最大值與最小值++學(xué)案 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）+選擇性必修第一冊(cè)

5.3.3最大值與最小值[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上的最值并能解決生活中的最值問(wèn)題．一、極值與最值的關(guān)系問(wèn)題1如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖象．顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值．你能找到函數(shù)的最大值和最小值嗎？問(wèn)題2開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最值嗎？知識(shí)梳理極值與最值的關(guān)系(1)最值在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．(2)開(kāi)區(qū)間的連續(xù)函數(shù)若有最值，最值在極值點(diǎn)處取得．例1如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫(xiě)出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值．反思感悟最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間(即整體)而言．(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值至多有一個(gè)．(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)．(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B．f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C．f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有極值點(diǎn)D．f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒(méi)有最值點(diǎn)二、求函數(shù)的最值知識(shí)梳理求f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的______；(2)將(1)中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的______與______．例2求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋cosx，x∈[0,2π]．反思感悟求函數(shù)最值的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求出定義域內(nèi)的每一個(gè)極值與端點(diǎn)值．(3)比較所求的每一個(gè)極值與端點(diǎn)值．(4)得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝eq\f(x－1,ex).三、用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題例3如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．延伸探究本例條件不變，若要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？反思感悟解決最優(yōu)問(wèn)題應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域．(2)在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則它就是最值點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．1．知識(shí)清單：(1)函數(shù)最值的概念．(2)求函數(shù)最值．(3)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．3．常見(jiàn)誤區(qū)：忽視函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系．1．下列結(jié)論正確的是()A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值2．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最值，但無(wú)極值 B．有最值，也有極值C．既無(wú)最值，也無(wú)極值 D．無(wú)最值，但有極值3．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為()A.eq\f(10\r(3),3)cmB.eq\f(20\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cmD.eq\f(\r(3),3)cm4．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．5.3.3最大值與最小值問(wèn)題1最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得．顯然函數(shù)的最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，且要求函數(shù)是連續(xù)不斷的，而最值不同于極值，如果有最大(小)值，則唯一存在．問(wèn)題2如圖．容易發(fā)現(xiàn)，開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值，若有最值，則一定是在極值點(diǎn)處取到．例1解由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3))，極大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))；比較極值和端點(diǎn)值可知函數(shù)的最小值是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3))，最大值在b處取得，最大值為f(b)．跟蹤訓(xùn)練1C[根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，f(x)的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，f(x)的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，可能是區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A，B，D都不正確；若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上沒(méi)有極值點(diǎn)，所以C正確．]知識(shí)梳理極值最大值最小值例2解(1)因?yàn)閒(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).因?yàn)閒(－2)＝8，f(3)＝18，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，f(－eq\r(2))＝8eq\r(2)，所以當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，f(x)取得最小值－8eq\r(2)；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最大值18.(2)因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,2)x＋cosx，x∈[0,2π]，所以f′(x)＝eq\f(1,2)－sinx，x∈[0,2π]，令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6).因?yàn)閒(0)＝1，f(2π)＝π＋1，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝eq\f(5π,12)－eq\f(\r(3),2).所以當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)取得最大值π＋1，當(dāng)x＝eq\f(5π,6)時(shí)，f(x)取得最小值eq\f(5π,12)－eq\f(\r(3),2).跟蹤訓(xùn)練2解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，所以當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最大值35.當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得最小值－37.即f(x)的最大值為35，最小值為－37.(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,ex)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝eq\f(1·ex－exx－1,ex2)＝eq\f(2－x,ex)，令f′(x)＝0，解得x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗eq\f(1,e2)↘所以f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)無(wú)最小值，且當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(2)＝eq\f(1,e2).例3解∵AE＝x，∴HE＝eq\r(2)x，EF＝60－2x，∴EG＝eq\f(\r(2),2)(60－2x)，∴V(x)＝(eq\r(2)x)2×(60－2x)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)x2×(60－2x)＝－2eq\r(2)x3＋60eq\r(2)x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－6eq\r(2)x2＋120eq\r(2)x＝－6eq\r(2)x(x－20)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝20.∵當(dāng)0<x<20時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)20<x<30時(shí)，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20時(shí)取極大值也是唯一的極值，故為最大值．∴包裝盒的底面邊長(zhǎng)為eq\r(2)x＝20eq\r(2)(cm)，高為eq\r(2)(30－x)＝10eq\r(2)(cm)，∴當(dāng)x＝20時(shí)，包裝盒的容積最大，此時(shí)高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).延伸探究解∵AE＝x，∴HE＝eq\r(2)x.∵EF＝60－2x，∴EG＝eq\f(\r(2),2)EF＝eq\f(\r(2),2)(60－2x)＝eq\r(2)(30－x)．∴S＝4×HE×EG＝4×eq\r(2)x×eq\r(2)(30－x)＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152＝－8(x－15)2＋1800(0<x<30)．∴當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值，最大為1800cm2.跟蹤訓(xùn)練3解(1)由題設(shè)可知，隔熱層厚度為xcm，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).又建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.則隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x1＝5，x2＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.即當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，且最小值為70萬(wàn)元．隨堂演練1．D[函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]2．C[f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，無(wú)最大值和最小值，也無(wú)極值．]3．B[設(shè)圓錐的高為hcm,0<h<20，∴V＝eq\f(1,3)π(202－h(huán)2)×h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h∴V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)，令V′＝0，解得h＝eq\f(20\r(3),3)，當(dāng)h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20\r(3),3)))時(shí)，V′>0，當(dāng)h∈eq\b