2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題【導(dǎo)學(xué)案】

拓展拔高7數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題

【高考考情】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考的內(nèi)容.與

數(shù)列有關(guān)的題目類型較多，其中，分奇偶項(xiàng)求和問題比較常見.此類問題中奇數(shù)項(xiàng)

和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式一般會(huì)有所不同，要解答此類問題，我們需要靈活運(yùn)用分類

討論思想和分組求和方法.

【解題思路】解答此類問題的基本思路：(D結(jié)合題意尋找數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)

的規(guī)律，分別求出它們的通項(xiàng)公式.在求通項(xiàng)公式時(shí)，要注意把數(shù)列的項(xiàng)數(shù)間隔

開。)將數(shù)列分成奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)兩組,分組進(jìn)行求和.(3)將所得的結(jié)果匯總、化

簡,便可求得數(shù)列的和.

視角一含有(4)〃的遞推公式

[例1]侈選題)已知數(shù)列｛。"｝滿足。1=1,斯+2=(-1)/1(斯-〃)+凡記｛斯｝的前〃項(xiàng)和為Sn,

則()

A.Q48+a50=100B.。50-。46=4

C.S48=600D.*9=601

【解析】選BCD.因?yàn)椤?=1,詼+2=(-1產(chǎn)1(斯-〃)+〃，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),?！?2=?！?。1=1；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),為+即+2=2兒

對(duì)于A,由Cln+2=2”,所以<748+050=96,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤?6+。48=92,。48+。50=96,兩式相減可得Q50-Q46=4,B正確；對(duì)于

C,S48=Q1+〃3+Q5+…+〃47+[(〃2+04)+(〃6+〃8)+…+(Q46+〃48)]=24xl+2x(2+6+…+46)

=24+2x比產(chǎn)=600,C正確；

對(duì)于D,549=548+。49=600+1=601,D正確.

思維升華：含有(-1)"類型問題的解法

⑴通項(xiàng)公式中含有(-1)":

①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式乘(/)〃,可用并項(xiàng)求和法求數(shù)列前n項(xiàng)的和；

②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有(-1)〃,其前n項(xiàng)和可寫成分段的形式，考查最值問題,

如等比數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為?！?(-1產(chǎn)除則其前n項(xiàng)和為求的取值

2nSn

范圍,幾分奇偶討論，求出取值范圍；

③裂項(xiàng)相消法求和

如年(/)"?西考==(-1產(chǎn)(白+高)，求和時(shí)通過GD"實(shí)現(xiàn)正負(fù)交替

(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

⑵遞推公式中有(⑴"：尋找間隔兩項(xiàng)之間的關(guān)系墳口a〃+i+(-l)F=2”一〃為奇數(shù)

丁+=？=2：一一+2+詼=2;〃為偶數(shù)時(shí),+On—2九

時(shí),

aa-a

an+2'n+l~471十乙n+2n+l=2n+2

為+2+。"=4"+2一得到相鄰兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系.

遷移應(yīng)用

n

數(shù)列｛斯｝中,。1=1,。2=2,數(shù)列｛bn｝滿足bn=an+i+(-l)an,nGN*.

⑴若數(shù)列｛詞是等差數(shù)列,求數(shù)列｛兒｝的前10。項(xiàng)和Sioo；

【解析】(1)因?yàn)椋梗秊榈炔顢?shù)列，且內(nèi)=1,。2=2,

所以公差d=l,所以an-n.

bi」(冊(cè)+廠。兀=1,九為奇數(shù)，

所以瓦尸J、

+an=2n+1,九為偶數(shù)

(1,九為奇數(shù)，

即bn-\

(2n+1,九為偶數(shù)

所以兒的前100項(xiàng)和

5100=(》1+九+…+仇9)+(62+64+…+6100)

=50+(5+9+13+...+201)

=50+50x5+T叫4=5200.

⑵若數(shù)列｛為｝是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列｛劣｝的通項(xiàng)公式.

【解析】（2）由題意得,匕1=。2-。1=1,公差d=2,

所以bn=2n-l.

所以^2n-l=a2n~a2n-l=471-3,①

=aa

、b2n2n+l+2n=471-1,②

由②-①得,。2n+1+a2n-l=2,

所以a2n■+：1-2-a2n-l，

又因?yàn)?=1,所以〃1=〃3=。5=.??=1,

所以。2加1=1,所以。2幾=4八-2,

1,九為奇數(shù),

綜上所述口尸

2九-2,九為彳禺?dāng)?shù).

視角二已知條件明確的奇偶項(xiàng)問題

凡九為奇數(shù)，

［例2］已知數(shù)歹U｛a,J的前n項(xiàng)和為Sn,a*=1n求Sm

（5）"九為偶數(shù)，

【解析】方法一：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),S"=Q1+Q2+.??+Q”=(〃1+俏+???+a儂1)+(〃2+〃4+.??+。〃)

Z1.o「/1\]/1\21.zlx[1+(儂1)吟杷-(手刃21巴

=(1+3+...+?-1)+[(-)1+(-)2+...+(-)2]=----------^^—+1n-(-)2.

1-2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)興1是偶數(shù)，

S〃=Sg+飆=竽+1_（》等+“=乎+1_e等

1n-1

(M產(chǎn)+]-(1)三"為奇數(shù),

4

綜上,S〃=（n

-+1-（5）5,九為偶數(shù).

