2025年高考二輪復習數(shù)學突破練：圓錐曲線的定義、方程與性質（提升篇）

專題突破練（分值：96分）

?學生用書P201

主干知識達標練

1.（2024山東聊城二模）點P在拋物線V=8尤上，若點P到點（2,0）的距離為6,則點P到v軸的距離為

（）

A.4B.5C.6D.7

答案A

解析根據(jù)拋物線方程可知,焦點為（2,0）,準線方程為x=-2,點P到焦點的距離為6,即點P到準線的距

離為6,所以點P到y(tǒng)軸的距離為6-2=4.故選A.

2.（2024江蘇揚州模擬）已知橢圓1+尸=1（心1）的離心率為與，則拋物線嚴辦2的焦點坐標為（）

A忌。）C.（Q）D.（O,總

答案D

解析因為橢圓亍+y2=］（a＞l）的離心率為景所以=合解得a=4,則拋物線y=ajc的標準方程為

X2/,它的焦點坐標為（0,2）.故選口.

3.（2024河北滄州一模）已知雙曲線C:^-\=1（。＞0力＞0）的一條漸近線的傾斜角為也其焦點到漸近線

的距離為2,則C的方程為（）

答案B

解析由題意可得、=ta4=g,所以"=百女雙曲線的漸近線方程為y=土爭;，即dV^y=0,不妨設焦點

（c,0）到漸近線x+V3y=0的距離為2,即d=-^==，=2,解得c=4,又?2+&2=^=16,?=73/?,^^

/=4,次=12,

所以C的方程為1—4=1.故選B.

124

2

4.（2023全國甲，文7）設/2為橢圓C：y+/=1的兩個焦點,點尸在。上，若兩?陋=0,則

|PFI|.|PF2|=()

A.1B.2C.4D.5

答案B

Y2

解析由橢圓C《+y2=l,知〃2=5,廬=1惻，=。2/2=4,即c=2,則|BBI=2c=4.

?.西?度=0,

O

PFi±PF2,^ZFIPF2=90.

在口△尸西出中,歸尸1|2+歸/2|2=尸上2|2,：歸/1|+|尸&|=2。=2代，

22

/.（|PFi|+|PF2|）-2|PFII-\PF2\=|FIF2|.

.,.20-2|PFI1-^21=16,

解得歸為卜|尸&|=2.故選B.

5.（2024湖南衡陽二模）已知雙曲線C:捻-，=l（a>0,6>0）的左焦點為尸，虛軸的上、下端點分別為

48,若|而+而|=2|啟-麗則C的離心率為（）

A萼B苧C.V3D.等

答案A

解析根據(jù)題意，作圖如下：

|黨+而|=2|方一而即2|而|=2|瓦也即c=2b,故c2=462=4（c2_a2）,解得=3,則￡=孚，即雙曲線

aZ3a3

C的離心率為學.故選A.

6.（多選題）（2024湖南長沙一模深彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓.測得軌道的近日點（距

離太陽最近的點）與太陽中心的距離為九遠日點（距離太陽最遠的點）與太陽中心的距離為4,并且近

日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則（）

A.軌道的焦距為d2+di

B.軌道的離心率為先?

C.軌道的短軸長為2聲石

D.當牛越大時，軌道越扁

答案BC

解析以近日點和遠日點的中點為坐標原點，近日點和遠日點連線所在直線為無軸建立平面直角坐標

系.

設該橢圓的方程為葭+

由題知解得。=空強,。=空，因為軌道的焦距為2c=處4,所以選項A錯誤;

（aiC—。2，z2

因為離心率為￡=生今,所以選項B正確；

CL沏+的

因為軌道的短軸長為27^^=2,丐強）2-（包書）W=2jdid2,所以選項C正確;

1蟲

因為“20—京=-1H—,則3越大時，離心率越小，則軌道越圓，所以選項D錯誤,故選BC.

