2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形的最值和范圍問題【九大題型】解析版

解三角形的最值和范圍問題重難點(diǎn)【九大題型】

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】................................................2

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】........................................................5

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】........................................................8

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】....................................12

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】.....................................................15

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】.....................................................17

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】.....................................................21

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】.........................................................25

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】.................................................29

?命題規(guī)律

1、解三角形的最值和范圍問題

解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或

與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，有時(shí)也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合考查，主

要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的

關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1三角形中的最值和范圍問題】

1.三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：

（1）利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；

（2）利用基本不等式求最值（范圍）；

（3）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；

（4）轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；

（5）坐標(biāo)法求最值（范圍）.

2.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運(yùn)

用.解題時(shí)要結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究

其最值（范圍）.

（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略

三角形中最值（范圍）問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利

用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.

（3）坐標(biāo)法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略

“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時(shí)，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊

角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡，再結(jié)

合三角函數(shù)、基本不等式等知識求其最值.

?舉一反三

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】

【例1】（2024?河北石家莊?三模）在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9.

2

（1）若sinC=求sin力?sinB的值；

（2）求△ABC面積的最大值.

【解題思路】⑴根據(jù)正弦定理可得sinA=（sinB=也從而可求sin4?sinB的值；

（2）利用基本不等式可得a2+b222ab=18,再根據(jù)余弦定理可得cosC的范圍，從而可得sinC的范圍，結(jié)

合三角形面積公式，即可得△48C面積的最大值.

【解答過程】⑴由正弦定理扁=4=51=6,可得sin4=，inB=3,

oiiiusm￡>oiii/ioo

b9

：■sin/?sinB=-r--=—=

6636

(2)0?,ab=9,a2+&2>2ab=18,

由余弦定理可得>2ab—161

cosC=-18-9,

ion

:.-<cosC<1,0<1—(cosC)2<—,

??.0<sinC<S=|a6sinC=|sinf<2近,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)，等號成立，此時(shí)面積取得最大值2西.

【變式1-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）記銳角三角形4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosZ=

V3—acos^,2asinC=V3.

⑴求4

(2)求△48c面積的取值范圍.

【解題思路】(1)方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.

(2)利用正弦定理得。=鬻=叵羋母=總+*結(jié)合△48C為銳角三角形，求得5<C<?進(jìn)而求

sinesinC2tanC2sz

得|<6<2,即可求解.

【解答過程】(1)方法一：由余弦定理，得萬義生薩=遍一ax之鏟，解得c=g.

又2asinC=8，所以由正弦定理，得sin4=竺乎=J

又△2BC為銳角三角形，所以力=也

方法二：由題意知，bcosA=2asinC—acosB.

由正弦定理得sinBeos/=2sin4sinC—sin/cosB,

所以sinBeos/+cosBsin/=2sin4sinC,

所以sin(B+4)=2sinZsinC,即sinf=2sinXsinC；

又因?yàn)閟inC力0,所以sinA=發(fā)又因?yàn)?e(0,。所以

(2)由正弦定理得匕=csinB=低in(A+C)_VIsin4cosc+V^cos〉sinC=W?」

sinCsinCsinC2tanC2'

f0<C<^

因?yàn)闉殇J角三角形，所以八/口5n2

解得所以tanC>V^,所以|<bV2.

因?yàn)閏=所以SA4BC=[besinZ=乎5，所以V率

故△4BC面積的取值范圍為(竽,冬).

【變式1-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測)如圖，在平面內(nèi)，四邊形ZBCD滿足B,。點(diǎn)在2C的兩側(cè)，AB=1,

BC=2,△2CD為正三角形，設(shè)乙48C=a.

D

BC

(1)當(dāng)a=g時(shí)，求AC；

(2)當(dāng)a變化時(shí)，求四邊形A8CD面積的最大值.