.4

凡九為奇數(shù)，

方法二:因?yàn)樗?

（1）5m為偶數(shù)

所以。2加1=2n-l,a2n=(/,

所以S2n=Ql+〃2+.??+。2九=(。1+。3+.??+@271-1)+(。2+。4+.??+。271)=(1+3+.??+2〃-1)+

[(*+$+...+(｝〃]要出產(chǎn)+支捍中2+[_(#

1-2

111

S2n-1=S2n-a2n=/+1一”一()二"+1七產(chǎn)

綜上所述，

(竺學(xué)+i-G)等，九為奇數(shù)，

工=12n

1+1-?)可71為偶數(shù).

思維升華

(7(71)"為奇數(shù)

形如斯=的結(jié)構(gòu)，可分為兩種情況:(1)鄰項(xiàng)等差、等比數(shù)歹I」,如已知

(g(n),九為偶數(shù)

(an+1，九為奇數(shù)〃“刀口工巾口公

ai-l,an+i-｛'的解題思路：

(2即,幾為偶數(shù)

將"用2k-1或2左替代當(dāng)n-2k-l時(shí)加=31+1；

當(dāng)n=2k時(shí),儂+1=2儂=2(儂-1+1)今儂+1+2=2(儂-1+2)今構(gòu)造出以的+2為首項(xiàng)、2為

公比的等比數(shù)列,先求出Cl2kA的通項(xiàng)公式,再求出。2k的通項(xiàng)公式.

b711番攵

"'的解題思路:先求出其他數(shù)

(10g2%，九為偶數(shù)

列的通項(xiàng)公式，再求出｛的｝的通項(xiàng)公式.

遷移應(yīng)用

已知數(shù)列｛以｝是等差數(shù)歹它的前〃("￡N*)項(xiàng)和為，，數(shù)歹心為｝是等比數(shù)

列,bn>O,a1=3,加=143+82=12,。5-23=的.

⑴求數(shù)列｛服｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

【解析】（D設(shè)等差數(shù)列｛劣｝的公差為4等比數(shù)歹U｛為｝的公比為q,

則由匕第;產(chǎn)得長+*"：；；

（附々/^—的，（3+4d-2q=3+2d,

解瞰:;蹴二倍去）,

n1

所以an=3+2（n-1）=2n+1,bn=2'.

!■刀為奇數(shù)

⑵若c”=，設(shè)數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和為T”,求T2n.

味,正為偶數(shù)

【解析】（2）由（71=3,?！?2”+1,得力="（八+2）,

卜島，九為奇數(shù)?

則Cn-卜儂、九為偶數(shù).

u，偽奇數(shù)

）nn+2

即C"=12出1,九為偶數(shù).

所以%z=(Cl+C3+…+C2〃-1)+(C2+C4+…+C2〃)=[(1])+(：])+…+

DD5Z71-1Z,YL+1

2(l-4n)_l+22n+11

(2+2%-+22”丁

1-4-32n+l

視角三數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題3〃+%+1或=/（?））

［例3］已知數(shù)列｛詼｝滿足QI=1，。九+1+〃〃=4〃.

⑴求數(shù)列｛詞的前100項(xiàng)和5100；

【解析】⑴因?yàn)椤?=1，+1+Q〃=4",

所以5100=（。1+。2）+（。3+。4）+...+（。99+。100）

=4x1+4x3+…+4x99

=4*(1+3+5+…+99)

=4x502=10000.

（2）求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式.

【解析】(2)由題意,冊(cè)+1+?！?42①

a?i+2+。?1+］-4(八+

由②-①得,即+2-斯=4,

由0=1,0+02=4彳導(dǎo)上2=3.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),廄=。1+(等-l)x4=2〃-l,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),?！?。2+(1-1)x4=2”-1.

綜上所述，斯=2〃-1.

思維升華

遞推公式為呢+1+。〃=/5)或?！?1“dm的形式，求通項(xiàng)公式或數(shù)列求和的方法

⑴求通項(xiàng)公式：由斯+2+麗1書”+1)與上式作差可得隔項(xiàng)遞推公式

Z+2-?！ㄓ?+1)-人叫對(duì)于后一種可由Q"+2S+1=/S+1)與上式作商可得隔項(xiàng)遞推公式

皿=陪，然后求解.

a-n/(n)

⑵求前n項(xiàng)和S"：求出通項(xiàng)公式，則S"=S奇+S偶;或者利用可直接并項(xiàng)

求和.

遷移應(yīng)用

在數(shù)列｛?！ǎ?，已知==(),記S”為｛斯｝的前n項(xiàng)和力否a2n+a2n-l，八

EN*

⑴判斷數(shù)列｛勿｝是否為等比數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式；

［解析］(1)因?yàn)槎?5)〃,

所以斯+1S+2=G)〃+1,所以皿三，

2an2

1

BPan+2=-an.

因?yàn)橥呤琎2n+儂-1,

11

所以匕n+1_。2九+2+02英+1_2“2九2@2n1

如a2n~^~a2n-l。2九+口271-12

所以數(shù)列｛6｝是公比為前勺等比數(shù)列.

因?yàn)榉?1以1?6=3,

所以6=之力1=。|+。2=|,

所以兒=|x(yq,〃￡N*.

(2)求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式;

【解析】⑵由⑴可知a〃+2