的+詢1+夕1+32

d2d2

7.（多選題）（2023新高考n[0）設。為坐標原點，直線尸-遍a-1）過拋物線C：y2=2*⑦>0）的焦點，且與

。交于M,N兩點，/為C的準線，則（）

A.p=2

B.IMNiq

C.以MN為直徑的圓與/相切

D.z\OMN為等腰三角形

答案AC

解析對于A,在y=-g（x-l）中令y=0,得x=l,所以拋物線的焦點為（1,0）,所以冷=1,所以p=2,故A正確;

對于B,由A知，拋物線的方程為Ex,則由，2二同一1）'得黑或《二〉

（y一%,3=亍，一--

不妨設M1,等B不正確;

對于C,由B知，以MN為直徑的圓的圓心為竽）,半徑為|,又拋物線的準線/的方程為圓

心到準線/的距離為|一（一1）=|,故以MN為直徑的圓與I相切，故C正確;

對于D,因為|OM=JG）2+（等）2=孚,3|=]32+（一2百）2=后,皿N=學,可知40/7不是等腰

三角形，故D不正確.故選AC.

8.（5分X2024廣東湛江二模）已知外出是橢圓C的兩個焦點，若C上存在一點P滿足|Pm2=19『尸2匕

則C的離心率的取值范圍是.

答案[當當）

解析因為|「西|2=19|尸&|2,所以|尸西|=739尸尸2|,由橢圓定義知2a=|PF1|+|PB|=（舊+1）|尸外|,所以

|尸出[a-Ga+c],則0=展當史,又0<e<l,所以C的離心率的取值范圍是[坦f』）.

9.（5分）（2024湖南益陽模擬）已知雙曲線C:冒-5=1（°>0/>0）的左、右焦點分別為過分作一

條漸近線的垂線交雙曲線C的左支于點尸,己知禍=|,則雙曲線C的漸近線方程為----------.

答案y=±2x

解析根據(jù)題意畫出圖象如下:

由籍=|得|朋|=||尸尸2|,又IP&I-I明1=2。,所以吐2|=平,|叨I岑雙曲線C：馬-盤=1（。>0力>0）的漸

近線方程為bx±ay=0,

則點R（-c,0）到漸近線的距離4=乎」=6,所以在中,

歷+。2°

由余弦定理得|P&|2=|PR|2+EP2|2-2|PB||BF2|COS/PB1P2,

即岑Q=等+4°2一等,化簡得（\）22.3—>0,即（Q）C+|）=0,解得5=2或：=-|,因為0>0力>0,所

以2=2.

a

則雙曲線C的漸近線方程為y=+2x.

關鍵能力提升練

10.（2024山東日照一模）過雙曲線。-[=1的右支上一點P,分另IJ向OG：（尤+4）2+聲=3和。。2：（六

41Z

4）2+y2=l作切線，切點分別為MN,則（兩+麗）?麗的最小值為（）

A.28B.29C.30D.32

答案C

解析由雙曲線方程^—二=1可知〃=2力=2V3,c=Va2+h2=4,可知雙曲線方程的左、右焦點分別為

412

尸（4,0）,尸2（4,0）,圓G的圓心為G（-4,0）（即場）,半徑為n=V3;

圓C2的圓心為C2(4,0)(即尸2),半徑為r2=l.

如圖，連接PFI,PF2,FIM,FZN,則MFi上PM,NF2上PN,可得西+麗)?麗=(而+P/V)-(PM-

2222122

PN)=\PM^-\PN\=(\PFl\-r^-(\PF2\-r^=(\PF1\-3y(\PF2\-l)=\PFi\-\PF2\-2=(\PFl\-

|PF2|)(|PFi|+|PF2l)-2=2a(|PFi|+|PF2|)-2>2a-2c-2=2x2x2x4-2=30,

當且僅當尸為雙曲線的右頂點時，等號成立，即(兩+兩)?麗的最小值為30.故選C.