【解題思路】(1)在△ABC中，由余弦定理可得2C的值；

(2)由余弦定理可得4c2的表達(dá)式，進(jìn)而求出正三角形4CD的面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出四邊形4BCD的面積

的表達(dá)式，由輔助角公式及a的范圍，可得四邊形面積的范圍.

【解答過程】(1)因?yàn)?B=1,BC=2,B=j,

由余弦定理可得：AC=7AB2+BC2-24B?BCcosB=Jl+4-2xlx2x|=V3.

(2)由余弦定理可得=人5+BC2—2AB-BCcosa=1+4—2xlx2cosa=5—4cosa,

因?yàn)椤髁D為正三角形，所以S3CD=哼4c2=乎_^cosa,

44

SAABC=^AB-BCsina=1x1X2sina=sina,

所以S四邊形4BCD=S^ABC+S&ACD=sina—V3cosa+=2sin(a-5)+^

因?yàn)閍e(0,n),所以學(xué)，

所以sin(a—1)(-苧,1]，

所以S四邊形4BCDC俘2+鳴，

故當(dāng)a=今時(shí)，四邊形4BCD面積的最大值為2+竽

【變式1-3](2024?上海?三模)己知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且遮a=2csinA.

⑴求sinC的值;

(2)若c=3,求△48C面積S的最大值.

【解題思路】⑴由正弦定理即可得sinC=當(dāng)；

(2)由余弦定理結(jié)合重要不等式可得ab取值范圍，再由三角形的面積公式S4wc=^1bsinC可求出面積的最

大值.

【解答過程】(1)由題意可知，=2csinZ,

由正弦定理得gsinZ=2sinCsin4

因?yàn)镃W(0m),所以sin^wo,

BPsinC=孚

(2)由(1)可知sinC=當(dāng)，

所以C=三或C=y--

在△力BC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACXBCcosC,

當(dāng)C=5時(shí),c=3,

1

9=b2+a2—2ab--=b2+a2—ab>2ab—ab=ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號，即

故△Z8C的面積=—absinC=fab4

當(dāng)。=啰時(shí)，c=3,

22

9=拉+。2+2B?|=64-a+ab>2ab+ab=3abf

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=遍時(shí)取等號，即ab<3,

故△的面積=5absinC=申~ab<

Z44

綜上所述，△ABC的面積最大值為乎.

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】

【例2】(2024?四川?三模)在△4BC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2csinBcosA=b

(sin^cosB+cosTlsinB).

(1)求4;

⑵若△ABC的面積為16g,。為"的中點(diǎn)，求BD的最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊化角得cos4=：,則得到4的大??；

(2)利用三角形面積公式得尻=64,再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.

【解答過程】(1)因?yàn)?csinBcoSi4=b(sinAcosB+cosXsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcos/=sinBsin(/+B)=sinFsinC,

又C€(0,T[),BG(O,ir),故sinCW0,sinBH0,

1IT

所以cos/=又/G(0m),故/=-

(2)SMBC--cbsinA=16g,又4=???be=64,

22

在△B/D中，由余弦定理BO?=B/2+ZO2-2SO?cos/=c+(1)-2c?1?cosp

=c2+[—gcb>2lc2-——[cb=gcb=32,

42y422

當(dāng)且僅當(dāng)c=1=4或時(shí)取等號，

???8。的最小值為4vL

【變式2-1］（2024?江西?模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別記為a,b,c,且tanZ=

cosB—sinC

cosC+sin夕

⑴若B=F，求c的大小.

(2)若a=2,求b+c的取值范圍.

