B′CA，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC，∴∠DAC＝∠ECA＝30°，∴∠ACD＝90°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AC⊥AB，由折疊可知：∠B′AC＝∠BAC＝90°，∴B，A，B′三點在同一條直線上，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，由折疊可知：AB＝AB′，∴AB′∥CD，AB'＝CD，∴四邊形ACDB′為平行四邊形，∵∠ACD＝90°，∴四邊形ACDB′為矩形；（2）解：在Rt△ACB′中，∠CAB′＝90°，∵∠ACB′＝30°，AB′＝AB＝3，∴AC＝AB′＝3，∴S△AEC＝S△ACB′＝AC?AB′＝×3×3＝．26．（8分）（2022春?扶溝縣期末）如圖，?ABCD中，G是CD的中點，E是邊長AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線相交于點F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形．（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，則①當AE＝時，四邊形CEDF是矩形；②當AE＝2時，四邊形CEDF是菱形．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FCG＝∠EDG，∠CFG＝∠DEG，又CG＝DG．∴△FCG≌△EDG，∴FG＝EG．∴四邊形CEDF是平行四邊形．（2）①如圖四邊形CEDF是矩形時，在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，∠DCF＝60°，∠CFD＝90°，∴CF＝CD＝．∵ED＝CF＝，∴AE＝AD﹣DE＝②如圖四邊形CEDF是菱形