22

11.(多選題X2024山東青島模擬)已知橢圓。:3+%=1(0<6<3)左、右兩個焦點分別為Q和巳，動直

線/經(jīng)過橢圓左焦點打與橢圓交于A乃兩點，且|A尸2|+|33區(qū)8恒成立，下列說法正確的是()

A.b=V6

B.|AB|e[4,6]

C.離心率e=y

D.若。4則—2-------j=To

|04產|OB|218

答案AB

解析如圖，易知a=3,由橢圓定義可知|48|+|4川+|8&|=44=12.

2

因為lA&l+IB&g恒成立，所以IABIN4,當4B_Lx軸時,|AB|最小，所以解得6=遙，所以A

正確；

當|48|為長軸時,|48|最大，此時|A8|=2a=6,所以|48|34,6],所以B正確；

可得橢圓方程為C:*+5=1,則c=y/a2-b2=皆,得離心率e=--g,所以C錯誤；

96a3

(x=my-V3,

因為尸1(-百,0),可設直線/的方程為x=my-V^,A(%i,yi),3(X2j2),聯(lián)立%2y2整理可得(2川+34-

1—9+—6=I'

4倔妹12=0,因此皿=**二島.

若04_1_。2,可得。a-OB=0,即肛￥2+約》2=0,所以（蘇+1）力y2-百根（口+了2）+3=0,整理得6療+1=0,此時

方程無解，因此D錯誤.故選AB.

12.（多選題）（2024湖南衡陽模擬）已知拋物線7V=2力3>0）過點尸（2,2夜），其焦點為R過點B作兩條

互相垂直的直線/i12,直線/i與拋物線「相交于A,8兩點，直線/2與廠相交于CQ兩點（如圖所示），則

下列結論正確的是（）

A.拋物線廠的方程為y2=?

B.拋物線r的準線方程為x=-2

C.ZXACB和△BfD面積之和的最小值為7

D.ZkACF和△2即面積之和的最小值為8

答案AD

解析將點尸（2,2或）代入y2=20x,得8=4p,解得p=2,所以拋物線廠的方程為產=4無，故A正確；

由丁=?知,拋物線的準線方程為尤=-1,故B錯誤；

易知直線/112斜率均存在且不為0,設4（X1,%）,2（必）2）,直線/1的方程為y=-X-l）,聯(lián)立，即

Ff-QF+4）x+S=0,①

4

所以Xl+X2=2+-7,X1X2=1,

k

設C（%3j3）Q（X4,y4）,則直線，2的斜率為京代入①中，得X3+X4=2+4/,X3,X4=l,所以△AC尸和△BFZ）面積

11111（

之和為S=-\FA|-|FC|+-\FB\-\FD|=萬［（%1+1）（x3+1）+3+1）（工4+1）］=］（%1%3+X2X4+xi+%2+%3+工4）+1=5

XlX3+X2X4+2+5+2+4F）+izg（2j%i%2%3%4+2J,4k2+4）+1=8,當且僅當左=±1,且為羽=%2%4時等號

成立，所以△ACT和△8FD面積之和的最小值為8,故C錯誤,D正確.故選AD.

13.（多選題X2024云南昆明模擬）已知橢圓C:q+4=l的左、右焦點分別為后42,直線與C交

于A,B兩點（A在y軸右側）,0為坐標原點，則下列說法正確的是（）

A.|AFi|+|BFi|=2V5

B.當根二警時，四邊形ABB6為矩形

C.若AH_L5Fi,貝ljm=^

D.存在實數(shù)機使得四邊形ABB。為平行四邊形

答案ABD

解析如圖，根據(jù)橢圓方程可得”=有力=2,c=l,E（-l,0）,B（l,0）.

由對稱性可得|人為|+|BFi|=|AB|+|A尸2|=2有，故A正確;

當加=警時，可得A（1,卓）,8（1，W）,又B（-1,O）,尸2（1,0）,則尸尸2,則四邊形

ABEEi為矩形，故B正確;

------->>------->>cc-VI22

設4",徵）,8（-〃,徵）,則4&二（-1-凡加）,8&=（-1+〃廣聞,若AFi_LBFi,則Z0?5&=1-〃2+m2=0,又二十7二1,

聯(lián)立消元得9/-16=0,解得加=±±故C錯誤;

1

若四邊形ABRO為平行四邊形，則|43|=舊1。|=1,即點A的橫坐標為搭即可，代入橢圓方程可得

"片土?,故當機=±等時,四邊形ABF。為平行四邊形，故D正確.故選ABD.