【解題思路】(1)由tanA=—.,得sinAcosC+sinZsinB=cosAcosB—cosAsinC,再利用兩角和差的

cosc+sino

正余弦公式化簡，進(jìn)而可求得48的關(guān)系，即可得解；

（2）利用正弦定理求出瓦c,再根據(jù)4B的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

cosB-sinCcosB—sinC

【解答過程】(1)因?yàn)閠anA=所以鬻=

cosC+sinB9cosC+sinB'

即sirL4cosc+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sin/cosC+coSi4sinC=cosAcosB—sinAsinB,

所以sin。+C)=cos(TI+B),即sinB=cos(.4+B),

而e(0,11),所以B+A+B=]或B—(X+B)=p

所以/+2B=］或/=—］（舍去），

又因?yàn)?=也所以4=也

所以。=竽；

（2）由（1）得4+2B=去

因?yàn)閟inZ—sinB-sinC,

匚匚[、17asinB2sin82,sin-2sin3

所以力=MT=MT=sin(A2B)=薪，

_asinC_2sinC_2sin(、+B)_2cosB

sin/sinZsin(-—cos2B,

川2(sinB+cosB)_2(sinB+cosB)_2__^2_

、cos2Bcos2fi-sin2ficosB-sinBcos^B+^j1

’0<B<IT

又由1°屋一28Vn,得0<B<；,

0<-+^<n

I2

所以?<8+：<?所以0<cos(8+》<￥，

所以6+c€(2,+oo).

A

【變式2-2](2024?廣東廣州?三模)在銳角△ZBC中，內(nèi)角力,B,C的對邊分別為防b,c,且。=bsin,

+acosB.

(1)求/;

⑵若。是邊BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且〃BD=Nb4D,求需的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得至ijsint=cos4進(jìn)而求得sint=

即可求解.

(2)設(shè)乙4BO=N84O=x(0<x<9,在△48中，利用正弦定理，化簡得到累=—1+萼一，根據(jù)

\3/V3+tanx

題意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

AA

【解答過程】(1)c=bsin-+acosB,???sinC=sinBsin-+sinZcosB,

又/+B+C=n,可得sinC=sin(X+B)=sinZcosB+cosZsinB,

???sinAcosB+cosAsinB=sin^sin-+sinylcosB,

/TC

???sinBcoSi4=sinBsin-,又0<B<-,sinBW0,

可得cos4=sinp所以1—2sin2^=sin*解得sing=|■或sin?=—1,

v0<i4<p所以sing=g,即4=)

(2)設(shè)N4BD=乙BAD=x(0<x<則2。"=^-x,Z.ACD=y-x,

Z-ABD=乙BAD,AD=BD,

在△acz）中，由正弦定理得黑=累=_]+26,

DU/\Lfsin(^—xjV3cosx+sinxV3+tanxV3+tanx'

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<%<三且0（與一x<*貝哈<x<5,

(o,9,所以需e(o,￡).

所以tanxe停，⑸，可得g+tan久e（竽,2甸，所以T+播

在p1—sin/_sinB

【變式2-3］（2024?江西鷹潭?二模）△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,[兩足cosZ-cosB'

（1）求證：4+2B=5；

（2）求等的最小值.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到sin（4+B）=cosB=sin（5—B）,即可得證；

（2）由（1）知2=^—2B且C=：+B,利用正弦定理得到白竺=4COS2B+六一5,結(jié)合基本不等式，即

可求解.

【解答過程】（1）證明：由1s*："=空可得471且sirh4cosB+cosAsinB=cosB,

cosAcosBz

所以sin（4+B）=cosB=sinQ—8）,

因?yàn)?B為三角形的內(nèi)角，可得4+8=5—8,即4+28=9得證.

(2)解：由(1)知/=]—28,且C=11—/—3=5+8,

日斤J]/+爐_siMZ+siMB_cos22B+sin2R_(2COS28-1)2+1—COS2B

c2sin2ccos2Bcos2B

所以*絲=4COS2B+扁一5N4五—5,當(dāng)且僅當(dāng)=亭時(shí)，等號成立,

C"COS^-D2.

所以更用的最小值為4魚-5.

