高三期初考試導數壓軸題的命題研究_第1頁
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高三期初考試導數壓軸題【試題呈現】（江蘇省鎮(zhèn)江市2024~2025學年度第一學期高三期初試卷第19題）（12分）已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若對于任意的，關于x的不等式恒成立，求實數a的取值范圍．【參考答案】（1）單調增區(qū)間為：；單調減區(qū)間為：和（2）【出題背景1——凸函數不等式】若是區(qū)間I上的可微下凸函數，則經過點()的切線一定在曲線的下方，即：成立不等式：，如：，,則在R上為可微下凸函數；于是有：；即：，將替換為，得：引入參數，進一步放縮得：，其中同時注意到“在上，等號可以取得”。（理由：，且，因此存在，使得）

【出題背景2——同構】為了讓問題更加隱蔽，將不等式恒等變形，并將中間放縮步驟隱藏，得：這樣，就需要考生能夠變形以及放縮，得到：再對比題設條件：“關于x的不等式恒成立”，發(fā)現相同的結構：，進而得出最終結果?！绢}目變式——姊妹題】（江蘇省鎮(zhèn)江市2024~2025學年度第一學期高三期初試卷第19題的“姊妹題”）（12分）已知函數（）．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若對于任意的，關于x的不等式恒成立，求實數a的取值范圍．【參考答案】（1）單調增區(qū)間為：；單調減區(qū)間為：（2）注：該題由劉蔣巍命制，可作為2024屆鎮(zhèn)江期初考試第22題的“姊妹題”?！炬⒚妙}的命制思路】2024屆鎮(zhèn)江期初考試第22題的“姊妹題”命制過程如下：，則，當時，單調遞減注意到：，則在為上凸函數，則（）即：（），用替換，得：（）即：（）注意到：時，，則：當時，引入不小于1的參數，則為了讓考生找到相同的結構（引入“同構”考點），將改成形式，變形，得：進一步變形，得：于是，得到如下新問題

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