14.（5分X2024山東青島一模）已知。為坐標原點，點尸為橢圓諄+噲=1（°>6>0）的右焦點，點"在

C上,且線段AB的中點為凡。4，。8,則C的離心率為.

答案與

解析如圖，由橢圓的對稱性可知鼻2垂直于x軸,又04_L。氏所以，所以△AOF為等腰直角三

角形，故A（C,C）,代入橢圓方程有g+3=1,即422+。22=〃2戶,所以42cZ+d*’/uHPcZ）,整理得人

azbcc

3/+1=0,解得/=竽或次=竽（舍去），故e=

15.（5分）

（2024河北衡水模擬）數(shù)學家Dandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們

分別與圓錐側面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模

型）.若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成60。角的平面截圓錐所得橢圓的離心率

為.

答案當

解析如圖，令兩個球。1,。2分別與截面相切于點在截口曲線上任取一點7/,過點7/作圓錐的母線，

分別與兩個球相切于。,尸,"。,班'均為球01的切線，則/。=郎,同理因此

HE+HF=HP+HQ=PQ>EF,由切點、P,Q的產生方式知，尸。長為定值，于是截口曲線上任意一點H到定

點瓦尸的距離和為定值,該曲線是以點&F為焦點的橢圓，

作出幾何體的軸截面，如圖，設SA=2,依題意,/S=60°,/SAB=30°,

貝比/$朋=90°,52=1/12=b，橢圓的長軸長2a=42=百，半焦距為c,

廠匕￡皮、、將，

則nija-c=nBF=-A-B-+-S-B--S-A=V,3^-l因6此.?。二不1所以離心率e=-c=—V3.

222a3

16.（5分）（2024福建廈門一模）設AABC是面積為1的等腰直角三角形，。是斜邊A8的中點，點「在4

A8C所在的平面內，記△PC。與△PAB的面積分別為Si&且Si5=l.當呼|=同，且|尸4|>|尸3|

時,|P4|=;記11PAi-|PB||=a,則實數(shù)a的取值范圍為.

答案后（警,2）

解析以。為原點，荏為x軸正方向建立如圖所示平面直角坐標系，由題易知C（0,1）4（-1,0）,3（1,0）,

設P（無o,yo）,則S1=｝尤o|,S2=lyol,所以手尤o|-|yol=l,則|必|=手尤ol-l,當|尸5|="^,且1PAi>|尸3|時而>0,即

1PBi2=（xo-l）2+詔=10,所以（xo-l）2+（|xo-l）2=10,即5亞-12xo-32=O,可得尤o=4（負值舍），則|州|=1,故

2

|PA|=/(x0+I)+光=V26,

雙曲線頂點的橫坐標的絕對值小于半焦距1,則雙曲線與jxUy|=l的圖象有交點，

即雙曲線的漸近線與gm-|y|=l的圖象有交點，則雙曲線的漸近線斜率的絕對值小于

4”cU-a211,1,5162”,,4V5c

所以°<J而<5=7/<五今二<4,^—<?<2,

所以實數(shù)a的取值范圍為（卓,2）.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

17.（多選題X2024山東荷澤模擬）用平面a截圓柱面，圓柱的軸與平面a所成角記為仇當。為銳角時，

圓柱面的截線是一個橢圓.著名數(shù)學家Dandelin創(chuàng)立的雙球實驗證明了上述結論.如圖所示，將兩個大

小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于a的上方和下方，并且與圓柱面和a均相切.其中G1G2為橢

圓長軸,品,尸2為兩切點，尸為橢圓上一點下列結論中正確的有（）

A.橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等

B橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距。1。2相等

C.所得橢圓的