C乙

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】

【例3】（2024?安徽淮北?二模）記△4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知c—b=Zcsir^

⑴試判斷△ABC的形狀；

（2）若c=1,求△4BC周長的最大值.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，求得cos4=%利用余弦定理列出方程，得到。2+/=?2,即可求解；

（2）由（1）和c=L得到a=sin/,b=cos4則△ZBC周長為1+sinZ+cosZ,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),

即可求解.

【解答過程】⑴解：由C—6=2csin2^,可得sin2j=F，所以上誓=^,

Z22c22c

即：_等=^_,，所以cos4=*

又由余弦定理得生蕓衛(wèi)=2,可得。2+/）2=。2,所以c=3

2bccz

所以△ZBC是直角三角形

（2）解：由（1）知，△4BC是直角三角形，且c=l,可得a=sin4,b=cos/,

所以△/BC周長為1+sinA+cosA=1+V^sin（4+：），

因?yàn)榱（o,J,可得4+在&,苧）,

所以，當(dāng)4=今時(shí)，即△ABC為等腰直角三角形，周長有最大值為夜+1.

【變式3-1]（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）已知在△ABC中，。為8c邊的中點(diǎn)，且4。=店.

（1）若△2BC的面積為2,coszXDC=求B；

⑵若45+n2=18,求△28C的周長的最大值.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得BD=1,由余弦定理，求得2B=2夜，再由

正弦定理求得sinB=乎，進(jìn)而求得B的值；

（2）設(shè)CD=BD=x,分別在△ABD和△仞/）中，利用余弦定理，列出方程求得x=2,結(jié)合（4B+4C）2<2

（AB2+AC2）,即可求解.

【解答過程】（1）解：因?yàn)椤鰽BC的面積為2,且D為BC的中點(diǎn)，

1

可得SMBD=^\AD\\BD\sin^ADB=1,

又因?yàn)閟inN力DB=sinzXPC=等，可得BD=1,所以BC=2

在△4BD中，由余弦定理得AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=(㈣之+/_2x而x1x等=8,所以2B=2VL

由正弦定理缶=篇，可得singT，

因?yàn)镹40C+乙ADB=TtS.cosz.ADC=

可得COSNADB=COS(TT—/.ADC)=—cosz.ADC=—^<0,

即NADB為鈍角，所以B為銳角，所以B=：.

(2)解：設(shè)CD=BD=x,分別在△4BD和△4CD中，

由余弦定理AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cosZTlDB,

即AB?=x2+5—2%-VScos/-ADB,同理可得4c2=%2+5+2%-y/^cosZ-ADB,

所以482+AC2=2(%2+5)=18,可得x=2,

又因?yàn)?4B+4C)2V2(482+4。2)=36,當(dāng)且僅當(dāng)4B=4C時(shí)，等號成立，

所以48+ACW6,所以△ABC周長的最大值為10.

【變式3-2](2024?云南曲靖?二模)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,hc,且acosC+gcsin

A=b+c.

(1)求角B的取值范圍；

(2)已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于孚，求△ABC周長的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理可得sirh4cosc+V^sinCsinZ=sinB+sinC,利用三角恒等變換可得sin(4—，

)=|,可求角B的取值范圍；

(2)由三角形的面積可求得。=—b—c+bc,結(jié)合余弦定理可得(6c)2—2bc(b+c)+(b+c)2=(6+c)2

—36c,計(jì)算可得b+cW2或b+cN6,進(jìn)而可求得

△力BC的周長L=a+b+c=7b2+c2_2bccos4+b+c,設(shè)△4BC與圓內(nèi)切于點(diǎn)。，瓦尸,

b+c=AC+AB>AD+AF=3,進(jìn)而分析可得△ABC的周長的取值范圍.

【解答過程】(1),??acosC+V3csiny4=b+c

由正弦定理得：sin/lcosC+V3sinCsini4=sinB+sinC,

???sin4cosc+V3sinCsin?l=sinB+sinC,：?sin4cosc+VSsinCsin^=sin(4+C)+sinC,

???V3sinCsin?l=cosAsinC+sinC.

sinCHO,???V3sini4=cos/+1,???sin(X—3=1.

(2)vS=^bcsinA=9bc,S=|(a+b+c)-r='(a+b+c),

?,?a+b+c=be,即a=—b—c+be,

由余弦定理得:a2=b2+c2—be.

222

??.(he)—2bc(b+c)+(b+c)=(b+c)—3bcf

/.be=2(h+c)—3.(bc)2—2bc=2(b+c)—3,

vbe<(^)2(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號)，

???2(b+c)—3<(",)2,b+c<2或b+c>6.

4

■2

設(shè)△48c與圓內(nèi)切于點(diǎn)，用F,則ID=AF=r-tan60°=

???b+c=AC+AB>AD+AF=3

Ah+c>6(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號).

△/BC的周長L=a+b+c=Vb2+c2—2bccosA+b+c,

,--------------------b+c2

=J(b+c)2—3bc++c>(b+c)2—3(---)+b+c

N幺

=|(b+c)29(當(dāng)且僅當(dāng)6=c=3時(shí)兩處都取等號).

Lmin=9,

--c=AB>DB=^=品(<B<y),

B->0時(shí)，c7+8,LT+8,

??.△ABC的周長的取值范圍是[9,+oo).

【變式3-3](2024?湖南常德?一模)已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別是a力,c,且齦=26.

⑴判斷△4BC的形狀；

(2)若的外接圓半徑為或，求△ABC周長的最大值.

【解題思路】(1)使用正弦定理對條件進(jìn)行邊化角，再用三角恒等變換證明8=C；

(2)先用基本不等式證明sin力+sinB+sinC<孚，然后利用正弦定理與外接圓半徑的關(guān)系可得到

a+6+c<3V6,最后說明等號可以取到，即得結(jié)果.

【解答過程】(1)由正弦定理并結(jié)合已知有sinBcosC+sinCcosB=sin(8+C)=sin/=竺詈=之A。：—_?

sinBcosf.

故sinBcosC=sinCcosB,從而sin(B—C)=sinBcosC—sinCcosB=0.

由于e(0,TI),從而B—CE(—TTJT),故由sin(B—C)=0可知B=C,所以△ZBC一定是等腰三角形.

(2)設(shè)△/BC的外接圓半徑為R.

一方面，我們有sin4+sinB+sinC=sin(B+C)+sinB+sinC

=sinBcosC+sinCcosB+sinB+sinC

2sinB?V3cosC2sinC-V3cosB

=--------------------1----------------------1-sinB+sinC

2V32V3

sin2^+3cos2csin2c+3cos2B

<---------------------1----------------------1-sinB+sinC

2V32V3

sin2B+3—3sin2Csin2c+3—3sin2B

=-------------------------1---------------------------1-sinB+sinC

2V32V3

=——sin2^+sinB——sin2C+sinC+V3

=-氧sinB-f)Z-氨sinC—日『+竽w竽，

故a+b+c=2R(sin/+sinB4-sinC)<2R?苧=242-苧=3V6；

另一方面，當(dāng)是邊長為遍的等邊三角形時(shí)，有a=b=c=返,A=B=C=^.

此時(shí)97=率=2乃=2b,R==V2,且。+力+。=3傷.

cosc—zsin/i^'~2~

所以△力BC周長的最大值是3乃.

【題型4三角形的角(角的三角函數(shù)值)的最值或范圍問題】

【例4】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)記△力BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,6,c.若a=?b=2,則B+C

的取值范圍是()

A?俘，制B.怦,n)

C?悟再)D-(PT]

【解題思路】先根據(jù)邊的關(guān)系求出c的范圍，然后表示出cos4求出其范圍進(jìn)而可得4的范圍，則B+C的取

值范圍可求.

【解答過程】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得2―舊<c<2+V3,

即cosa=Z*=處浮

由對勾函數(shù)y=久+：單調(diào)性可知，其在（2—低1）上單調(diào)遞減，在（1,2+遮）單調(diào)遞增;

即cosa="（C+9e卜，1），可得ae（0方,所以B+Ce停刀）.

故選：B.

1C

【變式4-1]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在△力BC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,若應(yīng)+方=

黃京，貝（JtanA-的最小值為（）

1

A.~BD.

-1C19

【解題思路】由題意化簡可得。2—小=第2,根據(jù)余弦定理可得COS/=卷、cosC=一卷進(jìn)而tanC=-9tan

A<0,貝Utan力一1焉=tan4+高i，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.

Laiiuvuan/i

【解答過程】由2+2=忌，得。2+步=02,所以?2—a2=評,

4aza，44

9b。2+爐”2b

由余弦定理得COS/="+：丁2="+/2

~8cfcosC=

2ab2ab8a'

9b

-,cosi49a9sin/弗丁巾,口sinC八sin/-

所rr以］:=第=——=--r,整理得力=一9-「，o即ntanC—9tan>l,

cost—csinCcostcosA

8a

由cosC=—^-<0,知C為鈍角，所以tanC=—9tanA<0,則tan/>0.

8c

所以tan/—7^7=tan422/tan4?」一=1,

tanC9tanZ79tan43

當(dāng)且僅當(dāng)tan4=—BPtan>l=，時(shí)等號成立,

LaliyiD

所以當(dāng)tanA=2時(shí),tanA—焉的最小值為之

JLallCJ

故選：B.

【變式4-2]（2024?陜西寶雞?二模）△4BC中，。為BC邊的中點(diǎn)，AD=1.

（1）若△ABC的面積為2VI，且N2DC=半求sinC的值：

（2）若BC=4,求cosNBAC的取值范圍.

1____

【解題思路】（1）由S4wc=ROBC，利用面積公式求出。C，在△4DC中由余弦定理求出2C,再由正弦

定理求出sinC；

3

(2)設(shè)乙40C=e,06(0,71),分別利用余弦定理表示出/爐、AC2,從而得到cos/BZC=—

V25-16cos20，

再由余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【解答過程】(1)因?yàn)?。為邊的中點(diǎn)，所以SA4DC=TSA4BC=B，

又SAAOC=夕。?DCsinNADC=遍，即3x1xDCxsing=遍，解得DC=4,

在△力DC中由余弦定理4c2=AD2+DC2_2AD.DCcos^ADC,

即4t72=12+42_2x1X4X(-1)=21,所以4C=V21,

在△可中由正弦定理金=煞，即詈=熹，解得sinC得

(2)設(shè)N/OC=/3G(0,71),

在△408中由余弦定理/B2=AD2+BD2-2AD-BDcus^ADB,

即ZB2=I2+22-2x1X2cos(it-6)=5+4cos仇

在△ZDC中由余弦定理=AD2+。。2_2AD.DCcos^ADCf

2

即=12+2-2x1x2cos。=5-4COS0,

AB2+AC2-BC25+4cos0+5—4cos0—163

在△中由余弦定理cosNb4c，

-2ABAC-2A/5+4COS0-V5-4COS0V25-16cos26>

因?yàn)閑e(o,ii),所以cos2ee[o,i),貝U25—I6cos2。e(9,25],

所以425—16cos2Je(3,5],

1

所以

V25-16cos26?需，a

V25-16cos20G(~1>~1](即COS的。C(—1,—

【變式4-3](2024?北京石景山一模)在銳角中，角4B,C的對邊分別為a,hc,且2bsin4—8

CL—0.

(1)求角B的大??；

(2)求cosA+cosC的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理邊化角求解即可；

(2)由⑴可知8=與所以4+C=與，所以將cosA+cosC轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)，最后求其值域

即可.

【解答過程】(1)因?yàn)?bsin4—遮a=0,由正弦定理邊化角得:

2sinBsinX—V3sinX=0,所以（2sinB—g）sinZ=0,

由于在中，sirh4H0,所以2sinB—仃=0,

即sinB=孚，又OVBV、，所以3=].

（2）由（1）可知8=三，所以/+。=亨，

所以cos44-cosC=C0Si4+cos停一4）=cosX+cos亨cos4+sin竽sin4

1V31V3/IT\

=cosA——cosA+--sinA=—cosA+--sin4=sinI＞1+-I

2222'6，

（0V空_4V21

由于在銳角△ZBC中，014Vp2,所以與V4V（

所以三＜4+方〈與，所以siWVsin（4Ws嗎

所以苧＜sin（力+》＜1,所以cosA+cosC的取值范圍為停,1].

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】

【例5】（2024?山西太原?三模）已知△ABC中，A=120°,D是BC的中點(diǎn)，且AD=1,則△ABC面積

的最大值（）

A.V3B.2V3C.1D.2

【解題思路】利用中線得到4=/+c2—兒，結(jié)合不等式得出beW4,進(jìn)而得到面積的最大值.

【解答過程】因?yàn)?=120。，所以同?通=|荏||就|3120。=一為以

因?yàn)?。是中線，所以而=*而+尼），AD2=i（AB2+AC2+2AB-AC）,

所以4=扶+c2—be2be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號成立；

△ABC面積為S=jbesinX＜|x4x^=V3.

故選：A.

【變式5-1]（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,6,c,且a=邊上中

線2D長為1,則比最大值為（）

A.7B;C.V3D.2V3

4Z

【解題思路】根據(jù)兩角互補(bǔ)余弦值之和等于0,然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方

程求出〃+c2=?,然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答過程】由題意得NADB+乙40c=m

所以COSZJWB+cosZ-ADC=0,

又。=收且。是的中點(diǎn)，所以08=0。=浮

4。2+8。2一文2_E

在△4B0中，cosZ.ADB=

2AD-BDV3，

222

在△4DC中，cosZ-ADC=AD+CD-b_

2ADCDV3，

\-b2

所以cos/ZOC+cosZ-ADB=4____4-4_____=o,

V3V3

即扶+c2=|,得2bc<b2+c2=g=bc<p當(dāng)且僅當(dāng)力=c=字取等號,

故選：A.

111

【變式5-2](2024?安徽合肥?二模)記△力8c的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,6,c,已知c=2,—+—+嬴通西

=1.則△ABC面積的最大值為()

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2G

【解題思路】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦

定理及基本不等式可得ab的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值.

11-1

【解答過程】因?yàn)檠?贏+商研=L可得tan4+tanB+l=tan4tanB，

口口sin/,sinB,.sinAsinB

即=+百+1=臺前,

整理可得sinZcosB+cosXsinF+cosAcosB=sin^sinB,

即sin(4+8)=—cos(X+B),

在三角形中sin(/+8)=sinC,COS(T4+B)=—cosC,

即sinC=cosC,C6(0,n),可得C=p

由余弦定理可得c?=爐+小—2abcos74->2ab-42ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號,

而c=2,

4

所以ab<—~7==2(2+V2),

Z—VN

所以S△力BC=gabsinC<|-x2(2+V2)x乎=1+V2.

即該三角形的面積的最大值為1+V2.

故選：A.

【變式5-3]（2024?浙江臺州?二模）在aABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccos

A,則寫的最大值為（）

A.V3B.|C.YD.3

【解題思路】根據(jù)題意，由余弦定理代入化簡，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

22222

【解答過程】由余弦定理可知，cost=?+&-c=b+c^-a^

2ab2bc

由acosC=2ccosA可得Q?它莊h_2c?"苦二叱,

2ab2bc

化簡可得"2+b2—c2=2b2+2c2—2a2,

2

所以3a2=b+3/,即Q2=3c2,

當(dāng)且僅當(dāng)？=年時(shí)，即6=聲。時(shí)，等號成立,

所以占的最大值為李

故選：C.

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】

【例6】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

sin^C-sinCsinB=1

cos2B—cos2A

（1）求角N的大小；

（2）若△4BC為銳角三角形，點(diǎn)尸為△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范圍.

【解題思路】（1）由正弦定理及余弦定理可得cosA的值，再由角4的范圍，可得角4的大??；

（2）設(shè)NF4B=a,分別在兩個(gè)三角形中，由正弦定理可得BF,CF的表達(dá)式，由輔助角公式可得BF+CF

的取值范圍.

【解答過程】（）因?yàn)閟in2C-sinCsinB

1cos2B—cos2A=1,

所以sin2c—sinCsinB=cos2B—cos2A=1—sin2B—1+sin2/,

所以sir^B+sin2c—si/Z=sinCsinB,

由正弦定理可得拉+c2—a2=be,

由余弦定理可得cos/=更端正=JAe（O,n）,

2bcz

可得力

(2)延長2尸交BC于。，延長BF交AC于E,延長CF交48于P,4尸=6,

根據(jù)題意可得BC14。BELAC,因?yàn)槊?=或所以NEBA="CP=也

設(shè)"■力B=a,a6(?！吩凇骰?中，由正弦定理可得占=缶，

6RF.

即丁=--,可得=12sina,

2sina

同理在△CF4中，可得CF=12sin(1-a),

所以BF+CF=12[sina+sin(^—a)]=12(sina+^cosa—|sina)

=12(|sina+亨cosa)=12sin(a+^),

因?yàn)閍e(0?所以a+(e(翳),

所以sin(a+§G/1],

所以BF+CFe(6點(diǎn)12].

B

【變式6-1](2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知443。的內(nèi)角48,。的對邊分別為￡1力￡,(￡：一7^?￥也。=(a-/?)

(sin/+sinB).

⑴求a；

(2)若△ABC為銳角三角形，且b=6,求△ABC的周長/的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；

(2)利用正弦定理求出a,c的表達(dá)式，根據(jù)△4BC為銳角三角形確定2的范圍，求出三角形周長的表達(dá)式

并化簡，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.

【解答過程】(1)由題意知△4BC中,(c-V36)sinC=(a-fo)(sin4+sinB),

即(c—Wb)c=(a—b)(a+b),BP^2+c2-a2=#bc,

故cosA==浮而0<2<it,二4=?；

(2)由(1)知B+C=K，而b=6,

o

故由正弦定理得卷=熹=肅，則口=鬻=亮

6sinC_6sinQ4+B)_6sin(fi+^)_o/o'_i_3cosB

sinBsinBsinBsinB

由△力BC為銳角三角形，則c=￡—Be(o,p,Be(oW),則Be信,)

故△力BC的周長1=。+6+。=熹+6+3療+需

3(1+cosB)6cos2y

6+3V3+=6+3V3d--------5----n

sinB.DD

2nsmicos2

-3

=6+3舊+域,

而tang￡(字1)，故tan?€(3,3V3)，

故△ABC的周長的取值范圍為(94-3V3,6+673).

【變式6-2](2024?河北衡水?一模)在△4BC中，內(nèi)角4BC所對的邊分別是a,6,c,三角形面積為S,若。為

4C邊上一點(diǎn)，滿足4B1BD.BD=2,且a?=-竽S+abcosC.

⑴求角B；

.71—.

(2)求而+而的取值范圍.

【解題思路】(1)結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得tanB=—g,進(jìn)而求解即可;

1271

(2)在△BCD中由正弦定理可得DC=y，在RtaABD中，可得AD==，進(jìn)而得到k+為7=sinA+sin

C,結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得2+2=sin(c+?,進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.

r\LfGLJ\3，

【解答過程】(1)?.?層=—竽s+ab